ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΑΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ:ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ, ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΑΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ:ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ, ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ ΚΑΙ
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

[Κεφάλαιο 8]

Sal Restivo

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ο όρος αναπαράσταση δεν χρησιμοποιείται συχνά στην κοινωνιολογία της επιστημονικής φιλολογίας (cf. Barnes, 1977; de Mey, 1982; Lynch and Woolgar, 1990). Αλλά το πρόβλημα της αναπαράστασης είναι ενδογενές στο πεδίο. Είναι ένα διπλός θρύλος από 1) τον Kant και την φιλοσοφία, και 2) τον Durkheim και την κοινωνιολογία. Αλλά είναι το φιλοσοφικό ζήτημα του διαχωρισμού αληθινών ή ψευδών αναπαραστάσεων παρά το κοινωνιολογικό ενδιαφέρον σε μαζικές ή κοινωνικές αναπαραστάσεις που έγινε το πρόβλημα της αναπαράστασης για τους κοινωνιολόγους της επιστήμης. Το πρόβλημα κέρδισε κάποια εξέχουσα θέση στα πρόσφατα χρόνια, σαν αποτέλεσμα της ανάπτυξης εμπειρικών μελετών της επιστημονικής πρακτικής, και της εμφάνισης ενός νέου γύρου στο διάλογο με την επιστημολογία (Restivo, 1983: ch 7). Αυτό αντανακλάται περισσότερο στον ρητορισμό της κατασκευαστικής ερμηνείας της επιστημονικής γνώσης παρά σε μια ρητή κοινωνιολογική θεωρία των επιστημονικών αναπαραστάσεων.

Η κοινωνιολογία της επιστήμης που αναπτύχθηκε από τον Robert Merton (1973) και τους οπαδούς του οφείλει πολύ λίγα στην κοινωνιολογία της γνώσης του Durkheim. Αλλά η μετα -Merton κοινωνιολογία της επιστήμης είναι υποχρεωμένη σε τέτοιους κληρονόμους του θρύλου του Durkheim όπως η Mary Douglas, και στους Durkheim και Mauss τους ίδιους μέσω της θεωρίας τους για την ταξινόμηση. Ένα ενδιαφέρον στην ταξινόμηση ακολουθείται πάντα από ένα ενδιαφέρον για την αναπαράσταση. Αλλά το γενικό πλάνο του Durkheim για τη συλλογική αναπαράσταση δεν έπαιξε ένα σημαντικό ρόλο στην κοινωνιολογία της επιστήμης. Εάν είχε την παραμικρή επίδραση, είναι μόνο επειδή ανέφερε για πρώτη φορά το φιλοσοφικό πρόβλημα της αναπαράστασης ή το υπογράμμισε.

Η μελέτη των συλλογικών αναπαραστάσεων έγινα αποδεκτή πρωταρχικά από ανθρωπολόγους γνώσεως και κύρους, και μελετητές των κοινωνικών αναπα-ραστάσεων ( e.g., Cole και Scribner, 1974 : Ellen και Reason, 1979; Moscovici, 1961; Belisle και Schiele, 1984 ). Οι κοινές διανοητικές ρίζες και οι επικαλυπτόμενες περιοχές προβλήματος αυτών των παραδόσεων έρευνας και η κοινωνιολογία της επιστήμης είναι μια επιταγή για αναζήτηση περιοχών που έχουν σχέση. Η επιταγή είναι ιδιαίτερα δυνατή στην περίπτωση της δουλειάς του Moscovici και των οπαδών του. Το κάλεσμα του Moscovici για την ενοποίηση της κοινωνιολογίας της γνώσης και της κοινωνικής ψυχολογίας αντηχεί έναν από τους αντικειμενικούς στόχους του C.Wright Mills (1963), και φέρεται σε πέρας στην σύγχρονη κοινωνιολογία της επιστήμης. Δεν είναι ξεκάθαρο, εντούτοις, αν και σε τι έκταση η μελέτη των κοινωνικών α-αναπαραστάσεων είναι συμβατή με την μελέτη των επιστημονικών αναπαραστάσεων σαν κοινωνικές κατασκευές. Είναι ακόμα λιγότερο καθαρό εάν υπάρχουν δεσμοί ή μπορεί να δημιουργηθούν ανάμεσα στην κοινωνιολογία της επιστήμης και άλλες πιο απόμακρες μελέτες αναπαραστάσεων.

Το αντικείμενό μου σε αυτό το κεφάλαιο είναι να ανασκοπήσω μια ευρεία γκάμα από εκδόσεις, παραδείγματα, και απεικονίσεις στην κοινωνιολογία των μαθηματικών που αγγίζουν το πρόβλημα των αναπαραστάσεων. Δίνω περιληπτικά τον ρόλο της ιδέας της αναπαράστασης και σχετικές αντιλήψεις στην κοινωνιολογία των μαθηματικών, συζητάω την κοινωνική κατασκευή της μαθηματικής αναπαράστασης, και θεωρώ θέματα και προβλήματα σχετιζόμενα με την ανάπτυξη μιας κοινωνιολογικής θεωρίας της αναπαράστασης, της αντίληψης και της γνώσης. Υπερασπίζοντας την εικασία ότι οι μαθηματικές αναπαραστάσεις είναι κοινωνικές κατασκευές, θα φλερτάρω αναπόφευκτα με τον σχετικισμό και με την ιδέα ότι επινοούμε μάλλον παρά ανακαλύπτουμε αυτά που ξέρουμε. Ενδιαφέρομαι ως εκ τούτου να δώσω έμφαση στο ότι τίποτα σε αυτό το κεφάλαιο δε θα πρέπει να ερμηνευτεί σα να με έμπλεξε σε μια συζήτηση σχετικισμού-ρεαλισμού. Ούτε θέλω να μου χρεωθεί το ‘καταπληκτικό συμπέρασμα’ ότι η εικασία κοινωνικής κατασκευής έχει κάποια συγγένεια με την ιδέα ότι ‘ο Κολόμβος δημιούργησε την Αμερική’. Ο μαθηματικός Jourdain είχε δίκιο να εκπλαγεί από αυτό το συμπέρασμα, αλλά είναι μια κοινωνική ρέγκα. Η εικασία κοινωνικής κατασκευής ριζώνει τη γνώση, την αντίληψη και τις αναπαραστάσεις στους κοινωνικούς παλμούς της παραγωγής τους, της διασποράς και της χρήσης τους. Δεν αντιδικεί με την ιδέα ότι τα ανθρώπινα όντα χειρίζονται τις ζωές τους σε μια περισσότερο ή λιγότερο δύστροπη πραγματικότητα. Η εικασία γίνεται πολεμική όταν ενσωματώνει, ξένες, μυστικές, καθαρολογικές ή σοβινιστικές επιστημονικές θεωρίες. Η φύση της πολεμικής θα ποικίλει εξαρτώμενοι από τους προτείνοντες και τους αντιδικούντες που δεσμεύουν ο ένας τον άλλο. Στην δική μου περίπτωση η κατασκευαστική εικασία είναι ένα συστατικό αυτού που αλλού έχω καλέσει απελευθερωτική επιστημολογία. Είναι, αν συντομία, μέρος μιας σαφώς απελευθερωτικής επιστη-μονικής στρατηγικής, που σχεδιάστηκε για να μας κρατάει αφυπνισμένους στην πιθανότητα κάτι καινούριου κάτω από τον ήλιο (Rorty, 1979: 389).

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ

Στην ορθόδοξη φιλοσοφία, η γνώση ορίζεται σαν την ακριβή αναπαράσταση αυτού που είναι έξω από το μυαλό. Η γενική θεωρία της αναπαράστασης, που στοχεύεται, είναι μια που θα οριοθετήσει περιοχές καλλιέργειας που αντιπροσωπεύουν την πραγματικότητα με περισσότερη ή λιγότερη ακρίβεια, και περιοχές που ισχυρίζονται αλλά δεν αντιπροσωπεύουν αληθινά την πραγματικότητα. Ιδιαίτερα οι αφελείς ρεαλιστές θεωρούν την επιστημονική γνώση ότι είναι μια ακριβής, άμεση αναπαράσταση του ‘μόνου πραγματικού κόσμου’ (Hesse, 1980: vii).Ισχυρίζονται ότι οι επιστήμονες μπορούν εξαντλητικά να περιγράψουν τον εξωτερικό κόσμο, με αρχές χρησιμοποιώντας επιστημονικό λεξιλόγιο. Οι επιστημονικές προτάσεις είναι αληθινές αν αντιστοιχούν στην πραγματικότητα και ψεύτικες αν όχι. Το γλωσσολογικό σύστημα της επιστήμης μπορεί να θέσει αληθινές προτάσεις σε μια σχέση μια-προς- μια μα τα γεγονότα. Υπάρχουν ‘κρυμμένοι επεξηγηματικοί μηχανισμοί’ αλλά μπορούν να αποκαλυφθούν κάνοντας αναφορές βασισμένες στις παρατηρήσεις, δηλαδή, θεωρητικοποιώντας. Ο επιστήμονας είναι απομονωμένος από τον κόσμο, και έτσι μπορεί να διεξάγει πειράματα και να κατασκευάζει θεωρίες αντικειμενικά και με απάθεια.

Κάποια εκδοχή του αφελούς ρεαλισμού μαζί με την ιδέα της ακριβούς αναπαράστασης, έχει οδηγήσει τους ακόλουθους των Karl Mannheim και Robert Merton στη κοινωνιολογία της γνώσης και της επιστήμης. Αυτοί οι κοινωνιολόγοι έχουν σαφώς απαλλάξει την επιστημονική γνώση από κοινωνικά ερωτήματα. Αλλά οι ενστάσεις προς ακριβή αναπαράσταση και αφελή ρεαλισμό που ξεσηκώθηκαν από τους Wittgenstein, Dewey, Heidigger και άλλους παραλήφθηκαν από έναν αριθμό σύγχρονων φιλοσόφων και κοινωνιολόγων της επιστήμης. Οι αιρετικές τους απόψεις έχουν συνδεθεί ενδόμυχα μα την αναγέννηση των κοινωνικών μελετών της επιστημονικής και μαθηματικής γνώσης κατά τη διάρκεια της περασμένης δεκαετίας.

Ο Michael Mulkay (1979: 44,60) δείχνει ότι η ιδέα, πως η επιστημονική γνώση βασίζεται σε άμεσες αναπαραστάσεις της φυσικής πραγματικότητας, υπόκειται σε αρκετές επικρίσεις, που περιλαμβάνουν α) ότι οι πραγματικές δηλώσεις εξαρτώνται από θεωρητικές υποθέσεις β) η παρατήρηση κατευθύνεται από γλωσσολογικές κατηγορίες και γ) η αποδοχή των ισχυρισμών της γνώσης εμπλέκει απροσδιόριστα και μεταβλητά κριτήρια. Σε αντίθεση με το κλασσικό πρόγραμμα του Mannheim, το ισχυρό πρόγραμμα του David Bloor (1976: 4-5,108,141-143) κάνει όλα τα συστήματα της γνώσης θέμα για κοινωνική έρευνα. Το ισχυρό πρόγραμμα είναι α) αιτιολογικό ( ποιές συνθήκες επιφέρουν σχετικά πιστεύω ή δηλώσεις της γνώσης ) β) ‘αμερόληπτο με σεβασμό στην αλήθεια και το ψέμα, στη λογική ή στον παραλογισμό, στην επιτυχία ή την αποτυχία’ γ) συμμετρικό: τα αληθινά και ψεύτικα πιστεύω εξηγούνται σαν ίδιοι τύποι αιτιών και δ) ανακλαστικό: τα επεξηγηματικά πρότυπα στο ισχυρό πρόγραμμα εφαρμόζονται στην ίδια την κοινωνιολογία. Το ισχυρό πρόγραμμα σχετίζεται με τις κατασκευαστικές και τις σχετικιστικές κοινωνιολογίες της γνώσης και της επιστήμης, δίνοντας έμφαση στη γνώση σαν ένα συνταγματικά κοινωνικό φαινόμενο. από αυτή την προοπτική, οι αναπαραστάσεις σύμφωνα με τον Barnes (1977: 9), είναι ‘ενεργά κατασκευασμένες συναρμολογήσεις συνθηκολογήσεων ή νοηματικών πηγών καλλιέργειας που πρέπει να κατανοηθούν και να εκτιμηθούν όπως οι ρόλοι τους στις διάφορες δραστηριότητες’. Οι αναπαραστάσεις είναι ‘ ανάλογες προς τις τεχνικές, καλλιτεχνικές συμβάσεις ή άλλες τυπικές μορφές πολιτισμού.

Οι σύγχρονοι κοινωνιολόγοι της γνώσης και της επιστήμης επιλύουν το κλασσικό πρόβλημα στην ανθρωπολογία της γνώσης σχετικά με την εξήγηση για την εκτροπή του παραδοσιακού στοιχείου από την επιστημονική γνώση, καθώς και το κλασσικό πρόβλημα στην επιστημολογία της επιστήμης της φύσης σχετικά με τον χωρισμό των ουσιωδών από αυτά που φαίνονται. Οι απόψεις τους γενικά συμφωνούν με το επιχείρημα του Reason (1979: 241-243) ότι η παραδοσιακή συναίσθηση δεν θα έπρεπε να θεωρηθεί ‘ ψεύτικη ’, ‘ λάθος αντιπροσωπευτική ’ ή ‘ διεστραμμένη ’ αλλά σαν ‘ πρακτικά επαρκής ’ και σε αυτή την έκταση σαν να ‘ αποτελεί συνεχώς επιβεβαιωμένη γνώση ’. Για να αποφύγουμε την παγίδα του σχετικισμού, θα επανατοποθετούσα τα περιεχόμενα του Reason, ως ακολούθως : στην έκταση που οποιαδήποτε μορφή συναίσθησης ή συστήματος γνώσης αποδεικνύεται ότι είναι μια βιώσιμη στρατηγική επίλυσης προβλημάτων, το κάνει αυτό σαν συνεχόμενα επιβεβαιωμένη γνώση. Μια ασυνάρτητη πρακτική προϋποθέτει τις αναπαραστάσεις σαν λειτουργίες της ίδιας της πρακτικής, στην πραγματικότητα, ενσωματωμένες με αυτή. Έτσι, οι μέθοδοι παραγωγής και οι μέθοδοι σημασιολογίας δεν μπορούν να θεωρηθούν ξεχωριστοί εξ’ορισμού. Αυτή είναι γενικά η θέση που θα προσφέρω σαν λογική, σε αυτό το κεφάλαιο. Θα το κάνω αυτό, εντούτοις, χωρίς να επιχειρηματο-λογήσω για κάποιο τύπο αφελούς ή ριζικού σχετικισμού και χωρίς εγκαταλείψω το σχέδιο διάκρισης των καλύτερα πιθανών επιστημονικών στρατηγικών. Το τελευταίο σχέδιο δεν πρέπει να συγχέεται με την οροθετική στρατηγική που συνηγορείται από κάποιους θαυμαστές της επιστήμης.

Η εικασία κοινωνικής κατασκευής δεν επαναπαύεται σε μια άρνηση του ότι υπάρχει μια ανεξάρτητη πραγματικότητα (Knorr,1979: 369· cf. Latour και Woolgar, 1979: 180). Είναι περισσότερο ένα ζήτημα του να εξάγουμε κάτι από το γεγονός ότι οι διεργασίες της αντίληψης, του να γνωρίζουμε και της αναπαράστασης είναι κοινωνικές, επιλεκτικές, εμποτισμένες με αποφάσεις στρα-τηγικές. Ως εκ τούτου, οποίοι και αν είναι οι εξαναγκασμοί που προσμετράμε στις διαπραγματεύσεις μας με τις δύστροπες, επαναλαμβανόμενες πραγματι-κότητες, δεν είναι ποτέ αιτιολογήσεις για να βεβαιωθούμε άμεσα, μια και καλή για όλες τις αντιστοιχίες ανάμεσα στους ισχυρισμούς γνώσης και στην Πρα-γματικότητα. Αυτό δεν σημαίνει ότι δεν γνωρίζουμε και ότι δεν μπορούμε να γνωρίζουμε τίποτα· σημαίνει μάλλον ότι αυτό που γνωρίζουμε είναι εξ’ολοκλήρου κοινωνικό.

Στο επόμενο κομμάτι, ανασκοπώ τις εξελίξεις στην κοινωνιολογία των μαθηματικών που έχουν να κάνουν με το πρόβλημα της αναπαράστασης. Υποδεικνύω πώς η ιδέα της αναπαράστασης χρησιμοποιείται σε μερικές περιπτώσεις όπου σαφώς αναμειγνύεται στη συζήτηση και συζητώ τη χρήση από άλλα μέλη της οικογένειας των αντιλήψεων που περιλαμβάνει μαζί με την αναπαράσταση, την ιδεολογία και την παγκόσμια άποψη.

ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ, ΙΔΕΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΑΠΟΨΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Οι Μαρξιστές έπαιξαν έναν διακεκριμένο ρόλο στην ανάπτυξη της κοινωνιολογίας των μαθηματικών. Μαζί με άλλους σπουδαστές των κοινωνικών ριζών των μαθηματικών, εντούτοις, έχουν συχνά υποθέσει ότι τα αρχαία και τα μεσαιωνικά μαθηματικά ήταν στάδια ή συνεισφορές στην ανάπτυξη των μαθη-ματικών όπως τα ξέρουμε σήμερα μέσα στη Δυτική πολιτιστική ηγεμονία. Ο Spengler (1926: 59) απορρίπτει αυτή τη σημασία. Επιχειρηματολογεί ότι οι Πολιτισμοί είναι δυσανάλογοι, και τα μαθηματικά του κάθε Πολιτισμού βιώνουν μια ειδική διαδοχή γέννησης - θανάτου. Οι αριθμοί, σύμφωνα με τον Spenger, δε στέκονται ή μιλάνε από μόνοι τους, αλλά ενσωματώνονται και εμπεριέχουν παγκόσμιες απόψεις. Υπάρχουν αρκετές μελέτες στην κοινωνιολογία και στην κοινωνική ιστορία των μαθηματικών που παρέχουν κάποια υποστήριξη για το πώς η αντίληψη της μαθηματικής αλήθειας αλλάζει στην Ευρωπα? κή μαθηματική κοινότητα του 19ου αιώνα. Ο Richards (1980) δείχνει ότι η αντίληψη της αλήθειας ήταν πάντα ένα ακέραιο τμήμα των παγκόσμιων απόψεων των μαθηματικών. Στην πορεία της ανάπτυξης της άλγεβρας, το 19ο αιώνα, η αντίληψη της μαθηματικής αλήθειας άλλαξε από ‘αντικειμενική’ (βασιζόμενη σε μία σχέση με την πραγματικότητα) σε ‘αφηρημένη’ (βασιζόμενη σε τυπικά κριτήρια πληρότητας και συνέχειας ). Αυτή η αλλαγή αντανακλούσε αλλαγές στην κοινωνική δομή της μαθηματικής κοινότητας΄ και της ευρύτερης κοινωνίας (συμπεριλαμβάνοντας, για παράδειγμα, την εξειδίκευση μέσα στα μαθηματικά και την κοσμικοποίησή τους στην ευρύτερη κοινωνία ).

Σε αυτή του τη μελέτη της ‘μεταφυσικής στροφής’ που έδωσε τα πρωτεία στα μαθηματικά τον 17ο αιώνα στη Δυτική Ευρώπη, ο David Dickson (1979) επιχειρηματολογεί ότι οι αναγκαίες αναγωγές για να γίνουν τα αντικείμενα υπόλογα σε μαθηματικοποίηση συνέπεσαν με τις ιδεολογικές απαιτήσεις της καπιταλιστικής κοινωνίας. Αυτές οι απαιτήσεις αντανακλάστηκαν στα μαθηματικά που πήραν ώθηση από τις καπιταλιστικές εξελίξεις. Η ιδεολογία του καπιταλισμού και η μαθηματική αναπαράσταση του υλικού κόσμου, υποστηρίζει ο Dictson, αμοιβαία ενισχύονται. Σύμφωνα με τον Dictson, η διευθύνουσα τάξη είναι υποχρεωμένη να αναπτύσσει και να αναπαράγει μαθηματικές, μετρήσιμες μορφές αναπαράστασης με σκοπό να ελέγχει τη διαδικασία εργασίας. Τα πράγματα πρέπει να ανάγονται σε ‘αφηρημένα εμπορεύματα’ και οι άνθρωποι σε ‘αφηρημένη εργατική δύναμη’ έτσι ώστε να μπορούν να εκμεταλλευτούν για επιπρόσθετη αξία ή κέρδος. Η αντίληψη του Marx για το φετιχισμό περιγράφει τον τρόπο που ο υλικός κόσμος αντιπροσωπεύεται στην καπιταλιστική κοινωνία.

Η ειδική θέση του Dickson είναι ότι υπάρχει μια τυπική αντιστοιχία ανάμεσα στους υπολογισμούς και τις μορφές αντιπροσώπευσης που σχετίζονται με την εργασιακή διαδικασία στον καπιταλισμό. Ο υπολογισμός παρέχει ‘έναν τρόπο αντιπροσώπευσης των ρυθμών αλλαγής σαν ακριβείς μαθηματικές οντότητες’. Έτσι μια διεργασία μπορεί να αναχθεί σε ‘καθαρά μαθηματικούς όρους’ και να ‘χειριστεί μαθηματικά ’(Dickson, 1979: 23) :

Προηγουμένως, η άλγεβρα και η γεωμετρία μπορούσαν να παρέχουν, στην καλύτερη περίπτωση, αφηρημένες αναπαραστάσεις μιας διεργασίας του πραγματικού κόσμου, ουσιαστικά εκφράζοντας τη σχέση ανάμεσα σε διάφορες συνιστώσες..

Ο υπολογισμός επιτρέπει στην επεξεργασία και το προϊόν να ανταλλαγούν. Αυτό σημαίνει ότι είναι μαθηματικά για την ανταλλαγή ‘φυσικών αρχών’ και ‘ποσοτικά μετρήσιμων αποτελεσμάτων’. Αυτό είναι άμεσα ανάλογο, ισχυρίζεται ο Dickson, με την ανταλλαγή ανάμεσα στη διαδικασία εργασίας και την παραγωγή που πρέπει να επιτευχθεί στον καπιταλισμό. Τα μαθηματικά, και γενικά η άποψη του επιστημονικού κόσμου δεν είναι απλά ‘ιδεολογικές αναπαραστάσεις’ αστικών ενδιαφερόντων. Ούτε τα μαθηματικά είναι απλά ένα εργαλείο για να νομιμοποιηθούν αυτά τα ενδιαφέροντα. Είναι ένα ‘συστατικό στοιχείο’ του αστικού κόσμου. από την οικονομική πλευρά, ο καπιταλισμός απαιτεί συστηματική οργάνωση της παραγωγής. Αυτό με τη σειρά του απαιτεί ομογενή συστατικά τμήματα, δηλαδή, τμήματα που να μπορούν εύκολα να ταιριάζουν μαζί. Η ομογένεια επιτυγχάνεται ανάγοντας όλα τα συστατικά στην οικονομική τους αξία. από την πλευρά των φυσικών επιστημών, τα μαθηματικά δημιουργούν ομογένεια. Έχει να κάνει με τις σχέσεις ανάμεσα σε πράγματα που μπορούν να αποδειχθούν μεταφράζοντας αυτές τις μονάδες σε μία ή άλλη αφηρημένη μαθηματική γλώσσα.

Η τυπική αντιστοιχία που ο Dickson παραδέχεται ανάμεσα στον υπολογισμό και στον καπιταλισμό, επιτακτικά χρειάζεται να διατυπωθεί πιο καθαρά. Και η μελέτη των μαθηματικών και του καπιταλισμού χρειάζεται να διευρυνθεί με σκοπό να εγκαθιδρύσει μια πιο γενική σχέση ανάμεσα στα μαθηματικά και τα οικονομικά. Όποιοι και αν είναι οι περιορισμοί της ανάλυσης του Dickson, είναι σε κάθε περίπτωση ξεκάθαρο από τη δική του και άλλες μελέτες (π.χ.,Restivo,1983: pt.II) ότι ο υπολογισμός και ο καπιταλισμός αναπτύχθηκαν σαν αμοιβαία αναζωογονητικά συστήματα.

Ο Dickson χρησιμοποιεί την αναπαράσταση με έναν τρόπο περισσότερης ή λιγότερης κοινής λογικής, όπως αντιτίθεται στον τεχνικό τρόπο. Το να αναπαραστήσουμε κάτι είναι να επιλέξουμε ένα γλωσσικό ή συμβολικό σύστημα που θα το στηρίξει. Σ΄αυτήν την περίπτωση, τα πράγματα που θα αναπαρασταθούν είναι ο υλικός κόσμος και η εργασιακή διαδικασία. Η γλώσσα που επιλέχθηκε είναι μια μαθηματική. Για να κάνουμε αυτή την ιδιαίτερη αναπαράσταση να δουλέψει, και ο υλικός κόσμος και η εργασιακή διαδικασία πρέπει επιλεκτικά να αναχθούν σε ποσοτικά μετρήσιμες μορφές. Ξεκάθαρα ο Dickson δεν συλλαμβάνει την αναπαράσταση σαν να μας δίνει άμεση επαφή με τον ‘αληθινό κόσμο’. Μάλλον επιχειρηματολογεί ότι οι αναπαραστάσεις είναι συνταγματικά κοινωνικές. Αυτή η ιδέα αναπτύχθηκε πληρέστερα στη μελέτη στατιστικής του Donald MacKenzie.

Ο MacKenzie (1981 και βλέπε Restivo,1982a) θέτει τον ακόλουθο τύπο ερώτησης : Τι παριστάνει ένας δεδομένος τύπος στατιστικής ( για παράδειγμα το Q του Yule ). Η έννοια της αναπαράστασης σ΄αυτή την περίπτωση, όπως στην ανάλυση του Dickson, χρησιμοποιείται με μια καθημερινή σημασία· δεν φέρεται στην ανάλυση σαν μια υψηλά επεξεργασμένη θεωρητική αντίληψη. Το πρόβλημα της αναπαράστασης για τον MacKenzie είναι: αναπαριστά ένας δεδομένος συντελεστής συσχετισμού κάτι στον αντικειμενικό πραγματικό κόσμο ή κάτι πιο κοντινό στα ανθρώπινα ενδιαφέροντα και δραστηριότητες· είναι μια ανακάλυψη ή μια επινόηση· είναι

ένα κομμάτι ‘καθαρών δεδομένων’, το αποτέλεσμα απλών περισσότερο ή λιγότερο άμεσων μετρήσεων ή ένα κομμάτι καθαρά μαθηματικής μελέτης των μοντέλων των αριθμών, ή

είναι κάτι πιο ψυχολογικό και / ή κοινωνιολογικό;

Η ανάπτυξη της στατιστικής στην Βρετανία από το 1865 ως το 1930 συνδέθηκε εξ’ολοκλήρου με την καλλιτεχνική κίνηση· και η καλλιγένεια ήταν μια εκδήλωση των κοινωνικών ενδιαφερόντων μιας ανερχόμενης επαγγελματικής μεσαίας τάξης στην καπιταλιστική Βρετανική κοινωνία στα τέλη του 19ου αιώνα. Οι συντελεστές συσχετισμού του Peason αντανακλούν την άποψή του για τη συσχέτιση σαν μια μέτρηση της δύναμης της κληρονομικότητας και σαν ένα εργαλείο για επαναστατική και καλλιγενική πρόβλεψη. Νωρίτερα, ο Galton είχε αναπτύξει την παλινδρόμηση και τον συσχετισμό σε σχέση με το δικό του καλλιγενικό πρόγραμμα. Η άποψη του MacKenzie είναι ότι η στατιστική είναι εργαλείο· και ενώ η κατασκευή ενός εργαλείου θα αντανακλά τους στόχους για τους οποίους σχεδιάστηκε, το εργαλείο δεν περιορίζεται πάντα σε αυτούς τους σκοπούς. Έτσι η στατιστική μας και η στατιστική του Pearson πρέπει να αξιολογηθούν με δικές τους εκφράσεις κατασκευής, ανάπτυξης και χρήσης. Γενικότερα ο MacKenzie θεωρεί την επιστήμη σαν μια δραστηριότητα επινόησης, προσανατολισμένη προς το γενικό στόχο βελτίωσης της ανθρώπινης ικανότητας για πρόβλεψη και έλεγχο. Η επιδίωξη των ιδιαίτερων στόχων παραμένει από κοινωνικά ενδιαφέροντα που εντοπίζονται μέσα στην επιστήμη ή την ευρύτερη κοινωνία.

Η συζήτηση του MacKenzie για τη σχέση ανάμεσα στη στατιστική και τη θρησκεία είναι ιδιαίτερα μηχανορραφική. Δείχνει ότι η μικροπολιτική της αντιλογίας του βιολόγου-Mendel είναι παράλληλη με την ύφεση της θρησκείας. Αυξανόμενα, οι διανοούμενοι υπεραμύνθηκαν των κοινωνικών και πολιτικών τους απόψεων πάνω στην εξουσία της Φύσης μάλλον παρά του Θεού. Οι αντίθετες φατρίες που οδηγήθηκαν από τους Pearson και Bateson κατασκεύασαν διαφορετικές βιολογίες, και τις χρησιμοποίησαν για να υπερασπιστούν διαφορετικές κοινωνικές ρυθμίσεις. Θεωρώ αυτό περισσότερο σαν ένα ζήτημα ερμηνείας σε θρησκευτικό χώρο παρά ένα ζήτημα ύφεσης της θρησκείας. Ο ίδιος ο MacKenzie προτείνει μια ερμηνεία σημειώνοντας ότι η καλλιγενική ήταν μια τοποτηρητική θρησκεία για τον Galton και τον Pearson.

Τόσο νωρίς όσο το 1738 ο DeMoivre επιδίωξε να απελευθερώσει την πιθανότητα από τον συσχετισμό της με τον τζόγο και να εγκαθιδρύσει την θεολογική της συγγένεια με ένα δόγμα ‘θείας τάξης’ που εξέθεσε στο ‘η κανο-νικότητα των στατιστικών λόγων’. Ο MacKenzie συζητάει τον ‘κοινωνικό Νευτωνισμό’ και το πλαίσιο εργασίας που παρείχε αρκετά από την ανάπτυξη της θεωρίας της πιθανοτήτων στην Αγγλία του 18ου αιώνα. Ο Βαγεσιανισμός, για παράδειγμα, έχει τις αρχές του στην αναζήτηση από τον Ιερέα Thomas Bayes ‘ να επιβεβαιώσει το επιχείρημα που πήρε από τις τελικές αιτίες για την ύπαρξη της θεότητας ’.

Γενικά, ο MacKenzie συλλαμβάνει το πρόβλημα της αναπαράστασης στα μαθηματικά σα να ανατέλλει στη διαμάχη ανάμεσα στον Πλατωνισμό και την κοινωνική δημιουργικότητα. Σύμφωνα με τον Πλατωνισμό ‘η δουλειά των μαθηματικών είναι να περιγράψουν έναν μη-φυσικό αλλά όμως πραγματικό κόσμο μαθηματικών αντικειμένων’. Ο G.H.Hardy (1967: 123-124,130) υπερα-σπίστηκε μια μορφή Πλατωνισμού στο έργο του Απολογία των Μαθηματικών:

Πιστεύω ότι η μαθηματική πραγματικότητα βρίσκεται έξω από εμάς, ότι η λειτουργία μας είναι να την ανακαλύψουμε ή να την παρατηρήσουμε, και ότι τα θεωρήματα που αποδεικνύουμε και τα οποία περιγράφουμε μεγαλοστόμως σαν δημιουργήματά μας, είναι απλώς οι σημειώσεις μας από την παρατήρησή μας.

Το 317 είναι μια αρχή, όχι επειδή έτσι πιστεύουμε ή επειδή τα μυαλά μας είναι διαμορφωμένα κατά έναν τρόπο παρά κατά έναν άλλο, αλλά επειδή είναι έτσι, διότι η μαθηματική πραγματικότητα είναι κατασκευασμένη κατά αυτόν τον τρόπο.

Η κοινωνική κατασκευή, αντίθετα, είναι η θέση ότι τα μαθηματικά επινοήθηκαν ( ή καλύτερα ίσως κατασκευάστηκαν ) μάλλον παρά ανακαλύφθηκαν με κάποιον απλό, ευθύ τρόπο. Ο MacKenzie (1981: 216) επιχειρηματολογεί ότι:

... θα έπρεπε να δούμε τη στατιστική θεωρία σαν το αποτέλεσμα απλώς μιας δημιουργικής δραστηριότητας των επιστημόνων της στατιστικής και της κοινής τους αξιολόγησης για την εγκυρότητα των αποτελεσμάτων αυτής της δραστηριότητας.

Η επιστημονική γνώση, τότε, είναι ένα κοινωνικό κατασκεύασμα με την έννοια ότι 1) παράγεται από ‘αλληλεπιδρούσες ομάδες επιστημόνων’ και 2) τα κοινωνικά ενδιαφέροντα την επηρεάζουν στο οργανωτικό επίπεδο καθώς και στο ‘πιο βασικό επίπεδο της ανάπτυξης και εκτίμησης των θεωριών και τεχνικών’. Η επιστημονική γνώση είναι ‘κατασκευαστικά κοινωνική’ επειδή η επιστήμη είναι προσανατολισμένη προς κάποιο στόχο και επειδή οι στόχοι της επιστήμης ‘κοινωνικά βαστάζονται’. Η μαθηματική γνώση, τότε, όπως όλες οι μορφές γνώσης αντιπροσωπεύει τις υλικές εμπειρίες των ανθρώπων που αλληλεπιδρούν σε ιδιαίτερα περιβάλλοντα, πολιτισμούς και ιστορικές περιόδους μάλλον, παρά καθαρές, αιώνιες αλήθειες που κατοικούν σε ένα Πλατωνικό παλμό ιδεών ‘ που περιμένουν εκεί έξω ’ σε γυμνό μεγαλείο να ανακαλυφθούν.

Ο Alfred Sohn-Rethel (1978: και βλέπε Restivo, 1983: 201-207 ) επιχειρηματολόγησε επίσης ότι τα μαθηματικά είναι μια κοινωνική κατασκευή. Προτείνει ότι ‘ οι κοινωνικά απαραίτητες μορφές της σκέψης μιας εποχής είναι αυτές που συμμορφώνονται με τις κοινωνικά συνθετικές λειτουργίες αυτής της εποχής (π.χ. οι λειτουργίες που δημιουργούν το βαθμό της κοινωνικής συνοχής που είναι απαραίτητη για την επιβίωση και την κοινωνική ανάπτυξη ). Σύμφωνα με τον Sohn-Rethel, ‘ η συλλαμβανόμενη βάση της αντίληψης είναι λογικά και ιστορικά διαμορφωμένη από τη βασική διαμόρφωση της κοινωνικής σύνθεσης της εποχής της ’. Για τον Sohn-Rethel τα μαθηματικά είναι ‘ η λογική της κοινωνικοποιημένης σκέψης ’.

Ο David Bloor (1976) εντυπώνει το ισχυρό του πρόγραμμα στην κοινωνιολογία της γνώσης πάνω σε μια διπλή άποψη για τα μαθηματικά: 1) τον ψυχολογισμό : τα μαθηματικά είναι ένα σώμα ικανοτήτων, πεποιθήσεων και διαδικασιών σκέψης μέσα στο οποίο τα άτομα πρέπει να μυηθούν και 2) την έννοια του J.S.Mill ότι φέρνουμε στην εκμάθηση των μαθηματικών μια αποθήκη εμπειριών σχετικά με τις ιδιότητες και τη συμπεριφορά των υλικών αντικειμένων. Ο Bloor διαμορφώνει αυτές τις προτάσεις για να απεικονίσει τον αγώνα του ότι τα μαθηματικά είναι ξανά και ξανά ένα κοινωνικό φαινόμενο.

Ο Bloor εξετάζει πρώτος το θεώρημα των στοιχειωδών μαθηματικών x(x+2)+1=(x+1)2.

Δείχνει ότι αυτή η εξίσωση μπορεί να παραχθεί από μια σειρά φυσικών λειτουργιών με πετραδάκια. Εδώ ενδιαφέρεται να εγκαθιδρύσει τον απολογισμό του Mill για τα μαθηματικά σαν ‘ μια ομάδα πεποιθήσεων που είναι σχετικά με τον φυσικό κόσμο ’(Bloor,1976: 82):

Τα δυο κεντρικά στοιχεία σ΄αυτόν τον απολογισμό είναι έτσι: (1) οι πεποιθήσεις και οι διαδικασίες σκέψης που γίνονται αντιληπτές σαν πνευματικά γεγονότα, και (2) οι φυσικές καταστάσεις για τις οποίες είναι οι πεποιθήσεις.

Αυτό δεν είναι τόσο πολύ ένα ρεαλιστικό επιχείρημα όσο μια προσπάθεια να δείξει ότι μια καθαρή μαθηματική μορφή, αντανακλά εμπειρίες στο φυσικό κόσμο. Η παραδοχή είναι ότι είναι μέσα από την αλληλεπίδραση που ορισμένες εμπειρίες γενικεύονται και που αφηρημένες έννοιες κατασκευάζονται. Η κοινωνιολογία σ’αυτόν τον απολογισμό μιας ‘εξαναγκαστικής αλήθειας’ υπο-νοείται.

Ο Bloor στη συνέχεια μας παίρνει σε μια κριτική περιοδεία της έννοιας του Frege για την αντικειμενικότητα του αριθμού. Με το ‘αντικειμενικό’ ο Frege εννοεί ‘αυτό που είναι ανεξάρτητο από τις αισθήσεις μας και από τις πνευματικές εικόνες που χτίζονται από αυτές, αλλά όχι αυτό που είναι αναξάρτητο από τη λογική μας ’. Αυτό ανασύρει την ερώτηση : ‘ Τι είναι ούτε διανοητικό ούτε φυσικό: αληθινό αλλά όχι πραγματικό· και επεξηγημένο από μια έννοια όπως ο ισημερινός ; ’. Τα παραδείγματα που ο Frege χρησιμοποιεί αποδεικνύονται ότι είναι θεωρητικά. Αλλά ο Bloor ισχυρίζεται ότι η θεωρητική συνιστώσα της γνώσης είναι ακριβώς η κοινωνική συνιστώσα. ‘Ιδρυματική πεποίθηση’ ικανοποιεί τον ορισμό του Frege για την αντικειμενικότητα. Ο Mill επικεντρώνεται στις φυσικές πλευρές των καταστάσεων, αλλά αποτυγχάνει να αρπάξει αυτό που είναι χαρακτηριστικά μαθηματικό σχετικά με αυτές. Όταν αναγνωρίζουμε ένα μοντέλο σαν ‘χαρακτηριστικό’, αναγνωρίζουμε την τυπικότητά του, την συμβατικότητά του.

Το να βιώνουμε ‘ένα πράγμα’ δεν είναι το ίδιο σαν να προσμετράμε τον αριθμό ένα. Ο αριθμός ένα δεν είναι ένα τυχαίο πράγμα· είναι κάτι που έχει έναν ιδιαίτερο σκοπό, κάτι που αντιμετωπίζεται με έναν ειδικό τρόπο- τυπικά οι τελετουργικοί σκοποί της καταμέτρησης διακυβεύονται. Αντιστοιχεί όχι σε ένα πράγμα αλλά σε οτιδήποτε θεωρείται σαν ένα στοιχείο σε ένα χαρακτηριστικό μοντέλο. Ο αριθμός είναι ο ρόλος και αυτό δεν πρέπει να συγχέεται με οποιοδήποτε αντικείμενο που αδιάφορε κατέχει αυτό το ρόλο. Η εμπειρία που σχετίζεται με τον αριθμό είναι η εμπειρία των αντικειμένων που τους έχουν χορηγηθεί ρόλοι σε χαρακτηριστικά μοντέλα και καταμερισμούς των αντικειμένων.

Ας θεωρήσουμε στη συνέχεια τη συζήτηση του Bloor για τα εναλλακτικά μαθηματικά. Αρχίζει σημειώνοντας τα σημάδια που θα μας πληροφορούσαν ότι είχαμε προσμετρήσει μια ‘εναλλακτική’. Πρώτα, τα εναλλακτικά μαθηματικά θα φαινόντουσαν σαν λάθος ή ανεπάρκεια. Δεύτερον, θα ήταν κάτι στο οποίο η αμφισβήτηση ήταν ενδημική· για εμάς η συμφωνία είναι η ουσία των μαθηματικών. Φυσικά οι εναλλακτικές προτάσεις ‘πρέπει να αναζητούνται μέσα στους φυσικούς εξαναγκασμούς που επιβάλλονται από ψυχολογικά και περιβαλλοντικά αντικείμενα’.

Όλα τα παρατηρούμενα πρότυπα ομοιομορφίας και διακυμάνσεων στις πεποιθήσεις πρέπει να εξηγηθούν από ‘φυσικές αιτίες’ στο ισχυρό πρόγραμμα. Ο Bloor θεωρεί πέντε τύπους διακύμανσης στη μαθηματική σκέψη και τις κοινωνικές τους ρίζες: 1) στυλ ευρείας αντίληψης· 2) εργασιακό πλαίσιο συσχετισμών, σχέσεων, χρήσεων, αναλογιών και μεταφυσικών επιπλοκών· 3) νοήματα που συνδέονται με υπολογισμούς και συμβολικούς χειρισμούς· 4) αυστηρότητα και τύπος της αιτιολόγησης που διατηρείται για να αποδείξει ένα συμπέρασμα· 5) περιεχόμενο και χρήση αυτών των βασικών λειτουργιών της σκέψης που συνεχίζουν να είναι αυταπόδεικτες λογικές αλήθειες.

Η πρώτη διακύμανση (1) απεικονίζεται θεωρώντας ερωτήσεις όπως: Είναι το ένα αριθμός ; και τι είναι άλγεβρα; Στα πρώτα ελληνικά μαθηματικά, το ένα δεν είναι αριθμός · το ένα είναι άρτιος- περιττός · και το δύο δεν είναι άρτιο νούμερο. Ο δεύτερος τύπος διακύμανσης (2) απεικονίζεται από τον Πυθαγόρειο και Πλατωνικό αριθμό. Ο Σωκράτης έγραψε: ‘Δεν πρέπει πρώτα να ειπωθεί ότι η αριθμητική του πλήθους είναι ένα πράγμα και αυτή των εραστών της σοφίας είναι ένα άλλο;’ Το είδος είναι μια αριθμητική ιδιότητα · αυτό σημαίνει ότι σκεφτόμαστε τους αριθμούς κατ’ αυτή την έννοια ως είδη, μορφή και εμφάνιση. Το εννέα είναι ένας τετραγωνικός αριθμός, το έξι είναι ένας τριγωνικός αριθμός, το οχτώ είναι ένας ορθογώνιος αριθμός. Η μεταφυσική της ρίζας του 2 απεικονίζει την (3). Θεωρείστε την απόδειξη ότι κανένα κλάσμα p/q δεν θα μπορούσε ποτέ να είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του δύο. Αποδεικνύει η απόδειξη ότι η τετραγωνική ρίζα του 2 δεν είναι αριθμός (Αριστοτέλης), και ότι είναι ένας παράλογος αριθμός (μοντέρνα μαθηματικά); Αυτό που αποδεικνύει εξαρτάται από τις προηγούμενες παραδοχές σχετικά με τον αριθμό στις οποίες οι υπολογισμοί λαμβάνουν χώρα. Η διακύμανση (4) απεικονίζεται από τους απειροστούς μια άλλη περίπτωση όπου οι μαθηματικές διαδικασίες παίρνουν διαφορετικά νοήματα σε διαφορετικούς χρόνους. Αυτό το παράδειγμα απεικονίζει επίσης ‘την πτώση και ροή των αυστηρών δεδομένων στα μαθηματικά’. Και το (5) απεικονίζεται σε τέτοιες περιοχές όπως (α) τα παράδοξα του απείρου (β) τη λογική Azande και τη Δυτική επιστήμη και (γ) το θεώρημα του Euler (Bloor, 1976: 111-114).

Στο ‘Πολύεδρα και Βδελυγμίες του Leviticus’, ο Bloor τραβάει την προσοχή σε ένα κοινό θέμα στο ‘Αποδείξεις και Απορρίψεις’ του Lakatos και στο ‘Φυσικά Σύμβολα’ της Mary Douglas. Το βιβλίο του Lakatos είναι μια περιγραφή της ιστορίας μιας μαθηματικής διαφωνίας και μιας φιλοσοφίας των μαθηματικών. Η δουλειά της Douglas σκιαγραφεί μια ανθρωπολογική θεωρία της μόλυνσης, των τυπικών, διαιτητικών περιορισμών και των θρησκευτικών κοσμολογιών. Και τα δυο βιβλία, ισχυρίζεται ο Bloor, ‘ασχολούνται με τον τρόπο που οι άνθρωποι ανταποκρίνονται σε πράγματα που δεν ταιριάζουν μέσα στα κιβώτια και τα σύνορα των αποδεκτών τρόπων σκέψης’· είναι σχετικά με ανωμαλίες που δεν ταιριάζουν στα κοινώς αποδεκτά σχήματα ταξινόμησης. Αντίστροφα παραδείγματα σε μια απόδειξη, ζώα που δεν βρίσκονται στο τοπικό σύστημα κατάταξης, ή παρεκκλίσεις που βιάζουν τους σύγχρονους κανόνες, όλα δημιουργούν την ίδια σειρά αντιδράσεων.

Οι αποφάσεις ταξινόμησης γίνονται με αναφορά στους κοινωνικούς, φυσικούς και συμβολικούς κόσμους. Η αντιστοιχία ανάμεσα σε ένα σύστημα ταξινόμησης και ένα δεδομένο περιβάλλον αναφέρεται σε κάθε βιώσιμη σχέση που μπορεί να καθιερωθεί ανάμεσά τους (Bloor,1979). Η σταθερότητα ενός συστήματος γνώσης ή εργασιακού δικτύου σαν σύνολο και μέσα στα τμήματά του ποικίλει · το συνολικό δίκτυο και τα τμήματα του δικτύου δουλειάς υπόκεινται σε μεταβαλλόμενους τύπους και επίπεδα διαπραγμάτευσης. Αυτό είναι κάτι που ο Bloor τείνει να παραμελήσει - προτείνει ότι κάθε τμήμα του δικτύου υπόκειται στον ίδιο τύπο και επίπεδο διαπραγμάτευσης. Επίσης αγνοεί τους αγώνες ισχύος και πιο πολεμικές μορφές σύγκρουσης σαν μέσα για να φτάσουμε σε αποφάσεις ταξινόμησης.

Ο πρωταρχικός μου στόχος σε αυτόν τον τομέα ήταν να εγκαθιδρύσω μια λογική για την εικασία ότι οι αναπαραστάσεις είναι κοινωνικές κατασκευές. Οι μελέτες που ανασκόπησα παρέχουν μια εμπειρική βάση για την εικασία κοινωνικής κατασκευής. Στα επόμενα κεφάλαια θα εξερευνήσω την κοινωνική κατασκευή των μαθηματικών αναπαραστάσεων.


Η ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ: ΚΑΠΟΙΕΣ ΕΞΕΡΕΥΝΗΤΙΚΕΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Το τμήμα I αυτού του κεφαλαίου παρέχει μια λογική για την ακόλουθη εικασία: οι αναπαραστάσεις είναι εργαλεία, υλικά ή σε γενικές πηγές ότι κοινωνικά χρησιμοποιούνται, και στο δίκτυο εργασίας της σημασίας ( ή της παγκόσμιας άποψης ) στην οποία ενσωματώνονται. Κάθε δεδομένη μαθηματική δήλωση, γεγονός, ή πρόταση αντιπροσωπεύει την κοινωνική οργάνωση, την κοινωνική δραστηριότητα, και τα κοινωνικά ενδιαφέροντα και στόχους μιας μαθηματικής συλλογικής σκέψης (Fleck, 1979 ) ή μιας ομόφωνης κοινότητας. Μια πιο λογική εκδοχή αυτής της εικασίας είναι ότι κάθε δεδομένη αναπαράσταση εμπεριέχει την κοινωνική διαδικασία της κατασκευής της. Μια αναπαράσταση δεν είναι μια εικόνα, ομοιότητα, ή αναπαραγωγή κάποιου ‘πράγματος’ ή κάποιου ‘γεγονότος’ σχετικά με τον πραγματικό κόσμο με την έννοια που προτείνεται από αφελείς ρεαλιστές. Ο Fleck (1979: 100) προσφέρει μια εκδοχή αυτής της εικασίας που αποφεύγει τον σχετικισμό και τον οντολογικό μηδενισμό. Επιχειρηματολογεί ότι οι αλήθειες δεν είναι ούτε ‘υποκειμενικές’ ούτε ‘σχετικές’ ούτε απλώς ζητήματα ‘συμβάσεων’. Είναι λύσεις σε προβλήματα, ‘σχεδιασμένα μέσω εξαναγκασμού’. Οι εξαναγκασμοί εντοπίζονται στο τοπικό και ιστορικό περιεχόμενο στο οποίο οι λύσεις εμφανίζονται.

Είναι ενδιαφέρον να σημειώσουμε ότι σε ένα από τα νοήματά της, η αναπαράσταση αναφέρεται στην πράξη του να θέσουμε ένα γεγονός, μια δήλωση, ή πρόταση πριν ένα πρόσωπο ή μια ομάδα με το μέσο της συζήτησης ή αλλιώς με σκοπό να μια αλλαγή, να αποτρέψει κάποια πράξη ή να επηρεάσει την πορεία των γεγονότων. Κατ΄αυτή την έννοια τότε, μια αναπαράσταση είναι μια παράσταση, διαμαρτυρία ή κάτι τέτοιο. Αυτό ενισχύει την αντίληψη του Bloor για διαπραγμάτευση στα μαθηματικά και πιο πολεμικά μοντέλα σύγκρουσης στην κοινωνιολογία της επιστήμης (π.χ., Collins και Restivo, 1983). από αυτή την προοπτική, οι αναπαραστάσεις είναι σχεδιασμένες για να χρησιμοποιηθούν μέσα σε αγωνιστικές αρένες συζήτησης ή επικοινωνίας με σκοπό την ανάπτυξη, την επέκταση ή την προστασία των συλλογικών σκέψεων.

Θέλω να θεωρήσω ένα φαινομενικά απλό γεγονός, 2+2=4 (μερικές φορές 2x2=4) υπό το φως της εικασίας ότι οι αναπαραστάσεις είναι κοινωνικές κατασκευές. Η λογική για να θεωρήσουμε αυτό το στοιχειώδες και φαινομενικά ασήμαντο αριθμητικό γεγονός σαν ένα κομμάτι της μαθηματικής γνώσης, είναι τρίπτυχη : 1) δεν υπάρχει ξεκάθαρη ομοφωνία σχετικά με το τι μετράει σαν ‘μαθηματική γνώση’· 2) αυτό το άκακο γεγονός ( και κάποιες παραπλήσιες σχέσεις όπως 1+1=2) εμφανίζονται επιφανώς στις συζητήσεις και τις διαφωνίες για τη φύση των μαθηματικών, μέσα και έξω από τη μαθηματική κοινότητα · και 3) αναφέρεται μερικές φορές σαν μαθηματικό θεώρημα. Σε κάθε περίπτωση η ακόλουθη συζήτηση μπορεί τουλάχιστον να θεωρηθεί σαν μια άσκηση στην κοινωνιολογία της χρήσης αριθμητικών γεγονότων.

Η ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑ ΤΟΥ 2+2/2x2

Ο Martin Gardner (1981), ένας αυτοαποκαλούμενος μαθηματικός ρεαλιστής, προκάλεσε τις προσπάθειες των μαθηματικών όπως οι Davis και Hersh (1981) και ο Morris Kline (1980) να υπονομεύσουν την βεβαιότητα των μαθηματικών και τους κατηγόρησε ότι προάγουν τον σχετικισμό. Σε προϊστορικούς χρόνους ο Gardner υποστηρίζει ότι το ‘2+2=4’ ήταν ‘ακριβώς τυποποιημένο’ όποτε δύο δεινόσαυροι συναντούσαν δύο δεινόσαυρους πέρα από το γεγονός ότι δεν υπήρχαν άνθρωποι να παρατηρήσουν το γεγονός και από ότι οι δεινόσαυροι ήταν ανίκανοι να κατανοήσουν τη συνάθροισή τους μαθηματικά. Ένας άλλος κριτικός του σχετικισμού, ο κοινωνικός επιστήμονας και φιλόσοφος I.C.Jarvie (1975) γράφει ότι τίποτα που θα θέλαμε να ονομάσουμε μαθηματικά ή ηθική μπορεί να ‘εντοπιστεί’ : δεν μπορεί να υπάρχει μια απάντηση σχετική με τον πολιτισμό στο 2x2, όπως δεν μπορεί να υπάρχει μια απάντηση σχετική με τον πολιτισμό στην ερώτηση του αν τα παιδιά θα έπρεπε να βασανίζονται. Θα αποδειχθεί ενδιαφέρον να ανακαλέσουμε αυτή την αντιπαράθεση μαθηματικής και ηθικής βεβαιότητας αργότερα σε αυτή τη συζήτηση.

Ο Richard von Mises (1956) πρόσεξε ότι όποτε κάποιος θέλει να δώσει ένα παράδειγμα μιας απόλυτα βέβαιης και αναμφίβολης αλήθειας, αυτός ή αυτή είναι πιθανόν να αναφέρεται στο Πυθαγόρειο θεώρημα ή ‘2x2=4’. Μόλις παράθεσα δύο επιβεβαιωτικές περιπτώσεις. Εδώ είναι τρία επιπρόσθετα παραδείγματα - οι συγγραφείς είναι, αντίστοιχα, ένας μυθιστοριογράφος, ένας κοινωνιολόγος και ένας μαθηματικός :

Είναι μια γυναίκα μια σκεπτόμενη μονάδα, ή ένα κλάσμα που περιμένει πάντα το ακεραιό του μέρος ; Πώς επιχειρηματολογήσατε ότι ο γάμος ήταν μόνο ένα άχαρο συμβόλαιο - που είναι - πως δείξατε όλες τις αντιρρήσεις για αυτό - όλους τους παραλογισμούς ! Αν δύο και δύο κάνουν τέσσερα όταν είμαστε ευτυχισμένοι μαζί, σίγουρα μας κάνουν τέσσερα τώρα ; Δεν μπορώ να το καταλάβω, επαναλαμβάνω (Jude, στο Hardy, 1969: 30).

Ακόμα και ένας θεός δεν θα μπορούσε να τυποποιήσει μια πρόταση σε ιστορικά θέματα όπως 2x2=4, επειδή ότι είναι κατανοητό στην ιστορία μπορεί να διατυπωθεί μόνο με αναφορά σε προβλήματα και κατασκευές της αντίληψης οι οποίες αναφαίνονται στη ροή της ιστορικής εμπειρίας (Mannheim, 1936: 79).

Η πεποίθησή μας για την αιώνια εγκυρότητα του Πυθαγόρειου θεωρήματος, για το γεγονός ότι 2x2=4, δε βασίζεται σε κάποια εξ΄ορισμού αντίληψη, ούτε μπορεί να ταρακουνηθεί από κάποιον έξυπνο μαθηματικό ο οποίος σε ένα μεγάλο βιβλίο με τύπους καταλήγει στο ότι αυτά τα θεωρήματα είναι απλές συμβάσεις. Η πεποίθησή μας βασίζεται στο γεγονός ότι τα θεωρήματα αντιστοιχούν σε ιδιότητες του αληθινού κόσμου πέρα από τη συναίσθησή μας που μπορεί να ελεγχθεί, και είναι προσβάσιμα για έλεγχο σε όλους τους ανθρώπους από την παιδική τους ηλικία (Struik, 1949: 146-147).

Ο Struik δεν ρυθμίζει έναν αχυρένιο άνθρωπο. Οι μαθηματικοί έχουν γράψει μεγάλα βιβλία με τύπους που φαίνονται σχεδιασμένα να κλονίσουν την εμπιστοσύνη μας, αλλά υπάρχει και ένα άλλο ζήτημα για εξέταση εδώ ; Το θέμα είναι πολύπλοκο γιατί οι αριθμοί και τα αριθμητικά είναι πηγές που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να μεταφέρουν μια μεγάλη ποικιλία μηνυμάτων. Συχνά αυτό που φαίνεται να είναι εναλλακτική αριθμητική δεν είναι καθόλου πιθανό να κλονίσουν την εμπιστοσύνη μας στο 2x2. Για παράδειγμα, κατά τη διάρκεια της περιόδου των πενταετών προγραμμάτων στην Σοβιετική Ένωση, ο ακόλουθος τύπος εμφανίστηκε : 2+2=5.Αλλά αυτό δεν ήταν μια απειλή για ρεαλισμό · εξέφραζε απλά την ελπίδα ότι οι πενταετείς στόχοι θα μπορούσαν να επιτευχθούν σε τέσσερα χρόνια.

Και τι σχετικά με τις παρατηρήσεις του O’Brien στον Winston στο βιβλίο του Orwell (1956: 201) 1984; Στον Winston ειπώθηκε ότι δύο και δύο κάνουν τέσσερα μερικές φορές : ‘ Μερικές φορές Winston. Μερικές φορές κάνει 5 · μερικές φορές τρία · κάποιες άλλες φορές κάνει όλα μαζί ταυτόχρονα. Πρέπει να προσπαθήσεις πιο σκληρά. Δεν είναι εύκολο να γίνεις σώφρον’. Για τον Orwell, το 2+2=4 είναι μια βεβαιότητα ενάντια στην οποία το να μετράμε τις απολυταρχικές ακρότητες του Μεγάλου Αδελφού, αντιπροσωπεύεται από το 2+2=5. Αλλά ο Doestoevsky (n.d.: 139) αφήνει το 2+2=5 να εκφράσει μια πρόκληση σε άκαμπτες και καθιερωμένες κοινωνικές και πολιτικές πραγμα-τικότητες.

...δύο-φορές-το-δύο-κάνει-τέσσερα δεν είναι ζωή, κύριοι. Είναι η αρχή του θανάτου. Το δύο-φορές -το-δύο-κάνει-τέσσερα, κατά την ταπεινή μου γνώμη, δεν είναι τίποτα άλλο παρά ένα κομμάτι αναίδειας. .. ένας αστείος, μασκαρεμένος φιλαράκος που στέκεται απέναντι στο δρόμο σας σε στάση μεσολαβής και σας φτύνει. Θυμηθείτε, συμφωνώ ότι το δύο-φορές-το-δύο-κάνει-τέσσερα είναι το πιο εξαιρετικό πράγμα · αλλά όταν πρόκειται να δώσουμε οτιδήποτε για χάρη του, τότε το δύο-φορές-το- δύο-κάνει-πέντε, είναι μερικές φορές το πιο εξαιρετικό μικρό πράγμα, επίσης.

Υπάρχει μια αξιοσημείωτη σύμπτωση ανάμεσα σε αυτό το κείμενο και στην έννοια του Spengler (1926: 55-58) του αριθμού σαν ένα υπόδειγμα του πεπρωμένου, της σκληρότητας και του Θανάτου.

Ένα άρθρο φάνηκε στο Audubon πριν από μερικά χρόνια με τον τίτλο ‘1+1=1’. Ο συγγραφέας δεν υπονοεί ότι αυτή είναι μια ακριβής αναπαράσταση του αληθινού κόσμου. Στην πραγματικότητα, ο τίτλος του πετυχαίνει επειδή αναφέρεται σε μια παραπλανητική παρουσίαση της πραγματικότητας. Με αυτή την έννοια χρησιμεύει για να αναγνωρίσει μια προσεγγίσει στην ταξινόμηση των ζώων με την οποία διαφωνεί (Reiger, 1982: 84).

Φαίνεται ξεκάθαρο ότι το 2+2=4 και το 2+2=5 μπορούν να χρησιμοποιηθούν από έναν ρεαλιστή, για να αντιπαραθέσει συμβολικά τον αληθινό κόσμο και έναν παράλογο κόσμο. Για τον τυραννικό ρεαλιστή, μπορεί να κληθούν για να τον βοηθήσουν να σπάσει τη θέληση ενός ελεύθερου ανθρώπου. Εν συντομία, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αναπαραστήσουν, αντιστοίχως, το ιερό και το βέβηλο, το παλιό και το νέο, τις παραδοσιακές και τις ριζοσπαστικές αξίες, την αγνότητα και τον κίνδυνο.

Στην δουλειά της πάνω στην αγνότητα και στον κίνδυνο η Douglas μας προειδοποιεί για ‘χειρονομίες διαχωρισμού, ταξινόμησης και εκκαθάρισης’. Προσφέρει έναν αριθμό ενδιαφερουσών εικασιών (Douglas1966: 39-40,104,121-122):

Κάθε δεδομένο σύστημα ταξινόμησης πρέπει να δημιουργεί ανωμαλίες, και κάθε δεδομένος πολιτισμός πρέπει να αντιμετωπίζει γεγονότα που φαίνονται να αψηφούν τις παραδοχές του...βρίσκουμε σε κάθε πολιτισμό που αξίζει το όνομά του ποικίλα εφόδια για να διαπραγματευτεί με αμφιλεγόμενα και ανώμαλα γεγονότα.

Το να το αποδίδουμε σαν κίνδυνο είναι ένας τρόπος να θέλουμε ένα θέμα πάνω από αμφισβήτηση. Βοηθάει επίσης να ενισχύουμε τη συμμόρφωση. .. η αγιότητα επεξηγείται από την πληρότητα. Η αγιότητα απαιτεί τα άτομα να συμμορφώνονται με την τάξη στην οποία ανήκουν. Και η αγιότητα απαιτεί οι διαφορετικές κλάσεις πραγμάτων να μην συγχέονται. Οι κίνδυνοι μόλυνσης χτυπούν όταν αυτός ο τύπος διαμόρφωσης έχει χτυπηθεί.

Κάθε δομή ή ιδανικό είναι τρωτό στα άκρα του.

[Υπάρχουν τέσσερα είδη κοινωνικής μόλυνσης]: 1)κίνδυνος που πιέζει στα εξωτερικά όρια · 2)κίνδυνος καταπάτησης των εσωτερικών γραμμών του συστήματος· 3)κίνδυνος στα όρια των γραμμών · και 4) κίνδυνος από εσωτερική αντίκρουση.

Οι παρατηρήσεις της Douglas πάνω στις αυταπόδεικτες δηλώσεις είναι σημαντικές προσθήκες στις αγνές και επικίνδυνες θέσεις και ιδιαίτερα σημαντικές για να λάβουμε υπόψη στην σκέψη μας την κοινωνιολογία των μαθηματικών (αν και κάποιος πρέπει να είναι επιφυλακτικός για αυτές τις ιδέες αφού χρησιμεύουν σε μια τυπική - διατήρηση της συντηρητικής ιδεολογίας ).

Μία αυταπόδεικτη δήλωση είναι ‘μία δήλωση που φέρει την απόδειξη της μέσα της. Είναι αληθινή λόγω της σημασίας των λέξεων’ (Douglas,1975: 277).Η Douglas παίρνει τα παραδείγματά της από τη συ-ζήτησή του Quine (1960· 66-67) για τις αυταπόδεικτες προτάσεις όπως ‘Όλοι οι εργένηδες είναι ανύπαντροι άντρες’ και ‘2+2=4’. Ο Quine ση- μειώνει ότι τέτοιες προτάσεις ‘έχουν μια αίσθηση που ο καθένας εκτιμά’. Οι άνθρωποι αντιδρούν στις αρνήσεις τέτοιων προτάσεων, που τυπικά βιώνονται σαν ‘αναλυτικές’, με τον τρόπο που αντιδρούν σε ‘άπιαστες ξένες προτάσεις’. Ο Quine συμπεραίνει ότι αν οι επινοήσεις της αναλυτικότητας λειτουργούν ουσιαστικά όπως αυτός προτείνει, τότε θα τείνουν γενικά να εμφανιστούν εκεί που η σύγχυση εμφανίζεται ως προς για το τι ένας άνθρωπος που αρνείται τη πρόταση μπορεί να μιλάει σχετικά. Η Douglas (1975: 280) βελτιώνει το λόγο του Quine προσθέτοντας μία κοινωνιολογική διάσταση σε αυτόν :

Το να αποφεύγουμε τη σύγχυση και να βιώνουμε τη σύγχυση είναι οι δύο ακρότητες στις οποίες είναι εύκολο να δούμε πως η λογική τρώει τη συναισθηματική ζωή. Ανάμεσα στις ακρότητες, τα συναισθήματα ακολουθούν τα γνωστά κανάλια που κόβονται από τις κοινωνικές σχέσεις και τις απαιτήσεις τους για συνέπεια, διαύγεια και αξιοπιστία των προσδοκιών. Νιώθω ότι θα έπρεπε να δοκιμάσουμε να εισχωρήσουμε ανάμεσα στη ψυχολογία της ατομικής και κοινής χρήσης της γλώσσας, μια διάσταση της κοινωνικής συμπεριφοράς. Σε αυτή τη διάσταση οι λογικές σχέσεις επίσης εφαρμόζονται. .. Τα πρόσωπα περιλαμβάνονται ή εξαιρούνται από μια δεδομένη τάξη, οι τάξεις κατατάσσονται, τμήματα σχετίζονται με τα σύνολα. .. η επινόηση της λογικής αυτών των κοινωνικών εμπειριών είναι η βάση για να βρούμε τα εξ’ ορισμού στη φύση. Το πρότυπο των κοινωνικών σχέσεων είναι γεμάτο με συναι-σθηματική δύναμη · μεγάλα στοιχήματα επενδύονται στη μονιμότητα τους από κάποιους, στην ανατροπή τους από άλλους. Αυτό είναι το επίπεδο εμπει-ρίας στο οποίο η ενστικτώδης αντίδραση σύγχυσης σε μια μη λογική πρόταση εν-δυναμώνεται από δυναμική μανία, σοκ και αποστροφή.

Αυτό είναι αρκετό για να μας αφυπνίσει στη χρήση της λογικής στις κοινωνικές σχέσεις της επιστήμης. Αυτό σημαίνει, πως δεν είναι ότι απλά κάτι είναι ή δεν είναι λογικό κατά κάποια απόλυτη έννοια (εάν κάθε δήλωση είναι στην πραγματικότητα λογική )· είναι ότι η λογική - και οι σχέσεις βεβαιότητας γενικά - είναι πηγές πολιτισμού που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να υπερασπιστούν ή να επιτεθούν σε μια κοινωνική τάξη διαβεβαιώνοντας ή αρνούμενες τις αυταπόδεικτες δηλώσεις. Έτσι οι αναπαραστάσεις μπορούν να θεωρηθούν σαν πηγές που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να ενισχύσουν την συμφωνία, να θέσουν ένα ζήτημα εκτός συζήτησης αποδίδοντας κίνδυνο, και γενικά να διαπραγματευθούν με αμφιλεγόμενα ή ανώμαλα γεγονότα, ή κοινωνική μόλυνση · μπορούν να κληθούν να διατηρήσουν ή να συντρίψουν αναπόδεικτες πραγματικότητες.

Τώρα οτιδήποτε κάνουμε από τις προηγούμενες προτάσεις, είναι μακριά από τον ισχυρισμό ότι το 2x2=4 είναι πρωταρχικά μια κοινωνική κατασκευή. Εντελώς το αντίθετο. Το 2x2=4 στέκεται σαν μια αναμφισβήτητη αλήθεια στην οποία μπορούμε να μετρήσουμε και να αξιολογήσουμε φανταστικές και φανερά κοινωνικές δημιουργίες όπως 2x2=5. Αλλά τότε τι πρέπει να κάνουμε από το γεγονός ότι τα 2x2=4 και 2x2=5 συναντιούνται μέσα στο μαθηματικό λόγο ; Οι μαθηματικοί, ως μαθηματικοί, καταπατούν το 2x2=4 σαν ακριβή αναπαράσταση ;

Σε αντιπαράθεση με τον Mannheim, ο Spengler (1926: 84) επι- χειρηματολογεί :

Ακόμα και οι πιο αυταπόδεικτες προτάσεις βασικής αριθμητικής όπως 2x2=4 γίνονται, όταν θεωρούνται αναλυτικά, προβλήματα, και η λύση αυτών των προβλημάτων έγινε μόνο πιθανή από συμπεράσματα από τη θεωρία των συνόλων και είναι σε πολλά σημεία ακόμα ανολοκλήρωτη.

Η ανάπτυξη της σχέσης ανάμεσα στα μαθηματικά και τη λογική κατά τη διάρκεια του 19ου αιώνα το έκανε πιθανό ( και ίσως αναγκαίο ) να εξάγουμε ερωτήσεις σχετικά με τα απλούστερα αριθμητικά γεγονότα. Ο Jourdain (1956: 67-71), για παράδειγμα, δείχνει τη σημασία του διαχωρισμού ανάμεσα στους νόμους της λογικής και στους νόμους της Λογικής. Οι νόμοι της λογικής αναφέρονται σε ψυχολογικές διαδικασίες που μπορεί να οδηγούν στην Αλήθεια · οι νόμοι της Λογικής αναφέρονται στην Αλήθεια, έτσι : ‘κάποιος θα μπορούσε να σκεφτεί ότι 2 και 2 κάνει 5· ξέρουμε από μία διαδικασία που βασίζεται στους νόμους της Λογικής ότι κάνει 4’. Σημειώνει περαιτέρω :

Το 1+1=2 είναι μάλλον λανθασμένα γραμμένο : υπάρχει φυσικά, μόνο μια συνολική τάξη από τάξεις μονάδων, και η σημείωση ‘1+1’ το κάνει να φαίνεται σα να ήταν 2. Ενθυμούμενος ότι το 1 είναι μία τάξη ορισμένων τάξεων, αυτό που η παραπάνω πρόταση εννοεί είναι : αν x και y είναι μέλη του 1, και ο x διαφέρει από τον y, τότε ο x και ο y μαζί φτιάχνουν ένα μέλος του 2.

Οι συνήγοροι της αυταπόδειξης ίσως το εύρισκαν περίεργο να μάθουν ότι ο Bertrand Russell (1956: 542) θεώρησε τον αριθμό 2 ‘σαν μια μεταφυσική οντότητα για την οποία δεν μπορούμε να νιώσουμε ποτέ σίγουροι ότι υπάρχει ή ότι την έχουμε καταρρίψει’· αλλά η τάξη των ζευγών , από την άλλη πλευρά, είναι αναμφισβήτητη και εύκολα ορισμένη. Ο ορισμός μιας τάξης ορίζεται σαν η τάξη όλων αυτών των τάξεων που είναι παρόμοιες με αυτήν. Τότε ο αριθμός ενός ζεύγους θα είναι η τάξη όλων των ζευγών :

Στην πραγματικότητα, η τάξη όλων των ζευγών θα είναι ο αριθμός 2, σύμφωνα με τον ορισμό μας. Με την εξαίρεση μιας μικρής παραδοξότητας, αυτός ο ορισμός βεβαιώνει την οριστικότητα και την αναμφισβητικότητα· και δεν είναι δύσκολο να αποδείξουμε ότι αριθμοί έτσι ορισμένοι έχουν όλες τις ιδιότητες που περιμένουμε να έχουν οι αριθμοί.

Μπορεί να φαίνεται ακόμα πιο περίεργο ότι οι Whitehead και Russell (1927) μπήκαν στον κόπο να αποδείξουν ότι 1+1=2, και ίσως ακόμα πιο περίεργο ότι τους πήρε σχεδόν 800 σελίδες για να εγκαθιδρύσουν τη βάση για την πραγματική επίδειξη. Η απόδειξη φτάνει σχεδόν 100 σελίδες στον τόμο II του Principia Mathematica· το 1+1=2 είναι θεώρημα # 110.643:

}. 1+1c1=2 (π.χ είναι αλήθεια ότι 1+1=2 · τεχνικά , το αριθμητικό άθροισμα του θεμελιώδες αριθμού 1 και του θεμελιώδες αριθμού 1 είναι ο θεμελιώδες αριθμός 2).

Η συζήτηση του Ernest Nagel (1956: 1899-1900) για τις αποδείξεις των Russell και Whitehead λαμβάνει χώρα υπό τον τίτλο ‘ Ένα Συν Ένα Ίσον Δύο’. Μια άλλη πλευρά του προβλήματος για το τι το 2x2 αναπαριστά προκύπτει συγκρίνοντας την συζήτηση του Nagel με ένα άρθρο από τον μαθηματικό Philip Davis, ‘ είναι ένα συν ένα στ΄αλήθεια δύο;’ Ο Davis επιχειρηματολογεί ότι

...η αριθμητική υπερβολικά μεγάλων αριθμών μπορεί να διεξαχθεί μόνο με μείωση της αξιοπιστίας. Καθώς απομακρυνόμαστε από ασήμαντα αθροίσματα , οι αριθμητικές διεργασίες τυλίγονται σε μια ομίχλη αβεβαιότητας. Το άθροισμα 12345+54321 δεν είναι 66.666. Δεν είναι αριθμός. Είναι μια κατανομή πιθανότητας δυνατών απαντήσεων στις οποίες το 66.666 είναι το φαβορί.

1+1=2, τότε, με p=1 ( πιθανότητα 1 ).

Είναι απίθανο ότι κάποιο από τα παραδείγματα που έχω συζητήσει από μέσα από τα μαθηματικά , θα ταράξει τους μαθηματικούς ρεαλιστές μέσα ή έξω από την μαθηματική κοινότητα. Παρ΄όλα αυτά, χρησιμεύουν για να δείξουν ότι τουλάχιστον κάποιοι μαθηματικοί δεν είναι ικανοποιημένοι με τουλάχιστον κάποια στάνταρ αυταποδεικτικότητας και επινοητικής κατανόησης. Οι Brien και Doestoevsky, εντούτοις, φαίνεται να θέτουν ένα διαφορετικό είδος προβλήματος για το ρεαλισμό από ότι κάνουν οι Jourdain και Russell. Ένας μαθηματικός ρεαλιστής θα έπρεπε να αναγνωρίζει ότι το 2x2 μπορεί να αναπτύξει ένα κάπως πιο πολύπλοκο και συστηματικό νόημα για τα μαθηματικά απ΄ ότι για τους επαναπαυμένους ή για προηγούμενες γενιές μαθηματικών. Αλλά δεν υπάρχει τίποτα στους Russell και Whitehead που να προκαλεί την παγκοσμιότητα και το γεγονός της κοινής λογικής του 2 x 2 = 4. Βέβαια δεν βγαίνουν πουθενά να αποδείξουν ότι 2 x 2 = 5.

Ένα από τα κοινωνιολογικά ενδιαφέροντα πράγματα σχετικά με το ενισχύσει την ιδέα ότι υπάρχουν απόλυτες βεβαιότητες σ΄αυτόν τον κόσμο. Αλλά αυτό το είδος ρεαλισμού μπορεί να μας κάνει να χάσουμε ορισμένες κρίσιμες πολυπλοκότητες για τους εαυτούς μας και για τον 2 x 2 είναι ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί πολύ αποτελεσματικά για να κόσμο μας. Επιπλέον των λογικών τρόπων του να κάνουμε το 2 x 2 προβληματικό, υπάρχουν εμπειρικοί τρόποι για να το κάνουμε προβληματικό, αυτό μπορεί να γίνει χωρίς να αναστατώσουμε τον ρεαλισμό. Η πρόσθεση, για παράδειγμα, είναι γενικά εμπειρικά προβληματική. Αυτό καθιερώνεται εύκολα θεωρώντας τα ακόλουθα προβλήματα:

Πρόβλημα 1: Μια κονσέρβα τόνου κοστίζει $1.05. Πόσο κοστίζουν, δύο κονσέρβες τόνου;

Πρόβλημα 2: Ένα δισεκατομμύριο βαρέλια πετρελαίου στοιχίζουν x δολάρια. Πόσο κοστίζουν ένα τρισεκατομμύριο βαρέλια;

Πρόβλημα 3: Μια τράπεζα υπολογίζοντας μια κλίμακα πίστωσης θεωρεί δύο πόντους (βαθμούς) αν κατέχετε το σπίτι σας είστε ιδιοκτήτες του σπιτιού), προσθέτει έναν πόντο αν ο μισθός σας είναι πάνω από $20.000, προσθέτει έναν πόντο δεν έχετε μετακομίσει τα τελευταία πέντε χρόνια, αφαιρεί έναν πόντο αν έχετε ποινικό μητρώο, αφαιρεί έναν πόντο αν είστε κάτω από τα 25 κλπ. Τί σημαίνει το άθροισμα;

Πρόβλημα 4: Ένα τεστ νοημοσύνης προσθέτει έναν βαθμό αν απαντήσετε σωστά μια ερώτηση για τον G.Wasigton, έναν βαθμό αν απαντήσετε για τις πολικές αρκούδες, ένα βαθμό αν ξέρετε για το Daylightκλπ Τί αντιπροσωπεύει το τελικό άθροισμα;

Πρόβλημα 5: Ένα φλιτζάνι γάλα προστίθεται σε ένα φλιτζάνι ποπ-κόρν. Πόσα φλιτζάνια μίγματος θα προκύψουν.

Πρόβλημα 6: Ένας άνθρωπος μπορεί να βάψει ένα δωμάτιο σε μια μέρα. Ένας δεύτερος άνθρωπος που μπορεί να βάψει ένα δωμάτιο σε δύο μέρες προστίθεται στην εργατική δύναμη. Πόσες μέρες θα χρειαστούν και οι δύο δουλεύοντας μαζί;

Πρόβλημα 7: Ένας βράχος ζυγίζει 1/2 κιλό. Ένας δεύτερος βράχος ζυγίζει 1

κιλό. Πόσο ζυγίζουν και οι δύο βράχοι μαζί;

Αυτά τα παραδείγματα μπορεί να μην προκαλούν τον ρεαλισμό, αλλά ξεκάθαρα δείχνουν ότι η αυταποδεικτικότητα του 2 x 2 είναι μια χείιμμαρα: ο κόσμος είναι πολύ πολύπλοκος για να παραδεχτούμε μια άποψη που να συνδέει την απλή αριθμητική με την πραγματικότητα, με τον ένα αληθινό κόσμο. Οι Davis και Hersh επιχειρηματολογούν ότι δεν υπάρχει τρόπος να συστηματικοποιήσουμε κατανοητά "όλες τις καταστάσεις στις οποίες αρμόζει να προσθέσουμε":

"Αντίστροφα κάθε συστηματική εφαρμογή της πρόσθεσης σε μια ευρεία τάξη προβλημάτων γίνεται με διάταγμα. Λέμε απλώς - προχώρα και πρόσθεσε ελπίζοντας ότι η προηγούμενη και μελλοντική εμπειρία θα αντέξει την πράξη σαν δικαιολογημένη. Αν αυτό είναι αλήθεια για την πρόσθεση είναι πολύ περισσότερο έτσι για τις άλλες πιό πολύπλοκες διεργασίες και θεωρίες των μαθηματικών".

Η ομάδα προβλημάτων που δόθηκαν από τους Davis και Hersh

ξεσηκώνει ερωτήσεις για τη σχέση ανάμεσα στην άθροιση και την αφαίρεση, που έχουν να κάνουν με μια πηγή μείωσης, μορφές αξίας, την ερώτηση μέτρησης, τη διαφορά ανάμεσα στις δημοφιλείς και μαθηματικές απόψεις για την πρόσθεση (στο πρόβλημα 5, ένα φλιτζάνι πόπ- κορν σχεδόν θα απορροφήσει ένα φλιτζάνι γάλα χωρίς να ξεχειλίσει: 1+1=1) και το θεωρητικό περιεχόμενο ενός προβλήματος (η ζύγιση δυο βράχων φέρνει στο παιχνίδι το πρόβλημα των πιθανών μη γραμμικών μετακινήσεων της πηγής_).

Ο Klain δείχνει ότι η αλήθεια του 2+2=4 μπορεί να αντισταθεί στην βάση του ότι το σχετικό αξίωμα βασίζεται σε περιορισμένη εμπειρία. Αλλά σημειώνει περαιτέρω ότι προβλήματα σαν αυτά που τέθηκαν από τους Davis & Hersh δείχνουν ότι υπάρχουν ακόμα ασθενέστεροι δεσμοί ανάμεσα στον αριθμητικό και τον πραγματικό κόσμο. Τα παραδείγματα του Klain περιλαμβάνουν το αποτέλεσμα της προσφοράς και της ζήτησης στην τιμή δυο κοπαδιών αγελάδων που πουλήθηκαν ξεχωριστά και μαζί η σχέση ανάμεσα σ' αυτό που είναι η περίπτωση σε μια δεδομένη στιγμή (π.χ. δυο μισά φύλα χαρτιού, κάνουν ένα ολόκληρο φύλο?), προσθέτοντας δυνάμεις που δρουν σε σωστές γωνίες η μια στην άλλη (στην οποία περίπτωση για παράδειγμα 4+3=5), το πρόβλημα της μέτρησης, τα όρια στις ικανότητές μας να ανιχνεύσουμε διαφορές κλπ. Ο Klain συμπεραίνει ότι το σύστημα της αριθμητικής 2+2=4 βασίζεται σε περιορισμένες και επιλεγμένες εμπειρίες και ακόμα και σαν ένα αφηρημένο σύστημα αναφέρεται σε ένα περιορισμένο τμήμα της πραγματικότητας. Η συνηθισμένη αριθμητική αποτυγχάνει να περιγράψει σωστά το αποτέλεσμα συνδυασμού αερίων στον όγκο: πώς υπολογίζουμε μια σταγόνα βροχής συν μια σταγόνα βροχής ή της περιγράφουμε τι συμβαίνει όταν ένα σύννεφο ενώνεται με ένα άλλο; Υπάρχουν ειδικές αριθμητικές για να διαπραγματευτούμε με ειδικές καταστάσεις. Τα ρολόγια που χρησιμοποιούν τα νούμερα 1 έως 12, δουλεύουν σε μια τμηματική αριθμητική στην οποία 10+6=4. Μ<ια πεπερασμένη ομάδα που ορίζεται από τον πίνακα πολλαπλασιασμού της, σύμφωνα με ένα ρητό από τον CayLey διακηρύσσει τον συσχετιστικό νόμο αλλά όχι τον ανταλλακτικό νόμο. Ο Hamming χρησιμοποιεί τους συμβατικούς ακέραιους σαν ετικέτες και τους πραγματικούς αριθμούς σαν πιθανότητες- και όλη η αριθμητική και η άλγεβρα που χρησιμοποιεί έχει τον κανόνα 1+1=0. Στην ομαδική θεωρία μια ομάδα μπορεί να είναι Abelian ή μη Abelian, σύμφωνα με το κατά πόσο ο συνδυαστικός κανόνας είναι ανταλλακτικός ή μη (μετατροπικός ή μη μετατροπικός).

Η Κοινωνιολογία του "Τί είναι τα μαθηματικά"

και Μαθηματικά Καθαρά και Εφαρμοσμένα

Τα επιχειρήματα για το 2x 2 που ανασκόπησα αναπαράγονται στις συζητήσεις σχετικά 1) με τη φύση των μαθηματικών, και 2) το πρόβλημα του διαχωρισμού ανάμεσα στα καθαρά και εφαρμοσμένα μαθηματικά. Η ερώτηση "Τί είναι τα μαθηματικά;" εκφράζει δύο ανησυχίες. Για τον σπουδαστή της ιστορίας ή της συγκριτικής κοινωνιολογίας των μαθηματικών, η ανησυχία έχει να κάνει με το τι μετράει (προσμετράται) σαν μαθηματικά, ένας μαθηματικός ή μια μαθηματική κοινότητα μέσα στο χρόνο και τον χώρο. Για τον κοινωνιολόγο, των μαθηματικών γενικά, η ανησυχία έχει να κάνει με το βαθμό σύγκρουσης (διαφωνίας) ή ομοφωνίας που υπάρχει μέσα σε μια ταυτοποιήσιμη μαθηματική κοινότητα σχετικά με το τί είναι τα μαθηματικά. Αυτές οι ανησυχίες σχετίζονται. Θα ακολουθήσω τον Steiner (1975) και θα δεχτώ ότι οι μαθηματικοί μελετούν ή δουλεύουν σε ένα βασίλειο αριθμών. Αυτός είναι ένας κοινωνιολογικά βάσιμος δρόμος για να ακολουθήσουμε. Οι αριθμοί αντιλαμβάνονται ότι είναι πηγές και οι μαθηματικοί αντιμετωπίζονται σαν άνθρωποι που χρησιμοποιούν τους αριθμούς για να επεκτείνουν τα ενδιαφέροντά τους και να ακολουθήσουν τους στόχους τους- από την επιβίωση στην επαγγελματική προώθηση, από την ευχαρίστηση στην καταπράυνση νευρώσεων, από το να κυνηγάνε τη δύναμη στο να δραπετεύουν από τις απαιτήσεις της καθημερινής πραγματικότητας.

Οι ορισμοί των μαθηματικών γενικά αποκαλύπτουν μια σύγκρουση ανάμεσα στις εμπειρικές και μη- εμπειρικές, στις εφαρμοσμένες και καθαρές (αρχικές) κατευθύνσεις. Αυτό παρέχει μια προβληματική κατάσταση στον κοινωνιολόγο ποιές είναι για παράδειγμα, οι κοινωνικές βάσεις που βρίσκονται κάτω από τις διαφορές απόψεων και μπορούμε στην πραγματικότητα να δώσουμε έναν κοινωνιολογικό απολογισμό γι΄αυτές τις διαφορές που να αντιταχθεί ενάντια σε μη - είτε έναν - κοινωνικούς απολογισμούς;

Για τον Poincarι, τα μαθηματικά είναι μια δραστηριότητα του μυαλού που υπάρχει λιγότερα από τον εξωτερικό κόσμο από κάθε άλλη ανθρώπινη δραστηριότητα. Το μυαλό σ΄αυτή την περίπτωση "ενεργεί ή φαίνεται να ενεργεί από μόνο του και πάνω στον εαυτό του...". Προτείνει ότι "μελετώντας την διαδικασία της γεωμετρίας σκέφτηκε ότι μπορούμε να ελπίζουμε πως θα φτάσουμε αυτό που είναι τ[ιό ουσιαστικό στο μυαλό του ανθρώπου". Στην ίδια τάση, ο J.W.N. Sullivon επιχειρηματολογεί:

"...τα μαθηματικά είναι μια εντελώς ελεύθερη δραστηριότητα, που δεν ρυθμίζεται από το εξωτερικό κόσμο... Είναι τόσο ανεξάρτητη από τον εξωτερικό κόσμο όσο η μουσική και παρόλο που ανόμοια από τη μουσική, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να απεικονίσει φυσικά φαινόμενα, είναι τόσο "υποκειμενική" όσο έναν προϊόν μιας ελεύθερης δημιουργικής φαντασίας".

Είναι δυνατόν να ερμηνεύσουμε την εμπειρία του Poincarι για το μυαλό που ενεργεί από μόνο του και πάνω στον εαυτό του με κοινωνιολογικούς όρους. Περιγράφει μια εμπειρία που σχετίζεται με σχετικά κλειστές γλωσσικές κοινότητες, κοινότητες που είναι σχετικά ελεύθερες ή ικανές να διαχωρίσουν τους εαυτούς τους από υπαρξιακές ανησυχίες, και στις οποίες η ένταση των εσωτερικών τους συζητήσεων ξεπερνάει κατά πολύ την ένταση των συζητήσεων εσωτερικού - εξωτερικού (των συζητήσεών τους με τους έξω). ΦΥσικά και υλικά ενδιαφέροντα είναι υποδεέστερα από συμβολικά ενδιαφέροντα σε τέτοιες κοινότητες. Ο Newman φαίνεται να το αναγνωρίζει αυτό όταν επιχειρηματολογεί ότι: "Οι ιδέες των μαθηματικών προέρχονται από την εμπειρία":

"Σκέφτομαι πως δεν μπορεί να αποφύγει κάποιος το συμπέρασμα ότι όλοι οι κλάδοι απορρέουν τελικά από πηγές μέσα στις ανθρώπινες εμπειρίες. Κάθε άλλη άποψη πρέπει να υποχωρήσει στο τέλος σε μια έκκληση στον μυστικισμό.

...οι μαθηματικές δραστηριότητες που συλλαμβάνονται αφηρημένα τόσο συχνά αγγίζουν την πρακτική εργασία του κόσμου. Αυτό δείχνει αν στην πραγματικότητα δεν αποδεικνύει μια βαθιά σύνδεση".

Όπως και άλλοι σπουδαστές των καθαρών μαθηματικών, ο Newman αποτυγχάνει να αναγνωρίσει ότι ριζώνοντας τα μαθηματικά στην εμπειρία, καλείται να δώσει έναν κοινωνιολογικό απολογισμό των μαθηματικών. Αλλά όταν κάποιος μπλοκάρεται από έναν τέτοιο απολογισμό, είναι αναπόφευκτο ότι ο απολογισμός του θα δοθεί θα είναι ψυχολογικός ή διανοητικός (πνευματικός).

Όταν πιέζουμε την άμυνα κάποιου για τα καθαρά μαθηματικά, είναι συνήθως εύκολο να διεισδύσουμε (περάσουμε) μέσα στις εξωτερικές πραγματικότητες. Στο έργο του Η Απολογία ενός Μαθηματικού, ο G.M.Harday έγραφε: "Δεν έκανα ποτέ τίποτα "χρήσιμο". Καμιά ανακάλυψη δική μου δεν έγινε, ή είναι πιθανή να γίνει, άμεσα ή έμμεσα, για καλό ή για κακό, η παραμικρή διαφορά στην αβρότητα του κόσμου". Όταν ο επιφανής χημικός Frederick Soddy ανασκόπησε το βιβλίο του Hardy στο Φύση (1941), αποκάλεσε την περιφρόνηση των μαθηματικών για τα χρήσιμα μαθηματικά και την εφαρμοσμένη επιστήμη γενικά ένα σκάνδαλο: "Από τέτοιους μοναστηριακούς γελωτοποιούς" έγραψε "ο κόσμος αρρωσταίνει"(Newman 1956b: 2024). Αλλά ο Newman (1956b 2026) θέτει την καθαρότητα του Hardy σε προοπτική. Ονομάζει την δήλωση του Hardy, για να αρχίσει με αυτήν "ανοησία". Παρόλο που ο Hardy έδωσε λίγο βάρος στο έργο του "Ο Νόμος του Hardy", ο νόμος ήταν κεντρικής σημασίας στη μελέτη των ομάδων Rh- αίματος και τη θεραπεία της αιμολυτικής ασθένειας στα νεογέννητα.

Η δουλειά του Hardy πάνω στην λειτουργία Zatc (Z) του Riemann (που προέκυψε και εξερευνήθηκε στην έρευνα για τον αριθμό από τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότερης πυρομετρίας, που εφαρμόστηκε για να ερευνηθεί η θερμοκρασία των κλιβάνων. Ο Newman δίνει μια ενόραση στη βάση της ακραίας άμυνας του Hardy υπέρ της καθαρολογίας (καθαρότητας):

"Το μίσος του για τον πόλεμο ήταν ένας λόγος που αντιμετώπισε τα εφαρμοσμένα μαθηματικά (τη βαλλιστική και την αεροδυναμική, για παράδειγμα) σαν αποκρουστικά άσχημα και ανυπόφορα πληκτικά".

Τα μαθηματικά που δεν μπορούν να απεικονιστούν θέτουν μια ενδιαφέρουσα πρόκληση για τον κοινωνιολόγο που θέλει να δώσει έναν απολογισμό για τα καθαρά μαθηματικά. Τα "κυκλικά μονοπάτια" του Keyser (Kasner και Newmann, 1956:2002) είναι ένα παράδειγμα μιας μη- απεικονίσιμης "καθαρά αντιληπτικώς" ιδέας. Είναι ένας κύκλος με ένα σημείο να λείπει.

Η τομή Dedekind είναι άλλη μια μη- απεικονίσιμη ιδέα, θεωρώντας παράλογα νούμερα, ο Richard Dedekind έγραψε:

"...o τρόπος με τον οποίο οι παράλογοι (μη- λογικοί) αριθμοί συνήθως εισάγονται βασίζεται άμεσα πάνω στην σύλληψη (αντίληψης των εκτεταμένων μεγεθών- η οποία δεν έχει πουθενά οριστεί προσεκτικά - και εξηγεί τον αριθμό σαν το αποτέλεσμα της μέτρησης ενός τέτοιου μεγέθους από έναν άλλο του ίδιου είδους. Αντί αυτού, απαιτώ ότι η αριθμητική θα αναπτυχθεί έξω από τον εαυτό τους".

Εδώ είναι ένα κλειδί, ίσως, στην προέλευση του μη- απεικονίσουμε στην κοινωνική δομή. Όταν ο Dedekind καλεί των αριθμητική να αναπτυχθεί έξω από τον εαυτό της, αντικατοπτρίζει το σχετικό κλείσιμο και αυτονομία μιας συλλογικής σκέψης ή κοινότητας τους γεννάει μια κατάσταση στην οποία τα συμβολικά αποτελέσματα μιας γενιάς γίνονται οι υλικές πηγές για την επόμενη γενιά. Αν αυτή η διαδικασία συνεχίζεται για μια επαρκώς εκτεταμένη περίοδο σε συνδυασμό με τη διατήρηση της σχετικής αυτονομίας (με την ιδρυτική έννοια), το αποτέλεσμα θα είναι ότι τα άτομα δεν θα μπορούν να στεριώσουν τις ιδέες τους στις εμπειρίες του οικείους τους, καθημερινού κόσμους.

Αυτή είναι η πηγή του μη- απεικονίσιμου. Αυτό δεν ευνοεί ότι η πραγματική εμπειρία είναι χωρίς εικονο(απεικόνισης), μόνο φαίνεται έτσι επειδή κάποιος διαχειρίζεται υψηλά εκλεπτόμενες (διυλισμένες π) πηγές που είναι γενιές που αποσπάστηκαν από το υπαρξιακό κόσμο και έτσι δεν είναι απεικονίσιμες με όρους αυτής της πραγματικότητας. Η τελική διάχυση (έγχυση) μιας τέτοιας ιδέας στην ευρύτερη κοινωνία παρέχει μια πηγή τροφοδότησης προς τα πίσω από τον καθημερινό κόσμο που τελικά θα διεγείρει μια εικόνα. Αυτή η ιδέα προτείνει έναν τρόπο για να δώσουμε έναν κοινωνιολογικό απολογισμό για την τυποποίηση. Ο Hahn, Για παράδειγμα, σχολιάζει πάνω σε ένα μαθηματικό πρότυπο του δεν μπορεί να κατανοηθεί προαισθηματικά, αλλά το δεχόμαστε λόγω της λογικής ανάλυσης.

Αλλά μία προσεκτική εξέταση της συζήτησής του δείχνει ότι ενώ αρχίζει γράφοντας για λογικές κατασκευές σαν καθαρές οντότητες, στην πορεία της έκθεσής του τραβάει την -προσοχή από τις μη- προαισθηματικές ιδέες σε καινούργιες εμπειρίες. Επιπλέον, συνεχίζει, πώς οι καινούργιες, αρχικά μη- προαισθηματικές ιδέες μετασχηματίζονται κοινωνικά σε προαισθήματα.

Οι κατασκευαστές μαθηματικά τείνουν να έχουν περισσότερο συνείδηση από ότι άλλοι μαθηματικοί για τις υλικές βάσεις της δουλειάς τους αν όχι για τις κοινωνικές πραγματικότητες των μαθηματικών.

Υπάρχουν πολυάριθμα στοιχεία που οι κοινωνιολόγοι των μαθηματικών μπορούν να ακολουθήσουν προσπαθώντας να αγγίζουν (να πιάσουν) τα καθαρά, τυπικά (κανονικά), μη- προαισθηματικά ή προαισθηματικά και μη- απεικονίσιμα μαθηματικά. Ένας είναι ο τρόπος που ο Weyl (1956! 1845- 1846) γράφει σχετικά με την κατασκευή αριθμητικών προτάσεων από ενεργά "τρέξιμο πάνω στους ακέραιους, λέγοντας άρτιες, περιττός, άρτιος, περιττός εναλλάξ. "Όσο για την μη- κατασκευαστική αξιωματική μέθοδο, ο Jarski μας δίνει ένα στοιχείο όταν σημειώνει 'ότι το πρόθεμα "λέμε ότι. .." χρησιμοποιείται για να δώσει έμφαση στο συμβατικό (συνθηκολογικό) χαρακτήρα των ορισμών. Αυτά είναι κάπως αδύνατα στοιχεία, αλλά ενισχύονται από τους μαθηματικούς εργάτες όπως οι C.S. Peirce και Richard von Miser. Ο Peirce επιχειρηματολογεί ενάντια στην λογιστική θέση ισχυριζόμενος ότι η τυπική (κανονική) λογική είναι "απλά μαθηματικά εφαρμοζόμενα στη λογική". Διατηρώντας το λογικιστικό ισχυρισμό, ο Peirce φέρνει την τυπική λογική έξω από τον παλμό της καθαρής φαντασίας και πιό κοντά, αν όχι άμεσα, στον παλμό της κοινωνιολογίας των μαθηματικών.

Η άποψη του Richard von Mises είναι ακόμα πιό ισχυρή ενθάρρυνση στον κοινωνιολόγο των καθαρών μαθηματικών και στην τυπική λογική. Η λογική, γράφει, "δεν επιπλέει ελεύθερα στο μέσο του αέρα, χωρίς σύνδεση με τον κόσμο της παρατήρησης".

Και πράγματι, αν εξετάσουμε τις πιό αφηρημένες περιοχές των μαθηματικών, περιοχές που δανείζου ν τους εαυτούς τους στην εφαρμογή φράσεων όπως "ελεύθερη φαντασία" και "αυθαίρετα επιλεγμένες παραδοχές", θα βρούμε ότι οι πηγές και τα περιβάλλοντα των μαθηματικών είναι τόσο εξαναγκαστικά (περιοριστικά) στην διαδικασία της απελευθέρωσης όσο ο φυσικός κόσμος είναι περιοριστικός στην απελευθέρωση του ανθρώπινου σώματος.

Αφήστε με να δώσω ένα απλό παράδειγμα του που οδηγούμαι όταν υποθέτω ότι τα μαθηματικά αντικείμενα είναι οι υλικές βάσεις της απορρέουσας (μη- υπαρξιακή) πολιτιστικής δραστηριότητας στην οποία αναφερόμαστε, σαν υψηλά μαθηματικά. Θεωρείστε ΧΧ = Χ στην άλγεβρα του Βοοl.

Tα υλικά από τα οποία αυτή η αντιπροαισθηματική γενίκευση απορρέει είναι τα Ο και τα 1. Αν χειριστούμε αυτό το υλικό, βρίσκουμε ότι "φυσικά" παίρνουμε

(0)(0) = (0)

(1)(1) = (1)

Αν γενικεύσουμε από τις εμπειρίες μας σ΄αυτόν τον προαισθηματικό προσιτό (προσβάσιμο) κόσμο των (1) και των (0), παίρνουμε ΧΧ = Χ. Αυτό είναι τότε γενίκευση από τον κόσμο των (0) και των (0(1) στον οποίο οι συνθηκολογικά αποδεκτοί "νόμοι της φύσης" και ""νόμοι" της συνηθισμένης αριθμητικής λειτουργούν. Και τα θεμέλια των νόμων της συνηθισμένης αριθμητικής είναι ένας καθημερινός κόσμος φυσικών αντικειμένων (βλέπε την πιό λεπτομερή συζήτηση στο κεφ. 10).

Ολοκληρώνοντας, προσφέρω μια ιστορική απεικόνιση του πώς οι κοινωνικές και πρακτικές προελεύσεις των μαθηματικών μετασχηματίστηκαν σε καθαρότητες (καθαρολογίες) με το χρόνο, και για την εξυπηρέτηση ιδιαίτέρων ενδιαφερόντων.

Αυτό που ακολουθεί είναι δύο απολογισμοί για την προέλευση των Αιγυπτιακών μαθηματικών. Ο πρώτος είναι από το Ηρόδοτο και γράφτηκε τον 5ο αι. π.Χ. ο δεύτερος είναι από τον Πλάτο (427?- 347 π.Χ.).

ΗΡΟΔΟΤΟΣ: Αυτός ο βασιλιάς (Σέσωστρις) χώρισε τη γη ανάμεσα σε όλους τους Αιγυπτίους έτσι ώστε να δώσει σον καθένα ένα τετράγωνο ίσου μεγέθους και να πάρει από καθέναν τα εισοδήματά του επιβάλλοντας ένα φόρο που θα εισπραττόταν ετησίως. Αλλά ο καθένας από τον οποίο το ποτάμι έκοβε κάτι, έπρεπε να πάει σε αυτόν και να σημειώσει αυτό που συνέβαινε. Έστειλε τότε επιθεωρητές που έπρεπε να μετρήσουν κατά πόσο η γη έχει μικρύνει, με σκοπό ο ιδιοκτήτης να πληρώσει με βάση αυτό που είχε απομείνει, κατ΄ αναλογία με τον ολόκληρο επιβαλλόμενο φόρο. Κατ΄ αυτόν τον τρόπο, φαίνεται σε μένα πως η γεωμετρία πρωτοεμφανίστηκε, η οποία πέρασε έτσι στην Ελλάδα.

ΠΛΑΤΟ: Στην Αιγυπτιακή πόλη Ναυκρατής υπήρχε ένας περίφημος παλιός θεός όπου λεγόταν Theuth το πουλί που ονομαζόταν Ibis ήταν αφιερωμένο σε αυτόν και ήταν ο εφευρέτης πολλών τεχνών, όπως της αριθμητικής και της υπολογιστικής (υπολογισμών) και της γεωμετρίας και της αστρονομίας, και της σχεδιαστικής και της κυβικής, αλλά η μεγάλη του ανακάλυψη ήταν η χρήση των γραμμάτων (Phaedrus).

Eίναι ενδιαφέρον να σημειώσουμε ότι λίγο αργότερα, όταν το χέρι και το μυαλό άρχιζαν να επανασυμφιλιώνονται μετά από τον ακραίο διαχωρισμό τους στους Πλατωνικούς χρόνους, ο Αριστοτέλης πρότεινε ότι οι μαθηματικοί πρωτοφάνηκαν στις σχολικές μελέτες της ΑΙγυπτιακής ιερατικής τάξης.

Ακόμα και όταν ερχόμαστε κοντά στην καρδιά των μαθηματικών, θεωρούμε τα μαθηματικά - σε - χρήση αυτά που χρησιμοποιούμε) σαν μια αναπαράσταση του διαχωρισμού και της πάλης ανάμεσα στο ιερό και το βέβηλο. Αυτή η εικασία θα υποστηριζόταν πιστεύω, από μελέτες των ενδόμυχων σχέσεων ανάμεσα στα μαθηματικά και τη θεολογία. Για παράδειγμα, οι θεμελιώδεις κρίσεις στα μοντέρνα μαθηματικά μοιάζουν με ηθικές κρίσεις που δημιουργούνται από την εκλαίκευση της μαθηματικής δουλειάς και σκέψης. Θα ήταν ενδιαφέρον να ακολουθήσουμε αυτή την ιδέα με τους όρους των ιδεών της Maryt Douglas για την κεντρικότητα της συνοχής (συνέπειας) και την πληρότητα στις συγκρούσεις σχετικά με τα μαθηματικά θεμέλια.

Ανακεφαλαίωση των Γενικών Αρχών

Αυτό που ακολουθεί είναι μια ελαφρά επεξεργασμένη ανακεφαλαίωση των διάφορων αρχών και παραδοχών, στις οποίες αναφέρθηκα σαν εικασίες, κοινωνικής κατασκευής. Προσφέρεται σαν βάση για επίκριση και συζήτηση μόνο και όχι σαν μια συστηματική περίληψη, μοντέλο ή θεωρία. Μπορεί να βοηθήσει να ταυτοποιήσουμε εύκολα σημεία σύγκλισης και αντίκλησις ανάμεσα στην δουλειά σε πρόοδο (σε εξέλιξη), πάνω σε μια κατασκευαστική ερμηνεία των αναπαραστάσεων και στην έρευνα και τη θεωρία πάνω στις κοινωνικές αναπαραστάσεις.

Κοινωνίες, κοινότητες και συλλογικές σκέψεις παραμένουν μέσα από την παρεμβατική πρακτική, ή πιό γενικά, την κοινωνική πρακτική.

Η κοινωνική πρακτική ενσωματώνει ψυχολογικές και βιολογικές καταστάσεις κι διεργασίες, κοινωνικές σχέσεις και δραστηριότητες και υλικά πράγματα και διεργασίες.

Οι σκέψεις (αντιλήψεις, γνώση) είναι προϊόντα της κοινωνικής πρακτικής, υποστηρίζονται απλό την κοινωνική πρακτική και ενσωματώνουν την κοινή πρακτική.

Οι διαβεβαιώσεις (κατηγορίες) ταξινομήσεις και αναπαραστάσεις (από εδώ και πέρα, θα αναφέρομαι μόνο στις αναπαραστάσεις) οργανώνονται σε κανόνες, νόμους και όρια. Οι κανόνες, οι νόμοι και τα όρια οργανώνονται με σε δίκτυα εργασίας. Αυτά τα δίκτυα κανόνων σχετίζονται με τη συμπεριφορά και τη σκέψη και καθοδηγούν τη συμπεριφορά και τη σκέψη σε κάθε κοινωνικό πλαίσιο. Τα δίκτυα κανόνων εργασίας διασυνδέονται μεταφορικά και ρέουν νοηματικά από το ένα πλαίσιο στο άλλο ανάμεσα σε δομικές ομοιότητες. Κάθε κοινωνική πράξη τείνει να φορτωθεί με νοήματα που ξεχειλίζουν από τα υπόλοιπα ενδιαφέροντα της κοινωνικής ζωής.

Οι αναπαραστάσεις είναι ως εκ τούτου προϊόντα της κοινωνικής πρακτικής, υποστηρίζονται από αυτήν και την ενσωματώνουν. Είναι κοινωνικά κατασκευασμένες συναθροίσεις (αναμίξεις) πολιτιστικών πηγών, των οποίων το νόημα δίνεται από το ρόλο τους στην κοινωνική πρακτική και τη θέση τους στα δίκτυα κανόνων εργασίας ή σε ευρύτερα δίκτυα νοημάτων. (οι παγκόσμιες απόψεις ή οι απόψεις για τον κόσμο είναι τα πιό κατανοητό δίκτυο νοημάτων, νοηματικό δίκτυο).

Οι αναπαραστάσεις ανατέλλουν από την κοινωνική πρακτική φέρουν μέσα τους, τοις κοινωνικές μορφές των ρυθμίσεων μέσα στις οποίες παράγονται, διαχέονται ή κατανέμονται και χρησιμοποιούνται. Είναι τοπικά και ιστορικά τυποποιημένες λύσεις στην χρήση (στην εξυπηρέτηση) των κοινωνικών ενδιαφερόντων).

Οι αναπαραστάσεις αντιπροσωπεύουν την κοινωνική πρακτική και τα κοινωνικά ενδιαφέροντα.

Τα κοινωνικά ενδιαφέροντα είναι κάθε υλικές ή συμβολικές πηγές που αντιλαμβάνονται ότι είναι σχετικές με την επιβίωση μιας ομάδας και με την αποκομιδή (απόκτηση) πλεονεκτημάτων σε σχετική δύναμη, προνόμια και ΄κύρος. Τα αποδιδόμενα (αποδοσμένα) ενδιαφέροντα είναι κοινωνικά ενδιαφέροντα σχετικά με μια ομάδα εξωγενή (Outsider) και μπορεί να συμφωνούν περισσότερο ή λιγότερο με τις αντιλήψεις της ομάδας (η απόδοση του ενδιαφέροντος είναι φυσικά, ένα κοινωνικό ενδιαφέρον).

Τα κοινωνικά ενδιαφέροντα εκδηλώνονται στους ισχυρισμούς που κάνουν τα άτομα πάνω στις πολιτιστικές πηγές στους πόρους του πολιτισμού) προς το συμφέρον των ομάδων που αντιπροσωπεύουν, των οποίων είναι μέλη ή φιλοδοξούν να συμμετέχουν (να γίνουν μέλη) ή να σχετιστούν με αυτές.

Τα κοινωνικά ενδιαφέροντα είναι πάντα σχετικά με την ιδιαίτερη αρένα (πεδίο) των ανταγωνιστικών κοινωνικών πρακτικών.

Οι αναπαραστάσεις είναι πολύ- διάστατα εργαλεία (η προσαρμοστικοί μηχανισμοί ή στρατηγικές) για να προσαρμοζόμαστε στον κόσμο και να μετασχηματίζουμε τον κόσμο. Είναι σχεδιασμένες μέσα σε αγωνιστικούς χώρους διάφορων κοινωνικών πρακτικών, και με την προοπτική της ανάπτυξης, επέκτασης ή προστασίας των κοινωνικών ενδιαφερόντων. Ο βαθμός στον οποίο η αρχική τους παραγωγή τις καθιστά γενικοποιήσιμες, ποικίλει.

Εξαρτώμενες από το επίπεδο και την ένταση των ανταγωνιστικών κοινωνικών πρακτικών, οι αναπαραστάσεις θα δρουν περισσότερο ή λιγότερο σαν διαμαρτυρίες, διακηρύξεις, εκκλήσεις σε μάχη ή σλόγκαν.

Επειδή οι αναπαραστάσεις εμπεριέχουν, την κοινωνική πρακτική και τα κοινωνικά ενδιαφέροντα, φέρουν μέσα τους, τους ιδιαίτερους τόπους παραγωγής τους, διαχύσεις ή διανομής και χρήσης και εντοπίζονται στην δομή του ιερού και βέβηλου, στις συντηρητικές και ριζοσπαστικές αξίες και στην καθαρότητα (αγνότητα) και τον κίνδυνο.

Κάποιες από τις αναπαραστάσεις κυρίαρχων ομάδων είναι πιθανό να χαρακτηριστούν αυταπόδεικτες και να τεθούν σε χρήση για να ενισχύσουν τη συμμόρφωση (την τάξη), να θέσουν ένα θέμα εκτός συζήτησης, και να διαπραγματευθούν με διφορούμενα και ανώμαλα γεγονότα. Αυτές οι αναπαραστάσεις θα είναι οι κύριοι στόχοι για αυτούς που θέλουν να κριτικάρουν (επικρίνουν), να αλλάξουν ή να καταλύσουν την βασιλεύουσα κοινωνική τάξη.

Γενικά, όσο ευρύτερα και διαχεόμενα είναι τα κοινωνικά ενδιαφέροντα που εμπεριέχονται σε μια αναπαράσταση, τόσο περισσότερο αυτή περνάει σαν αντικειμενική. Η αντικειμενικότητα με άλλα λόγια είναι μια μεταβλητή, και είναι συνάρτηση της γενικότητας των κοινωνικών ενδιαφερόντων.

Τα κίνητρα αισθητικής και αλήθειας δεν απορρίπτονται αλλά θεωρούνται ότι ριζώνουν σε ατομικά και κοινωνικά ενδιαφέροντα που κυμαίνονται από το να περάσει ο τρόπος κάποιου στον κόσμο μέσα από μια τάση διαχείρισης έως το να ασκεί έλεγχο πάνω σε ένα πολιτιστικό περιβάλλον, δεν υπάρχουν καθαρά κίνητρα, αντιλήψεις, αναπαραστάσεις ή μέθοδοι (τρόποι) σκέψης.

ΕΠΙΛΟΓΟΣ

Ο στόχος μου σε αυτό το κεφάλαιο ήταν να εγκαθιδρύσω μια λογική για την εικασία ότι οι μαθηματικές αναπαραστάσεις είναι κοινωνικές κατασκευές. Οι κόσμοι των αριθμών εμπεριέχονται σε παγκόσμιες απόψεις και αντανακλούν παγκόσμιες απόψεις. Οι παγκόσμιες απόψεις περισσότερο ή λιγότερο κατανοητές, περισσότερο ή λιγότερο διατυπωμένες, περισσότερο ή λιγότερο αναλυτικά ανακτήσιμες) είναι προϊόντα κοινωνικών δομών που δημιουργήθηκαν από τους ανθρώπους, καθώς αγωνίζονται να προσδιορίσουν και να χρησιμοποιήσουν πρότυπα και κανονικότητες στον κόσμο. Η επιτυχία των κοινωνικών δομών και των παγκόσμιων απόψεων στον αγώνα για επιβίωση και ανάπτυξη, είναι μια μέτρηση της έκτασης στην οποία παρέχουν πρόσβαση στον κόσμο και στο εαυτό μας, με όλη τους την πληρότητα, πολυπλοκότητα και βάθος και όχι σε μια απατηλή επίπεδη, γήινη πραγματικότητα ή σε μια στενή (για παράδειγμα εθνοκεντρική) ενόραση του πραγματικού κόσμου. Ενώ είναι επικίνδυνο να ταυτοποιούμε μια ιδιαίτερα επιτυχή επιστημονική στρατηγική σαν παραδειγματική, είναι ομοίως επικίνδυνο να δώσουμε σε όλες τις επιστημονικές στρατηγικές ισοδύναμη υπόσταση και αξιοπιστία.

Μερικές στρατηγικές είναι καλύτερες από άλλες κάτω από περισσότερο ή λιγότερο συγκεκριμενοποιήσιμες συνθήκες - όχι επειδή είναι η αλήθεια, αλλά επειδή παραχωρούν έδαφος στην επίκριση (κρίση) και διευκολύνουν την αλλαγή.

Η εικασία κοινωνικής κατασκευής, βασίζεται τελικά στο γεγονός ότι τίποτα δεν βιώνεται χωρίς προηγούμενη κοινωνικοποίηση. Οι αναπαραστάσεις είναι πολυ- διάστατες κατασκευές που ανατέλλουν στους ενδιαμέσους τομείς των ιστοριών ζωής, του πολιτισμού, και της κοινωνικής δομής, και του υλικού κόσμου.

Είναι εργαλεία, με την ευρύτερη έννοια, για να προσαρμοστούμε στον κόσμο και να μετασχηματίσουμε (διαμορφώσουμε) τον κόσμο. Η ερώτηση προκύπτει γιατί θα έπρεπε να διστάσουμε να διαβεβαιώσουμε ότι ορισμένες αναπαραστάσεις, όπως 2x 2=4 ή F=ma είναι ακριβείς αναπαραστάσεις ή τουλάχιστον περισσότερο ακριβείς από άλλες; Η απάντηση σε αυτή την ερώτηση θα έπρεπε ομοίως να πλαισιωθεί κατά τέτοιο τρόπο που να μην προκαλεί τους ρεαλιστές να επιχειρηματολογήσουν τρυπώντας φλιτζάνια σε τραπέζια ή κλωτσώντας πέτρες. Ούτε θα έπρεπε να ενθαρρύνει τους σχετικιστές να ερμηνεύσουν εναλλακτικές παγκόσμιες απόψεις και αλλοιώσεις στις παγκόσμιες απόψεις, σαν μια βάση για να δώσουν σε όλες τις επιστημονικές στρατηγικές ίση υπόσταση, υιοθετώντας μια απολυταρχική (ολοκληρωματική) ανοχή και αποφεύγοντας δεσμεύσεις αξίας (αξιολόγησης).

Κατά πρώτο λόγο έχουμε αρχίσει μόνο πρόσφατα να κατανοούμε τις κοινωνικές ρίζες και τα κοινωνικά περιεχόμενα της επιστήμης και των μαθηματικών. Αυτό από μόνο του δεν είναι λόγος να εγκαταλείψουμε την έννοια της ακριβούς αναπαράστασης. Αλλά θα πρέπει να είμαστε προσεκτικοί, να μην αφήσουμε μια δέσμευση στην ακριβή αναπαράσταση να παρεμποδίσει τις κοινωνιολογικές αναλύσεις τρων επιστημονικών και μαθηματικών αναπαραστάσεων, της αντίληψης και της γνώσης. Ιδιαίτερα, θέλουμε να ακολουθήσουμε τις εικασίες σχετικά με τους αριθμούς, για παράδειγμα σαν αναπαραστάσεις των θεοτήτων, των πολιτισμών, των ρόλων και εγκαθιδρύσεων, της αφηρημένης ευκολίας, της καπιταλιστικής δομής και της πραγματικότητας. Ο Frleck είπε για τις επιστημονικές λέξεις κάτι που μπορούσαμε να πούμε για τους αριθμούς: ότι μπορεί να είναι σλόγκαν και εκκλήσεις σε μάχη. Όλες αυτές οι εικασίες θα έπρεπε να εξερευνηθούν πλήρως.

Δεύτερον, ο κόσμος - ακόμα κι αν συμφωνούμε ότι είναι κατά κάποια έννοια εξορισμού πραγματικός ή αντικειμενικός - έχει στην πραγματικότητα αποδειχτεί ότι είναι πολύ πολύπλοκος για μας για να προσπαθήσουμε να επιβιώσουμε και να εξελιχθούμε σε αυτόν, ατομικά και συλλογικά, με μια ομάδα απόλυτων αληθειών, αναμφισβήτητων βεβαιοτήτων, και ακριβών αναπαραστάσεων. Αν μη τι άλλο, η ιστορία μας δείχνει την σοφία του να είμαστε προετοιμασμένοι να ενεργήσουμε στην πιθανότητα ότι το πα πράγματα θα μπορούσαν να είναι αλλιώς άσχετα, με την ένταση των πεποιθήσεών μας σχετικά με αναγκαίες αλήθειες. Η στρατηγική μας, για να αποφύγουμε τον αφελή ρεαλισμό και τον ριζικό (ριζοσπαστικό) σχετικισμό, είναι να υιοθετήσουμε ακριβείς αναπαραστάσεις, αν αυτό φαίνεται χρήσιμο, αλλά να τις σκεφτόμαστε σαν αστεία έτσι ώστε να μην γυρίσουν σε εξουσιαστικούς, δογματικούς δαίμονες. Oι Einstein & Feynman είναι ανάμεσα σε αυτούς τους επιστήμονες που πρότειναν αυτό το είδος στρατηγικής.

Τα εναλλακτικά μαθηματικά, που προτάθηκαν από τους Βloor και Wittgenstein δεν υποστηρίζουν τον σχετικισμό. Αφήνουν ανέπαφη μια δύστροπη πραγματικότητα που περιορίζει τους αριθμητικούς κόσμους μας και χρησιμεύει σαν βάση για να εξακριβώσουμε λάθη, λάθος υπολογισμούς, φιλοσοφικά παιχνίδια, λογοτεχνικές άδειες και ακόμα για να επικοινωνήσουμε τα αποτελέσματα κοινωνιολογικών μελετών των μαθηματικών. Το ίδιο είναι αλήθεια για ισχυρισμούς σχετικά με την εναλλακτική λογική ανάμεσα στο Azande και άλλες προβαλλόμενες ανθρωπολογικές ανωμαλίες. Υπάρχει μια μορφή σχετικισμού που προτείνεται από τις διακυμάνσεις στις μαθηματικές ιδέες και κάποιο είδος ρεαλισμού που προτείνεται από την δύστροπή πραγματικότητα. Οι Spengler, Wittgenstein και άλλοι έδειξαν να διαπραγματεύονται με το πρόβλημα του πως να αποφύγουμε τις παθολογίες του ρεαλισμού και τους παραλογισμούς του ριζοσπαστικού σχετικισμού. Συμφωνούν ότι η διέξοδος του διλήμματος σχετικισμού - ρεαλισμού, είναι να αναγνωρίσουμε ότι κάποιος πρέπει να παίρνει αποφάσεις πολιτικής και να υιοθετήσει την ιδέα να διαμορφώνει και να δρα (ενεργεί) σε εικασίες χωρίς να επενδύει σε αυτές με θετικό και απόλυτο πιστεύω.

Μια τρίτη πηγή ενστάσεων (αντιρρήσεων) στην ιδέα των ακριβών αναπαραστάσεων είναι αυτό που καλώ το γενικό θεώρημα περιορισμού: Αυτό είναι μια γενίκευση αρκετών τύπων περιοριστικών θεωρημάτων στα ανώτερα μαθηματικά και τη λογική και εκφράζει την αδυνατότητα ακριβούς αναπαράστασης με την έννοια των αφελών ρεαλισμών. Τα κύρια περιοριστικά θεωρήματα περιλαμβάνουν.

1. Gö del: θέτει βασικούς περιορισμούς σε ασυνεπή τυπικά συστήματα με αυτο- απεικονίσεις.

Church: δεν υπάρχει αλάνθαστη μέθοδος για να ξεχωρίσουμε τα θεωρήματα των προδηλούμενων υπολογισμών από τα μη- θεωρήματα.

Turing: ένας έλεγχος τερματισμού είναι αδύνατος (μια τέτοια διαδικασία απόφασης θα επέτρεπε σε όλα τα προβλήματα της θεωρίας των αριθμών να επιλυθούν με ένα ομοιόμορφο τρόπο).

Tarski: δεν υπάρχει διαδικασία απόφασης για την αριθμητική αλήθεια.

Beppo Levi και Geymonat: ένα λογικό σύστημα δεν μπορεί να εκφράζεται μέσα από τον συμβολισμό, ακόμα κι όταν ο συμβολισμός κατανοείται σαν οποιαδήποτε ακριβή γλώσσα κατά την έννοια που ορίζεται από τον Carnap Cif.N.Campbell - μόνο μερικές ιδιότητες και όχι όλες μπορούν να αναπαρασταθούν από αριθμούς) και

μια λογική απόδειξη δεν μπορεί να καθιερώσει την ύπαρξη μιας ανώτερης λογικής. Οποιαδήποτε απόδειξη θεωρήσει κάποιος θα προϋποθέτει την ύπαρξη της πολλής λογικής που προσπαθούσε να αποδείξει (Η ύπαρξη της ανώτερης λογικής μπορεί να παραδεχτεί μόνο μέσα από την επινόηση).

Τέλος, μπορούμε να εκφράσουμε τον δισταγμό μας σχετικά, ή άμεσα με την αντίρρηση (ένσταση) για ακριβή αναπαράσταση με όρους του ιδανικού των Dewey, Wittgenstein και Heidegger, σύμφωνα με τον Porty (1979: 9):

"Αν έχουμε μια Deweyan αντίληψη της γνώσης ως προς το τι είμαστε δικαιολογημένοι να πιστεύουμε, τότε δεν θα φανταστούμε ότι υπάρχουν συνεχείς εξαναγκασμοί στο τι μπορεί να μετρήσει σαν γνώση, αφού θα βλέπουμε την αιτιολόγηση σαν ένα κοινωνικό φαινόμενο μάλλον, παρά σαν μια αλληλεπίδραση ανάμεσα στο γνωστικό αντικείμενο και την πραγματικότητα.

Αν έχουμε μια Wittgensteinian έννοια της γλώσσας σαν εργαλείο μάλλον παρά σαν καθρέφτη, δεν θα ψάξουμε για τις απαραίτητες συνθήκες της πιθανότητας της γλωσσολογικής αναπαράστασης. Αν έχουμε μια Heidiggerian αντίληψη της φιλοσοφίας, θα δούμε την απόπειρα να κάνουμε τη φύση του γνωστικού αντικειμένου μια πηγή αναγκαίων αληθειών, σαν μια περισσότερο αυτο-απατηλή προσπάθεια να υποκαταστήσουμε μια τεχνική και καθοριστική ερώτηση, γι΄αυτή την ειλικρίνεια (ανοικτότητα) στην ιδιομορφία που μας ώθησε αρχικά να αρχίσουμε να σκεφτόμαστε".

Ο δίπτυχος κριτικός, πραγματικός ισχυρισμός του Porty μπορεί να εκφραστεί ως ακολούθως:

"Οι κόσμοι φτιάχτηκαν κάνοντας τέτοιες παραλλαγές με τις λέξεις, τους αριθμούς, τις εικόνες, τους ήχους ή άλλα σύμβολα κάθε είδους σε κάθε μέσο και η συγκριτική μελέτη αυτών των εκδοχών (παραλλαγών) και ενοράσεων και της κατασκευής τους (και του προϊόντος τους) είναι αυτό που ονομάζω μια κριτική της κατασκευής του κόσμου (Goodman 1978:94)".

"...η έννοια της γνώσης σαν συνάθροιση ακριβών αναπαραστάσεων είναι προαιρετική...μπορεί να αντικατασταθεί από μια πραγματική αντίληψη της γνώσης που απομακρύνει την Ελληνική αντιπαράθεση ανάμεσα στην θεωρία και την πράξη, ανάμεσα στο να αναπαραστήσουμε τον κόσμο και να τον αντιγράψουμε (Rorty, 1979:11)".

Aυτές οι απόψεις ταιριάζουν σε μερικές πλευρές με την αντίληψη του James Clerk Maxwell για τις αναπαραστάσεις σαν στρατηγικές για την κατασκευή μοντέλων που μπορούν να δουλέψουν μάλλον παρά σαν τρόπους συμβολικά αντικατοπτρίζουσας πραγματικότητας. Έτσι, ο Maxwell κάνει μια διάκριση ανάμεσα στη συνεχή αναπαράσταση και τη δομή της ίδιας φύσης (Heimann 1970:175).