Πέμπτη 8 Δεκεμβρίου 2011

ΟΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΦΗΡΗΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ



ΟΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΦΗΡΗΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ


[Κεφάλαιο 10]

Sal Restivo


Νωρίτερα, ανέφερα την αποκρυσταλλοποίηση των αφηρημένων Μαθηματικών στα πανεπιστήμια και τις ακαδημίες της κεντρικής Ευρώπης. Θέλω τώρα να εξετάσω τις ιδέες και την συμβολή μερικών από τους κυριότερους συνεισφέροντες στα σύγχρονα αφηρημένα Μαθηματικά κατά τη διάρκεια της περιόδου της αποκρυσταλλοποίησής τους. Οι αρχές της σύγχρονης μετάβασης από τα Μαθηματικά της επιβίωσης στα αφηρημένα Μαθηματικά μπορούν ήδη να φανούν γραφικά στις μαθηματικές εργασίες του Isaac Newton.Στις προτάσεις 35-41 του βιβλίου Principia βρίσκουμε διαγράμματα στα οποία η αριστερή πλευρά αντιπροσωπεύει την φυσική περιγραφή μιας πραγματικής πλανητικής τροχιάς, ενώ η δεξιά πλευρά αντιπροσωπεύει τα αποτελέσματα μαθηματικών χειρισμών και συλλογισμών. Αυτού του είδους τα διαγράμματα (τα οποία μου επισημάνθηκαν από τον Michael Mahoney του πανεπιστημίου του Princeton) βρίσκονται μεταξύ της κλασσικής γεωμετρικής αναπαράστασης της φυσικής πραγματικότητας και τα χωρίς διαγράμματα έργα του Lagrange.Η αναλυτική επέκταση του Varignon στα Νευτώνια μαθηματικά άνοιξε το δρόμο για την αναλυτική λεπτολογία των Euler και Lagrange.

Ο Gauss επίσης προχώρησε πιο πέρα από τα Μαθηματικά της επιβίωσης. Αλλά ποτέ δεν πέρασε ολοκληρωτικά το κατώφλι των αφηρημένων Μαθηματικών. Ο μαθηματικός που του άρεσε να θεωρεί τον εαυτό του ως ταυτόχρονα “τον πιο εκλεπτυσμένο γεωμέτρη” και “τον πιο αγνό αστρονόμο” εργάστηκε μεταξύ των “μαγνητικών πόλων” των αφηρημένων Μαθηματικών και της Αστρονομίας (Dunnington, 1955:113).

Ο Νewton και ο Gauss εργάστηκαν στην διαχωριστική γραμμή. Η σύγκρουση μεταξύ αφηρημένων και εφαρμοσμένων Μαθηματικών στη σύγχρονη μορφή ξεκινά από την δεκαετία του 1860.Ο δέκατος έβδομος αιώνας γίνεται μάρτυρας της αρχής του τέλους των ερασιτεχνικών Μαθηματικών. Την εποχή αυτή τέθηκε εντονότατα το ζήτημα αν τα Μαθηματικά θα ανταποκρίνονται αποκλειστικά και μόνο στα προβλήματα της καθημερινής ζωής ή θα αποκτήσουν μια γενικότερη και πιο αφηρημένη έννοια. Ίσως το γεγονός ότι η σύγκρουση ανάμεσα στα αφηρημένα και τα εφαρμοσμένα Μαθηματικά παρουσιάστηκε αυτήν ακριβώς τη χρονική στιγμή έχει τις ρίζες του στην Βιομηχανική Επανάσταση και τις βαθύτατες αλλαγές που αυτή έφερε σε κοινωνιολογικό και επιστημονικό επίπεδο. Μεταξύ 1485 και 1715 ο ρόλος του πρακτικού μαθηματικού, προάγγελος του επαγγελματία μαθηματικού, σταθεροποιήθηκε (Taylor, 1954).

Η δουλειά του Newton βοήθησε στη σφυρηλάτηση μιας νέας στάσης σχετικά με τη σημασία των Μαθηματικών και την ανάγκη της προβολής της ως ένα δημιουργικό πεδίο μελέτης. Η διδασκαλία, όπως έχουμε δει στη θεωρία και στην πράξη, διαδραματίζει ένα σημαντικό ρόλο στη γέννηση των αφηρημένων, επαγγελματικοποιημένων Μαθηματικών. Μεταξύ του 1695 και του 1714 στην Αγγλία, η πρακτική γεωμετρία και η Αστρονομία εισήχθησαν ως κανονικά μέρη του σχολικού προγράμματος. Η είσοδος των Μαθηματικών στο σχολικό πρόγραμμα τα έφερε σε επαφή με πλατύτερα κοινωνικά στρώματα, τα οποία ενδιαφέρθηκαν για τη μελέτη τους και την σε βάθος κατανόησή τους. Δημιουργήθηκε έτσι η ανάγκη για την ύπαρξη επαγγελματιών μαθηματικών που θα μετέδιδαν τις μαθηματικές γνώσεις σε αυτά τα στρώματα και θα προωθούσαν την περαιτέρω καλλιέργειά τους. Χοντρικά, αυτή ήταν μια περίοδος κατά την οποία οι δάσκαλοι εργάζονταν κάτω από συνθήκες συγκρινόμενες με αυτές στις οποίες δούλευαν οι Αρχαίοι Βαβυλώνιοι γραφείς. Στους μαθητές δίνονταν προβλήματα πάνω στη ναυτιλία, τις οχυρώσεις κλπ. (εφαρμοσμένα Μαθηματικά στη μορφή), αλλά τα προβλήματα ήταν τελείως ξεκομμένα από την “πραγματικότητα” και από την πρακτική εφαρμογή (αφηρημένα Μαθηματικά στην ουσία).

Αλλά, στις αρχές του 1800, ειδικότητες επινοήθηκαν και οργανώθηκαν σε μεγάλη κλίμακα και η διάκριση μεταξύ εφαρμοσμένων και αφηρημένων επιστημών γινόταν όλο και πιο φανερή. Μεταξύ του1820 και του 1840 οι παραδοσιακές διαχωριστικές γραμμές ανάμεσα στις ιδιότητες του εφευρέτη, του δημιουργού και του χρήστη εξαφανίστηκαν στο μεγαλύτερο μέρος τους, καθώς οι χειρωνακτικοί εργάτες έγιναν εργοστασιακά χέρια, οι κατασκευαστές οργάνων έγιναν πωλητές και οι κύριοι της επιστήμης έγιναν πληρωμένοι επαγγελματίες. Σημαντικό ρόλο στην κατάργηση αυτών των διαχωριστικών γραμμών έπαιξε και η άνοδος της αστικής τάξης, η οποία άρχισε να αυξάνει τη δύναμή της, να διεκδικεί το δικό της μερίδιο στις καθημερινές κοινωνικές διαδικασίες και, τελικά, να παίζει έναν όλο και πιο ενεργό και σημαντικό ρόλο στην καθημερινή ζωή. Αυτή η διαδικασία είχε τις δικές της κεντρικές και περιφερειακές εικόνες. Στο κέντρο βρίσκουμε μεγαλύτερη περιπλοκότητα, περισσότερη εστίαση και δημιουργία θεσμών. Είναι ευκολότερο να δούμε την γενική τάση των αφηρημένων Μαθηματικών όταν κοιτάζουμε την ακραία συνεισφορά τους στην περιφέρεια της δημιουργίας θεσμών. Η συνεισφορά των Boole και Hamilton στις αρχές αυτής της διαδικασίας και των Frege, Peano, Russel και Whitehead αργότερα σπρώχνουν την καθαρότητα και την λογικότητα στα άκρα, τουλάχιστον εν μέρει, αν όχι πρωταρχικά, επειδή η εργασία συμβαίνει στην περιφέρεια των σημαντικών θεσμικών αλλαγών. Αυτοί οι άνθρωποι ήταν στην καλύτερη θέση να σκεφτούν πάνω στα Μαθηματικά για το δικό τους καλό και να εκτελέσουν την επαναληπτική διαδικασία που οδήγησε σε όλο και πιο υψηλά επίπεδα αφαίρεσης.

Η μετάβαση στα σύγχρονα αφηρημένα Μαθηματικά πρώτου βαθμού γίνεται αργά κατά τα πρώτα στάδια της “Επιστημονικής Επανάστασης”. Ο D.F.Gregory, ο πρώτος εκδότης του Cambridge Mathematical Journal, ήταν ένας από τους μελετητές που έφεραν τα Μαθηματικά του 19ου αιώνα στα όρια της μετάβασης. Πέθανε το 1844. Ο Boole βοήθησε στη μοντελοποίηση της μετάβασης. Νωρίτερα, ανέφερα την ιδέα της γενεαλογικής συνέχειας και το ρόλο της στην ανάπτυξη της εστίασης στα προϊόντα των πρώτων γενεών μαθηματικών από μεταγενέστερες γενιές. Ενώ οι κοινωνιολογικές συνθήκες για αυτή την ανάπτυξη δεν είναι ευρύτερα αναγνωρισμένες, η επαναληπτική διαδικασία που συμμετείχε στη δημιουργία όλο και πιο αφηρημένων Μαθηματικών έχει αναγνωριστεί από τους μαθηματικούς και από ορισμένους φοιτητές της μαθηματικής κοινότητας. Η αντίληψη του Garding (1977:67) της “δεύτερης γενιάς” αφηρημένων μοντέλων είναι μια από τις πολλές μορφοποιήσεις της επαναληπτικής αρχής. Ο J.J.Sylvester, το 1851, περιέγραψε τη θεωρία των οριζουσών ως μια “άλγεβρα πάνω στην άλγεβρα”. Και το 1981, ο διάσημος αλγεβριστής Saunders MacLane περιέγραψε τα Μαθηματικά ως μια επαναληπτική δραστηριότητα. Μπορούμε να δούμε αυτή τη διαδικασία εν δράσει σε περιπτώσεις όπως η ανάπτυξη της ιδέας του κενού ως μια δομή της Θεωρίας της Σχετικότητας και στην ανάπτυξη των κωνικών τομών, των δευτεροβάθμιων επιφανειών, των δευτεροβάθμιων μορφών και των αυτοεφαπτόμενων χειριστών της θεμελίωσης των πρακτικών Μαθηματικών σε μια περίοδο δύο χιλιάδων ετών. Η επανάληψη είναι εμφανής στις διαδικασίες γενίκευσης όπως αυτές που παρουσιάζονται στο Principia Mathematica των Whitehead και Russel το οποίο ενώνει την άλγεβρα λογικής των Boole-Schroeder και τις θεωρίες των Frege, Cantor και Peano ή της “φυσικής γενίκευσης καμπυλών και επιφανειών” που παράγει αντικείμενα μια p-πολλαπλότητα που βρίσκεται σε κάποιο Rμε n>p (Garding, 1977:62). Στα μετα-Μαθηματικά παίρνουμε το S,τα μετα-Μαθηματικά του S,με τη δημιουργία προτάσεων όπως ’’’7+5=12’ που είναι ένα θεώρημα στα Sθεωρήματα στο S. Κοινωνιολογικά,η πρόοδος των αφηρημένων Μαθηματικών αντανακλάται στο βαθμό που οι μαθηματικές διατυπώσεις μπορούν να κατανοηθούν από διάφορες κοινότητες. Η επαναληπτική διαδικασία και η διαδικασία που δημιουργεί έναν όλο και πιο στενό κύκλο κατανόησης πάνε μαζί. Ο Garding (1977:260-261) δίνει ένα απλό παράδειγμα του τι συμβαίνει σε μαθηματικό επίπεδο. Αν γράψουμε


6=2 3


ο καθένας καταλαβαίνει τι εννοούμε. Αυτή η εξίσωση είναι συγκεκριμένη και σχετική με τις καθημερινές εμπειρίες και τα Μαθηματικά της επιβίωσης. Ένα δεύτερο επίπεδο εκτείνεται όταν διατυπώνουμε την ίδια βασική ιδέα που διέπει την 6=2 3 ως εξής:


y=2x, για κάθε x


Τώρα ο κύκλος της κατανόησης είναι πιο στενός. Μπορούμε να δημιουργήσουμε έναν ακόμα στενότερο κύκλο κατανόησης με το να προχωρήσουμε την συνέχεια της επαγγελματικοποίησης των Μαθηματικών, έτσι ώστε να φτάσουμε στην ακόλουθη διατύπωση:


το y θα είναι ανάλογο του

x αν υπάρχει ένας αριθμός τέτοιος

ώστε y=ax για κάθε τιμή του x και

την αντίστοιχη τιμή του y.


Μια τέτοια διαδικασία ευνοεί την ανάπτυξη των αφηρημένων Μαθηματικών, όχι όμως και τη διάδοσή τους στο ευρύ κοινό. Η επιστήμη όμως πρέπει να μην έχει ως σκοπό μόνο την πρόοδό της, αλλά και την όσο το δυνατό ευρύτερη διάδοση των εννοιών της στο κοινωνικό σύνολο. Φτάνουμε λοιπόν σε ένα αδιέξοδο που έχει απασχολήσει και συνεχίζει να απασχολεί έντονα τους φιλόσοφους ανά τον κόσμο.

Ο Boole είναι ένας από τους πρώτους μαθηματικούς που αντιμετώπισε τις μαθηματικές πράξεις ως οντότητες. Στα 1844, ο Boole επιχειρηματολογούσε ότι τα Μαθηματικά είναι στην ουσία η μελέτη της μορφής και της δομής και ότι τα “αφηρημένα Μαθηματικά” ασχολούνται με τους νόμους των συνδυασμών συμβόλων ή “τελεστών” (με την ευρεία έννοια). Αναπόφευκτα, ο Boole οδηγήθηκε να ερευνήσει για “νόμους της σκέψης” που ήταν ανεξάρτητοι από τον καθημερινό αισθητήριο κόσμο. Ο Frege επίσης έψαξε να “αποκλείσει με σιγουριά όλα όσα προήλθαν από άλλες πηγές γνώσης (διαίσθηση, αισθητική εμπειρία)” και αυτό τον οδήγησε στο να προσπαθήσει να βασίσει την αριθμητική μόνο στη λογική. Μέχρι τότε τα Μαθηματικά στηρίζονταν σε μεγάλο βαθμό στη διαίσθηση και την παρατήρηση. Την εποχή εκείνη όμως έγινε μια προσπάθεια για τη θεμελίωση των Μαθηματικών σε λιγότερο εμπειρικές και πιο θεωρητικές βάσεις. Αυτός ισχυρίστηκε ότι ο συλλογισμός προϋποθέτει σκέψεις κατανόησης που ήταν ήδη αντικειμενικά παρούσες.

Πολλοί μαθηματικοί ενδιαφέρονται για τη γλώσσα. Αλλά οι μεγάλοι συνεισφέροντες στην ακραία κάθαρση των Μαθηματικών και της Λογικής δείχνουν ένα εξίσου ακραίο και πρώιμο ενδιαφέρον και ικανότητα στο χειρισμό της γλώσσας. Ο πατέρας αυτής της πλευράς της μαθηματικής εργασίας είναι ο Leibniz, του οποίου το πρόγραμμα για μια παγκόσμια γλώσσα αποτελεί την έμπνευση για τους περισσότερους, αν όχι για όλους τους μεγάλους εξαγνιστές. Ο άλλος τους μεγάλος ήρωας είναι φυσικά ο Αριστοτέλης, εξ αιτίας της συνεισφοράς του στη Λογική. Οι Boole και Hamilton για παράδειγμα, ήταν εξαιρετικοί γνώστες των γλωσσών και του κλασικισμού. Ίσως είναι αυτή η πρώιμη έκθεση στους κλασσικούς και στις γλώσσες που προδιαθέτει κάποιον να ασχοληθεί με τα Μαθηματικά με έναν άκρως δομημένο και πολύ αφαιρετικό τρόπο. Άνθρωποι όπως οι Boole και Hamilton μπορούν να μάθουν τα Μαθηματικά σαν μια γλώσσα με την οποία μπορείς να παίξεις με τον ίδιο τρόπο με τον οποίο παίζεις μαζί της στην ποίηση. Και πράγματι, ένα ενδιαφέρον για την ποίηση, αν όχι μια ικανότητα για διάκριση σ’ αυτή, δεν είναι καθόλου ασυνήθιστο μεταξύ αυτών των ανθρώπων. Θέλω να τονίσω ότι αυτές οι ικανότητες και οι προδιαθέσεις είναι λειτουργίες που ενισχύονται από την κοινωνική θέση.

Ο Boole και ο Hamilton βλέπουν τα αφηρημένα Μαθηματικά ως μια καθαρά διανοητική διαδικασία, περιορισμένη αποκλειστικά στην αιτία. Ας δούμε αυτή την άποψη και ας εξετάσουμε πώς μπορούμε εμείς να εξηγήσουμε κοινωνιολογικά την ατομική εμπειρία της αφαίρεσης. Έπειτα θα δείξω πώς αυτή η εμπειρία μεταφράζεται σε μια πολιτική αφηρημένων Μαθηματικών στο κοινωνικό επίπεδο της ανάλυσης.

Όπως οι Boole και Hamilton στα πρώτα στάδια της ανάπτυξης των Μαθηματικών ως επάγγελμα, αργότερα ο Poincare εξέφρασε τις απόψεις για μια ταχέως επαγγελματικοποιημένη μαθηματική κοινότητα, όσον αφορά τη μαθηματική δραστηριότητα. Για τον Poincare τα Μαθηματικά είναι μια δραστηριότητα του μυαλού, η οποία παίρνει τα λιγότερα από τον έξω κόσμο από κάθε άλλη ανθρώπινη δραστηριότητα. Παρόλα αυτά, δεν θα έπρεπε να ξεχνάμε ότι τα Μαθηματικά, όπως και όλες οι θετικές επιστήμες, ξεκίνησαν από την ανάγκη ερμηνείας, κατανόησης και επίλυσης των καθημερινών πρακτικών προβλημάτων. Η σκέψη σε αυτή την περίπτωση “λειτουργεί ή φαίνεται να λειτουργεί από μόνη της και μόνο για αυτή…”. Εισηγείται λοιπόν ότι “μελετώντας τη διαδικασία της γεωμετρικής σκέψης μπορούμε να ελπίζουμε ότι θα φτάσουμε το πιο ουσιώδες της ανθρώπινης σκέψης”.

Οι Boole και Hamilton περιγράφουν εμπειρίες που σχετίζονται με μια κλειστή προσωπική γλωσσική “κοινότητα”. Παράγοντες όπως η απομόνωση, η συγκέντρωση και η έλλειψη ενδιαφέροντος ή η έλλειψη υλικών αγαθών μπορούν να συνεισφέρουν σ’ αυτό τον αποκλεισμό και να διεγείρουν μια εξαγνιστική άποψη του ατόμου. Δεν θα έπρεπε να αποτελεί έκπληξη ότι τέτοια άτομα τείνουν να είναι ιδεαλιστές και με εξαγνιστική διάθεση απέναντι στον έρωτα και την πολιτική, καθώς τείνουν να είναι και θρησκευάμενα.

Ο Poincare περιγράφει μια παρόμοια εμπειρία, αλλά τώρα αυτός είναι ένας αντιπρόσωπος μιας σχετικά κλειστής κοινωνικής γλωσσικής κοινότητας, δηλαδή ενός επαγγέλματος ελεύθερου και ικανού να διαχωρίσει τον εαυτό του μέχρι κάποιο επίπεδο από υπαρξιακές ανησυχίες. Με έναν τρόπο που είναι παράλληλος με ότι συμβαίνει στο άτομο στην περιφέρεια, η ένταση σε μια τέτοια κοινότητα εσω-εσωτερικού διαλόγου μακρά ξεπερνάει την ένταση σε μια κοινότητα εσω-εξωτερικού διαλόγου. Σε τέτοιες κοινότητες, τα φυσικά και υλικά ενδιαφέροντα τείνουν να υποταχθούν σε συμβολικά ενδιαφέροντα.

Αν ακολουθήσεις τον Poincare και τους άλλους, τότε έχεις να εξηγήσεις πώς είναι δυνατό τα Μαθηματικά που δεν εξαρτώνται από την εξωτερική πραγματικότητα να βρίσκουν εφαρμογή σ’ αυτή την πραγματικότητα. Η απάντηση του Hamilton είναι ότι η συμφωνία μεταξύ των νόμων της σκέψης και την τάξη της φυσικής πραγματικότητας είναι δουλειά του Θεού. Εν τούτοις, καθώς βλέπουμε ότι τα Μαθηματικά που έχουν βάση σε καθαρά μη κοσμικά ερεθίσματα έχουν εφαρμογή στην καθημερινή ζωή, δεν μπορούμε παρά να παρατηρήσουμε ότι υπάρχει μια αμφίδρομη σχέση μεταξύ των Μαθηματικών της επιβίωσης και των Μαθηματικών που δεν εξαρτώνται από την εξωτερική πραγματικότητα. Ο Newman (1956:2051-2052) από την άλλη, αναγνωρίζει ότι κάθε άποψη που αποτυγχάνει να συνδέσει τα Μαθηματικά με την ανθρώπινη εμπειρία πρέπει τελικά να καταφύγει στο “μυστικισμό”:


…μαθηματικές δραστηριότητες που έχουν αφαιρετικά επινοηθεί, συχνά βοηθούν την πρακτική εργασία του κόσμου. Αυτό υπονοεί, αν δεν αποδεικνύει μια βαθύτερη σύνδεση.


Το να αποκαλυφθεί αυτή η σύνδεση είναι δύσκολο. Ένας από τους παράγοντες που συνεισφέρει στην αντίληψη των Μαθηματικών ως μια καθαρά πνευματική δημιουργία είναι η εμπειρία των “μη απεικονίσιμων” ιδεών. Ένας κύκλος του οποίου λείπει ένα σημείο είναι ένα παράδειγμα μιας “μη απεικονίσιμης” έννοιας. Η τομή Dedekind είναι ένα άλλο παράδειγμα. Για την αριθμητική ή κάθε άλλο ανθρώπινο προϊόν, η ανάπτυξη “έξω από αυτό” [Dedekind (1956:529)] μιας συλλογικής ή κοινοτικής σκέψης πρέπει να φτάσει έναν υψηλό βαθμό αποκλεισμού και αυτονομίας. Αυτή η οργανωτική ή δομική κατάσταση συνοδεύεται από μια επαναληπτική διαδικασία στην οποία τα πράγματα που παράγονται αποτελούν την πρώτη ύλη για την επόμενη ομάδα παραγωγικών δραστηριοτήτων.

Η επανάληψη, όπως έχω τονίσει, έχει ως αποτέλεσμα τον εξευγενισμό των μορφωτικών μέσων που οι γενεές απόσπασαν από τον καθημερινό κόσμο της υπόστασης. Όσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός εξευγενισμού, δηλαδή αφαίρεσης, τόσο πιο δύσκολο γίνεται να σχηματιστεί η εικόνα μιας δοθείσας ιδέας με όρους του καθημερινού κόσμου. Η διάχυση μιας αρχικά μη απεικονίσιμης ιδέας στην ευρεία κοινωνία προϋποθέτει μια πηγή επανατροφοδοσίας από τον καθημερινό κόσμο που μπορεί τελικά να σχηματίσει μια εικόνα. Οι αναλογίες και οι μεταφορές, όσο ακριβείς κι αν είναι, μπορεί τελικά να είναι αυτά στα οποία καταφεύγουμε. Στο επίπεδο που αυτό αποτυγχάνει, τότε είναι πιθανό εξ’ ορισμού τουλάχιστον η αναπαράσταση μιας μη απεικονίσιμης ιδέας, όποια μορφή κι αν παίρνει, αργά ή γρήγορα να θεωρηθεί ως η εικόνα της ιδέας. Μπορεί να υπάρχει ένα όριο στη διαδικασία της αφαίρεσης. Χωρίς αλληλεπίδραση ανάμεσα στο αφηρημένο και στο συγκεκριμένο, η αφαίρεση μπορεί να γίνει μια παθολογική διαδικασία αποκλεισμού που τελικά μπλοκάρει τις ίδιες τις διαδικασίες σκέψης του ατόμου, καθώς και τις σχέσεις του με τους άλλους. Θα συζητήσω αυτή τη διαδικασία αναλυτικότερα στον επίλογό μου.

Το 1905 ο Keyser αναγνώριζε ότι οι έννοιες και οι αποδείξεις των Μαθηματικών αποτελούν κατά βάση κοινωνικές υποθέσεις: “Πρέπει να είναι κατανοητές σε τουλάχιστον δύο μυαλά ή ισοδύναμα σε ένα πρόσωπο τουλάχιστον δυο φορές”. Ο Moore (1982:137), παραπέμποντας στον Keyser, παρατηρεί ότι


…παρ’ όλο που ο Cantor κατείχε ένα επιχείρημα (αν θεωρήσουμε το θεώρημα της καλής τάξης) κατανοητό σε τουλάχιστον τρία άτομα (τον Harward, τον Jourdain και τον εαυτό του), αυτό ποτέ δεν απόκτησε ευρύτερη ισχύ. Αυτό που είναι σημαντικό για μια απόδειξη ή μια έννοια ως μια κοινωνική υπόθεση είναι ότι γίνεται ενδιαφέρον σε μια μαθηματική κοινότητα που τότε εκμεταλλεύεται τις δυνατότητές του.


Το ζήτημα του νοήματος της μαθηματικής ύπαρξης παίρνει δραματική τροπή σαν αποτέλεσμα της επαγγελματικοποίησης των μοντέρνων Μαθηματικών και της αφαίρεσης, μια στροφή που αντικατοπτρίζει αλλά και συνεισφέρει στην αντίληψη ότι υπάρχουν αφηρημένες μαθηματικές ιδέες. Δυο είδη αποδείξεων, άμεσες και έμμεσες, υπάρχουν τουλάχιστον από την εποχή του Ευκλείδη. Στις άμεσες αποδείξεις η ύπαρξη ενός μαθηματικού αντικειμένου αποδεικνύεται με την κατασκευή ενός συγκεκριμένου παραδείγματος. Τέτοιες αποδείξεις κυριάρχησαν στα Μαθηματικά σε όλη σχεδόν την ιστορία τους. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου οι έμμεσες αποδείξεις μπορούσαν συνήθως να αντικατασταθούν από άμεσες. Ο Cantor, ο οποίος αντιπροσωπεύει με τόσους τρόπους την μετακίνηση προς τα μοντέρνα επαγγελματικοποιημένα αφηρημένα Μαθηματικά, αλλάζει την παραδοσιακή κατάσταση ύπαρξης. Σε όλα του τα θεωρήματα που απαιτούν το αξίωμα της επιλογής χρησιμοποιεί έμμεσες αποδείξεις που δεν μπορούν να αντικατασταθούν από άμεσες ή κατασκευαστικές.

Μια άλλη αλλαγή που συμβαίνει είναι από την υλική αξιωματική του Ευκλείδη που σχετίζεται με τα εφαρμοσμένα ή εφαρμόσιμα Μαθηματικά, στη φορμαλιστική αξιωματική των σύγχρονων αφηρημένων Μαθηματικών. Στην υλική αξιωματική, αντικείμενα και ιδέες που ερμηνεύουν πρωταρχικούς όρους προηγούνται των αξιωμάτων. Αλλά η επαγγελματικοποίηση των Μαθηματικών οδηγεί σε μια κατάσταση όπου τα αξιώματα προηγούνται του προσδιορισμού πρωταρχικών όρων. Αυτό συμβαίνει γιατί τα προϊόντα της μαθηματικής εργασίας είναι τώρα επίσης οι πρώτες ύλες και τα εργαλεία της μαθηματικής εργασίας. Είναι φανερό ότι η επαγγελματικοποίηση των Μαθηματικών απαιτεί τη δημιουργία νέων αξιωματικών καταστάσεων που προκύπτουν από τις προηγούμενες κατακτήσεις της επιστήμης, με απώτερο σκοπό τη διεύρυνση και διαπλάτυνση του επιστημονικού ορίζοντα. Αλλά η φαινομενική αυθαιρεσία στην επιλογή αξιωματικών συστημάτων στα σύγχρονα Μαθηματικά είναι μια αυταπάτη. Η επιλογή ή η διατύπωση αξιωμάτων πάντα βασίζεται σε μια βαθιά κατανόηση των υπαρχουσών θεωριών, σε μια κριτική θεώρηση των μεγάλων προβλημάτων και σε “ξαφνικές εμπνεύσεις”.Η έμφαση στην αυθαιρεσία δεν είναι απλά ένα ζήτημα της δυσκολίας προσδιορισμού όρων αναφοράς για τις εκλογές μας όταν δουλεύουμε σε ένα χώρο αφαίρεσης. Η έμφαση εισήχθη ως μέρος της διαδικασίας της καθιέρωσης των αφηρημένων επαγγελματικών Μαθηματικών και αφορούσε την αντιμετώπιση του “διαβρωτικού σκεπτικισμού” και των επιστημολογικών επιθέσεων στην αρχή του αιώνα, όταν η διαδικασία της επαγγελματικοποίησης αποκρυσταλλωνόταν.

Αυτή η διαδικασία έγινε εμφανής σε έναν διαχωρισμό ανάμεσα στις προσπάθειες ανθρώπων όπως ο Hilbert από το ένα μέρος και οι Frege και Russel από το άλλο. To ενδιαφέρον σχετικά με θεμελιώδη ζητήματα ήταν γενικό αλλά έπαιρνε διαφορετικές μορφές στο κέντρο και την περιφέρεια της διαδικασίας επαγγελματικοποίησης. Οι ακραίοι της λογιστικής, όπως τόνισα προηγουμένως, βρίσκονταν στην περιφέρεια από τον Boole μέχρι τους Peano, Frege και Russel. Το έργο τους αντανακλούσε τις θέσεις τους και ο ακραίος λογικισμός που αντιπροσώπευαν είχε λίγο αντίκτυπο στην καθημερινή μαθηματική εργασία. Ο Hilbert, εν αντιθέσει, αντανακλούσε τις κεντρικές ενασχολήσεις του νέου επαγγέλματος, τις ίδιες τις μεθόδους της μαθηματικής εργασίας μέσα στην ίδια την κεντρική μαθηματική κοινότητα. Ο Bourbaki κληρονόμησε αυτές τις ενασχολήσεις και μαζί προσπαθούν να δημιουργήσουν μια κοινότητα από το χάος, συστηματικοποιώντας και ενώνοντας όλους τους κλάδους των Μαθηματικών. Η έμφαση στους Hilbert-Bourbaki έγκειται στη σκόπιμη απλοποίηση και οργάνωση, όχι στη λογική ακαμψία. Ο σκοπός τους είναι μια δυναμική αξιωματική μέθοδος, όχι μια ομάδα στατικών αξιωμάτων. Αυτή η ένταση ανάμεσα στη δυναμική προσέγγιση στο κέντρο και τη σχετικά στατική έντονα εξατομικευμένη προσέγγιση στην περιφέρεια εμπεριέχεται στην αμφιταλάντευση του Gödel σχετικά με το πρόγραμμα του Hilbert. Ο Gödel εργάζεται στην αρένα που δημιουργείται από το Principia Mathematica των Whitehead και Russel. Η αμφιταλάντευσή του σχετικά με την έκταση στην οποία τα συμπεράσματά του εφαρμόζονται στο πρόγραμμα του Hilbert δείχνει την προβληματική σχέση μεταξύ της αξιωματικής εργασίας στο κέντρο και αυτής στην περιφέρεια των επαγγελματικών Μαθηματικών.

Έχω δείξει γιατί πρέπει να απορριφθεί η ιδέα ότι τα αφηρημένα Μαθηματικά είναι μια καθαρά διανοητική ή γνωστική διαδικασία. Τώρα θέλω να εξετάσω τα συνακόλουθα μιας διαφορετικής αντίληψης των αφηρημένων Μαθηματικών από αυτή που μοιράζονταν οι Boole, Hamilton και άλλοι. Ο Pyenson ορίζει τα αφηρημένα Μαθηματικά ως “Μαθηματικά που μελετώνται για το ίδιο τους το συμφέρον και όχι ως εργαλεία για την εξυπηρέτηση άλλων συμφερόντων.” Εισάγοντας την ιδέα των συμφερόντων, ο Pyenson μετακινεί το ενδιαφέρον μας από την ατομική εμπειρία της μαθηματικής σκέψης στην πολιτική των αφηρημένων Μαθηματικών.

Μέσα στα Μαθηματικά, το επιχείρημα ότι υπάρχει μια πολιτική των αφηρημένων Μαθηματικών υποστηρίζεται από το μόνιμο ρήγμα που “μοιάζει να υπάρχει στις πανεπιστημιακές σχολές, ανάμεσα στους καθηγητές των αφηρημένων και των εφαρμοσμένων Μαθηματικών” (Kennedy, 1981:61). Οι συγκρούσεις του Peano με τον Volterra και άλλα μέλη της μαθηματικής σχολής στο Τορίνο είναι ένα παράδειγμα από τα πρώτα στάδια των επαγγελματικοποιημένων Μαθηματικών. Πιο πρόσφατα, αρκετοί μαθηματικοί μου είπαν ότι αν θέλω να κατανοήσω την κοινωνική δυναμική των σύγχρονων Μαθηματικών, πρέπει να εξετάσω το ρήγμα μεταξύ αφηρημένων και εφαρμοσμένων. Γενικά, αυτό το ρήγμα μοιάζει να προκαλείται σε ορισμένες περιπτώσεις από μια σύγκρουση όσον αφορά τις αξίες σχετικά με τις εφαρμογές των Μαθηματικών, και σε μερικές περιπτώσεις από διαμάχες για τους λιγοστούς πόρους μέσα στο πανεπιστημιακό σύστημα. Πράγματι, δεν είναι σπάνιο στις μέρες μας να παρατηρείται σε πολλά πανεπιστημιακά ιδρύματα, αντί για τη συνεργασία μεταξύ των επιστημόνων για την περαιτέρω ανάπτυξη της επιστήμης τους, η έντονη διαφωνία και η συνεχής διαμάχη για την εξασφάλιση των αναγκαίων για την διατήρηση και ανάπτυξη κάθε μεμονωμένου επιστημονικού τομέα πόρων.

Δεν είναι ανάγκη να αρνηθούμε την “έρευνα για γνώση” ως ατομικό ή συλλογικό στόχο για να αναγνωρίσουμε ότι η σημασία της θεωρητικής έρευνας σε κοινωνικό επίπεδο μπορεί να είναι κάτι άλλο εκτός από την παραγωγή νέας γνώσης. Η θεωρητική επιστήμη μπορεί να λειτουργεί ως επίδειξη της ικανότητας για έρευνα σε μια κοινωνία. Τέτοιες επιδείξεις μπορούν να αποτελέσουν τη βάση για τον εκφοβισμό εχθρών, την προβολή διεκδικήσεων κοινωνικής θέσης ή τον προσδιορισμό εδαφικών διεκδικήσεων. Δεν είναι τυχαίο ότι κατά τη διάρκεια του Ψυχρού Πολέμου, κάθε επιστημονικό ή τεχνολογικό επίτευγμα σε οποιονδήποτε από τους δύο συνασπισμούς προβαλλόταν πάρα πολύ έντονα και αποτελούσε ένα σημαντικό μέσο για την πολιτική προπαγάνδα της κάθε πλευράς. Επίσης μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι γενικότερα σε εμπόλεμες καταστάσεις παρατηρείται άνθηση εκείνων των επιστημών που μπορούν να βρουν εφαρμογή στα πεδία της μάχης και να αλλάξουν τις στρατιωτικές ισορροπίες. Χαρακτηριστικά παραδείγματα μπορούν να αποτελέσουν η σημαντική πρόοδος της Πυρηνικής Φυσικής που έγινε κατά τη διάρκεια του Δευτέρου Παγκοσμίου Πολέμου και η οποία τελικά οδήγησε στην κατασκευή της πυρηνικής βόμβας, καθώς και η ανακάλυψη από την ερευνητική ομάδα των Γερμανών επιστημόνων Fischer-Tropsch τρόπου για την κατασκευή συνθετικής βενζίνης κατά την ίδια ιστορική περίοδο. Τα κέντρα που ίδρυσε η Γερμανία για επιστημονική έρευνα στη Σαμόα, την Αργεντινή και την Κίνα υπηρέτησαν μια τέτοια λειτουργία. Σήμερα, η έμφαση στη θεωρητική επιστήμη στις διάφορες εθνικές βάσεις και τα προκεχωρημένα φυλάκια της Ανταρκτικής χρησιμεύει ως ένας τρόπος διατήρησης ανοικτών ανεπίσημων εδαφικών διεκδικήσεων. Λόγω της γενικότητάς τους, τα αφηρημένα Μαθηματικά παίζουν σημαντικό ρόλο στην καθιέρωση των ισχυρισμών αφαίρεσης σε έναν επιστημονικό τομέα. Ένας από τους ελάχιστους πολιτικούς ηγέτες που αναγνώρισε την πολιτική λειτουργία των αφηρημένων Μαθηματικών ήταν ο έχων τάση προς τα Μαθηματικά Ναπολέων ο 1ος, ο οποίος είπε ότι “η πρόοδος και η τελειοποίηση των Μαθηματικών είναι στενά συνδεδεμένες με την ευημερία του κράτους”.

Ο αφαιρετισμός είναι μια διανοητική στρατηγική που έχει πολλαπλές ρίζες και λειτουργίες. Ως μια πολιτική στρατηγική οριοθετεί και υπερασπίζει την επιδίωξη της γνώσης από στρατιωτικά, οικονομικά και πολιτικά συμφέροντα., χρησιμοποιείται από κυβερνούσες ελίτ για να τεκμηριώσουν εμμέσως εδαφικές διεκδικήσεις και είναι ένας τρόπος να παρακολουθούνται και να ελέγχονται δημιουργικοί και καινοτόμοι στοχαστές, δίνοντάς τους “ακαδημαϊκή ελευθερία” τόση ώστε αυτό που κάνουν να τους αποτρέπει από το να γίνονται ενεργοί κριτικοί της κυβέρνησης ή να παρεμβαίνουν ενεργά στις προσπάθειες των κυβερνώντων ελίτ να χρησιμοποιήσουν τις ανακαλύψεις ή τις εφευρέσεις τους προς όφελος της στρατιωτικής, οικονομικής και πολιτικής “προόδου”. Κάτι τέτοιο αποτελεί κύριο χαρακτηριστικό των απολυταρχικών καθεστώτων, τα οποία εξ ορισμού φερέφωνα και όχι άτομα που θα ασκούν κριτική στο έργο τους. Κάτι τέτοιο όμως παρατηρείται και στα σύγχρονα δημοκρατικά καθεστώτα, όπου βλέπουμε συχνά επιστήμονες (ή και άλλους “ενοχλητικούς” όπως συνδικαλιστές κλπ.) να υπουργοποιούνται ή να παίρνουν καίριες θέσεις στην κρατική μηχανή, προκειμένου να σταματήσουν την ενοχλητική τους κριτική και δράση.

Ο ψυχολογικός αφαιρετισμός είναι μια στρατηγική για την αντιμετώπιση προσωπικών αναγκών και ενδιαφερόντων για την αφαίρεση ως μια συναισθηματική πηγή ή ως μέσο ψυχικής άμυνας (Maslow, 1969:33-39). Ο παθολογικός αφαιρετισμός εμφανίζεται όταν ο φόβος των επίγειων απολαύσεων, οι συγκρούσεις της καθημερινής ζωής κλπ. παράγουν μια αποστροφή για οτιδήποτε θεωρείται ακάθαρτο ή μολυσματικό. Ο διανοητικός αφαιρετισμός αναπτύσσεται στους “αμφιταλαντευόμενους διανοούμενους” οι οποίοι δεν έχουν δεσμευθεί ή περιοριστεί από τα συμφέροντα κοινωνικών θεσμών και έχουν απoτύχει να αναπτύξουν δυνατούς ανεξάρτητους τρόπους για να προσδιορίζουν από μόνοι τους τι είναι αλήθεια και τι ψέμα. Αυτή η μορφή αφαιρετισμού σχετίζεται με αδύναμα διαμορφωμένα κοινωνικά, πολιτικά, φιλοσοφικά ή θρησκευτικά συμφέροντα.

Στον ψυχολογικό αφαιρετισμό και τις παραλλαγές του συχνά βρίσκουμε τη θρησκεία και τα Μαθηματικά να συνδέονται. Η συνέπεια και η πληρότητα, βασικά χαρακτηριστικά των αφηρημένων Μαθηματικών, είναι κεντρικά στην ιδέα του Θείου. Πράγματι, δεν είναι σπάνιο ανάμεσα στους μαθηματικούς να υποστηρίζεται ότι η ενασχόληση με τα μαθηματικά αντικείμενα και η βαθύτερη κατανόηση όλο και πιο αφαιρετικών εννοιών αποτελεί ουσιαστικά ένα τρόπο προσέγγισης του Θεού. Ο Boole και ο Hamilton είναι ιδανικοί αντιπρόσωποι της σχέσης αφαίρεσης ανάμεσα στα Μαθηματικά και τη θρησκεία.

Για τον Gauss, η επιστήμη εκθέτει τον ανήθικο πυρήνα της ανθρώπινης ψυχής. Ήδη με τον Gauss, όμως, βρίσκουμε μια μετάβαση από τη λατρεία του Θεού στη λατρεία της Φύσης ως αντικείμενο της ανθρώπινης λογικής: “Εσύ, Φύση, είσαι η θεά μου, στους δικούς σου νόμους υπόκεινται οι υπηρεσίες μου” (αντιγράφοντας με κάποια τροποποίηση από το Βασιλιά Ληρ). Ο Gauss ακόμη, όμως, πίστευε σε έναν αιώνιο, δίκαιο, παντογνώστη και πανταχού παρόντα Θεό. Πάντα προσπαθούσε να εναρμονίσει τις μαθηματικές αρχές με το διαλογισμό του πάνω στο μέλλον της ανθρώπινης ψυχής.

Ο Cantor πίστευε στην πλατωνική πραγματικότητα των άπειρων συνόλων, διότι αυτή η πραγματικότητα του είχε αποκαλυφθεί, όπως ισχυριζόταν, από το Θεό (Moore, 1982:29). Και ο Bourbaki ισχυριζόταν ότι τα μαθηματικά προβλήματα “σίγουρα προκαλούν αισθητικά αλλά ακόμα και ένα είδος θρησκευτικών συναισθημάτων”.

Ιδανικά, η ανάπτυξη των αφηρημένων Μαθηματικών μπορεί να απεικονισθεί σε μια από της πλευρές τους ως μετάβαση από την πίστη στο Θεό στην πίστη στη Φύση, στην πίστη στη Λογική. Και πράγματι ο Brouwer δίνει μια κλασική Ντουρκχαϊμική ανάλυση της πραγμάτωσης της Λογικής. Υποστηρίζει ότι η κλασική Λογική είχε αφαιρεθεί από τα Μαθηματικά των πεπερασμένων συνόλων και μετά υποσυνόλων. Αυτή η περιορισμένη καταγωγή μετά ξεχνιέται και η Λογική θεωρείται ως κάτι ανώτερο και προγενέστερο όλων των Μαθηματικών. Το υποκατάστατο του Θεού, η Λογική, τότε εφαρμόζεται χωρίς δικαιολόγηση στα Μαθηματικά των άπειρων συνόλων.

Στο επόμενο κεφάλαιο θέλω να συνεχίσω αυτή την εξέταση των σύγχρονων αφηρημένων Μαθηματικών από μια σχετική αλλά ευρύτερη οπτική που αποκαλύπτει τα υλικά θεμέλια των αφηρημένων Μαθηματικών.






ΤΑ ΥΛΙΚΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΩΝ ΑΦΗΡΗΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ:

ΑΠΟ ΤΟΝ BOOLE ΣΤΑ ΜΕΤΑ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ


Boole. Η διατριβή του George Boole πάνω στους “Νόμους της Σκέψης” αποσκοπεί “να ερευνήσει τους θεμελιώδεις νόμους εκείνων των λειτουργιών του μυαλού που εκτελούν τη λογική σκέψη, να τις εκφράσει στη συμβολική γλώσσα της Ανάλυσης και πάνω σ’ αυτό το θεμέλιο να ιδρύσει την επιστήμη της Λογικής και να κατασκευάσει τη μέθοδό της, να καταστήσει την ίδια τη μέθοδο βάση μιας γενικής μεθόδου για την εφαρμογή της μαθηματικής θεωρίας των Πιθανοτήτων και τελικά να συλλέξει από τα διάφορα στοιχεία της αλήθειας που έρχονται στην επιφάνεια κατά τη διάρκεια των ερευνών τους αλήθειες σχετικά με τη φύση και τη σύσταση του ανθρώπινου μυαλού” (Boole, 1958/ 1854:1). Ο Boole πίστευε ότι η επιστήμη του “των διανοητικών λειτουργιών” έπρεπε, όπως η επιστήμη γενικά, “να βασίζεται στις παρατηρήσεις” (Boole, 1958/1854:3). Αλλά η αρχή του να βασίζεις την αλήθεια στην εμπειρία λαμβάνει διαφορετικές όψεις, ανάλογα με το αν το αντικείμενο της μελέτης είναι η σκέψη ή η εξωτερική φύση. Οι νόμοι της Φύσης, σύμφωνα με τον Boole, γενικά δεν είναι “άμεσα αντικείμενα της αντίληψης”. Ως επαγωγικά συμπεράσματα οι φυσικές υποθέσεις σχετικά με αιτιακές σχέσεις πάντα περιέχουν ένα στοιχείο πιθανοτήτων, όσες επιβεβαιωτικές εμπειρίες και αν έχουμε. Η βεβαιότητα μπορεί να προσεγγίζεται όλο και πιο πολύ αλλά ποτέ δεν επιτυγχάνεται. Αντιθέτως, η γνώση των νόμων του μυαλού εμφανίζεται σε “συγκεκριμένα παραδείγματα”. Η αλήθεια αυτών των νόμων δεν απαιτεί την επανάληψη επιβεβαιωτικών παραδειγμάτων ούτε την “εκτεταμένη συλλογή παρατηρήσεων”(Boole, 1958/1854:4).

Σκεφθείτε την ακόλουθη γενική αλήθεια της Λογικής γνωστή ως “Αριστοτέλεια Ρήση”: de omni et nullo (Boole, 1958/1854:4,226): ο Boole την μεταφράζει ως: “Οτιδήποτε επιβεβαιώνεται ή απορρίπτεται από ένα γένος μπορεί από την ίδια άποψη να επιβεβαιωθεί ή να απορριφθεί από οποιαδήποτε είδη περιλαμβάνονται υπό αυτό το γένος”. Πώς αυτό μπορεί να διαχωριστεί από το επαγωγικό συμπέρασμα δύσκολα κατανοείται. Ο Boole αποτυγχάνει αμέσως να αναγνωρίσει ότι η ρήση του Αριστοτέλη και οι αποκαλούμενες “κατηγορικές προτάσεις” (π.χ. όλα τα ψ είναι χ) είναι ουσιαστικά ασκήσεις αφαίρεσης υψηλού επιπέδου βασισμένες εν τέλει σε επαγωγικά συμπεράσματα, στην εμπειρία. Και οποιοδήποτε “αυτονόητο” προέρχεται όχι από νόμους σκέψης άλλα μάλλον από γενικεύσεις υψηλού επιπέδου σχετικά με αλληλεπιδράσεις στον πραγματικό κόσμο.

Το ψεγάδι στη θεώρηση του Boole πηγάζει από την αποτυχία του να δει τον εαυτό του ως προϊόν και πράκτορα πολιτισμού ή, πιο ριζοσπαστικά, ως φορέα πολιτισμού. Δεν εκτιμά τις πολιτιστικές εμπειρίες που έχει εσωτερικοποιήσει σαν βάση για την ικανότητά του να έχει “καθαρή αντίληψη ενός μοναδικού παραδείγματος” (Boole, 1958/ 1854:4).

Οι αλήθειες της επιστήμης, υποστηρίζει ο Boole, είναι δυο ειδών: πρωτεύουσες ή θεμελιώδεις και δευτερεύουσες ή πηγάζουσες. Είναι οι θεμελιώδεις αλήθειες - ή νόμοι και αρχές - που απασχολούν τον Boole: Αυτοί είναι οι “νόμοι και οι αρχές από τις οποίες μπορούν όλες οι άλλες γενικές αρχές της επιστήμης να παραχθούν και μέσα στις οποίες μπορούν όλες ξανά να προσδιοριστούν”. Το τεστ της “πληρότητας” και του “θεμελιώδους χαρακτήρα” των νόμων μιας επιστήμης δεν είναι τίποτα άλλο παρά “η πληρότητα του συστήματός της των αντλούμενων αξιών και η γενικότητα των μεθόδων στην καθιέρωση της οποίας χρησιμεύει” (Boole, 1958/1854:5).

Αν ο Boole αποτυγχάνει να δει τον εαυτό του ως φορέα πολιτισμού δεν είναι εξαιτίας κάποιας αντίστασης στην ιδέα να δει τον εαυτό του ως φορέα. Γράφει για παράδειγμα (Boole, 1958/1854:17):


Πρέπει να μην λησμονείται ότι δουλειά της επιστήμης δεν είναι να δημιουργεί νόμους αλλά να τους ανακαλύπτει. Δεν δημιουργούμε τη σύνθεση των μυαλών μας, όσο μεγάλη και αν είναι η δύναμή μας να τροποποιούμε το χαρακτήρα τους. Και καθώς οι νόμοι της ανθρώπινης διάνοιας δεν εξαρτώνται από τη θέλησή μας, έτσι και οι μορφές της επιστήμης, των οποίων αποτελούν τη βάση, είναι σε όλες τις ουσιαστικές απόψεις ανεξάρτητες από ατομική επιλογή.


Είναι όλα τα ανθρώπινα μυαλά έτσι φτιαγμένα; Υπάρχουν ενδείξεις προσέγγισης μεταξύ διαφορετικών διανοιών σχετικά με, για παράδειγμα, την αλήθεια της Λογικής; Αν ναι, αυτές οι διάνοιες αναπτύσσονται ανεξάρτητα ή σε παρόμοια πολιτιστικά περιβάλλοντα; Αυτά είναι ερωτήματα που ο Boole αγνοεί μέσα στο στενόμυαλο κυνήγι των ιδεών βασισμένων στη δική του αίσθηση του αυτονόητου.

Ο Boole (1958/1854:17) παρατηρεί ότι η θεωρία Πιθανοτήτων, όπως και άλλα παραδείγματα τυπικών νόμων, δεν βασίζεται σε υποθέσεις αλλά σε “παρατηρήσεις και στοχασμό”. Αλλά έχοντας κάνει αυτή την παραχώρηση στην εμπειρία, γρήγορα σημειώνει ότι τα “αποτελέσματα” είναι ανεξάρτητα του αν αντιμετωπίζουμε τη θεωρία ως βασισμένη σε εμπειρία ή ως θέμα αυστηρής επαγωγής.

Ο αφαιρετισμός του Boole ήταν ειδικευμένος ως ένα βαθμό. Ήθελε το έργο του να θεωρηθεί ως ισχυρισμοί για την αλήθεια. Αλλά εξέφρασε την ελπίδα ότι οι αφηρημένες θεωρίες του “θα συνέβαλλαν σε κάτι περισσότερο από απλή πνευματική ικανοποίηση”, ήλπιζε ότι θα συνέβαλλαν στο “καλό της ανθρωπότητας”.

Ο Boole (1958/1854:25) απέδωσε τις ομοιότητες και τις γενικότητες ανάμεσα στις “αναρίθμητες γλώσσες και διαλέκτους του κόσμου” στην “ύπαρξη κάποιου βαθύτερου θεμελίου της συμφωνίας τους με τους νόμους της ίδιας της σκέψης”. Αλλά βέβαια, η κατάσταση στηρίζεται πιο γενικά στις γενετικές και βιολογικές ομοιότητες που αλληλεπιδρούν με “εξωτερικές” ομοιότητες (συμπεριλαμβανομένων των κοινωνικών) ώστε να παράγουν πνευματικές ομοιότητες. O Boole λανθασμένα βάζει σε προτεραιότητα τον “αφυπνισμένο” νου (δικός μου όρος), τον κοινωνικοποιημένο νου, χωρίς να λαμβάνει υπόψη τα κοινωνικά θεμέλια της σκέψης. Δεν έχει έτσι άλλη εναλλακτική λύση από το να παίρνει επιχειρήματα από παγκόσμια πνευματικά δεδομένα παρά από τις κοινωνικά κατασκευασμένες κατηγορίες της σκέψης. Ο νους δεν είναι το πρωτόγονο γενετικό και βιολογικό εργαλείο που ο Boole νομίζει ότι είναι. Υπάρχουν και άλλες παραξενιές στο επιχείρημά του. Για παράδειγμα, κατασκευάζει τον συμβολισμό x= x βασίζοντάς τον σε ένα πρακτικό γλωσσικό παράδειγμα. Αν πούμε “καλοί, καλοί άνδρες”, έστω και αν μπορεί να χρησιμοποιούμε το διπλό επίθετο ως ένα τρόπο έμφασης του τι εννοούμε ή ως τονισμό της ιδιότητας του επιθέτου, η φράση έχει, κατά τον Boole (1958/1854:32) το ίδιο νόημα με το να πούμε “καλοί άνδρες”. Θεωρεί το είδος της εντύπωσης που δημιουργείται από το διπλό επίθετο “σχεδόν δευτερεύον και συμβατικό”:


Οι περισσότερες λειτουργίες που παρατηρούμε στη φύση ή εκτελούμε εμείς οι ίδιοι είναι τέτοιου είδους που το αποτέλεσμά τους εντείνεται με την επανάληψη, και αυτή η κατάσταση μας προετοίμασε να περιμένουμε το ίδιο πράγμα και στη γλώσσα, ακόμα και να χρησιμοποιούμε την επανάληψη όταν σχεδιάζουμε να μιλήσουμε με έμφαση. Αλλά ούτε στην αυστηρή αιτιολόγηση, ούτε στην ακριβή συζήτηση υπάρχει έδαφος για τέτοια πρακτική.


Αυτή η θεώρηση της γλώσσας παίρνεται ως δεδομένη και έρχεται σε αντίθεση με το τι γνωρίζουμε για τη γλώσσα ως ένα κοινωνικό και πολιτιστικό φαινόμενο. Πάνω σ’ αυτού του είδους τους ισχυρισμούς βασίζει ο Boole τους μεγαλύτερους στόχους της εργασίας του πάνω στη λογική. ( Ένα ακόμα παράδειγμα είναι η υπόθεσή του ότι τα συναισθήματα και οι σκέψεις μπορούν να διαχωριστούν - Boole, 1958/1854:38).

Ο Boole μας δίνει μια εξαιρετική ευκαιρία να παρακολουθήσουμε τη διαδικασία της αύξησης επιπέδων αφαίρεσης από το “πρωτόγονο” επίπεδο (ή πλαίσιο, δες Goffman, 1974) της καθημερινής ζωής. Μας δείχνει ότι τα σύμβολα της Λογικής που εισάγει υπάγονται στον “ειδικό νόμο”, x= x. Αλλά έχοντας εισάγει αυτό τον επίσημο νόμο κάπως αφηρημένα, συνεχίζει για να υποδείξει τις “πρωτόγονες” ρίζες του (Boole, 1958/1854: 37):


Τώρα υπάρχουν δύο από τα αριθμητικά σύμβολα, δηλαδή το 0 και το 1, τα οποία υπόκεινται στον ίδιο επίσημο νόμο. Γνωρίζουμε ότι 0=0 και 1=1 και ότι η εξίσωση x=x, θεωρούμενη ως αλγεβρική, δεν έχει άλλες ρίζες εκτός από το 0 και το 1, έτσι, αντί να προσδιορίσουμε το μέτρο της συμφωνίας μεταξύ των συμβόλων της Λογικής με αυτά των Αριθμών γενικά, είναι άμεσα προτεινόμενο να τα συγκρίνουμε με τα σύμβολα ποσότητας παραδεχόμενοι μόνο τις αξίες 0 και 1. Ας θεωρήσουμε τότε μια Άλγεβρα, στην οποία τα σύμβολα x, y, z και c παίρνουν τυχαία τις τιμές 0 και 1 και μόνο αυτές. Οι νόμοι, τα αξιώματα και οι διαδικασίες μιας τέτοιας Άλγεβρας θα είναι ολόιδιες σε όλη τους την έκταση με τους νόμους, τα αξιώματα και τις διαδικασίες μιας Άλγεβρας της Λογικής. Η διαφορά στην ερμηνεία τα ξεχωρίζει από μόνη της.


Έτσι ο Boole θέτει την αρχή πάνω στην οποία βασίζεται η μέθοδός του. Αν κοιτάξουμε τις προηγούμενες παραγράφους που οδηγούν στους νόμους του Boole, παρατηρούμε ότι το x= x αναπτύσσεται με έναν σχεδόν άμεσο τρόπο. Έχοντας δείξει ότι ισχύει xy = yx στο αναπτυσσόμενο σύστημά του βασισμένος σε μια προοπτική “κλάσης” και στηριζόμενος σε παραδείγματα όπως “άσπρα πράγματα(x)”, “πρόβατα(y)” και “άσπρα πρόβατα (xy)”, ο Boole(1958/1854:31) επιχειρηματολογεί ως εξής:


Καθώς ο συνδυασμός δύο γλωσσικών συμβόλων στη μορφή xy εκφράζει το σύνολο εκείνης της κλάσης των αντικειμένων στην οποία τα ονόματα ή οι ποιότητες που αντιπροσωπεύονται από τα x και y είναι μαζί εφαρμόσιμα, προκύπτει ότι εάν τα δύο σύμβολα έχουν ακριβώς την ίδια σημασία, ο συνδυασμός τους δεν εκφράζει τίποτα περισσότερο από ότι και το κάθε ένα από τα σύμβολα παρμένο ξεχωριστά.


Αυτό οδηγεί στο xy=x, και τότε, καθώς το y έχει το ίδιο νόημα με το x, στο xx=x και τελικά, υιοθετώντας τη σημειολογία της κοινής Άλγεβρας, ο Boole καταλήγει στο x= x. Επανερχόμαστε τώρα στο παράδειγμα “καλοί, καλοί άνδρες” και 1=1. Έτσι ο Boole δεν έχει μυστηριωδώς δημιουργήσει μια παράξενη Άλγεβρα, αλλά έχει απλά (και με ένα κάπως δυσνόητο τρόπο) δώσει μια έκφραση για τα φαινόμενα του “πραγματικού κόσμου”. Η επιλογή του των συμβόλων οδηγεί στο “παράδοξο” x= x, αλλά τα κατοπινά παραδείγματα δείχνουν ότι απλά περιγράφει έναν “πρωτόγονο” καθημερινό κόσμο στον οποίο υπάρχουν μόνο μονάδες και μηδενικά. Λίγο αργότερα ο Boole δίνει (1958/1854:48) στο 0 και στο 1 της Λογικής τις σεβαστές ερμηνείες Τίποτα και Σύμπαν.

Στην Πρόταση Ι, Κεφάλαιο ΙΙΙ, ο Boole (1958/1854:42) διακηρύσσει τον εξής σκοπό:


Να διακρίνουμε τους νόμους των συμβόλων της Λογικής από τη μελέτη εκείνων των λειτουργιών του μυαλού που υπονοούνται στις αυστηρές χρήσεις της γλώσσας ως ένα όργανο αιτιολόγησης.


Στη μελέτη του αυτής της πρότασης, τονίζει ότι υπάρχουν όρια σε κάθε συζήτηση τα οποία περιορίζουν τα θέματα της συζήτησης. Την έκταση του πεδίου που περιέχει τα αντικείμενα συζήτησης την ονομάζει “το σύμπαν της συζήτησης”. (Συζήτηση μπορεί να είναι “ο νους που συνδιαλέγεται με τις ίδιες του τις σκέψεις” ή άτομα που συνδιαλέγονται μεταξύ τους). Αυτό το σύμπαν της συζήτησης είναι, με κοινωνιολογικούς όρους, μια “κοινωνία ομοφωνίας”. Αυτή είναι η βάση για την ερμηνεία των απόψεων του Boole περισσότερο με πολιτισμικούς παρά με καθαρά πνευματικούς όρους.

Ο νους, σύμφωνα με τον Boole (1986/1854:85), “θεωρεί την ύπαρξη ενός σύμπαντος όχι εκ των προτέρων ως ένα γεγονός ανεξάρτητο της εμπειρίας, αλλά είτε εκ των υστέρων ως εξαγόμενο αυτής είτε υποθετικά ως θεμέλιο της πιθανότητας της κατηγορηματικής αιτιολόγησης”. Αυτό υπονοεί ότι ο νους είναι κοινωνικός και έτσι έχουμε μία ακόμα πληροφορία που μας λέει ότι οι “νόμοι της σκέψης” ή οι “νόμοι του νου” εκφράζουν κοινωνικά γεγονότα. Η απόλυτη αναγνώριση αυτού από τον Boole συμβαίνει στο τέλος μιας κριτικής θεώρησης του Συλλογισμού (Boole, 1958/1854:242). Γράφει:


Ένα σύστημα που σχετίζεται με την ίδια την ανάπτυξη της γλώσσας, η οποία έχει αφήσει το στίγμα της πάνω στα μεγάλα ερωτήματα και τις πιο διάσημες επιδείξεις της φιλοσοφίας, δεν μπορεί να είναι ανάξιο της προσοχής μας. Η μνήμη επίσης και η χρήση του, πρέπει να παραδεχθούμε, έχουν μεγάλη σχέση με τις διανοητικές διαδικασίες και είναι σίγουρα από τους κανόνες της αρχαίας λογικής που έχουν γίνει συνυφασμένοι με την ίδια την υφή της σκέψης στα καλλιεργημένα μυαλά.


Έχει αυτό εφαρμογή στον Boole; Αν ναι, τότε γιατί προτείνει να πολεμήσουμε την εμφυτευμένη στο μυαλό “υφή της σκέψης”; Πρέπει απαραίτητα το σύστημά του να είναι μια παραλλαγή στο θέμα; Πάλι ο Boole δεν μπορεί να μεταφράσει συγκεκριμένες διαισθήσεις σε μια κοινωνική θεωρία της σκέψης.

Είναι συνηθισμένο σε πεδία που θεωρούνται “αφηρημένα” να βρίσκουμε εργαζόμενους προσανατολισμένους “στην ενότητα και την αρμονία”. Ακόμα και όταν είναι γνωστές και άλλες αξίες όπως η δύναμη και η αποτελεσματικότητα, είναι υποδεέστερες μπροστά στις αξίες της ενότητας, της αρμονίας, της ικανότητας και της ομορφιάς. Αυτό σε μεγάλο βαθμό θυμίζει την πλατωνική θεώρηση της φιλοσοφίας και κατ’ επέκταση όλων των επιστημών, η οποία απαγόρευε την πρακτική εφαρμογή των επιστημονικών και φιλοσοφικών θεωριών και θεωρούσε βάναυση και χυδαία κάθε προσπάθεια προς αυτή την κατεύθυνση. Γι’ αυτό ο Boole γράφει (1958/1854:150):


…μια τέλεια μέθοδος δεν πρέπει να είναι μόνο αποτελεσματική, καθώς σέβεται τα επιτεύγματα των αντικειμένων για τα οποία σχεδιάστηκε, αλλά πρέπει σε όλα της τα τμήματα και τις διαδικασίες να επιδεικνύει μια συγκεκριμένη ενότητα και αρμονία. Αυτή η έννοια θα γινόταν πιο πλήρως κατανοητή αν ακόμη και οι μορφές της μεθόδου υπαινίσσονται τις θεμελιώδεις αρχές, και εάν γίνεται της μίας θεμελιώδους αρχής, πάνω στις οποίες στηρίχτηκαν.


Υπαινίχθηκα προηγουμένως μια σχέση ανάμεσα σε αφηρημένους επιστημονικούς τομείς ή πεδία και σε θρησκευτικές ή θεολογικές αναζητήσεις. Η σχέση ανάμεσα σε τέτοιες αναζητήσεις και στα απομονωτικά αποτελέσματα της επαγγελματικοποίησης και της εξειδίκευσης χρειάζεται να ερευνηθεί με κάθε λεπτομέρεια σε μελλοντική έρευνα. Ότι εδώ έχουμε να κάνουμε, σε κάθε περίπτωση, με μια παγκόσμια άποψη ενισχυμένη από τις αντιλήψεις για θεούς και βασιλιάδες που κυβερνούν τακτικά πεδία, και κυρίως από αυτή ενός παντογνώστη, πανταχού παρόντα Θεού-Βασιλιά, φαίνεται από τη δέσμευση του Boole να περιορίσει “συστήματα προβλημάτων και εξισώσεων στην κυριαρχία μερικών κεντρικών αλλά διαποτιστικών νόμων” (Boole, 1958/1854:157). Αυτό δεν είναι καθαρή μεταφορά, αλλά από την άλλη δεν είναι απαραίτητα άσχετο με την ανάπτυξη ικανότητας για την απόκτηση προσωπικού ή συλλογικού ελέγχου πάνω σε κάποιες περιοχές των κόσμων του ατόμου, της κοινωνίας και της φύσης. Πρέπει να πάρουμε στα σοβαρά την αναφορά του Boole (1958/1854:159) στον “Δημιουργό της Φύσης” και την “αμετάβλητη σταθερότητά” Του, ως ένα δείκτη του τι σχετικό με αυτό τον κόσμο είναι σημαντικό για τον Boole. Τα αφηρημένα Μαθηματικά του Boole είναι στην πραγματικότητα μέρος της στρατηγικής για την εδραίωση της ύπαρξης του Θεού και μιας Παγκόσμιας Ηθικής (Boole, 1958/1854:217-218):


Να συμπεραίνεις την ύπαρξη μιας έξυπνης αιτίας από τις καταιγιστικές αποδείξεις του περιβάλλοντος σχεδίου, να εξάπτεσαι στην ιδέα ενός ηθικού Κυβερνήτη του κόσμου, από τη μελέτη του συντάγματος και των ηθικών προεκτάσεων της ίδιας μας της φύσης αυτά, παρά τα αδύναμα βήματα μιας κατανόησης περιορισμένης από τις δυνάμεις της και τα γνωστικά υλικά της, είναι πιο ωφέλιμα από τη φιλόδοξη προσπάθεια να φτάσουμε σε μια βεβαιότητα ανέφικτη στο επίπεδο της φυσικής θρησκείας. Και καθώς αυτά ήταν τα πιο αρχαία, έτσι είναι ακόμα, εξαιρουμένων των αποκαλύψεων, τα πιο στέρεα θεμέλια της πίστης ότι η πορεία αυτού του κόσμου δεν είναι αφημένη στην τύχη και την αδυσώπητη μοίρα.


Τα αφηρημένα Μαθηματικά μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως μια στρατηγική για την απόκτηση του ελέγχου ενός κόσμου που απειλεί προσωρινά να αυτοπαρουσιαστεί ως κόσμος “της τύχης και της αδυσώπητης μοίρας”. Αν η τάξη στη ζωή ενός ατόμου ή μιας κοινότητας είναι εύθραυστη και χρειάζεται μια άγκυρα ασφαλείας, τότε θα υπάρξει μια αναζήτηση – ή ακόμα και επινόηση - της τάξης, δηλαδή η αναζήτηση για το Θεό, την Ομορφιά, την Αλήθεια, τη Λογική, την Αγνότητα κτλ. Αυτό είναι ίσως ανάλογο με αυτό που έχει ειπωθεί, ότι δηλαδή η θρησκεία είναι το όπιο του λαού. Άλλωστε δεν είναι τυχαίο ότι σε εποχές κρίσης αυξάνεται η επιρροή των θρησκευτικών λειτουργών και γίνεται όλο και πιο συχνή η ενασχόλησή τους με τα κοινά. Δεν πρέπει επίσης να ξεχνάμε ότι στις προσπάθειες εγκαθίδρυσης απολυταρχικών καθεστώτων, τα οποία είναι τα κατεξοχήν καθεστώτα που εκμεταλλεύονται περιόδους ανωμαλίας και δυσκολιών, γίνεται έντονη προσπάθεια να εξασφαλιστεί και η υποστήριξη ενός όσο μεγαλύτερου γίνεται τμήματος του ιερατείου, προκειμένου να χαλιναγωγηθεί το δημόσιο αίσθημα και να δοθεί μια θρησκευτική κάλυψη και χροιά στις πράξεις του καθεστώτος.

Οι πρωταρχικές προτάσεις, σύμφωνα με τους όρους του Boole, είναι για τις σχέσεις των πραγμάτων. Όμως οι πρωταρχικές προτάσεις μπορούν να μετασχηματιστούν σε αντικείμενα μελέτης. Η έκφραση μιας “κρίσης” για ένα τέτοιο αντικείμενο συνιστά μια δευτερεύουσα πρόταση (Boole, 1958/1854:160). Έτσι οι δευτερεύουσες προτάσεις περιλαμβάνουν κρίσεις σχετικά με την αλήθεια και την παραποίηση, τη συνέχεια, τη διάκριση κλπ. Τώρα ο Boole (1958/1854:161) αναγνωρίζει ότι “είναι στη μορφή των δευτερεύουσων προτάσεων, τουλάχιστον τόσο συχνά όσο και στις πρωταρχικές προτάσεις, που εκτίθενται τα επιχειρήματα της καθημερινής ζωής”. Ειδικά οι δευτερεύουσες προτάσεις σχετίζονται με τη γλώσσα της καθημερινής ζωής αναφορικά με το χρόνο.


Έτσι περιορίζουμε την εφαρμογή μιας πρωταρχικής πρότασης με τη λέξη “μερικά” ενώ μιας δευτερεύουσας πρότασης με τη φράση “μερικές φορές”. Το να πούμε “μερικές φορές η αδικία θριαμβεύει” είναι ισοδύναμο με το να δηλώσουμε ότι υπάρχουν φορές που η πρόταση “η αδικία τώρα θριαμβεύει” είναι μια αληθής πρόταση.


Όμως ο Boole (1958/1854:164) είναι πάντα απασχολημένος στο να αποσυνδέει τον εαυτό του από την καθημερινή ζωή και την καθημερινή γλώσσα.


Θα μπορούσα να επωφεληθώ από την έννοια του χρόνου προκειμένου να προσδιορίσω τους νόμους της έκφρασης των δευτερεύουσων προτάσεων, καθώς και τους νόμους του συνδυασμού των συμβόλων με τους οποίους αυτές εκφράζονται. Αλλά όταν αυτοί οι νόμοι και αυτές οι μορφές προσδιοριστούν μια φορά, αυτή η έννοια του χρόνου (απαραίτητος, όπως πιστεύω ότι είναι τελικά) μπορεί πρακτικά να καταργηθεί. Μπορούμε τότε να περάσουμε από τις μορφές της καθημερινής γλώσσας στις ακριβώς ανάλογες μορφές του συμβολικού οργάνου της σκέψης που αναπτύσσεται εδώ, να χρησιμοποιήσουμε τις διαδικασίες του και να ερμηνεύσουμε τα αποτελέσματά του χωρίς καμιά συνειδητή αναγνώριση της ιδέας του χρόνου.


Δεδομένου ότι ο Boole μπορεί να τοποθετηθεί ανάμεσα σε δυο γενιές μαθηματικών που ασχολήθηκαν με θέματα της Λογικής και δεδομένου ότι υπάρχουν εύκολα αναγνωρίσιμες οργανωτικές αλλαγές διαμέσου αυτών των τριών γενεών προς την κατεύθυνση της εξειδίκευσης και της επαγγελματικοποίησης, θα έπρεπε να βρούμε μια αυξανόμενη έμφαση στην καθημερινή γλώσσα και (στην περίπτωση που εξετάζουμε εδώ, τις δευτερεύουσες προτάσεις) μια αυξανόμενη έμφαση στο χρόνο. Το συμπέρασμά μου είναι ότι ο προσανατολισμός προς την εγκατάλειψη του χρόνου μπορεί να σχετίζεται με τις οργανωτικές αλλαγές που επιφέρουν μια άχρονη άποψη του ατόμου και της συλλογικής ζωής. Η επαγγελματικοποίηση, μια διαδικασία που ήταν ήδη σε εξέλιξη στη μαθηματική κοινότητα της εποχής του Boole, μπορεί να είναι το κλειδί προσδιορισμού του προσανατολισμού του χρόνου. Εδώ φαίνεται πώς η διαδικασία της επαγγελματικοποίησης μπορεί να υποθάλψει την εγκατάλειψη του χρόνου. Πρώτα απομακρύνει τον επαγγελματία από το χρονικό πλαίσιο του καθημερινού κόσμου. Δημιουργεί ένα νέο πλαίσιο για τον επαγγελματικό χρόνο. Έτσι ένα συγκεκριμένο είδος χρόνου εγκαταλείπεται. Όμως ο νέος χρόνος είναι πιο ευέλικτος, ίσως πιο γενικός και αφηρημένος. Ο χρόνος τότε, όπως ο Θεός, γίνεται πιο απομακρυσμένος για τον σύγχρονο, κοσμικό, παγκόσμιο επαγγελματία. (Αυτή η έννοια είναι συμβατή με μια κοσμική άποψη του χρόνου που υπαγορεύει βραχυπρόθεσμες δραστηριότητες και την οποία ο επαγγελματισμός μπορεί να εντείνει). Στην ακραία περίπτωση, τα παγκόσμια στάνταρντ και οι αιώνιοι προσανατολισμοί σε έννοιες όπως “να συνεισφέρουμε”, η λήψη επώνυμων βραβείων και η δουλειά χωρίς έγνοια για χρονικές, χωρικές ή υλικές ανταμοιβές και ανάγκες (η δουλειά “εκτός τόπου και χρόνου”) μπορεί να κάνουν το χρόνο να εξαφανιστεί. Εδώ έχουμε να κάνουμε με ένα χαρακτηριστικό σύγχρονο φαινόμενο, το κλείσιμο του επιστήμονα στο εργαστήριό του και την απομόνωσή του από το κοινωνικό σύνολο. Έτσι ο επιστήμονας γίνεται θυσία στο βωμό της επαγγελματικοποίησης και μιας αμφιλεγόμενης επιστημονικής προόδου. Ίσως τελικά η δημιουργία του προαναφερόμενου επαγγελματικού χρόνου να εξυπηρετεί μόνο την πορεία της επιστημονικής αναζήτησης και όχι τον ίδιο τον επιστήμονα ως άτομο.

Πώς καταλήγει ο Boole στην ιδέα “της τέλειας ελευθερίας που κατέχουμε” όταν φτάνει στην επιλογή και κατάταξη ενώ αναζητούνται οι επιπτώσεις των συλλογισμών σε δεδομένες επιδείξεις προτάσεων, δηλαδή όταν φτάνει στον “καθορισμό ποιες στοιχειώδεις προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς και ποιες είναι αληθείς ή ψευδείς κάτω από δεδομένους περιορισμούς ή δεδομένους συνδυασμούς”; Αυτή η ιδέα της ελευθερίας δεν βασίζεται σε κάποιο είδος οργανικής αίσθησης της ελεύθερης θέλησης αλλά μάλλον σε ένα μηχανιστικό πλαίσιο. (Boole, 1958/1854:185):


Η αναγκαιότητα ενός ακριβούς προσδιορισμού των πραγματικών προτάσεων μιας επίδειξης δεν θα έπρεπε να θεωρείται ως κάτι κακό, ειδικά καθώς, όταν η εργασία ολοκληρωθεί, απομακρύνεται κάθε πηγή αμφιβολίας ή ασάφειας. Εφαρμόζοντας τη μέθοδο αυτής της διατριβής, η σειρά με την οποία διατάσσονται οι λογικές προτάσεις και ο τρόπος σύνθεσης που εκθέτουν, σε κάθε παρόμοια κατάσταση, μπορεί να θεωρηθούν ως αδιαφορία και η διαδικασία εξαγωγής συμπεράσματος μπορεί να εκτελεστεί με μια ακρίβεια που μπορεί να θεωρηθεί σχεδόν μηχανική.


Η μηχανή εξαγωγής συμπερασμάτων που ο Boole φιλοδοξεί να εφεύρει είναι ένας τέλειος σύντροφος του αφαιρετισμού του και είναι ανάλογη (εν μέρει, αν όχι ολοκληρωτικά) των μηχανικών κοινωνικών τελετουργικών που σχεδιάστηκαν για να διατηρούν ή να εγγυώνται τις αλήθειες.

Kleene. Ο Boole βρίσκεται στο κατώφλι της αφαίρεσης των σύγχρονων Μαθηματικών. Θέλω τώρα να μεταπηδήσω στο σχετικά πρόσφατο παρελθόν και να εξετάσω τα μετα-Μαθηματικά. Η γενική στρατηγική που έχω σκιαγραφήσει σ’ αυτό το κεφάλαιο μπορεί να βοηθήσει στο να βγει νόημα από πολύ αφηρημένη μαθηματική δουλειά χωρίς την προσφυγή σε μη-υλιστικές (και ειδικά σε πνευματικές ή γνωστικές) κατηγορίες και “εξηγήσεις”.Η περίπτωση που εξετάζω δείχνει πώς ένα δεδομένο σύνολο αφηρημένων εννοιών μπορεί να γίνει η πρώτη ύλη της κατοπινής καθημερινής δουλειάς. Όταν αυτό συμβεί (και αυτό μπορεί να είναι χαρακτηριστικό των επιστημονικά προσανατολισμένων πεδίων) η αντίδραση ανάμεσα στους εργάτες θα τείνει να βασιστεί στη φιλοσοφία ενός αφελούς ρεαλισμού. Αυτό τότε γίνεται η βάση για να λειτουργήσει πάνω στις παλιές και να δημιουργήσει νέες αφαιρέσεις. Όσο μεγαλύτερο είναι το επίπεδο στο οποίο η δουλειά τους μετακινείται από το πλαίσιο της καθημερινής ζωής, τόσο πιο δύσκολο είναι για αυτούς να αποκτήσουν πρόσβαση στις κοινωνικές και υλικές βάσεις της δουλειάς τους.

Ο υψηλός βαθμός της μαθηματικής αυτοσυνειδητοποίησης στα μετα-Μαθηματικά καθιστά πιθανή τη μετατροπή των αφαιρετικών ιδεών των Μαθηματικών σε κοινωνιολογικές αντιλήψεις. Για παράδειγμα, η καντοριανή σφαίρα των πεπερασμένων αριθμών δημιουργείται πάνω στο θεμέλιο ενός ενσυνείδητα ρεαλιστικού ορισμού του συνόλου ως “…κάθε συλλογή Μ από καθορισμένα καλά διακεκριμένα αντικείμενα μ των αισθήσεών μας ή της σκέψης μας (τα οποία καλούνται στοιχεία του Μ) ως ένα όλο” (Kleene, 1971:9-Dauben, 1979:170ff). Αρκεί για κάποιον να αναγνωρίσει τα κοινωνικά θεμέλια των αισθήσεων και των σκέψεων και τη σημασία της εμπειρίας σε ένα κόσμο που μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύνολο ή σύνολα από διακεκριμένα αντικείμενα, για να δει ότι αυτός ο ορισμός του συνόλου είναι κάθε άλλο παρά υπερβατικός ή προϊόν μιας ατομικίστικης ή ιδιοσυγκρατούμενης και καθαρά γνωστικιστικής πράξης.

Η “Εισαγωγή στα μετα-Μαθηματικά” του S.C.Kleene αποτελεί το κέντρο της συζήτησής μου εδώ για δυο λόγους. Υπήρξε το βασικό εγχειρίδιο στα Μαθηματικά από έναν προχωρημένο επαγγελματία και ,σημαντικότερα, η έκθεση του Kleene λεπτομερής και καθαρή, καθιστά σχετικά εύκολη την εξακρίβωση των ριζών των αφηρημένων ιδεών στην υλική πραγματικότητα και τις πολιτιστικές συνέχειες που καθιστούν εφικτό το αφαιρετικό έργο. Κατά κάποιο τρόπο ο Kleene φτιάχνει μόνος του το κοινωνιολογικό και υλιστικό πλαίσιο.

Ο Kleene (1971:59) δηλώνει ότι οι προτάσεις ενσαρκώνουν τα αποτελέσματα της μαθηματικής εργασίας. Μια μαθηματική θεωρία κατασκευάζεται από προτάσεις, δηλαδή είναι ένα σύνολο ή σύστημα προτάσεων. Οι προτάσεις και τα συστήματα προτάσεων είναι αντικείμενα της μαθηματικής πραγματικότητας. Τώρα, παρατηρούμε ότι η συνέχεια των πραγματικών αριθμών παρέχει το θεμελιώδες σύστημα αντικειμένων της Ανάλυσης (Kleene, 1972:30). Στην αριθμητικοποίηση της Ανάλυσης, οι πραγματικοί αριθμοί ορίζονται ως συγκεκριμένα αντικείμενα κατασκευασμένα από τους φυσικούς αριθμούς, τους ακέραιους ή τους άρρητους. Ο Kleene (1972:36) γράφει:


Στην αριθμητικοποίηση της Ανάλυσης, μια άπειρη συλλογή (από άρρητους, που σχηματίζουν το κατώτερο μισό μιας τομής Dedekind, ή από ψηφία στη σειρά που σχηματίζουν έναν περιοδικό δεκαδικό κλπ.) θεωρείται ως αντικείμενο και το σύνολο όλων αυτών των αντικειμένων θεωρείται μια νέα συλλογή. Από αυτό προκύπτει το φυσικό βήμα προς τη γενική θεωρία συνόλων του Cantor.


Παρατηρήστε ότι μαθηματικά αντικείμενα όπως οι ακέραιοι κατασκευάζονται σε σχέση με μη μαθηματικά αντικείμενα όπως αγελάδες, μήλα, δάχτυλα κλπ. Άλλο παράδειγμα μαθηματικού αντικειμένου που σχετίζεται με την καθημερινότητα και με αντικείμενα αυτής μη μαθηματικά, είναι και το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, η δημιουργία και επικράτηση του οποίου ξεκίνησε από την ανάγκη απαρίθμησης των καθημερινών αντικειμένων και την ανάγκη έκφρασης της αντιστοιχίας αυτής της απαρίθμησης με τα δάχτυλα των χεριών. Ο Kleene αναφέρεται σε μια κατοπινή ανάπτυξη στα Μαθηματικά που σχετίζεται με το μετασχηματισμό της μαθηματικής εργασίας σε μια υψηλά εξειδικευμένη δραστηριότητα όπου τα μαθηματικά αντικείμενα γίνονται τα υλικά από τα οποία σχηματίζονται νέα μαθηματικά αντικείμενα. Τα προαναφερόμενα μαθηματικά αντικείμενα μπορούν να γίνουν η πηγή μοντέλων, δηλαδή να θεωρηθούν ως αντικείμενα της μαθηματικής πραγματικότητας που είναι ανάλογα με αγελάδες, μήλα κλπ. Η μπορούν άμεσα να κατευθυνθούν και να χρησιμοποιηθούν σαν ένα είδος παιχνιδιού κατασκευών ώστε να κατασκευαστούν νέα αντικείμενα. Έτσι μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως πηγές αφαιρετικών εννοιών ή ως υλικοί πόροι. Υπάρχει εδώ μια δήθεν συγγένεια ανάμεσα στους δυο τρόπους εισαγωγής συστημάτων αντικειμένων στα Μαθηματικά που αναγνωρίζονται από τον Kleene (1971:26-28). Η γενετική ή κατασκευαστική μέθοδος χαρακτηρίζεται από τον τρόπο με τον οποίο οι φυσικοί αριθμοί δημιουργούνται. Ο Kleene έχει στο νου του τον επαγωγικό ορισμό των φυσικών αριθμών. Όμως εγώ το συνδέω αυτό με την ανάπτυξη των ιδεών των φυσικών αριθμών στην αλληλεπίδρασή μας με τον φυσικό κόσμο. Στην αξιωματική μέθοδο ξεκινάμε με κάποιες προτάσεις που είναι υποθέσεις ή συνθήκες πάνω σε ένα σύστημα μαθηματικών αντικειμένων.


Η συνέπεια των πράξεων τότε αναπτύσσεται ως μια θεωρία σχετική με κάθε υπάρχον σύστημα αντικειμένων S, το οποίο ικανοποιεί τα αξιώματα.


Η ανεπίσημη ή υλιστική αξιωματική επενεργεί πάνω σ’ ένα γνωστό σύνολο αντικειμένων:


Τα αξιώματα απλώς εκφράζουν εκείνες τις ιδιότητες των αντικειμένων που εκλαμβάνονται αρχικά ως προφανείς, από την κατασκευή τους, η ,στην περίπτωση των θεωριών, που εφαρμόζονται στον εμπειρικό κόσμο ως προερχόμενες κατευθείαν από την εμπειρία ή ως αξιώματα για αυτόν τον κόσμο.


Η τυπική ή υπαρξιακή αξιωματική είναι ένα σημάδι της επαγγελματικοποίησης των Μαθηματικών και πραγματικά αναπτύσσεται συστηματικά για πρώτη φορά (σύμφωνα με τον Kleene) στο “Grundlagen der Geometrie” του Hilbert το 1899. Τώρα τα αξιώματα μπορούν να έρθουν πρώτα, πριν από κάθε προσδιορισμό των αντικειμένων. Ένα τέτοιο σύνολο αξιωμάτων εισάγει ή σιωπηλά ορίζει το σύστημα S των αντικειμένων στα οποία αναφέρονται τα αξιώματα (Kleene, 1971:28):


Στη μαθηματική πρακτική υπάρχει συχνά μια αλληλεπίδραση ανάμεσα στη γενετική και την αξιωματική μέθοδο εισαγωγής συστημάτων αντικειμένων, όπως, για παράδειγμα, όταν ένα σύστημα αντικειμένων που ικανοποιεί τα αξιώματα δημιουργείται γενετικά. Άλλες φορές ένα παράδειγμα μπορεί να εξαχθεί από μια άλλη τυπική αξιωματική θεωρία…


Στην τελευταία περίπτωση, εφαρμόζεται η τυπική αξιωματική θεωρία και η εφαρμογή της γίνεται μια υλιστική αξιωματική θεωρία. Στην ουσία, η διαδικασία αυτή είναι μια ουσιώδης διάκριση των εφαρμοσμένων από τα θεωρητικά Μαθηματικά, η οποία είναι επιτρεπτή μόνο κατά τη γέννησή τους ή αφού έχει δρομολογηθεί η επαγγελματικοποίηση των Μαθηματικών.

Στη διαδικασία σχηματισμού, αυτό που πραγματικά συμβαίνει είναι ότι ο μαθηματικός κατηγορηματικά δημιουργεί μια μαθηματική πραγματικότητα με τον ίδιο λίγο πολύ τρόπο που ο Tolkien ή ο Frank Herbert δημιουργούν έναν φανταστικό κόσμο. Και ο μαθηματικός, όπως ο συγγραφέας επιστημονικής φαντασίας, μεταφέρει στον κόσμο του συγκεκριμένες προτιμήσεις, δεδομένες αντιλήψεις κλπ. Στην περίπτωση του μετα-μαθηματικού, μια φιλοσοφική θέση ή θεώρηση του κόσμου η οποία μεταφέρεται έτσι είναι ανάλογη με την άποψη του αφελούς ρεαλιστή φυσικού επιστήμονα. Έτσι ο Kleene (1971:62) γράφει:

Η θεωρία αντικειμένων περιγράφεται και μελετάται ως ένα σύστημα συμβόλων και αντικειμένων δομημένο από σύμβολα. Τα σύμβολα θεωρούνται ως διάφορα είδη αναγνωρίσιμων αντικειμένων.


Παρατηρήστε ότι η μεταθεωρία, η θεωρία σχετικά με τη θεωρία αντικειμένων, είναι διαισθητική και μη τυπική και εκφράζεται στην καθημερινή γλώσσα χρησιμοποιώντας μαθηματικά σύμβολα (Kleene, 1971:26):


Οι ισχυρισμοί της μεταθεωρίας πρέπει να κατανοηθούν. Οι επαγωγές πρέπει να είναι πειστικές. Πρέπει να προχωρούν με διαισθητικές εξαγωγές συμπερασμάτων και όχι, όπως οι επαγωγές της τυπικής θεωρίας, με την εφαρμογή καθορισμένων κανόνων. Οι κανόνες καθορίστηκαν προκειμένου να σχηματιστεί η θεωρία αντικειμένων, όμως τώρα πρέπει να κατανοήσουμε χωρίς κανόνες πώς αυτοί οι κανόνες λειτουργούν. Τα διαισθητικά Μαθηματικά είναι απαραίτητα ακόμα και για να ορίσουμε τα τυπικά Μαθηματικά.


Είναι ξεκάθαρο από τον τρόπο που ο Kleene επιμένει να εισάγει την αναγκαιότητα των διαισθητικών Μαθηματικών ότι πρέπει να επιτεθούμε στον αφελή ρεαλισμό των τυπικών Μαθηματικών περίπου με τον ίδιο που το κάνουμε στον αφελή ρεαλισμό των επιστημών γενικά. Το ανθρώπινο πρακτορείο (μαθηματικοί) δημιουργεί ένα κόσμο αντικειμένων, έναν πολιτισμό που αυτοεφαρμόζεται στην κατανόηση και εξήγηση αυτών των αντικειμένων (δηλαδή, ένα δίκτυο μαθηματικών με κοινές ιδέες κλπ. μετακομίζει σε αυτό τον κόσμο και πιάνει δουλειά). Ο μαθηματικός δημιουργεί ένα κόσμο, έπειτα “γεννιέται” και μεγαλώνει σ’ αυτόν ως μέλος ενός πολιτισμού, είναι ένας κόσμος χάους για αυτόν ή αυτήν. Δεν υπάρχουν άμεσα γνωστοί εκ των προτέρων κανόνες. Ο μαθηματικός ξεκινά τώρα να ξεδιαλύνει τη φύση αυτού του κόσμου. Αυτό είναι σαν να κατεβαίνει ένας θεός στη γη για να μελετήσει το ίδιο του το δημιούργημα. Η κοινωνική αναπαραγωγή της παγκόσμιας άποψης της αντικειμενικής επιστήμης ως αφελή ρεαλισμό σαφώς αντικατοπτρίζεται στον ισχυρισμό του Kleene (1971:63) ότι:

Οι μετα-μαθηματικοί πρέπει να μελετούν το τυπικό σύστημα ως ένα σύστημα συμβόλων κλπ. που θεωρούνται καθαρά αντικειμενικά. Αυτό απλά σημαίνει ότι αυτά τα σύμβολα κλπ. είναι από μόνα τους τα υπέρτατα αντικείμενα και δεν χρησιμοποιούνται για να αναφέρονται σε κάτι άλλο πλην των εαυτών τους. Ο μετα-μαθηματικός κοιτάζει αυτά και όχι μέσω αυτών ή πέρα από αυτά. Έτσι είναι αντικείμενα χωρίς ερμηνεία ή νόημα.

Η λογική εξήγηση για μια κατασκευαστική κοινωνιολογική ερμηνεία παρέχεται σε μεγάλο βαθμό από τον ίδιο τον Kleene, ακόμα και όταν εμμένει σε ένα είδος αφελούς ρεαλισμού. Αυτό που βλέπουμε είναι η ενσυνείδητη δημιουργία ενός κόσμου αντικειμένων (κόσμος ΙΙ) με όχημα μια συλλογική σκέψη, και ένα προϊόν ενός φυσικού και κοινωνικού κόσμου αντικειμένων (κόσμος Ι). Ο κόσμος αντικειμένων Ι περικλείει τον κόσμο αντικειμένων ΙΙ και το προϊόν του, τον μετα-μαθηματικό. Η όλη διαδικασία στυλιζάρει την ιδέα της αντικειμενικής επιστήμης. Και βλέπουμε πώς, όπως στην περίπτωση της κοινωνικής κατασκευής των θεών, οι άνθρωποι μπορούν να αποξενώσουν τον εαυτό τους από τα πράγματα που οι ίδιοι έχουν κατασκευάσει.

Ένα τυπικό σύστημα μπορεί να επιτευχθεί με δυο τρόπους. Ένας τρόπος είναι να αναλυθούν τα δοθέντα μη τυπικά Μαθηματικά. Σ’ αυτή την ανάλυση, θεμελιώδεις έννοιες, προϋποθέσεις και επαγωγικές σχέσεις επιλέγονται και γίνονται στερεότυπα. Όμως ένα τυπικό σύστημα μπορεί να εισαχθεί ως καινούριο. Ένα παράδειγμα τυπικού συστήματος που δημιουργείται “από το τίποτα” ακολουθεί παρακάτω. Δεν θα αναλύσω το σύστημα λεπτομερώς, θέλω απλώς να τονίσω μερικούς από τους τρόπους με τους οποίους το σύστημα βασίζεται σε μια κουλτούρα. (Kleene, 1971:Κεφάλαιο IV).

ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΖΟΝΤΑΣ ΕΝΑ ΤΥΠΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

Βήμα 1. Κατάλογος των τυπικών συμβόλων.


1
Λογικό
S
:

2
Κατηγόρημα
S
:
=

3
Συνάρτηση
S
:
+

4
Ανεξάρτητο
S
:
0

5
Μεταβλητές
:
a,b,c,…

6
Παρενθέσεις
:
(, )

Παρατηρήστε ότι ο Kleene (1) χρησιμοποιεί συνηθισμένα σύμβολα και (2) δίνει συνηθισμένες ερμηνείες:

É (συνεπάγεται)

& (και)

V (ή)

- (όχι)

" (για κάθε)

(υπάρχει)

Όμως ο Kleene τονίζει ότι αυτές οι ερμηνείες είναι άσχετες, το μόνο που χρειαζόμαστε είναι να αναγνωρίζουμε κάθε σύμβολο ως το ίδιο σε κάθε επανάληψη και να διακρίνουμε από τα άλλα. Όμως αυτό σημαίνει να αναγνωρίζεται ότι ένα σύμβολο που είναι μεταβλητή, είναι μεταβλητή.

Βήμα 2. Κατασκευή πεπερασμένων ακολουθιών τυπικών συμβόλων π.χ. τυπικές εκφράσεις.

π.χ. (a) + (b)

Βήμα 3. Κατασκευή πεπερασμένων ακολουθιών τυπικών εκφράσεων.

Βήμα 4. (Αυτό δεν είναι ακριβώς ένα “βήμα” αλλά μάλλον μια κατασκευαστική δραστηριότητα που ο Kleene εισάγει εδώ και την αναγνωρίζει ως θεμιτή):

Έστω ότι τα γράμματα αντιπροσωπεύουν τυπικά αντικείμενα π.χ.

Έστω ότι το S αντιπροσωπεύει το (a) + (b).

Αυτά είναι διαισθητικά ή μετα-μαθηματικά σύμβολα.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΑΝΤΙΠΑΡΑΘΕΣΗ (ή ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ): μια νέα ακολουθία παράγεται με την αντιπαράθεση δυο ή περισσοτέρων ακολουθιών τυπικών συμβόλων.

ΚΑΝΟΝΕΣ ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗΣ. Συγκεκριμένες υποκατηγορίες των τυπικών εκφράσεων ορίζονται. Οι ορισμοί είναι ανάλογοι με τους κανόνες της σύνταξης στη γραμματική (Kleene, 1971:72).

Η ιδέα της “εφαρμογής” είναι κρίσιμη για την κατανόηση της μαθηματικής δραστηριότητας ως μιας κοινωνικής, υλικής διαδικασίας. Ας ξεκινήσουμε (με τον Kleene, 1971:125-126) παρατηρώντας ότι στην αριθμητική των θετικών ακεραίων του δημοτικού σχολείου, τα αριθμητικά 1, 2, 3,… είχαν νόημα στα πεδία της απαρίθμησης και της μέτρησης. Όμως όταν φτάνουμε στους πίνακες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού, αυτά τα αριθμητικά μπορούν να είναι “κάθε απαρίθμηση διακεκριμένων αντικειμένων”.

Από αυτή την οπτική γωνία, η αριθμητική ασχολείται με λειτουργίες, όπως συναρτήσεις, + και x, πάνω σε ένα πεδίο αντικειμένων (1, 2, 3,…) και εξαρτάται μόνο από την δυνατότητα της αναγνώρισης και της διάκρισης ανάμεσα σε αυτά τα αντικείμενα και όχι από την πραγματική τους φύση.

Ο Kleene τώρα ακολουθεί την ίδια διαδικασία για να ξεκινήσει μια νέα αριθμητική. Κατασκευάζει ένα πεδίο δυο αντικειμένων και τεσσάρων λειτουργιών ή συναρτήσεων. Ως αποτέλεσμα, δημιουργεί έξι αντικείμενα καθώς οι τέσσερις πράξεις είναι, μιλώντας μετα-μαθηματικά, “άνευ νοήματος δεδομένα αντικείμενα”. Τα δύο αντικείμενα στα οποία επενεργούμε είναι τα α και ψ, οι τέσσερις λειτουργίες είναι :^, & ,V, - . Είναι σημαντικό να παρατηρήσουμε ότι αυτά τα “χωρίς νόημα” αντικείμενα είναι όλα τμήματα του πολιτιστικού φορτίου των Μαθηματικών. Αφήστε με να αφήσω τον Kleene να εξηγήσει σε τι έχει καταλήξει και παρατηρήστε ότι αυτό είναι ένα ακόμα παράδειγμα λειτουργίας πάνω σε λειτουργίες που ξαναεισάγονται ως αντικείμενα (Kleene, 1971:126):

Εισάγουμε μια μετα-μαθηματική υπολογιστική διαδικασία (η οποία καλείται διαδικασία αξιολόγησης), με την οποία μια συνάρτηση στην αριθμητική (ή ένας πίνακας μιας τέτοιας συνάρτησης, ο οποίος καλείται πίνακας αληθείας) συσχετίζονται με κάθε ένα από τα σύμβολα …και έτσι με κάθε γραμματικό τύπο πρότασης. Τότε μελετούμε τις μετα-μαθηματικές ιδιότητες των γραμματικών τύπων των προτάσεων όπως ορίζονται με τους όρους των συσχετισθέντων συναρτήσεων (ή πινάκων).

Παρατηρήστε ότι ο Kleene διαλέγει “υπονοητικά” σύμβολα (σε αυτή την περίπτωση α και ψ υπονοούν τις έννοιες “αληθής” και “ψευδής” στη λογική τους ερμηνεία), έστω και αν θεωρητικά είναι άνευ σημασίας τι σύμβολα επιλέγουμε - αρκεί, φυσικά, να ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο. Είναι σύνηθες στα Μαθηματικά να χρησιμοποιείται “η ίδια ονομασία για ανάλογες έννοιες που προκύπτουν σε συγγενείς τεχνικά θεωρίες” (Kleene, 1971:139). Τα περίφημα αποτελέσματα του Gödel ακολουθούν αυτό το μοντέλο του να μπαίνουν στη δομή ενός τυπικού συστήματος ως ένα σύστημα αντικειμένων. Ο Gödel φυσικά ασχολείται με τη δομή σε μεγάλο βάθος (Kleene, 1971:205, 246):

…επιλέγοντας μια συγκεκριμένη απαρίθμηση των τυπικών αντικειμένων, ή μια συγκεκριμένη αντιστοίχηση διακριτών φυσικών αριθμών σε διακριτά τυπικά αντικείμενα (χωρίς τη χρήση όλων των αριθμών) και τότε, μιλώντας για τους αντίστοιχους αριθμούς αντί για τα τυπικά αντικείμενα , τα μετα-Μαθηματικά γίνονται ένας κλάδος της αριθμητικής των φυσικών αριθμών (αρίθμηση Gödel).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: ΚΟΙΝΩΝΙΚΟΣ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΣ, ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΤΑ ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΑΥΤΟΝΟΜΙΑΣ

Η αφαίρεση εξαρτάται από τη συνειδητοποίηση των ευκαιριών για την παραγωγή, δημοσίευση και διάδοση ιδεών σε μια ειδικευμένη κοινότητα καθηγητών και φοιτητών που εκτείνεται σε έναν αριθμό συνεχόμενων γενεών. Αν η αφαιρετική διαδικασία εκτελείται κάτω από συνθήκες κοινωνικού κατακερματισμού (π.χ. ταξικός διαχωρισμός και ταξική πάλη), τότε και ο κατακερματισμός της γνώσης (π.χ. ξεχωρίζοντας και αντιπαραθέτοντας τη φυσική από την ηθικοπολιτική γνώση), θα δημιουργήσει ιδεολογίες αγνότητας. Έτσι, τα επιχειρήματα για την αγνότητα δεν είναι απλώς συνέπειες της επαγγελματικής αυτονομίας και εξειδίκευσης. Είναι αναπόφευκτο αποτέλεσμα της κοινωνικής διαμάχης (συμπεριλαμβανομένης της ταξικής πάλης). Η δουλειά των επιστημόνων σε μεγάλο βαθμό συνίσταται στην ορθολογική οργάνωση της σκέψης και στην ανάπτυξη αλγορίθμων για την άμεση εφαρμογή ιδεών στα πολιτικά, οικονομικά και στρατιωτικά άκρα των κυβερνώντων ελίτ. Όμως όσο περισσότερο απομονώνεται η δουλειά τους από “εξωτερικά” συμφέροντα, τόσο τα αλγοριθμικά αποτελέσματα περνούν σε δεύτερη μοίρα μπροστά στα αποτελέσματα της παράδοσης και των σχέσεων καθηγητή/ερευνητή-φοιτητή και καθηγητή/ερευνητή-καθηγητή/ερευνητή. Η αυτοσυνειδητοποίηση και η υπεράσπιση της επαγγελματικής αυτονομίας οδηγεί στην ανάπτυξη ιδεολογιών που δικαιολογούν και δοξάζουν το διαχωρισμό θεωρίας και πράξης, ή πιο γενικά την έννοια του “…για χάρη του”. Ιδεολογίες αγνότητας δεν είναι άσχετες με το ρόλο της σκεπτόμενης τάξης ως εργαλείο της υπάρχουσας τάξης πραγμάτων. Οι ιδεολογίες αγνότητας είναι ένα προϊόν του υπερβολικού διαχωρισμού θεωρίας και πράξης.

Παρατηρήστε ότι υπάρχει μια ένταση ανάμεσα στο ρόλο των επιστημόνων ως τα μυαλά (και μέχρι κάποιο επίπεδο και τα χέρια) των πολιτικών, στρατιωτικών και οικονομικών συμφερόντων από τη μία, και τους ρόλους τους ως μέλη μιας επιστημονικής κοινότητας της οποίας η αυτονομία τους εγγυάται συγκεκριμένα προνόμια, ειδικά ένα κάποιο βαθμό αυξημένης ανεξαρτησίας στο κυνήγι των εκπαιδευτικών και ερευνητικών τους στόχων. Παρ’ όλ’ αυτά όμως, οι πόροι στη διάθεση των επιστημόνων για τη συντήρηση και υπεράσπιση της αυτονομίας, διατίθενται αποκλειστικά σύμφωνα με τις διαθέσεις των κυβερνώντων τάξεων. Αν οι άρχουσες τάξεις αποφασίσουν ότι η αυτονομία παράγει υπερβολική ανεξαρτησία και ότι δημιουργεί υπερβολική στενοκεφαλιά, κριτικισμό και πενιχρά οφέλη, θα προσαρμόσουν αυτούς τους πόρους κατάλληλα, έτσι ώστε να πετύχουν ένα προφίλ λιγότερης αυτονομίας και μια πιο άμεσα επικερδή σχέση με την κοινότητα. Παρατηρούμε λοιπόν σήμερα, μια προσπάθεια χειραγώγησης της επιστημονικής έρευνας, έτσι ώστε αυτή να μην αποσκοπεί στη γενικότερη πρόοδο της επιστήμης, αλλά να περιορίζεται σε εκείνους μόνο τους τομείς που μπορεί να αποδειχθούν ή έχουν αποδειχθεί ως οι πλέον προσοδοφόροι.

Η θεωρία σχετίζεται με την θεωρητική σκέψη που συνοδεύει το διαχωρισμό της κοινωνίας σε κοινωνικές τάξεις. Αυτό είναι γενικότερα το ειδικό αντικείμενο των κυβερνώντων τάξεων. Καθώς μια άρχουσα τάξη αποκόπτεται από τη βασική βιοποριστική εργασία, τα μοντέλα σκέψης της γίνονται όλο και πιο “υποθετικά”. Αυτά τα μοντέλα σκέψης ανταποκρίνονται στις σχετικά απομονωμένες και στενόμυαλες υλικές συνθήκες του τρόπου ζωής της άρχουσας τάξης ή τουλάχιστον του τρόπου ζωής εκείνου του τμήματος της άρχουσας τάξης που έχει αποκοπεί από τις καθημερινές δραστηριότητες της απόκτησης, διατήρησης και επέκτασης του ελέγχου τους πάνω στους κοινωνικούς πόρους. Μια λόγια υποτάξη μέσα στην ή υποστηριζόμενη από την άρχουσα τάξη μετασχηματίζει αυτές τις υποθέσεις σε θεωρία. Αυτή η υποτάξη έμμεσα ή άμεσα εξαρτάται από την προστασία της άρχουσας τάξης. Η διάκριση ανάμεσα στις υποθέσεις και τη θεωρία εξαρτάται εν μέρει και από το βαθμό στον οποίο οι ειδικοί της θεωρίας μπορούν να διατηρήσουν και διατηρούν κάποιους δεσμούς με την παραγωγική διαδικασία. Αυτοί οι δεσμοί μπορεί να είναι με τη μηχανική ή εφαρμοσμένη επιστήμη ή με την εσωτερική επιστημονική εργασία που είναι γνωστή ως “πειραματισμός”. Ο υπερβολικός και παρατεταμένος διαχωρισμός σε θεωρία και πράξη θέτει σε κίνδυνο την αυτονομία και την ίδια την ύπαρξη μιας κοινότητας ειδικών, όπως θα δείξω παρακάτω.

Η ανάπτυξη μιας λίγο πολύ αυτόνομης σφαίρας ιδρυμάτων δημιουργεί ένα νέο γενικό πλαίσιο για παραγωγική εργασία. Το ίδιο είδος ανάλυσης που σε ένα πιο πρωτόγονο επίπεδο ξεκινά με δραστηριότητες που στοχεύουν στην ικανοποίηση βασικών ανθρώπινων αναγκών, πρέπει τώρα ταυτόχρονα να εκτελείται πάνω σε ένα νέο επίπεδο όπου σκοπός είναι η ικανοποίηση των στόχων των οργανισμών και των ιδρυμάτων. Η ιδρυματικοποίηση της επιστήμης δημιουργεί τις συνθήκες για τη δημιουργία επιστήμης πέρα από την επιστήμη. Αυτό δεν σημαίνει ότι τα υλιστικά θεμέλια της πρώιμης επιστήμης ξεπερνιούνται. Αντιθέτως μετασχηματίζονται και γίνονται πιο περίπλοκα. Νέα επίπεδα οργανισμών χτίζονται πάνω σε χαμηλότερου επιπέδου συντήρησης οργανισμούς. Τα επαγγέλματα και τα ιδρύματα είναι υψηλής τάξης υλικά θεμέλια για την ανθρώπινη παραγωγική δραστηριότητα. Η αναπροσαρμογή ή η γέννηση νέων στόχων όμως, η οποία οφείλεται στην ταχύτατη επιστημονική εξέλιξη, δεν έπεται την αναπροσαρμογή του αρχικού στόχου, αλλά και της αρχικής αιτίας της γέννησης της επιστήμης, που είναι η εφαρμογή της στην καθημερινή ζωή. Άλλωστε, η ραγδαία επιστημονική εξέλιξη που παρατηρείται τα τελευταία χρόνια δεν εξυπηρετεί μόνο τον αυτοσκοπό της επιστήμης, αλλά συνοδεύεται και από ραγδαία τεχνολογική εξέλιξη.

Όταν επικεντρώνουμε την προσοχή μας στην εσωτερική κοινωνική δομή και αυτονομία γίνεται ξεκάθαρο ότι οι διαδικασίες εξειδίκευσης, ρουτινοποίησης, ιδρυματικοποίησης, επαγγελματικοποίησης και γραφειοκρατικοποίησης αυξάνουν το βαθμό αποκλεισμού μιας κοινωνικής δραστηριότητας σε σχέση με άλλες κοινωνικές δραστηριότητες. Καθώς ο αποκλεισμός μεγαλώνει, το χάσμα που χωρίζει μια δοθείσα δραστηριότητα από άλλες δραστηριότητες γίνεται μεγαλύτερο και πιο δύσκολο να ξεπεραστεί. Το χάσμα μπορεί να μεγαλώσει για παράδειγμα αυξάνοντας το βαθμό εξειδίκευσης και μοναδικότητας των γλωσσολογικών, συμβολικών και σημειογραφικών συστημάτων. Η διαδικασία αποκλεισμού αρχικώς προωθείται από μεγάλης κλίμακας εξελίξεις (για παράδειγμα αυξήσεις στην κλίμακα των εξελικτικών οικονομιών). Καθώς αναδύονται οι ειδικοί, αναλαμβάνουν ένα αυξανόμενα ενεργό και ενσυνείδητο ρόλο στην προώθηση και προστασία του αποκλεισμού (δηλαδή η δουλειά πάνω στο διαχωρισμό απασχολεί όλο και πιο μεγάλο μέρος από το χρόνο τους). Κάτω από τέτοιες συνθήκες, δραστηριότητες μέσα και διαμέσου των γενεών (θεωρώντας μια συνέχεια των γενεών) θα αποφέρουν όλο και πιο αφηρημένες παραγωγές ή αντικείμενα. Ιστορικά, με την απουσία του είδους της ανάλυσης και της αντίληψης που αντικατοπτρίζεται σ’ αυτό το κεφάλαιο, η διαδικασία αποκλεισμού τελικά οδηγεί σε εικασίες σχετικές με την πολιτισμική δημιουργία ή την κοινωνική παραγωγή ως θέματα καθαρής πνευματικής δραστηριότητας. Καθώς ο αποκλεισμός προχωρά, τέτοιες εικασίες γίνονται όλο και πιο προεξέχουσες και αληθοφανείς. Αυτό συμβαίνει, εν μέρει επειδή οι περισσότεροι εργάτες αγνοούν ή ξεχνούν την ιστορία τους και κατά συνέπεια τις υλικές, πρακτικές και κοινωνικές ρίζες των παραγωγικών δραστηριοτήτων τους και των προϊόντων τους, και εν μέρει επειδή συγκεκριμένοι πιο αυτοσυνειδητοποιημένοι αντιπρόσωποι της ειδικότητας σκοπίμως ξεκινούν να προστατεύσουν ένα “ιερό” προσωπείο της δουλειάς τους και να ανταγωνίζονται άλλες ειδικότητες για σπάνιους πόρους. Η αγνότητα έχει και ιερές αλλά και διαχωριστικές λειτουργίες.

Καθώς μια κοινωνική δραστηριότητα εξειδικεύεται όλο και πιο πολύ και γίνεται όλο και πιο αυτόνομη σε σχέση με άλλες κοινωνικές δραστηριότητες, εστιάζει όλο και πιο πολύ στα ίδια της τα προϊόντα ως αντικείμενα και εργαλεία κοινωνικής παραγωγής και αναπαραγωγής. Με δεδομένη τη συνέχεια των γενεών και μια παρασιτική ή αλλιώς “ομφάλια” σχέση με την “εξωτερική” κοινωνία (έτσι ώστε σημαντικοί πόροι και ενέργεια να μην χρειάζεται να σπαταλώνται σε βασικές ανάγκες συντήρησης), μια επαναληπτική διαδικασία ξεκινά στην οποία τα προϊόντα μιας ομάδας δραστηριοτήτων ή των δραστηριοτήτων μιας γενιάς γίνονται τα υλικά (το υλικό θεμέλιο) για την επόμενη ομάδα δραστηριοτήτων ή για την παραγωγική δραστηριότητα της επόμενης γενιάς. Δεν μπορεί λοιπόν μια συγκεκριμένη κοινωνική δραστηριότητα να αντιμετωπίζεται ως μια μεμονωμένη διαδικασία, προορισμένη να εξυπηρετεί μόνο τους δικούς της σκοπούς. Αντιθέτως, θα πρέπει να αντιμετωπίζεται ως μια διαδικασία που έχει επηρεαστεί από τις προηγούμενες και που θα επηρεάσει τις επόμενες κοινωνικές δραστηριότητες.

ΤΑ ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΑΥΤΟΝΟΜΙΑΣ

Αν η διαδικασία διαφοροποίησης και αυτονομίας μπορούσε να συνεχίσει ανεξέλεγκτη, τι θα συνέβαινε; Ως αποτέλεσμα, η διαδικασία αποκλεισμού θα έσπρωχνε το σύστημα προς μια τελείως κλειστή κατάσταση. Ίσως το τέλμα του συστήματος να προέλθει από την ανεξέλεγκτη διαδικασία διαφοροποίησης και αυτονόμησης των επιμέρους κοινωνικών δραστηριοτήτων (π.χ. επιστημονικών κλπ.). Η διαφοροποίηση και η αυτονόμηση αυτή μπορεί να οδηγήσει στη δημιουργία βαθύτατων ρηγμάτων που θα διαλύσουν την ομοιομορφία και θα πλήξουν τη συνοχή του κοινωνικού συστήματος. Ενώ το σύστημα δεν θα γινόταν ποτέ εντελώς κλειστό (μια εξιδανίκευση, ένα άτοπο με την αυστηρά τεχνική έννοια), η διαδικασία θα μεγαλοποιούσε τις στρατηγικές προσαρμογής, θα μείωνε τα ενδεχόμενα προσαρμογής και τελικά (ίσως μετά από μια περίοδο ισορροπίας) θα εξαντλούσε τους απαραίτητους για συντήρηση ή ανάπτυξη πόρους. Το σύστημα θα εξαφανιζόταν με έναν τρόπο ανάλογο με τον τρόπο που ορισμένα είδη ζώων εξαφανίζονται. Στα τελευταία στάδια του αποκλεισμού, ο πολιτισμός αναπηδάει στα ίδια του τα όρια καταβροχθίζοντας τον εαυτό του. Σε αυτό το σημείο το σύστημα έχει ξεπεράσει το στάδιο της αυτοσυνειδητοποίησης και αυτοπροβολής που εξ ορισμού θα μπορούσε να το βγάλει από το μονοπάτι της εξαφάνισης (για παράδειγμα προωθώντας την αναγνώριση της ανάγκης να ανοίξουν τα όρια του συστήματος αρκετά ώστε να επιτραπεί η παραπέρα ανάπτυξη ίσως και η ριζική αλλαγή - μέσω της ανταλλαγής και της επικοινωνίας με το εξωτερικό περιβάλλον). Προκειμένου να αποφύγει την εξαφάνιση (τουλάχιστον στο βαθμό που οι πόροι το καθιστούν αυτό βραχυπροθέσμως εφικτό), το σύστημα πρέπει να συντηρήσει κύκλους σπασίματος και επαναδημιουργίας του αποκλεισμού προκειμένου συνεχώς να επανενεργοποιεί κάποιο είδος ανάπτυξης.

Η επαγγελματικοποίηση είναι μια αναπτυγμένη μορφή κοινωνικής αυτονομίας και αποκλεισμού και κουβαλάει μαζί της το ενδεχόμενο της κατάρρευσης και εξαφάνισης καθώς και της όλο και πιο εξευγενισμένης (και προσαρμόσιμης) αυτοπροβολής, και νέα επίπεδα ερμηνευτικής δύναμης και κατανόησης. Όπως σε όλα τα παραδείγματα της κοινωνικής ζωής, έτσι και στη μαθηματική κουλτούρα αναπτύσσονται λαϊκές κοινωνιολογίες που συναγωνίζονται ή συμπληρώνουν τις επαγγελματικές κοινωνιολογίες. Οι επαγγελματικές κοινωνιολογίες αρχικά ξεπηδούν από τις λαϊκές κοινωνιολογίες. Οι λαϊκές κοινωνιολογίες εξακολουθούν να δημιουργούνται ακόμα και αφού η κοινωνιολογία αποκτήσει μια προοπτική ειδικότητας και γίνει μια δραστηριότητα που μπορεί να εφαρμοστεί σε μια ομάδα από άτομα έξω από αυτή. Καθώς τα Μαθηματικά, για παράδειγμα, επαγγελματικοποιούνται όλο και πιο πολύ, η αυτοπροβολή δημιουργεί όλο και πιο εξευγενισμένες λαϊκές κοινωνιολογίες, εν μέρει φυσικά ως αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης με την εξωτερική επαγγελματική κοινωνιολογία. Ο Bourbaki αποτελεί το προεξέχον παράδειγμα. Με ενδιαφέρον, μαζί με μια καλά αναπτυγμένη λαϊκή κοινωνιολογία, ο Bourbaki υπογραμμίζει τη σχέση ανάμεσα στα μαθηματικά αντικείμενα σε αντίθεση με τη θεώρηση των ίδιων των αντικειμένων, δηλαδή εστιάζει στη δομή, στις κατηγορίες και στους τελεστές.

Η αλληλεπίδραση ανάμεσα στις εσωτερικές και εξωτερικές κοινωνιολογίες των Μαθηματικών είναι μία από τις συνθήκες για την προώθηση του παραπέρα εξευγενισμού στα υψηλότερα επίπεδα αυτοπροβολής. Την ίδια στιγμή αυτή η αλληλεπίδραση είναι ένα αντίδοτο στις παθολογίες του αποκλεισμού και της αυτοπροβολής και στους δύο τομείς. Η “θεραπεία” του συστήματος όμως δεν έγκειται στην εγκατάλειψη της προσπάθειας για τον συνεχή εξευγενισμό της επιστήμης, αλλά σε μια αυτοάμυνα που γεννιέται εξ αιτίας της αλληλεπίδρασης της λαϊκής με την επαγγελματική κοινωνιολογία. Η λαϊκή κοινωνιολογία “γεννά” την επαγγελματική, κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας όμως δημιουργούνται και νέες λαϊκές κοινωνιολογίες, ενώ η ήδη δημιουργημένη επαγγελματική κοινωνιολογία λειτουργεί με τέτοιο τρόπο ώστε να ευνοεί την αποσυμπίεση του συστήματος από την πίεση και την ένταση που δημιουργεί ο υπερβολικός εξευγενισμός. Η αγνότητα υπηρετεί την ιδεολογία και τα τελετουργικά της κοινωνικής αλληλεγγύης. Στην πραγματικότητα, όπως ο Nordon τονίζει, είναι η αγνότητα της πραγματικής μαθηματικής πρακτικής που εξηγεί τον πλούτο της. Ειδικότερα, τα Μαθηματικά, σύμφωνα με τον Nordon, αναπτύσσονται μέσα από τη συνεχή αλληλεπίδραση ανάμεσα στα Μαθηματικά και τον καθημερινό λόγο. Οι παρακάτω παρατηρήσεις από τον Richard Feynman προσφέρουν άλλη μια εικόνα αυτού του σημείου (Feynman,1986:149):

Όταν ήμουν στο Princeton τη δεκαετία του 1940 μπορούσα να δω τι συνέβαινε σε εκείνες τις μεγάλες διάνοιες στο Ινστιτούτο Ανωτέρων Σπουδών, οι οποίες είχαν ειδικά επιλεγεί για τα εκπληκτικά τους μυαλά και τους δινόταν τώρα η ευκαιρία να κάθονται σ’ αυτό εκεί το υπέροχο σπίτι δίπλα στο δάσος, χωρίς να διδάσκουν σε τάξεις, χωρίς οποιεσδήποτε υποχρεώσεις. Αυτοί οι κακόμοιροι μπάσταρδοι μπορούσαν τώρα να κάθονται και να σκέφτονται ξεκάθαρα ολομόναχοι, έτσι; Λοιπόν, δεν κατεβάζουν καμία ιδέα για λίγο. Έχουν όλη τη δυνατότητα να κάνουν κάτι και αυτοί δεν κατεβάζουν καμία ιδέα. Πιστεύω πως σε μια κατάσταση όπως αυτή ένα είδος ενοχής ή κατάθλιψης εισβάλλει μέσα σου και αρχίζεις να ανησυχείς γιατί δεν σου έρχονται καθόλου ιδέες. Και τίποτα δεν συμβαίνει. Και πάλι δεν έρχεται καμία ιδέα.

Τίποτα δεν συμβαίνει γιατί δεν υπάρχει αρκετή πραγματική δραστηριότητα και πρόκληση. Δεν έρχεσαι σε επαφή με αυτούς που πειραματίζονται. Εδώ δεν χρειάζεται να σκεφτείς για να απαντήσεις στις ερωτήσεις των φοιτητών. Τίποτα!

Είναι γεγονός ότι η απομόνωση κάθε μορφής του επιστήμονα, ακόμα και σε ιδανικό περιβάλλον, δεν μπορεί να οδηγήσει σε γόνιμες σκέψεις. Άλλωστε η εξέλιξη της επιστήμης δεν βασίζεται σε τυχαία γεγονότα, αλλά παίρνει αφορμή από αυτά προκειμένου να αναπτυχθούν οι κατάλληλες θεωρίες. Κάτι τέτοιο όμως δεν μπορεί να γίνει χωρίς την ύπαρξη διαλόγου, ο οποίος συχνά προσφέρει τα κατάλληλα ερεθίσματα. Έτσι κι αλλιώς όμως, η κατά παραγγελία έρευνα δύσκολα μπορεί να είναι επαρκώς αποτελεσματική.

Η κοινωνιολογία των Μαθηματικών τότε είναι κομμάτι της διαδικασίας με την οποία οι μαθηματικοί συνειδητοποιούν όλο και πιο πολύ τις διάφορες διαστάσεις της δουλειάς τους (και οι κοινωνιολόγοι τις διάφορες διαστάσεις της δικής τους δουλειάς). Ιδανικά, θα έπρεπε να υπάρχει μια διαλεκτική αλληλεπίδραση ανάμεσα στις εσωτερικές και εξωτερικές κοινωνιολογίες της γνώσης. Αυτή η διαδικασία μπορεί να είναι συνεχής, έστω και αν μακροπρόθεσμα θα υπάρχουν περίοδοι στις οποίες η διάκριση ανάμεσα στις εσωτερικές και τις εξωτερικές θα είναι θολή ή θα εξαφανίζεται. Η περιοδική επανεμφάνιση αυτής της διάκρισης είναι μια απαραίτητη συνθήκη για τη συνεχή ανάπτυξη της μαθηματικής και κοινωνιολογικής εργασίας, για να μην πούμε τίποτα εδώ για τη σημασία της κατάλυσης των ορίων που τεχνητά απομονώνουν τις έρευνες και των δύο τομέων. Ακόμα και κάτω από τις καλύτερες συνθήκες, αυτό το είδος διαδικασίας θα επηρεάζεται από συγκρούσεις συμφερόντων στο εσωτερικό αλλά και μεταξύ των δύο κοινοτήτων. Και οι συστηματικές ανταλλαγές συνεισφέρουν σε ριζικές αλλαγές στις δομές και τις λειτουργίες καθώς και την αξιοπιστία των τοπικών δικτύων εργατών. Η αλληλεπίδραση ανάμεσα στις εσωτερικές και τις εξωτερικές κοινωνιολογίες της γνώσης είναι ένας τρόπος να κρατηθεί ένα σύστημα ιδεών σχετικά ανοιχτό. Ο άλλος σημαντικός τρόπος ανταλλαγής είναι ανάμεσα στα “αφηρημένα” και τα “εφαρμοσμένα” πεδία.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου