ΔΙΑΜΑΧΕΣ, ΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΑΛΛΑΓΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΗ

ΔΙΑΜΑΧΕΣ, ΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΑΛΛΑΓΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΗ

[Κεφάλαιο 7]

Sal Restivo

ΕΙΣΑΓΩΓΗ:

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗ


Οι διαμάχες, τα σκάνδαλα, οι αδικίες και οι αμφισβητήσεις συχνά αποκαλύπτουν σημαντικές ιστορικές αλλαγές στην κοινωνική οργάνωση. Αυτό συμβαίνει και στην επιστήμη όπως συμβαίνει και σε άλλες κοινωνικές δραστηριότητες. Η επιστήμη δε χαρακτηρίζεται από ένα διαρκές σύνολο από κανόνες και τιμές. Αυτό που διαρκεί είναι η δραστηριότητα των επιστημόνων και των επιστημονικών συνεργατών για πλούτο, δόξα και τη δύναμη να ελέγχουν τη ροή των ιδεών και να επιβάλλουν τις ιδέες τους σε άλλους. Αυτό είναι χαρακτηριστικό και των υπόλοιπων πνευματικών δραστηριοτήτων συμπεριλαμβανομένων των μαθηματικών.

Η κοινωνική οργάνωση της επιστήμης καθορίζει το σύστημα ανταμοιβής στην επιστήμη. Κάτω από ορισμένες συνθήκες, οι ιδέες θεωρούνται πολύ χρήσιμες όταν κρατούνται κρυφές. Μπορούν να αποτελέσουν τη βάση για διατήρηση περίβλεπτων απόψεων ή να χρησιμοποιηθούν ως όπλα σε ανταγωνιστικές συνθήκες. Σε μερικές περιπτώσεις, εγωιστές «ληστο-αριστοκράτες» επιστήμονες σφετερίζονται ή υποτάσσουν τις ιδέες άλλων επιστημόνων με σκοπό να κατασκευάσουν νέους ή να διατηρήσουν παλιούς επικρατώντες οργανισμούς και πνευματικά συστήματα. Σε άλλες περιπτώσεις «άγιοι», με κοινωνική ευαισθησία επιστήμονες σχολαστικά αναγνωρίζουν τις συνεισφορές των συναδέλφων τους και υποτάσσουν τους εαυτούς τους στα ιδανικά της επιστημονικής προόδου.

Η επιστημονική συμπεριφορά αποτελεί μία μεταβλητή. Τα ιδανικά ή οι κανόνες της επιστήμης δεν προκαλούν επιστημονική συμπεριφορά , αλλά αναδύονται από τη πάλη για προσωπική επιτυχία κάτω από διαφορετικές συνθήκες ανταγωνισμού. Κανόνες γνωστοί ή κρυφοί, προσωπικές ή κοινωνικές πνευματικές ιδιοκτησίες, αναγνώριση προτεραιοτήτων ή ανηλεής αυταρέσκεια προέρχονται από συγκεκριμένες οργανωτικές συνθήκες.

Τα μεγάλα σκάνδαλα στην ιστορία της επιστήμης σηματοδότησαν αλλαγές στις οργανωτικές συνθήκες. Διαδεδομένα πρότυπα συμπεριφοράς έγιναν όλο και λιγότερο κατάλληλα καθώς η φύση και η διαθεσιμότητα των πηγών άλλαζε και προκαλούσε αλλαγές στις συνθήκες του ανταγωνισμού.

Γενικότερα, οι επιστημονικές αλλαγές δεν φαίνονται να είναι ένα θέμα εγκαθιδρυμένων παραδειγμάτων που διαβάλλονται κάτω από τη πίεση συσσωρευμένων μαρτυριών. Οι νεωτερισμοί στα μαθηματικά δεν προκλήθηκαν τόσο από τη συσσώρευση εμπειρικών ή λογικών ανωμαλιών όσο από την τάση να βρεθούν γενικοί κανόνες που μπορεί να επιτάχυναν την εύρεση λύσεων σε δεδομένα προβλήματα. Και η αντίδραση στους καινοτόμους συχνά προερχόταν από ανταγωνιστές καινοτόμους παρά από συντηρητικούς υπερασπιστές των επικρατώντων παραδειγμάτων. Οι μαθηματικοί συχνά προκαλούσαν ο ένας τον άλλο με προβλήματα που ήταν πάρα πολύ δύσκολα για να λυθούν με τις υπάρχουσες απόψεις και μεθόδους. Είναι απαραίτητο τότε, να κοιτάξουμε την κοινωνική δομή του ανταγωνισμού με σκοπό να αποκαλυφθούν οι ρίζες των καινοτομιών και των επαναστατικών ιδεών στα μαθηματικά.

H φύση και οι ρυθμοί των καινοτομιών στα μαθηματικά είναι αναμενόμενο να διαφέρουν σε σχέση με την κοινωνική δομή της μαθηματικής κοινότητας και ιδιαίτερα την οργάνωση του ανταγωνισμού. Συγκεκριμένα ελάχιστα επίπεδα ανταγωνισμού δημιουργούν μια συνεχή παρακίνηση προς νέες ιδέες. Όταν οι οργανωτικές πηγές αλλάζουν και ξεπηδούν νέες μορφές ανταγωνισμού, συμβαίνουν ιδιαίτερα περίεργες αλλαγές στις μαθηματικές ιδέες. Η ανάλυση των διαμαχών και των σκανδάλων αποκαλύπτει αυτές τις πλευρές των μαθηματικών αλλαγών.

Το κεφάλαιο αυτό ξεκινά με μια ανάλυση τριών περιπτώσεων από την «ληστο-αριστοκρατική» περίοδο των μαθηματικών: Cardan και Tartaglia (δεκαετία του 1540), Νεύτωνας και Leibniz (1670-1730) και Cauchy, Abel και Galois (1826-1832). Η συζήτηση των Cantor και Kronecker (τέλη του 19ου αιώνα) εστιάζει στην μορφή μετάβασης από την «ληστο-αριστοκρατική» περίοδο σε μια περίοδο σημαδεμένη από διαμάχες ανάμεσα σε σχολές μαθηματικών. Αυτές οι σχολές, που αποτελούν ένα χαρακτηριστικό των μαθηματικών του 20ου αιώνα, καθοδηγούνται από «άγιους πολιτευτές» που δίνουν έμφαση στη συλλογική πλευρά των μαθηματικών. Κάθε μία από τις περιπτώσεις που εξετάζονται αποτελεί μια μετάβαση σε νέες συνθήκες ανταγωνισμού.

ΛΗΣΤΟ-ΑΡΙΣΤΟΚΡΑΤΕΣ:
CARDAN ΕΝΑΝΤΙΟΝ TARTAGLIA

Στις αρχές της δεκαετίας του 50, οι μαθηματικοί διαγωνισμοί ήταν πολύ δημοφιλείς στις εμπορικές πόλεις της βόρειας Ιταλίας (Smith, 1958, κεφ. 2, 454-464; Ball, 1960, 217-226; Gliozzi, 1971; Jayawardine, 1971; Masotti, 1971, 1976). Οι μαθηματικοί έθεταν δημόσιες προκλήσεις, συχνά με χρηματικά έπαθλα για τους νικητές. Η διδασκαλία της εμπορικής αριθμητικής εξαπλωνόταν με ταχύτητα αυτή την περίοδο και οι δημόσιοι διαγωνισμοί επέτρεπαν στους ανταγωνιστές δασκάλους να διατηρήσουν τη φήμη τους και να προσελκύσουν νέους μαθητές. Τα προβλήματα ζητούσαν συγκεκριμένες αριθμητικές λύσεις, αλλά μερικές φορές απαιτούσαν την επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων ανώτερης τάξης.1 Τα αποτελέσματα των διαγωνισμών γινόντουσαν γνωστά στο κοινό, όμως οι μέθοδοι επίλυσής τους κρατιόνταν κρυφές, αφού αποτελούσαν πολύτιμα εφόδια στον αγώνα για προσωπική φήμη και κέρδη.

Τη δεκαετία του 1530, ο γιατρός, ο αστρολόγος, ο χαρτοπαίκτης και καβγατζής Girolamo Cardano (Cardan) ήταν στο Μιλάνο, λίγο περισσότερο από εκατό μίλια μακριά από τη Βενετία. Οι μαθηματικοί διαγωνισμοί είχαν αρχίσει να γίνονται διάσημοι στην αυλή του Μιλάνου και στον Καρδινάλιο της Mantua, μια κωμόπολη ανάμεσα στο Μιλάνο και τη Βενετία. Ο Cardan, άπορος από την εξάσκηση της ιατρικής εξαιτίας μιας διαμάχης με το τοπικό κολέγιο θεραπευτών, τα έφερνε βόλτα διδάσκοντας και γράφοντας πρακτικά μαθηματικά. Άκουσε για ένα δάσκαλο μαθηματικών από τη Βενετία, τον Niccolo Tartaglia, που είχε κερδίσει μαθηματικές μονομαχίες με τον Zuanne da Coi (Colla) και τον Fiore λύνοντας δύο κυβικές εξισώσεις x3bx=c και x3+ax2=c.. O Fiore είχε την πρώτη εξίσωση, η οποία του είχε ανατεθεί από το δάσκαλό του, Scipione del Ferro, αλλά όχι τη δεύτερη. Επηρεασμένος λοιπόν από τις νίκες του Tartaglia, ο Cardan τον προσκάλεσε στο Μιλάνο παριστάνοντας τον πλούσιο αριστοκράτη που προσφέρει πατρωνία. Αυτή ήταν μια πολύ ελκυστική προσφορά για τον φιλάργυρο Tartaglia και θα πρέπει να απογοητεύθηκε με τη στάση του Cardan όταν έφτασε στο Μιλάνο. Μετά όμως από αρκετή πίεση από τον Cardan, ο οποίος ήταν, όπως παραδέχεται και ο ίδιος, επιρρεπής στη βία, ο Tartaglia τελικά αποκάλυψε τον τύπο του. Στην αρχή τον μεταμφίεσε σε μια κρυπτογραφημένη μορφή, αλλά αργότερα πρόσθεσε ολόκληρη την εξήγηση - αφού έβαλε τον Cardan να του ορκιστεί ότι θα τον κρατήσει μυστικό. Ο Cardan έπειτα χρησιμοποίησε αυτό το μυστικό σε μαθηματικούς διαγωνισμούς όπως αυτούς στους οποίους συμμετείχε αποδεχόμενος τις προκλήσεις του Colla.

Το 1542, ο Cardan συνάντησε το γαμπρό του Scipione del Ferro, Annabale della Nave, ο οποίος είχε κληρονομήσει τη θέση διδασκαλίας του Scipione στην Μπολώνια. Αποκάλυψε στον Cardan (πιθανώς κατά τη διάρκεια ενός αλαζονικού ύφους διαλόγου) ότι ο Scipione είχε, κάπου γύρω στις αρχές του 1500, ανακαλύψει τον τύπο που κατείχε ο Cardan. O Cardan χρησιμοποίησε αυτό το γεγονός για να με τηρήσει την υπόσχεση που είχε δώσει στον Tartaglia. Το 1545, δημοσίευσε τη λύση για τις κυβικές εξισώσεις σε ένα μαθηματικό βιβλίο, Ars Magna. O Cardan απέδωσε την ανακάλυψη στον Ferro και ανέφερε ότι ο Tartaglia είχε ανακαλύψει την ίδια λύση («μιμούμενος» τον Ferro) στο διαγωνισμό του εναντίον του Fiore. Αυτό όμως δεν ήταν ακριβώς αληθές. Ο Ferro είχε λύσει την ειδική περίπτωση x3bx=c, ενώ ο Tartaglia είχε ανακαλύψει (και αποκαλύψει στον Cardan) τη λύση για την x3+αx2=c. Ο Tartaglia ήταν έξω φρενών και δημοσίευσε ο ίδιος τη λύση με το δικό του όνομα τον επόμενο χρόνο στην εργασία του Inventioni, μαζί με μια υβριστική επίθεση για τη δολιότητα του Cardan. Ακολούθησε μια σειρά από διαξιφισμούς στην οποία ο βοηθός του Cardan, Ferrari, έγραψε στον Tartaglia κατηγορώντας τον για λογοκλοπή και για αβάσιμες κατηγορίες εναντίον του δασκάλου του. Συμφωνήθηκε τελικά να κανονιστεί το θέμα με τον παραδοσιακό τρόπο, με μια μαθηματική μονομαχία. Ο αγώνας έλαβε χώρα το 1548 στην έδρα του Cardan, σε μια εκκλησία του Μιλάνου με τον κυβερνήτη της πόλης να παίζει το ρόλο του κριτή. Ο Ferrari εμφανίστηκε στη θέση του Cardan. Ο Tartaglia φυσικά αποσύρθηκε, ισχυριζόμενος ότι καταιγιστικοί υποστηριχτές του Cardan δεν του έδωσαν τη δυνατότητα να διατυπώσει τη θέση του. Ο Ferrari ανακηρύχθηκε νικητής.

Ο Cardan αποκόμισε το μεγαλύτερο κομμάτι της δόξας για την επίλυση της κυβικής εξίσωσης. Η λύση έγινε γνωστή ως ο “κανόνας του Cardan”, μερικώς επειδή ο Cardan τη δημοσίευσε στα Λατινικά, τη γλώσσα των λόγιων.2 Ο Tartaglia την είχε δημοσιεύσει στα Ιταλικά και παρουσίασε τη θέση του σε ένα παράρτημα ενός πρακτικού βιβλίου με θέμα τη βαλλιστική, τους διαβήτες, τη χαρτογράφηση και άλλα συναφή θέματα. Ο Cardan προερχόταν από μια πλούσια οικογένεια και είχε σπουδάσει και διδάξει σε πανεπιστήμια. Έγινε πασίγνωστος στη Ευρώπη για την ιατρική πρακτική του και τη συγγραφική του δουλειά. Ο Tartaglia, σε αντίθεση, δεν είχε καμία επίσημη μόρφωση και συντηρούταν διδάσκοντας πρακτική αριθμητική. Δεδομένων αυτών των διαφορών, δεν προκαλεί εντύπωση ότι η δουλειά του Cardan είναι πολύ πιο γενική και θεωρητική από αυτή του Tartaglia. O Cardan ξεκαθάρισε τη σημασία της νέας λύσης. Γενίκευσε την λύση της κυβικής εξίσωσης πέρα από τις ειδικές περιπτώσεις που αντιμετώπισαν οι Scipione και Tartaglia εφαρμόζοντας ένα γραμμικό μετασχηματισμό για την απομάκρυνση του δευτεροβάθμιου όρου στις εξισώσεις της μορφής x3ax2bx=c. Έκανε τη γενική παρατήρηση ότι μια εξίσωση με βαθμό μεγαλύτερο του πρώτου έχει περισσότερες από μία ρίζες και σημείωσε τη σχέση μεταξύ ριζών και συντελεστών της εξίσωσης και μεταξύ της εναλλαγής του πρόσημου των όρων και του πρόσημου των ριζών. Εκεί που οι παλιότεροι Ευρωπαίοι μαθηματικοί αναζητούσαν μόνο αριθμητικές λύσεις, o Cardan εγκαινίασε δουλειά πάνω στη γενικότερη θεωρία των αλγεβρικών εξισώσεων.

Η διένεξη ανάμεσα στον Cardan και τον Tartaglia αποκαλύπτει τη μετάβαση από μια κατάσταση όπου η μυστικότητα ήταν φυσιολογική σε μια άλλη όπου ήταν φυσιολογικό να μοιράζεται η πνευματική ιδιοκτησία. Δεν υπήρχε τίποτα περίεργο σχετικά με την προσπάθεια των Tartaglia, Ferro και Fiore για μυστικότητα, ή το τέχνασμα του Cardan για να αρπάξει το μυστικό από τον Tartaglia. Ο Fiore (και πιθανώς ο Ferro) έβγαζαν το ψωμί τους κερδίζοντας σε διαγωνισμούς με μεθόδους πιο κατάλληλες από τις άλλες. Το πλεονέκτημα του Cardan σε σχέση με τους αντιπάλους του ήταν το αποτέλεσμα της απόφασής του να δημοσιεύσει τη λύση για τις κυβικές εξισώσεις. Σε αντίθεση με τους περισσότερους μαθηματικούς αντιπάλους του, ο Cardan είχε την τάση να εκδίδει επιστημονικά βιβλία. Πριν να ρίξει το ενδιαφέρον του στα μαθηματικά, ο Cardan είχε γράψει διατριβές στον τομέα της ιατρικής και της αστρολογίας. Ο Cardan άλλαξε την ανταγωνιστική σκηνή από τους μαθηματικούς διαγωνισμούς σε μία αρένα στην οποία ο τυπωμένος κόσμος έγινε η βάση για την εδραίωση υπολήψεων. Οι αντίπαλοι του Cardan ήταν έξαλλοι μαζί του διότι αποκάλυψε κρυφές ιδιωτικές λύσεις πάνω στις οποίες βασίζονταν για να κερδίζουν διαγωνισμούς και να επιβιώνουν. Όμως, αυτή η αλλαγή από τους μαθηματικούς διαγωνισμούς στα βιβλία, διέγειρε την ανάπτυξη των μαθηματικών δημιουργώντας συνθήκες που συνέβαλλαν στην ανάπτυξη γενικών κανόνων για την επίλυση προβλημάτων.

Ο Cardan παρέκκλινε από τον κανόνα της μυστικότητας, συνέχισε όμως την παράδοση των σχέσεων κυριότητας που επικρατούσαν στην εποχή του. Μπορεί να περιγραφεί ως ένας ληστο-αριστοκράτης σε μια περίοδο όπου ο ανταγωνισμός μεταξύ ιδιωτικών προσανατολισμένων στην εμπορευματοποίηση μαθηματικών οίκων έδινε τη θέση του σε έναν τυπωμένο πνευματικό ανταγωνισμό πάνω σε πιο γενικά και όλο και πιο πολύ θεωρητικά θέματα. Υπάρχουν και άλλες ενδείξεις πνευματικής πειρατείας στην περίπτωση των Cardan-Tartaglia εκτός από αυτές που αναφέρθηκαν ως τώρα. Ο Cardan δημοσίευσε επιστημονικό υλικό παρόμοιο με αδημοσίευτες δουλειές του Leonardo da Vinci. Ο Duhem και άλλοι ιστορικοί υποψιάζονται ότι ο Cardan χρησιμοποίησε τις σημειώσεις του da Vinci, τις οποίες θα μπορούσε να είχε αποκτήσει μέσω του πατέρα του, που ήταν φίλος με τον da Vinci στο Μιλάνο μια γενιά πρωτύτερα (Gliozzi, 1971: 66). O Tartaglia δημοσίευσε ως δικό του έργο μια μετάφραση του Αρχιμήδη του 13ου αιώνα που είχε γίνει από τον William του Moerbeke. Επίσης ισχυρίζεται ότι είναι δικές του πρακτικές, τεχνικές (όπως η διαδικασία για να αναδυθούν ναυαγισμένα πλοία) που στην πραγματικότητα αναπτύχθηκαν από άλλους. Και πήρε όλη την αναγνώριση για τη λύση στο πρόβλημα της ισορροπίας ενός σώματος σε ένα επικλινές επίπεδο την οποία είχε βρει σε χειρόγραφα του Jordanus de Nemore (Masotti, 1976: 260). Το ότι αυτού του είδους οι ενέργειες δεν ήταν άγνωστες φαίνεται από τη συμπεριφορά και άλλων πνευματικών ανθρώπων της εποχής. Για παράδειγμα, το 1494, ο Pacioli, δανείστηκε με άνεση από αναγνωρισμένες πηγές για να γράψει το σημαντικότερο Ιταλικό βιβλίο μαθηματικών της εποχής του (Smith, 1958: 252-253).

H βία αποτελούσε επίσης ένα κομμάτι της κουλτούρας εκείνης της περιόδου. Ο θορυβώδης καυγάς ανάμεσα στον Cardan και τον Tartaglia έδιωξε τον Ferrari από τον οίκο του Cardan. Ο Ferrari δηλητηριάστηκε είτε από την αδερφή του είτε από το γαμπρό του. Ένας από τους γιους του Cardan εκτελέστηκε επειδή δολοφόνησε τη γυναίκα του. Και ο ίδιος ο Cardan έκοψε τα αυτιά ενός άλλου γιου του για κάποιο παράπτωμα. Η ίδια μορφή ηθικής μεταφέρθηκε και στις πνευματικά ζητήματα του Cardan και των αντιπάλων του.3

Από όλα όσα καταλάβαμε, ο ανταγωνισμός ήταν ευμενής για την πνευματική πρόοδο. Ο ανταγωνισμός ανάμεσα στους Colla, Tartaglia και Fiore όχι μόνο παρακίνησε την εκ νέου ανακάλυψη και την επέκταση της λύσης των τριτοβάθμιων εξισώσεων, αλλά έδωσε ώθηση σε μια ταχύτατη διεύρυνση των πνευματικών προτύπων. Το 1540, μια συγκεκριμένη περίπτωση τεταρτοβάθμιων εξισώσεων προτάθηκε από τον Colla και λύθηκε από τον Ferrari (Cajori, 1974: 126). O Cardan ήταν ένας συστηματοποιητής και γενικευτής και θεμελίωσε τις αφηρημένες έννοιες της θεωρίας των εξισώσεων. Η συμπεριφορά του, και το νέο ανταγωνιστικό ανθρώπινο περιβάλλον που αντανακλούσε, σηματοδότησε την αρχή μιας σημαντικής περιόδου για την πρόοδο των μαθηματικών.

LEIBNIZ ΚΑΙ BERNOULLI ENANTION ΝΕΥΤΩΝΑ

Οι προκλήσεις συνεχίζουν να παίζουν ένα σημαντικό ρόλο στα μαθηματικά ακόμα και μετά την περίοδο του Caρdan και του Tartaglia. Η έδρα του προέδρου του μαθηματικού στο Βασιλικό Κολέγιο του Παρισιού ιδρύθηκε το 1576 με τη ρητή συμφωνία ότι ο κάτοχος του αξιώματος θα αντικαθιστούταν από όποιον προκαλών τον κέρδιζε σε ένα δημόσιο διαγωνισμό (Hall, 1980: 3). O Descartes έγινε με πλάγιο τρόπο μέλος του μαθηματικού το 1617 όταν είδε μια μεταλλική πλάκα στην Breda, Ολλανδίας που ανέφερε μία πρόκληση για να λυθεί ένα γεωμετρικό πρόβλημα (Ball, 1960: 260-270). Αργότερα, οι Pascal, Leibniz, Νεύτωνας και Bernoulli συμμετείχαν σε φημισμένες προκλήσεις. Όμως το κοινωνικό περιεχόμενο αυτών των προκλήσεων άλλαζε διαρκώς. Αντί ως εμπορικοί μαθηματικοί δάσκαλοι να προσπαθούν να αυξήσουν τη φήμη τους για να προσελκύσουν μαθητές, ενδιαφέρονταν περισσότερο για την προσέλκυση της βασιλικής πατρωνίας. Ο Vieta, που ασχολήθηκε πολύ με τις βάσεις των μοντέρνων μαθηματικών, άνηκε στη Γαλλική αυλή τη δεκαετία του 1590 και δημιούργησε τη φήμη του απαντώντας σε προκλήσεις (Ball, 1960: 229-230). Τη δεκαετία του 1960 και αργότερα, η βασιλική πατρωνία για την επιστήμη άρχισε να παίρνει τη μορφή ιδρυμάτων σε ακαδημίες: η Αγγλική Βασιλική Εταιρεία (1662), η Γαλλική Ακαδημία Επιστημών (1666), η Πρωσική Ακαδημία Επιστημών (Βερολίνο, 1700) και η Ρωσική Ακαδημία στο St. Petersburg (1716). Οι δάσκαλοι των εμπορικών μαθηματικών κυριάρχησαν στα μαθηματικά του 16ου αιώνα. Τα μαθηματικά του 17ου αιώνα ήταν μάρτυρες σε μια άνοδο των μαθηματικών στις ακαδημίες και των καθηγητών πανεπιστημίων στα μαθηματικά και την αστρονομία. Ο Barrow, και ακόλουθα ο Νεύτωνας, στο Cambridge ήταν ανάμεσα στους πιο διαπρεπείς από τους μαθηματικούς του πανεπιστημίου, όπως ήταν ο Wallis στο Oxford και ο Gregory στο Εδιμβούργο. Αυτή όμως ήταν μια περίοδος εξασθενημένων εγγραφών και πνευματικής δραστηριότητας στα πανεπιστήμια και οι αυλές και οι ακαδημίες αποτελούσαν τα βασικά κέντρα της επιστημονικής ανάπτυξης (Collins, 1981).

Μια δεύτερη σημαντική οργανωτική αλλαγή εμφανίστηκε στην πρόοδο εκείνης της περιόδου. Η βιομηχανία έκδοσης βιβλίων συνεχώς αναπτυσσόταν. Το 16ο αιώνα, λίγα μόνο βιβλία είχαν εκδοθεί τα οποία να είχαν ως θέμα ή έστω να περιελάμβαναν κάποια μαθηματικά ζητήματα. Επαρκή και συγκεκριμένα δίκτυα επιστημονικής επικοινωνίας πρωτοεμφανίστηκαν το 17ο αιώνα. Άτομα όπως ο Mersenne στο Παρίσι, στις αρχές του 17ου αιώνα, και οι Henry Oldenburg και John Collins στο Λονδίνο κάπως αργότερα, λειτούργησαν ως ανεπίσημα «κέντρα μηνυμάτων». Διατηρώντας μια ζωντανή επικοινωνία με τους επιστήμονες και τους μαθηματικούς τόσο στις χώρες τους όσο και στο εξωτερικό, είχαν τη δυνατότητα να ενημερώνουν μια «εσωτερική ομάδα» ατόμων που ενδιαφέρονταν για τις τρέχουσες πνευματικές εξελίξεις. Τον ίδιο καιρό, που η συγκεκριμένου σκοπού πατρωνία μετασχηματιζόταν τις δεκαετίες του 1660 και 1670 σε συνήθεις συναντήσεις στις βασιλικές ακαδημίες, το ανεπίσημο δίκτυο επικοινωνίας άρχισε να αντικαθιστάται από τα πρώτα επιστημονικά περιοδικά (Price, 1975: 165). Αυτές οι δύο οργανωτικές αλλαγές αποτελούν το περιβάλλον της επόμενης μαθηματικής διαμάχης που θα αναφέρω (Hall, 1981; Broad, 1975; Hofmann, 1972, 1973; Cohen, 1974).

Στα μέσα του 16ου αιώνα, αρκετοί μαθηματικοί έκαναν σημαντικά βήματα στην αντιμετώπιση των απειροελάχιστων προβλημάτων ενώ δουλεύανε για τον τετραγωνισμό του κύκλου, τη μέτρηση καμπύλων, προβλήματα κίνησης και αλγεβρικές σειρές. Στα χρόνια μετά το 1665, ο νεαρός μαθηματικός του Cambridge Νεύτωνας ανέπτυξε μια γενική μέθοδο σε ότι ξέρουμε ως μαθηματική ανάλυση. Προφανώς δεν είχε μια καθαρή ιδέα για τη σημαντικότητά της και δούλεψε με μια αδέξια και άστατη σημειογραφία. Το 1669, ο Νεύτωνας έστειλε στον Collins, μετά από απαίτησή του, μια μάλλον θολή εργασία για το θέμα. Μετά από λίγο, ξεκίνησε αλλά απέτυχε να ολοκληρώσει μια μεγαλύτερη έκθεση για τη «μέθοδο των συνεχών αλλαγών» του. Ο Νεύτωνας ενδιαφερόταν περισσότερο στο να εκδώσει τη θεωρία του για την οπτική (στο περιοδικό Philosophical Transactions of the Royal Society). Η δουλειά αυτή όμως, δέχτηκε μεγάλη κριτική από τους ισότιμούς του και αυτό τον ώθησε να αποσυρθεί από την επιστημονική δραστηριότητα για αρκετά χρόνια και να ακολουθήσει θεολογικά και αλχημικά ενδιαφέροντα (Westfall, 1980).

To 1962, o Leibniz έφτασε στο Παρίσι ως ένας νεαρός διπλωμάτης στις υπηρεσίες του Γερμανού πρίγκιπα. Ο Leibniz σπούδασε νομικά και φιλοσοφία. Δεν ήξερε σχεδόν καθόλου μαθηματικά. Ήταν, παρ’ όλ’ αυτά, πολύ φιλόδοξος και είχε ήδη διαμορφώσει μια πρόταση για αναδιαμόρφωση όλων των πνευματικών ομιλιών στη βάση ενός παγκόσμιου λογικού συμβολισμού. Υπήρχε μεγάλο ενδιαφέρον για την επιστήμη στο Παρίσι, καλλιεργημένη από τη νέα Ακαδημία των Επιστημών. Σ’ αυτό το περιβάλλον, ο Leibniz δημιούργησε προσωπικές διασυνδέσεις με κορυφαίους επιστήμονες και έμαθε μαθηματικά από τον Christian Huygens και άλλους. Επισκέφτηκε το Λονδίνο το 1673 ως ένα μέλος της διπλωματικής αποστολής και γρήγορα συνδέθηκε με τους εκεί επιστημονικούς κύκλους. Με τη δύναμη της ανακάλυψής του μιας στοιχειώδους υπολογιστικής μηχανής, ο Leibniz εξελέγχθηκε στην Βασιλική Εταιρεία. Τον ίδιο καιρό, έκανε μια δυσμενή εντύπωση σε πολλούς επιστήμονες και μαθηματικούς κάνοντας αστήριχτους ισχυρισμούς για τα επιτεύγματά του και προτείνοντας μια αλγεβρική σειρά για την τετραγώνιση του κύκλου που ήδη είχε δημοσιευτεί από πολλούς μαθηματικούς. Τέτοιου είδους βιαστικές ανακοινώσεις απέτρεψαν τον Leibniz από το να του αποδοθεί μια θέση στο Κολέγιο της Γαλλίας το 1675 (Hoffman, 1973: 161). Παρ’ όλ’ αυτά, έγινε μέλος του δικτύου επικοινωνίας των Oldenburg και Collins και ενημερωνόταν για τις εργασίες των Άγγλων μαθηματικών. Με τον Oldenburg και τον Collins ως μεσάζοντες, ο Νεύτωνας και ο Leibniz αντάλλασσαν γράμματα το 1676 και το 1677. Ο Leibniz κατάφερε να πείσει το Νεύτωνα να του στείλει μια περιγραφή της δουλειάς του πάνω στις άπειρες σειρές. Προφανώς καχύποπτος για τα κίνητρα του Leibniz, ο Νεύτωνας ανέφερε τη συνεχούς αλλαγής μαθηματική ανάλυσή του σε μια απλή κρυπτογραφημένη πρόταση με τη μορφή αναγραμματισμού. Την ίδια στρατηγική είχε χρησιμοποιήσει και ο Tartaglia στην πρώτη του απάντηση στις ερωτήσεις του Cardan σχετικά με το μυστικό τύπο για την τριτοβάθμια εξίσωση.

Ο Leibniz δεν απόκτησε πολύ άμεση πληροφορία από τον Νεύτωνα. Όμως ήταν ακριβώς αυτήν την περίοδο που αναφορές από Αγγλικά επιτεύγματα στην επιστήμη και τα μαθηματικά κυκλοφορούσαν ότι ο Leibniz γρήγορα βελτίωσε τη μαθηματική του ανάλυση, χρησιμοποιώντας μια πιο ξεκάθαρη και χρήσιμη σημειογραφία από τον Νεύτωνα. Περιέγραψε αυτή τη δουλειά στο Νεύτωνα, αλλά ο Νεύτωνας δε τη θεώρησε σημαντική. Επειδή ο Leibniz ήταν ακόμα από πολλές πλευρές αρχάριος, είναι πιθανόν ο Νεύτωνας να υποτίμησε τις μαθηματικές του ικανότητες.

Ο Leibniz άφησε το Παρίσι για να μπει στο διπλωματικό σώμα ενός σημαντικού Γερμανού πολιτικού, του Δούκα του Brunswick. Ως αποτέλεσμα, ως ένα σημείο, εξαιτίας των γενεαλογικών αναζητήσεων και των διπλωματικών μανουβρών του, ο εργοδότης του ανυψώθηκε από Δούκας σε Εκλέκτορα της Ιερής Ρωμαϊκής Αυτοκρατορίας το 1692 και επομένως έγινε διάδοχος του Αγγλικού θρόνου (τον οποίο πήρε ως Γεώργιος Ι το 1714). Κατά τη διάρκεια των ταξιδιών του, ο Leibniz έκανε σημαντικές επαφές στην νέα Γερμανική πολιτεία, την Πρωσία, όπως επίσης με τους αυτοκράτορες της Ρωσίας και της Αυστρίας. Ο Leibniz έγινε ένας αξιοσέβαστος και επιτυχημένος πολιτικός σε αρκετές αυλές. Οι πολιτικές του διασυνδέσεις και η πνευματική του φήμη αλληλοενισχύονταν. Το 1682, το πρώτο εξειδικευμένο πνευματικό περιοδικό στη Γερμανία, Acta Eruditorum, ιδρύθηκε στο Leipzig από μέλη του πνευματικού κύκλου του Leibniz, σε μίμηση των Αναφορών της Ακαδημίας των Επιστημών και των Φιλοσοφικών Διεξαγωγών της Βασιλικής Εταιρείας. Τώρα που έλεγχε μια έκδοση ανεξάρτητη από τις Αγγλικές και τις Γαλλικές επιρροές, ο Leibniz δημοσίευσε τις αλγεβρικές σειρές για τις οποίες καυχιότανε στο Λονδίνο χωρίς να αναφέρει κανένα προκάτοχο.

Το 1684 και το 1686, ο Leibniz δημοσίευσε σύντομες περιγραφές της μαθηματικής του ανάλυσης και υπαινίχθηκε ότι άνοιξε μια νέα εποχή στην ιστορία των μαθηματικών. Η έκθεσή του συμπιέστηκε υπερβολικά, αλλά αποκάλυψε την προγραμματιστική αξία της μεθόδου του. Ο Ελβετός μαθηματικός Jakob Bernoulli (Καθηγητής στην Basle) και ο νεώτερος αδελφός του Johann γρήγορα αναγνώρισαν τη δύναμη της μεθόδου του Leibniz. Η ανωτερότητα της νέας μαθηματικής ανάλυσης έγινε γρήγορα γνωστή ανάμεσα στους Ευρωπαίους μαθηματικούς μέσα από μια σειρά προκλήσεων που δημοσιεύτηκαν στο Acta. Ένας ευγενής από το Παρίσι, ο Marquis de l’Hospital, εκμίσθωσε τον Johann Bernoulli να τον διδάξει την νέα μέθοδο. Το 1969, l’Hospital δημοσίευσε το πρώτο εγχειρίδιο μαθηματικής ανάλυσης και έγινε ο επικεφαλής μιας γρήγορα εξαπλωμένης ομάδας Γάλλων μαθηματικών. Ο Leibniz δημοσίευσε σχετικά λίγα πράγματα για μαθηματικά, αλλά μέσα από την αλληλογραφία του με τους Bernoullis, τον l’Hospital και πολλούς άλλους, έγινε γνωστός ως ο επικεφαλής μαθηματικός στην Ευρώπη. Απολάμβανε μια παρόμοια φήμη στη φιλοσοφία ως ένα αποτέλεσμα της εκτεταμένης αλληλογραφίας του με τους Arnaud, Bayle και άλλους ηγετικούς πνευματικούς ανθρώπους. Αυτό συνέβη εάν και οι φιλοσοφικές δουλειές του δεν εμφανίστηκαν γραπτώς, στο μεγαλύτερο μέρος τους, πριν από το 1710.

Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, ο Νεύτωνας παρέμεινε σχετικά δυσνόητος. Το Cambridge εκφυλίστηκε γρήγορα ως ένα πνευματικό κέντρο (Stone, 1974). Οι Oldenburg και Collins είχαν πεθάνει και ο Νεύτωνας είχε απομονωθεί από την πνευματική κοινότητα του Λονδίνου. Η φήμη του Νεύτωνα ανακτήθηκε μετά από τη δημοσίευση της σύνθεσής του για την επίγεια και την αστρονομική φυσική στο Principia (1687). Λίγο αργότερα, ο Νεύτωνας άφησε την απομόνωσή του για να γίνει στο Cambridge ένας αποφασιστικός συνήγορος της επανάστασης του 1688, εξεγερμένος ενάντια του κινδύνου μιας Καθολικής παλινόρθωσης και αντιπροσωπεύοντας το πανεπιστήμιο στη Βουλή. Το 1690, αφού ανταμείφθηκε με μια θέση διευθυντή του Νομισματοκοπείου στο Λονδίνο, έφυγε από το Cambridge για τα καλά. Αφού στη Βρετανία κατά την επόμενη δεκαετία κυριάρχησε μια περιορισμένη μοναρχία και ένα μερικώς κοινοβουλευτικό σύστημα, αυξήθηκε η δημοτικότητα του Νεύτωνα ως ο επικεφαλής της πνευματικής Αγγλίας. Το 1703, έγινε πρόεδρος της Βασιλικής Εταιρείας. Στα μέσα του 1690, οι εθνικιστικοί ακόλουθοι του Νεύτωνα άρχισαν να υπερασπίζουν τους ισχυρισμούς του για ανωτερότητα στην μαθηματική ανάλυση και να επιτίθενται στον Leibniz. Κάτω από την πίεση των οπαδών του ο Νεύτωνας τελικά δημοσίευσε τις παλιές εργασίες του πάνω στην συνεχούς αλλαγής μαθηματική ανάλυση σε ένα παράρτημα του βιβλίου του για την Οπτική το 1704 και ξανά το 1711.

Καθώς οι επιθέσεις εναντίον του αυξήθηκαν, ο Leibniz εκδικήθηκε δημοσιεύοντας (ανώνυμα) μια περίληψη της Οπτικής στο Acta που υποστήριζε τις δικές του απόψεις για πρωτοπορία. Ακολούθως, ένα γράμμα από τον Johann Bernoulli που κατηγορούσε τον Νεύτωνα για λογοκλοπή δημοσιεύτηκε ανώνυμα στο Acta. Οι Leibniz και Bernoulli συμπεριφέρθηκαν ευγενικά στον Νεύτωνα στις δημόσιες δηλώσεις τους, αλλά συνέχισαν μια καλυπτόμενη επίθεση. Ίσως υπήρχε ένα πολιτικό κίνητρο που λειτουργούσε σ’ αυτή τη διαμάχη. Η αποκατάσταση του βασιλικής διαδοχής που συμφωνήθηκε ανάμεσα στα Αγγλικά κόμματα το 1701 τοποθέτησε τον εργοδότη του Leibniz, τον Εκλέκτορα του Ανόβερο, σε σειρά για να κληρονομήσει τον Αγγλικό θρόνο. Ήταν λοιπόν σημαντικό για τον Leibniz να μην αποσυρθεί από τους Αγγλικούς πολιτικούς κύκλους. Αντιστρόφως, οι επιθέσεις από τους Άγγλους υποστηρικτές του Νεύτωνα στον Leibniz και το Ευρωπαϊκό επιστημονικό κατεστημένο αυξανόταν την ίδια ώρα που η πολιτική τους θέση μέσα στην Αγγλία βελτιωνόταν. Μπορεί να αισθάνθηκαν απειλημένοι από την πιθανότητα ότι η καλά οργανωμένη Ευρωπαϊκή μηχανή του Leibniz θα μπορούσε να έρθει στο Λονδίνο υπό την βασιλική πατρωνία.4

Η διαμάχη των Νεύτωνα και Leibniz έγινε θέμα για επίσημη έρευνα. Το 1713, ο Νεύτωνας νόθευσε την αναφορά της επιτροπής της Βασιλικής Εταιρείας (η οποία περιελάμβανε χαρακτηριστικά σύμβολα από το διεθνή επιστημονικό κόσμο) προς όφελός του. Οι Leibniz και Νεύτωνας προφανώς αλληλοκατηγοριόντουσαν για λογοκλοπή, παραποίηση των στοιχείων της υπόθεσης και γράψανε υποτιθέμενες αμερόληπτες υπερασπίσεις κάτω από την κάλυψη της ανωνυμίας. Η συμπεριφορά των οπαδών τους ήταν ακόμα χειρότερη. Το αποτέλεσμα ήταν μια βαθιά διάσπαση ανάμεσα στην Αγγλική και την Ευρωπαϊκή επιστήμη. Η φυσική του Νεύτωνα δέχτηκε την επίθεση των οπαδών του Leibniz ως ένα ημιθρησκευτικό σύστημα που περιλαμβάνει «απόκρυφες» ιδιότητες (η δύναμη της βαρύτητας) και έτσι μια επιστροφή από τον ματεριαλισμό του Καρτέσιου στη μεταφυσική του Μεσαίωνα - εν συντομία, αντιμετωπιζόταν ως μια επιστροφή από την πνευματική θέση των φιλελεύθερων συστημάτων σε αυτή των αντιδραστικών κληρικών. Η φυσική του Νεύτωνα προφανώς διείσδυσε στην Ολλανδία τη δεκαετία του 1720 και στη Γαλλία τη δεκαετία του 1730 όμως στη Γερμανία διατηρήθηκε η θεωρία του Leibniz ως το τέλος του αιώνα. Οι Βρετανοί έμειναν πιστοί στην συνεχούς αλλαγής μαθηματική ανάλυση του Νεύτωνα μέχρι τις αρχές του 1800, αποκόπτοντας τους εαυτούς τους από τις εξελίξεις στο χώρο των μαθηματικών για ένα ολόκληρο αιώνα.

Η κοινωνιολογική σημασία της διαμάχης των Νεύτωνα και Leibniz δεν αποτελεί ένα απλό θέμα πρωτοπορίας ή στιγμιαίας ανακάλυψης. Η άποψη ότι είναι η καθαρή λογική στην ανάπτυξη των ιδεών που οδηγεί πολλαπλές ανακαλύψεις είναι περισσότερο μία ιδεολογική παρά μία κοινωνιολογική θέση. Αυτό που είδαμε στις περιπτώσεις που εξετάσαμε ως τώρα είναι καταστάσεις που περιλαμβάνουν έντονο ανταγωνισμό ανάμεσα σε φιλόδοξα άτομα. Όπως σε πολλές άλλες περιπτώσεις στην ιστορία της επιστήμης, το γεγονός ότι ένα πρόβλημα έχει τεθεί με σαφήνεια και γνωρίζουμε ότι υπάρχει μια λύση είναι κρίσιμο για τον υπολογισμό της πνευματικής προόδου. Αν και το πρόβλημα της τριτοβάθμιας εξίσωσης δεν είχε λυθεί για μια χιλιετία, μέσα σε λίγα χρόνια μετά από τον αγώνα των Tartaglia και Fiore το 1535 η λύση γενικεύτηκε πέρα από τις ειδικές περιπτώσεις. Και το πρόβλημα της επίλυσης της τεταρτοβάθμιας τέθηκε, λύθηκε και γενικεύτηκε μέσα από τις ανταγωνιστικές ενέργειες των Cardan, Colla, Ferrari και Bombelli. Η κοινωνική κατάσταση που δημιούργησε την μάλλον αλαζονική φιλοδοξία του Leibniz ήταν κρίσιμη για τον υπολογισμό της προόδου από τις αποσπασματικές προσπάθειες των παλιότερων μαθηματικών σε μια γενικευμένη, προγραμματική διατύπωση της μαθηματικής ανάλυσης. Η ατομική φιλοδοξία και ο ανταγωνισμός εντάθηκαν από μια οργανωτική αλλαγή στις κοινωνικές πηγές που ήταν διαθέσιμες να ανταμείψουν τους μαθηματικούς κατά τη διάρκεια των περιόδων των CardanTartaglia και ΝεύτωναLeibniz. Πνευματικά φιλόδοξα άτομα, όπως ο Leibniz, ήταν βέβαιο ότι θα αναδεικνύονταν εξαιτίας των ευκαιριών που εμφανίστηκαν από την άνοδο της πατρωνίας στις ακαδημίες, κυρίως η δυνατότητα του ελέγχου των δικών τους επιδοτούμενων δημοσιεύσεων, των νέων επιστημονικών περιοδικών.

Ο Leibniz ήταν ένας υποστηρικτής των νέων οργανωτικών δομών και ο επιχειρηματίας τους προς την τελειότητα. Σχεδίασε το πρώτο επιστημονικό περιοδικό στη Γερμανία και χρησιμοποίησε τις πολιτικές του διασυνδέσεις για να ιδρύσει τις ακαδημίες του Βερολίνου και του St. Petersburg και να γίνει πρόεδρος της τελευταίας για όλη του τη ζωή. Επίσης προσπάθησε, χωρίς επιτυχία, να ιδρύσει ακαδημίες στη Δρέσδη και στη Βιέννη. Έλεγχε τις εκδόσεις της ακαδημίας και γέμισε τις επιδοτούμενες θέσεις με τους ακόλουθούς του. Πολλές γενιές της οικογένειας Bernoulli, ο φοιτητής τους Leonard Euler και άλλοι σημαντικοί Ευρωπαίοι μαθηματικοί όπως ο Legendre κράτησαν τις θέσεις στο Βερολίνο και το St. Petersburg κατά τη διάρκεια του 17ου αιώνα και χρησιμοποίησαν αυτές τις οργανωτικές πηγές για να παράγουν σημαντική πρόοδο στην μαθηματική ανάλυση του Leibniz. Ο Leibniz πρέπει να τοποθετηθεί σε κλίμακα ως ένας από τους πιο επιτυχημένους δημιουργούς οργανισμών στην ιστορία της επιστήμης. Δημιούργησε και τις οργανωτικές δομές και το πνευματικό περιεχόμενο για να τις γεμίσει.

Ο Leibniz ενεργούσε ως ένας καινοτομικός καπετάνιος της βιομηχανίας στην περίοδο των αμερικανών καπιταλιστών του 19ου αιώνα. Ήταν ενήμερος για κάθε ευκαιρία - οργανωτική, πολιτική ή πνευματική. Στα πρώτα του χρόνια στο Παρίσι και το Λονδίνο, διείσδυσε στα πιο διαπρεπή δίκτυα και επιθετικά εξοικειώθηκε με τις πιο σημαντικές τάσεις. Δεν υπάρχει απόδειξη ότι έκανε λογοκλοπές, αλλά μάλλον ότι μάθαινε όσα περισσότερα μπορούσε σχετικά με το τι σκεφτόντουσαν οι κύριοι επιστήμονες και τα εκμεταλλευόταν για το δικό του συμφέρον. Διάβασε τα αδημοσίευτα χειρόγραφα του Descartes και του Pascal (Hofmann, 1973: 161). Έπεισε τον Spinoza να τον αφήσει να ρίξει μια ματιά στα χειρόγραφά του για την Ηθική, στα οποία ο Spinoza έδινε αφαιρετικά ένα φιλοσοφικό σύστημα με γεωμετρική (αξιωματική) μορφή. Η φιλοσοφία του Leibniz (που προχωράει πέρα από τον Spinoza) έγινε διάσημη ενώ του Spinoza παρέμεινε αδημοσίευτη και ασαφής για ένα περίπου αιώνα. Ο Leibniz είχε την ικανότητα να μαζεύει στοιχεία μέσα από τις ερωτήσεις του, να τις αναπτύσσει γρήγορα και να προλαβαίνει τους δημιουργούς στην δημοσίευση. Μετά από ανάγνωση μιας επισκόπησης της Principia του Νεύτωνα το 1689, έγραφε ταχύτατα μια σειρά από άρθρα για το Acta περιγράφοντας την δικιά του θεωρία για την αστροφυσική χωρίς να αναφέρει πουθενά το Νεύτωνα (Hofmann, 1973: 151).

Αν και όχι τόσο οργανωτικά καινοτόμος όσο ο Leibniz, ο Νεύτωνας επίσης, αφού είχε πρώτα αποκτήσει σταθερή ισχυρή εξουσία, ενήργησε ως ένας αλαζονικός πνευματικός λωποδύτης. Ήταν ένας τυραννικός πρόεδρος στην Βασιλική Εταιρεία, ελέγχοντας τα μάλη της και αποκόπτοντας τις διαμάχες της. Αυτός και ο συνεργάτης του ο Halley δημοσίευσαν του αστρονόμου Flamsteed, χωρίς την έγκριση του ίδιου. Ο Νεύτωνας γέμισε τις θέσεις στο Νομισματοκοπείο με τους επιστημονικούς του ακόλουθους ως μια μορφή πατρωνίας (Cohen, 1974: 83). Φαίνεται ξεκάθαρα ότι ο Νεύτωνας, κυρίως στα τελευταία του χρόνια, ήταν περισσότερο απασχολημένος με το να εγκαταστήσει τη δικιά του «σχολή» παρά με την πρόοδο των μαθηματικών. Η προσοχή του κατά τη διάρκεια της διαμάχης με τον Leibniz είχε επικεντρωθεί ολοκληρωτικά στην εγκαθίδρυση της πρωτοπορίας του σαράντα χρόνια νωρίτερα, και όχι με το τι έπρεπε να γίνει για την καλλιέργεια των μαθηματικών χρησιμοποιώντας είτε τη δικιά του θεωρία είτε του Leibniz. Ο Leibniz έτεινε να είναι προγραμματικός και να κοιτάει μπροστά, ενώ ο Νεύτωνας ήταν περισσότερο ένας πνευματικός παραδοσιακός που σπάνια έβλεπε τη σημασία της δικιάς του προόδου αν κάποιος άλλος δεν του το έδειχνε. Η εργασία του Principia χρησιμοποίησε επιχειρήματα στο ύφος της παραδοσιακής Ευκλείδειας γεωμετρίας, με σπάνιες αναφορές ή χρήση της μαθηματικής του ανάλυσης (αν και είχε χρησιμοποιήσει τις νέες μεθόδους για να φτάσει στα αποτελέσματα). Εάν ο Νεύτωνας είχε κίνητρα από παλιά για να προοδεύσει την επιστήμη, θα αναγνώριζε την ανωτερότητα της διατύπωσης του Leibniz, θα την υιοθετούσε και θα τη χρησιμοποιούσε για να αναπτύξει τα μαθηματικά στην Αγγλία. Η ειρωνεία είναι ότι η μαθηματική «επάνοδος» του Νεύτωνα μετά από την εργασία του στη φυσική τον βοήθησε να γίνει μια δυναμική φιγούρα στο Λονδίνο και του επέτρεψε να προασπίσει μια σχολή σκέψης που είχε καταλήξει αντιδραστική σε σχέση με τα μαθηματικά της Ευρώπης.

Ο Νεύτωνας λειτουργούσε σε μια παραδοσιακή πνευματική δομή. Ήταν ένας καθηγητής πανεπιστημίου την εποχή που τα πανεπιστήμια μεσαιωνικού τύπου ήταν στη δύση τους. Κατάφερε να αποκτήσει φήμη όταν το δίκτυο επικοινωνίας ήταν ενεργό και έφυγε από το κέντρο της προσοχής όταν δεν ήταν. Η διαμάχη του με τον Leibniz στην πραγματικότητα αναδεικνύει την αδυναμία του ανεπίσημου συστήματος κέντρου μηνυμάτων. Ήταν εξαρτημένο από λίγα άτομα κλειδιά. Το Βρετανικό δίκτυο κατέρρευσε όταν οι Oldenburg και Collins πέθαναν το 1670. Το σύστημα δεν διέδιδε ιδέες και φήμες ευρύτατα, αφού σχετικά λίγα άτομα μπορούσαν στην πραγματικότητα να λάβουν γράμματα. Η αποστολή γραμμάτων στο εξωτερικό ήταν πολύ ακριβή, αφού δεν υπήρχε κάποιο ταχυδρομικό σύστημα - και ένα «κέντρο μηνυμάτων» όπως του Collins και του Mersenne έπρεπε να βρει ταξιδιώτες που θα λειτουργούσαν ως ταχυδρόμοι, όταν θέλανε να στείλουν κάποιο γράμμα στο εξωτερικό. Η εξάρτηση του δικτύου στη προσωπική καλή θέληση το έκανε αδύναμο στο χειρισμό αμφισβητήσεων, ακόμα και με τη μορφή μερικών διαφορών σε θεωρητικές απόψεις (Hall, 1980: 63). O Oldenburg συχνά έχανε την επικοινωνία με αλληλογράφους που είχαν αντίθετη άποψη με αυτό που ανέφερε. Και η δυσπιστία του Νεύτωνα στην αλληλογραφία του με τον Leibniz είναι ενδεικτική ενός συστήματος επικοινωνίας που δεν εγγυόταν ούτε την ασφάλεια των δημόσιων ισχυρισμών για πρωτοπορία ούτε την ελεύθερη ανταλλαγή πληροφοριών.

Υπάρχουν και άλλα στιγμιότυπα της ληστο-αριστοκρατικής συμπεριφοράς αυτής της περιόδου. Το εγχειρίδιο μαθηματικής ανάλυσης του l’Hospital είχε στην πραγματικότητα γραφεί από τον Johann Bernouli, που πιέστηκε να αποκαλύψει τις μεθόδους του μόνο στον εργοδότη του, τον l’Hospital. Αυτό μας θυμίζει τη σχέση μεταξύ του Cardan και του υπηρέτη του Ferrari και τον πατρογονικό οίκο του Scipione del Ferro. Η οικογένεια Bernoulli, επίσης, λειτουργούσε σχεδόν σαν μια πατρογονική μονάδα στην οποία η πνευματική δημιουργικότητα δεν αποδιδόταν σε άτομα αλλά χρησιμοποιούνταν ως μία ιδιοκτησία του αρχηγού της οικογένειας. Ο Johann Bernoulli έμαθε τα μαθηματικά του από το μεγαλύτερο αδερφό του Jakob (δεκαπέντε χρόνια μεγαλύτερό του) και αργότερα κληρονόμησε τη θέση του Jakob ως καθηγητή μαθηματικών στη Basle. Στην καινούρια κοσμοπολίτικη αγορά για μαθηματικά που πια αναδυόταν, ο πατρογονικός έλεγχος της πνευματικής ιδιοκτησίας δεν μπορούσε να διατηρηθεί. Οι Jakob και Johann Bernoulli είχαν έντονες λογομαχίες πάνω στην πνευματική ιδιοκτησία και ο Jakob έδιωξε το μικρότερο αδερφό του από το σπίτι. Μετά το θάνατο του Jakob το 1705, ο Johann δημοσίευσε τη λύση του Jakob για τα ισοπεριμετρικά προβλήματα ως δικιά του (Hooper, 1948: 344). Και κατά τη διάρκεια της διαμάχης με τον Νεύτωνα, ο Johann ζήτησε να του αποδοθεί αναγνώριση για την ανακάλυψη ενός μαθηματικού λάθους στην εργασία του Νεύτωνα που στην πραγματικότητα το είχε ανακαλύψει ο ξάδερφός του Daniel Gregory και δέχτηκε αναγνώριση για αποτελέσματα που κληρονόμησε από το θείο του, James Gregory, προγονό του που ήταν πρόεδρος του μαθηματικού στο Εδιμβούργο (Hall, 1980: 36-37).

Χωρίς τις οργανωτικές αλλαγές που αναφέραμε, ο πατρογονικός οίκος δεν θα αντιμετώπιζε προκλήσεις και το δικαίωμα του επικεφαλούς του οίκου να καρπώνεται τα πνευματικά προϊόντα των άλλων μελών δεν θα αποτελούσε θέμα αντιδικίας. Ως επικρατούσες φιγούρες στις οργανωτικές αλλαγές του 17ου αιώνα οι Leibniz, l’Hospital, Νεύτωνας και οι Bernoulis δεν ενήργησαν μόνο ως ληστο-αριστοκράτες αλλά συμμετείχαν στη δημιουργία μιας γνήσιας μαθηματικής αυτοκρατορίας.

ABEL KΑΙ GALOIS ΕΝΑΝΤΙΟΝ CAUCHY KAI THΣ ΓΑΛΛΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΙΑΣ

Οι οργανωτικές δομές που πρωτοχρησιμοποιήθηκαν από τον Leibniz κυριάρχησαν στα Ευρωπαϊκά μαθηματικά ως τις αρχές του 18ου αιώνα. Οι μαθηματικοί που τον υποστήριζαν κυριάρχησαν επίσης στο πνευματικό περιεχόμενο των Ευρωπαϊκών μαθηματικών. Ο κίνδυνος του συστήματος των εθνικών ακαδημιών ήταν ότι το σχετικά μικρό κομμάτι που τις έλεγχε θα μπορούσε να χάσει το πνευματικό του ενδιαφέρον. Αυτό ήταν κυρίως πιθανό να συμβεί με το πέρασμα του χρόνου και με τον ενθουσιασμό και τις φιλοδοξίες που δημιουργούνται από νέες ευκαιρίες να ελαττώνονται. Μια ακαδημία θα μπορούσε να πέσει στα χέρια μέτριων πνευματικά ανθρώπων ή μη-επιστημόνων όπως συνέβη με διάφορες ακαδημίες το 17ο αιώνα (Ben-David, 1971: 77). Υπήρχε επίσης ο κίνδυνος, που διευκρινίστηκε από την Βασιλική Εταιρεία τον 18ο αιώνα, ότι οι ακαδημίες μπορεί να γινόντουσαν εθνικιστικές και να απέκλειαν μη ντόπιους ερευνητές και τα δημιουργικά προϊόντα τους.

Στο τέλος του 19ου αιώνα, ο κόσμος των μαθηματικών είχε κυριαρχηθεί από τη Γαλλική Ακαδημία. Η Ακαδημία πρόσφερε κάποιες λίγες καλά-χρηματοδοτημένες θέσεις για τους επικεφαλείς της και δημοσιοποιούσε μαθηματικά επιτεύγματα μέσα από το περιοδικό της και από διεθνείς διαγωνισμούς. Παρ’ όλ’ αυτά, στις αρχές του 18ου αιώνα, η Ακαδημία είχε μείνει στάσιμη. Οι καινοτόμοι μαθηματικοί είχαν συνδεθεί με μια ανταγωνιστική οργανωτική δομή: το νέο προσανατολισμένο προς την έρευνα πανεπιστήμιο, που πρωτοεμφανίστηκε στο Gφttingen στα τέλη του 17ου αιώνα και έγινε διάσημο από την ίδρυση του πανεπιστημίου του Βερολίνου το 1810. Η νέα μορφή του πανεπιστημίου συμπορεύτηκε με την άνοδο της δημόσιας πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Ένας από τους σημαντικούς ρόλους του πανεπιστημίου ήταν να εκπαιδεύσει δασκάλους για τα σχολεία (Ben-David, 1971: 108-138). Η Γαλλία, όπως και η Αγγλία, δεν αναμόρφωσε τα πανεπιστήμιά της και δεν ίδρυσε δημόσια σχολεία μέχρι τα τέλη του 19ου αιώνα. Ως αποτέλεσμα, οι καινοτομίες σε τομείς όπως τα μαθηματικά τείνανε να προέρχονται από τη Γερμανία και από άλλες περιφερειακές χώρες που υφίσταντο εκπαιδευτική μεταρρύθμιση ως κομμάτι των δικών τους εθνικών κινημάτων. Τα σημαντικότερα μαθηματικά σκάνδαλα στις αρχές του 18ου αιώνα αντανακλούν αυτή τη διαμάχη ανάμεσα στο παλιό σύστημα της ακαδημίας και και την καινούρια βασισμένη στα πανεπιστήμια μαθηματική κοινότητα (Ore, 1970; Freudenthal, 1971; Taton, 1972; Costabel, 1978; Ravetz και Grattan-Guinness, 1972).

To 1826, ένας νεαρός από τη Νορβηγία, ο Neils Henrik Abel, ταξίδεψε στο Παρίσι με κάποια μικρή χρηματοδότηση από το κράτος του για να παρουσιάσει μια σημαντικότατη επιστημονική ανακάλυψη στο κέντρο μαθηματικών ερευνών. Η Νορβηγία είχε πρόσφατα ανεξαρτητοποιηθεί από τη Δανία και είχε εγκαθιδρύσει το δικό της εκπαιδευτικό σύστημα. Ο Abel σπούδασε στο πρώτο εθνικό πανεπιστήμιο της Νορβηγίας. Ο πατέρας του ήταν ένας επικεφαλής εθνικιστής πολιτικός. Όταν πέθανε ο πατέρας του, ο Abel έφυγε βασιζόμενος σε λιγοστά μέσα υποστήριξης.

Ο Abel είχε λύσει το πιο σημαντικό μαθηματικό πρόβλημα των ημερών του. Απέδειξε ότι ήταν αδύνατο να λυθεί μια εξίσωση πέμπτου βαθμού χρησιμοποιώντας ένα γενικό τύπο όπως αυτούς που υπήρχαν για τις εξισώσεις τρίτου και τέταρτου βαθμού. Και ανακάλυψε ταυτόχρονα ένα εντελώς διαφορετικό βασίλειο των μαθηματικών: τις υπερβατικές συναρτήσεις. Το μαθηματικό κατεστημένο στο Παρίσι αγνόησε και τις δύο ανακαλύψεις του Abel. Η εργασία του για τις υπερβατικές συναρτήσεις, που υπέβαλλε στη Ακαδημία, «χάθηκε» από έναν από τους κριτές, τον Cauchy. Ο Abel δεν ήταν φυσικά σε θέση να διαμαρτυρηθεί έντονα και αποτελεσματικά και επίσης δεν είχε τα χρήματα για να παραμείνει στο Παρίσι. Πέθανε το 1829 από φυματίωση, αδέκαρος και χωρίς κάποια ακαδημαϊκή θέση. Το σκάνδαλο αυτό αποκαλύφθηκε όταν Γερμανοί μαθηματικοί που γνώριζαν τη δουλειά του Abel έκαναν την εργασία του για τις υπερβατικές συναρτήσεις γνωστή στη Γαλλία και η Νορβηγική κυβέρνηση φυσικά διαμαρτυρήθηκε επίσημα για την απώλεια της εργασίας του Abel. Κάτω από αυτές τις πιέσεις, ο Cauchy βρήκε την εργασία η οποία αμείφθηκε με ένα μετά θάνατο Μεγάλο Βραβείο από την Ακαδημία το 1830.5

Μια παρόμοια περίπτωση εμφανίστηκε λίγα χρόνια αργότερα. Το 1829, ο Evariste Galois, ένας νέος ριζοσπαστικός φοιτητής στο Ecole Normale SuperieureστοΠαρίσι, υπέβαλλε μία εργασία στην Ακαδημία σχετικά με τη γενική θεωρία της επιλυσιμότητας των εξισώσεων μέσα από την ομαδοποίησή τους. Ο Cauchy παρέλαβε την εργασία. Δήλωσε (ειρωνικά) ότι η πρωτοπορία ανήκε στον Abel, απέρριψε την εργασία ανεπίσημα και δεν έκανε καμία επίσημη αναφορά στην Ακαδημία. Ο Galois ετοίμασε μια δεύτερη εργασία και την υπέβαλλε επίσημα για το βραβείο το 1830 η οποία ανατέθηκε στον μεγάλο σε ηλικία μαθηματικό Fourier για αποτίμηση. Ο Fourier πέθανε μετά από μερικούς μήνες και η εργασία χάθηκε ανάμεσα στα πράγματά του. Η ακαδημία δεν ενημερώθηκε για το συμβάν και οι ισχυρισμοί του Galois αγνοήθηκαν. Το 1832, μια τρίτη έκδοση της εργασίας του Galois απορρίφθηκε από τον κριτή Poisson, ο οποίος την αποκάλεσε ακατανόητη. Λίγο αργότερα, ο Galois σκοτώθηκε σε μια μονομαχία με πολιτικά κίνητρα και η δουλειά του θάφτηκε για δεκατέσσερα χρόνια.

Οι περιπτώσεις των Abel και Galois αντανακλούν μια ακαδημαϊκή δομή που δημιουργούσε και διατηρούσε μια ελίτ μελών με ασυνήθιστη δύναμη. Μια εργασία χαμένη ή θαμμένη από ένα μόνο κριτή θα μπορούσε να της στερήσει την αναγνώριση. Ο Cauchy κράτησε κρυφή από τον Legendre ακόμα και την ύπαρξη της αναφοράς του Abel το 1826. Κανένας δε γνωρίζει τι έγινε η δεύτερη εργασία του Galois μετά το θάνατο του Fourier. Η τρίτη εργασία του Galois απορρίφθηκε μόνο εξαιτίας της αποτίμησης που έκανε ο Poisson, που ήταν ένας ασήμαντος λόρδος στο κατεστημένο του Παρισιού. Η ακραία συγκεντρωτική Ακαδημία δεν ήταν αυτόνομη και δεν υπήρχαν ασφαλιστικές δικλείδες σε σχέση με την αξία των μελών της και τις προκαταλήψεις μέσα στις βαθμίδες της.

Δεν υπάρχει καμία απόδειξη εδώ για την ύπαρξη ενός συντηρητικού γέρου μέλους που απορρίπτει τις καινοτομίες ενός νεωτεριστή νέου μέλους. Είναι μάλλον θέμα μεταξύ ενός νέου μέλους εναντίον ενός ριζοσπαστικού νέου μέλους. Αν και ήταν ο «κακός» στις παραπάνω ιστορίες ο Cauchy παρ’ όλ’ αυτά αποτελούσε έναν από τους δύο πιο σημαντικούς μαθηματικούς (ο άλλος ήταν ο Gauss στο Gφttingen) που οδήγησαν την πορεία της μαθηματικής κοινότητας το 19ο αιώνα προς τα ανώτερα μαθηματικά. Ο Cauchy ήταν ήδη επικεφαλής στις περιοχές όπου δούλευαν οι Abel και Galois - τη θεωρία της ομαδοποίησης (Galois) και τη χρήση νέων αυστηρών κριτηρίων απόδειξης, που αποτελούσε τη βάση των νέων αποδείξεων και συναρτήσεων του Abel. O Cauchy λειτουργούσε με σκοπό να προστατέψει τα κεκτημένα του.

Η συμπεριφορά του Cauchy ήταν όμοια με αυτή των αμερικανών καπιταλιστών του 19ου αιώνα, αλλά όχι με τη μορφή της οργανωτικής δομής του Leibniz. Ο Cauchy χρησιμοποίησε τα πλεονεκτήματα που του έδινε ο έλεγχος μιας ήδη εγκατεστημένης οργάνωσης τύπου Leibniz για όσο αυτή θα μπορούσε να αντέξει. Χρησιμοποίησε τις δημοσιεύσεις της Ακαδημίας πραγματικά ως μια ιδιωτική ρεζέρβα. Τα μέλη της Ακαδημίας μπορούσαν να εκδώσουν τις εργασίες τους χωρίς επιθεώρηση και ο Cauchy με γρήγορα βήματα - πλημμύρισε τους επίσημους εκτυπωτές και έγινε ένας από τους δύο πιο παραγωγικούς μαθηματικούς όλων των εποχών (ο άλλος ήταν ο Euler στις ακαδημίες του Βερολίνου και του St. Petersburg, ο οποίος είχε παρόμοια προνόμια να εκδίδει οτιδήποτε έγραφε). Η δυνατότητα να εκδίδει με ταχύτατους ρυθμούς βοήθησε τον Cauchy να κυριαρχήσει στον τομέα των Ευρωπαϊκών μαθηματικών. Μέσα στη βιασύνη του, συχνά παρουσίαζε τις ιδέες του πρόχειρα (με μια μορφή που θύμιζε τον νεαρό Leibniz) και χωρίς να αναγνωρίζει την πραγματική τους αξία. Ο Cauchy ειδικεύτηκε στο ξάφρισμα κάθε νέας περιοχής καθώς αυτή είχε αρχίσει να ανοίγεται. Κάπου κάπου χρησιμοποιούσε τη θέση του ως κριτή της ακαδημίας για να προαγάγει τον εαυτό του. Καθυστερούσε μια υποβαλλόμενη εργασία καθώς έγραφε τη δικιά του εργασία πάνω στο ίδιο θέμα που πραγματευόταν η πρώτη, δημοσίευε την εργασία του πρώτα και έπειτα απαιτούσε από το συγγραφέα να αναγνωρίσει την πρωτοπορία του (Freudenthal, 1971:134-135). O Cauchy ανακατευόταν σε πολλές διαμάχες αυθεντικότητας και είχε κατηγορηθεί πολλές φορές για απληστία και άνομη συμπεριφορά (Bell, 1937: 293).

Αντίθετα με τον φιλελεύθερο πολιτικό Leibniz, ο Cauchy ήταν ένας απόλυτα συντηρητικός. Για αυτόν η επιστήμη αποτελούσε κομμάτι του προνομιακού κατεστημένου και τακτικά έμπλεκε την επιστήμη με τις πολιτικές προτιμήσεις. Δεν είναι απίθανο ο Cauchy να ήταν ανταγωνιστής των Abel και Galois για πολιτικούς λόγους. Και οι δύο νεαροί άντρες ήταν ριζοσπάστες. Ο Abel ήταν ένας Νορβηγός εθνικιστής, ενώ ο Galois είχε πάρει μέρος στην επανάσταση του 1830 και είχε συλληφθεί στις διαδηλώσεις που ακολούθησαν πιέζοντας για μεγαλύτερη ελευθερία. Είναι δύσκολο να φανταστεί κάποιος τον Cauchy να κάνει ανεπηρέαστη κριτική όταν απέρριψε την εργασία του Galois λίγο πριν το ξέσπασμα της επανάστασης.

Ο ακραίος συντηρητισμός του Cauchy ήταν ίσως κατάλληλος για την τελευταία περίοδο ακμής της Γαλλικής Ακαδημίας. Όταν η περίοδος της πνευματικής της κυριαρχίας έφτασε στο τέλος της, η Ακαδημία έγινε μια αντιδραστική πνευματική δύναμη. Ενώ οι πολιτικές πεποιθήσεις του Cauchy εμπεριείχαν το στοιχείο της ιδιοσυγκρασίας, η συμπεριφορά του ταυτίζεται με με την άκρως συγκεντρωτική, δομημένη σε κλίκες Γαλλική επιστημονική κοινότητα (Ben-David, 1971; Clark, 1973). Η δύναμη ολόκληρου του συστήματος ήταν συγκεντρωμένη σε μερικές θέσεις στο Παρίσι, σε οργανώσεις που θεωρούνταν οι πιο περίβλεπτες στον κόσμο. Η δομή αυτή προωθούσε ακραία αλαζονική συμπεριφορά και εγωισμό. Η συμπεριφορά του Cauchy είχε μιμητές και σε άλλους τομείς. Ο Lavoisier αποτελούσε ένα άλλο παράδειγμα υπερβολικά φιλόδοξου ανθρώπου, έναν μεγάλο οργανωτή που δημιούργησε την ονοματολογία και τα θεωρητικά θεμέλια της σύγχρονης χημείας. Δεν είχε κανένα ενδοιασμό στο να δημοσιεύσει τα ευρήματα άλλων ανθρώπων χωρίς να τους αναφέρει. Η ανακάλυψη του οξυγόνου το 1975 προήλθε μετά από ένα γεύμα που είχε με τον Priestly, ο οποίος αργότερα τον κατηγόρησε ότι του έκλεψε τις ιδέες (Guerlac, 1973: 74-76). Ίσως, η συμπεριφορά του Lavoisier να οφειλόταν στην πεποίθησή του ότι οδηγεί τη χημεία σε μια τελική μορφή τελειότητας. Μπορεί να αισθάνθηκε ότι οι συνεισφορές και οι διαφωνίες των προκάτοχών του ήταν άσχετες. Ο Laplace, ένας άλλος φιλόδοξος οργανωτής συστημάτων, που ήταν και πολιτικός καιροσκόπος, δεν έδειχνε επίσης κανένα ενδιαφέρον για να αναγνωρίσει προηγούμενες εργασίες. Ένα μεγάλο μέρος, για παράδειγμα, από αυτά που δημοσίευσε για τη θεωρία της παγκόσμιας έλξης είχαν αντιγραφεί από τον πιο επιφυλακτικό Lagrange (Hooper, 1948: 360). O Laplace επίσης φαινόταν να πιστεύει ότι η επιστήμη οδηγούνταν προς την τελειότητα με σα από τις εργασίες του. Αυτή η συμπεριφορά ήταν πολύ διαδεδομένη ανάμεσα στην ελίτ των Γάλλων επιστημόνων στα τέλη του 18ου αιώνα. Ακόμα και ο σεμνός Lagrange έγραψε το 1871 ότι πίστευε ότι δεν υπάρχει κάτι καινούριο για να ανακαλυφθεί στα μαθηματικά (LeLionnais, 1971: 244).

H ελίτ της Γαλλικής επιστημονικής κοινότητας δεν είχε να αντιμετωπίσει αντιδραστικές δυνάμεις. Αυτοί οι επιστήμονες αισθάνονταν συχνά ότι εάν δεν καταφέρουν κάτι, κανένας άλλος δε θα μπορέσει να το καταφέρει. Η ίδια η ύπαρξη των σκανδάλων, παρ’ όλ’ αυτά, υποδήλωνε την άνοδο ανατρεπτικών δυνάμεων σε σχέση με την κυρίαρχη δομή. Οι Abel και Galois προφανώς ήθελαν να διακριθούν σε ενώσεις που θα ανταγωνίζονταν αυτές στις οποίες κυριαρχούσε ο Chauchy. Ένα ριζοσπαστικό κέντρο στο Βερολίνο τάχθηκε υπέρ του Abel. Το νέο Γερμανικό πανεπιστήμιο έκδιδε ανεξάρτητα περιοδικά ανοιχτά σε μια ποικιλία θεμάτων. Το 1826, ο Leopold Crelle ίδρυσε ένα από τα πρώτα περιοδικά στον κόσμο αφιερωμένο αποκλειστικά στα μαθηματικά (Boyer, 1968: 560f.). Στον πρώτο του τόμο, ο Crelle δημοσίευσε πολλές από τις εργασίες του Abel, συμπεριλαμβανομένης της εργασίας του για τις εξισώσεις πέμπτου βαθμού. Μέσα από την υποστήριξη του ταλαντούχου Abel από τον Crelle, o Γερμανός μαθηματικός Jacobi έμαθε για τις χαμένες σημειώσεις πάνω στις υπερβατικές συναρτήσεις και ενημερώθηκε για αυτές. Οι σημειώσεις τελικά βρέθηκαν και αποτέλεσαν σημαντικό ενδιαφέρον των μαθηματικών. Ομοίως, οι ανακαλύψεις του Galois ανακαλύφθηκαν ξανά από τον Joseph Liouville, του οποίου ο σκοπός ήταν προφανώς να εγκαταστήσει έναν Γάλλο ανταγωνιστή στις δημοσιεύσεις της Ακαδημίας. Η εργασία του Galois δημοσιεύτηκε στον πρώτο τόμο του περιοδικού του Liouville το 1846 (Kramer, 1970: 25-26; Boyer, 1968: 561, 640).

Σε αντίθεση με την εποχή του Lagrange, όταν οι επικεφαλείς επιστήμονες νόμιζαν ότι οι περιοχές τους έφταναν σε ένα τέλος από πλευράς νέας ανακάλυψης, στην εποχή του Cauchy η οργανωτική δομή του επιστημονικού κόσμου είχε γίνει πλουραλιστική, αντικατοπτρίζοντας και διεγείροντας νέους δρόμους στην επιστήμη. Τα νέα, αναμορφωμένα πανεπιστήμια έγιναν ανταγωνιστικά με το Γαλλικό συγκεντρωτικό σύστημα, μιας ελίτ επιστημόνων. Η πυκνότητα των επιστημονικών ανταγωνιστών αυξήθηκε απότομα, δημιουργώντας μια στροφή στον τομέα των μαθηματικών σε πολύ πιο αυστηρές και επίσημες μεθόδους. Αυτή ήταν η αρχή του τέλους για την ληστο-αριστοκρατική περίοδο. Από τότε και μετά, ο κάτω από ιδρύματα ανταγωνισμός ανάμεσα σε κέντρα οργάνωσης δεν θα επέτρεπε πια τον ανηλεή επιστημονικό εγωισμό που αποτελούσε χαρακτηριστικό των γιγάντων του παρελθόντος.6

CANTOR ΕΝΑΝΤΙΟΝ KRONECKER:
Η ΜΕΤΑΒΑΣΗ ΣΤΟΥΣ «ΑΓΙΟΥΣ» ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ

Οι καθηγητές πανεπιστημίου κυριάρχησαν σημαντικά στα μαθηματικά του 19ου αιώνα, κυρίως στο δίκτυο ανταγωνισμού με τα Γερμανικά πανεπιστήμια. Η τάση προς αφαίρεση και συστηματοποίηση των χαρακτηριστικών του εκπαιδευτικού σκηνικού (Collins, 1975: 487-492) παρήγαγε ένα είδος μαθηματικών που ήταν μακριά από τον εμπειρικό κόσμο και τις κατηγορίες της κοινής λογικής. Οι διαμάχες άρχισαν να εμφανίζονται πάνω στην ευπρεπή κατάσταση αυτών των επιπέδων αφαίρεσης. Ο George Cantor (1845-1918) ήταν ένας αδιαμφισβήτητος αρχηγός του κινήματος για ακραία αφαίρεση χωρίς να λαμβάνονται υπόψη τα παράδοξα αποτελέσματα στα οποία μπορεί να οδηγήσει αυτή. Στις δεκαετίες του 1870 και 1880, ο Cantor ανέπτυξε τη θεωρία των υπερβατικών συνόλων (βλέπε την εξαιρετική μελέτη των μαθηματικών και της φιλοσοφίας του Cantor για το άπειρο που έγινε από τον Dauben, 1979). Σε αντίθεση, ο Βερολινέζος καθηγητής Leopold Kronecker (1823-1891) υποστήριξε ότι μόνο οι πραγματικοί αριθμοί (θετικοί ακέραιοι) υπάρχουν, και ότι όλα τα μαθηματικά πρέπει να προκύψουν από αυτούς χρησιμοποιώντας ένα πεπερασμένο σύνολο από πράξεις. Οι Cantor και Kronecker έγιναν πικροί αντίπαλοι, προσπαθώντας ο καθένας να αποτρέψει τον άλλο από το να δημοσιεύσει τη δουλειά του (Dauben, 1979; van Heijenoort, 1967; Parpart, 1976). O Kronecker ήταν συνέταιρος έκδοσης στο Περιοδικό του Crelle (σε συνεργασία με τον Borchardt), και φυσικά ο Cantor αρνήθηκε να υποβάλλει άρθρα στο περιοδικό αυτό. Ο Kronecker επίσης προσπάθησε να καθυστερήσει τις εργασίες του Heine στις τριγωνομετρικές σειρές επειδή απέκλιναν από το ακέραιο πρόγραμμα. Η τακτική του Kronecker έμοιαζε με αυτή του Cauchy. Καθυστερούσε την εργασία χωρίς να έχει ενημερώσει τον Heine γι’ αυτό. Όμως η εξουσία ήταν λιγότερο συγκεντρωτική από ότι στην περίπτωση του Cauchy και ο Heine έπεισε τελικά τον Borchardt να εκδώσει την εργασία του με τον να έρθει στο Βερολίνο και να ζητήσει επίσημη ακρόαση.

Ο Kronecker αρχικά είχε περισσότερα μέσα στη διάθεσή του από τον Cantor. Μετά το θάνατο του Borchardt το 1880, ο Kronecker έγινε εκδότης του περιοδικού. Ο Kronecker ήταν μέλος της Βρετανικής Ακαδημίας και πολλών ξένων ακαδημιών. Ήταν επίσης ανεξάρτητος οικονομικά. Είχε διασυνδέσεις με μεγάλη επιρροή στην κυβέρνηση και η γνώμη του ζητιόταν έντονα για την πλήρωση των καθηγητικών θέσεων με καθοδηγητικούς μαθηματικούς. Ο Cantor ήταν ένας φοιτητής στο Βερολίνο (όπου ο Kronecker ήταν ένας από τους δασκάλους του) όπως επίσης και στο Gφttingen, το άλλο κυρίαρχο κέντρο των μαθηματικών. Του στερούσαν όμως συνεχώς το δικαίωμα να κλείσει ένα ραντεβού σε οποιοδήποτε από αυτά τα δύο πανεπιστήμια. Με πικρία σημείωσε ότι έπαιρνε το μισό μισθό σε σχέση με το μισθό των άλλων καθηγητών και απέδωσε τις αποτυχίες στην καριέρα του στην εναντίωση του Kronecker.

O Cantor είχε κάποια δικά του μέσα. Ο Mittag-Leffler, εκδότης του περιοδικού Acta Mathematica, που ήταν ο ανταγωνιστής του Περιοδικού του Crelle, συντέλεσε στο να δημοσιευτεί η έρευνα του Cantor. Όταν ο Κronecker πρότεινε να υποβάλει μια εργασία στο Acta Mathematica το 1884, που θα έδειχνε τη μικρή σημασία των αποτελεσμάτων των μοντέρνων συναρτήσεων και της θεωρίας των συνόλων, ο Cantor απείλησε ότι θα αποσύρει την υποστήριξή του προς το περιοδικό εάν εμφανιζόταν οποιοδήποτε από τα αντίθετα άρθρα του Kronecker. Ο Cantor έπαιξε επίσης ένα σημαντικό ρόλο στη διαμάχη για τα υπερβατικά σύνολα. Χρησιμοποίησε την ίδια πολεμική πολιτική για να αντιταχθεί στον Ιταλό μαθηματικό Veronese που παραπονιόταν ότι τον καταπολεμούσε ο Kronecker.

Ο Cantor έχτισε μια νέα οργανωτική βάση για να αντιδράσει στην παρακώλυση των Γερμανικών μαθηματικών από τον Kronecker. Αποτέλεσε την οδηγό δύναμη που βρισκόταν πίσω από την εγκατάσταση μιας ξεχωριστής μαθηματικής κοινότητας, ανεξάρτητης από την παλιότερη συσχέτιση που συνέδεε του Γερμανούς μαθηματικούς και αστρονόμους με ένα τμήμα της Gesselschaft Deutcher Naturforscher Und Aertze (Κοινότητα Γερμανών Ερευνητών και Γιατρών). Το 1981, ιδρύθηκε η Deutsche Mathematiker-Vereinigung (Ένωση Γερμανών Μαθηματικών), με τον Cantor να αποτελεί τον πρώτο της πρόεδρο. Στις επόμενες προσπάθειές του να αποκοπεί από την συγκεντρωμένη στο Βερολίνο «συνομωσία», ο Cantor συμμετείχε στο Πρώτο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών, το οποίο έγινε στη Ζυρίχη το 1897 (Wavre, 1971).

Οι προσπάθειες του Cantor πέτυχαν τόσο σε πνευματικό όσο και σε οργανωτικό επίπεδο. Η αυξανόμενη πυκνότητα του πληθυσμού των μαθηματικών, της ειδίκευσης και της επαγγελματοποίησης στα μαθηματικά διευκόλυνε την αποδοχή της δουλειάς του Cantor. Με μια απότομη αύξηση στον αριθμό των πρακτικών μαθηματικών, τα αυξανόμενα βιώσιμα περιφερειακά πανεπιστήμια ανεξαρτητοποιήθηκαν από τα παγκόσμια κέντρα των μαθηματικών, όπως το Βερολίνο και το Gφttingen. Η διαμάχη ανάμεσα στον Kronecker και τον Cantor, παρ’ όλ’ αυτά, δεν ήταν μια σύγκρουση μεταξύ παραδοσιακών και καινοτομικών μεθόδων στα μαθηματικά, αλλά μεταξύ αντίπαλων νέων μεθόδων. Ο Kronecker δεν ήταν ένας παραδοσιακός μαθηματικός. Στην προσπάθειά του να αντιταχθεί στο άπειρο και στους παράλογους υπερφυσικούς και υπερβατικούς αριθμούς, αναγκάστηκε να ανακατασκευάσει τα μαθηματικά σε μια νέα ριζοσπαστική βάση. Προμήνυσε τη σχολή της διαισθητικής γνώσης του 20ου αιώνα, όπως ακριβώς ο Cantor πρωτοπόρησε σε αυτό που αποτέλεσε τελικά το τυπολατρικό πρόγραμμα. Και οι δύο πλευρές άσκησαν πιέσεις για μεγαλύτερη ακρίβεια στα μαθηματικά, αλλά διαχώριζαν έντονα τη θέση τους στο θέμα του πως αυτή μπορεί να επιτευχθεί.

Στο τέλος του αιώνα, η μεγάλη κλίμακα της μαθηματικής κοινότητας και η ακαδημαϊκή της κλίση προς την ακρίβεια και τη συστηματοποίηση απαρχαίωσε τον αυστηρό διαπροσωπικό ανταγωνισμό ανάμεσα στους μαθηματικούς για επιλύσεις συγκεκριμένων προβλημάτων. Οι κοινωνικές συνθήκες που είχαν προκαλέσει τις καταστάσεις της προηγούμενης περιόδου έδωσαν τη θέση τους σε άλλες που περιελάμβαναν συλλογικές διαμάχες ανάμεσα σε συνθετικές σχολές με αντίθετα προγράμματα σπουδών. Ακόμα και ο Kronecker με τον Cantor δε πολέμησαν απλώς για προσωπική φήμη όπως χαρακτηριστικά γινόταν την πρώτη περίοδο των μαθηματικών. Οι απόγονοί τους παρέκκλιναν το στυλ τους με τρόπους που τόνιζαν την πίστη και/ή την γνησιότητα της συλλογικότητας. Ο ληστο-αριστοκράτης έδωσε τη θέση του στον «άγιο πολιτικό».

Κατά τη διάρκεια του 20ου αιώνα, για πρώτη φορά, οι μαθηματικοί άρχισαν να δημοσιεύουν εργασίες που είχαν γραφτεί συλλογικά. Τη δεκαετία του 1960, το 60% των μαθηματικών δημοσίευαν σε συνεργασίες τουλάχιστον σε κάποιο βαθμό (Hargens, 1975: 51). O μαθηματικός από το Cambridge G. H. Hardy ήταν ένας από πρώτους μαθηματικούς που δημοσίευσαν με ένα συνεργάτη τους. Ο Hardy εξέδωσε εκατοντάδες εργασίες μαζί με άλλους, πολλές από τις οποίες με τον έχοντα ελάχιστη σχολική εκπαίδευση Ινδό Remanujan (Barkill, 1972). Εκεί που ο μαθηματικός του 16ου ή 17ου αιώνα θα εκμεταλλευόταν το μυαλό του Ινδού και θα δημοσίευε τα αποτελέσματα ως εντελώς δικά του χωρίς τύψεις, ο Hardy πλήρωσε τα έξοδα του Ramanujan για την Αγγλία και του απέδωσε τη φήμη που του άξιζε για τη δουλειά του. Ο συμπατριώτης του Hardy, Bertrand Russel, έκανε παρόμοιες προσπάθειες για να αποδώσει αυτό που του ανήκε στον Frege για την πρόβλεψη των αποτελεσμάτων του αν και ο Russell είχε ολοκληρώσει τη δουλειά του πριν διαβάσει τον Frege και αν και ο Frege ζούσε σε διαφορετική χώρα και ήταν άγνωστος την εποχή εκείνη (Russell, 1938: xvi, 501-522; Whitehead και Russell, 1910: viii). O Russell είχε δημοσιεύσει τη δικιά του πιο διάσημη εργασία, Principia Mathematica, με τον εαυτό του ως δεύτερο συγγραφέα (Whitehead και Russell, 1910), αν και η εργασία περιελάμβανε μια διατριβή που είχε κάνει πιο παλιά μόνος του και την είχε δημοσιεύσει στο έργο του Αρχές των Μαθηματικών (Russell, 1903).

O επικεφαλής της σχολής των φορμαλιστών του Gφttingen, David Hilbert, ήταν ένας άγιος πολιτικός από πραγματικά κάθε άποψη. Αντίθετα με τον Cauchy, προστάτευε του χαμένους των διαγωνισμών, αντιτάχθηκε στις διακρίσεις εναντίον των γυναικών και των πολιτικών αντιπάλων (εάν και ο πολιτικός του προσανατολισμός ήταν προς τη συντηρητική παράταξη) και πολέμησε τον επιστημονικό αντισημιτισμό. Σε αντίθεση με την εθνικιστική συμπεριφορά της εποχής των Νεύτωνα και Liebniz, o Hillbert στη Γερμανία, όπως ο Russell στην Αγγλία, αντιτάχθηκαν στον σωβινισμό στα μαθηματικά και τίμησαν τους αντίπαλούς τους μαθηματικούς ακόμα και κατά τη διάρκεια της μανίας του Πρώτου Παγκοσμίου Πολέμου (Kramer, 1970: 467-469; Freudenthal, 1972; Reid, 1970).

ΔΙΑΜΑΧΕΣ, ΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΑΛΛΑΓΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Οι μαθηματικοί του 20ου αιώνα έδωσαν έμφαση στο ότι η επιστήμη αποτελεί μια συλλογική επιχείρηση. Η πιο ακραία περίπτωση είναι αυτή του Nicolas Bourbaki, που δεν αποτελεί όνομα ανθρώπου αλλά ένα ψευδώνυμο για μια ομάδα Γάλλων μαθηματικών που δημοσίευαν συλλογικά (Kramer, 1970: 467-469; Boas, 1970). Το «Bourbaki» αντιπροσωπεύει μια προσπάθεια να ενοποιηθούν τα μοντέρνα μαθηματικά με όρους της θεωρίας των συνόλων. Ομοίως, οι Russell και Whitehead προσπάθησαν να συμπεράνουν αφαιρετικά όλα τα μαθηματικά από μια απλό, λογικό αξίωμα. Το φορμαλιστικό πρόγραμμα του Hilbert επέκτεινε το πρόγραμμα του Felix Klein, προκάτοχού του από το Gφttingen, για την ενοποίηση της γεωμετρίας γύρω από μια αξιωματική δομή σε όλα τα μαθηματικά. Αυτοί οι «ενοποιητές» αισθάνονταν την ιστορία των μαθηματικών ως μια συλλογική προσπάθεια. Δεν αναγνώριζαν μόνο σχολαστικά προηγούμενες συνεισφορές, αλλά τείνανε να εξαλείφουν τους εαυτούς τους από την πρόοδο που ανέμεναν στο μέλλον. Διέφεραν πολύ λοιπόν από αυτή την άποψη με τους Lavoisier, Laplace και Lagrange, οι οποίοι πίστευαν ότι σε λίγο θα είχαν κορεστεί οι τομείς τους και δεν θα μπορούσε κανένας να προσθέσει κάτι καινούριο. Ο Russell ήταν συγκεκριμένος σχετικά με τα σημεία στα οποία η δουλειά του μπορούσε να επεκταθεί και απέδωσε τα εύσημα σε μεθόδους που πίστευε ότι θα εκτόπιζαν τις δικές του (Whitehead και Russell, 1927: xiv-xv). O Hilbert, ένας δυναμικός υποστηρικτής του Διεθνούς Συνεδρίου των Μαθηματικών, έδωσε ένα φημισμένο προγραμματικό λόγο στο δεύτερο συνέδριο το 1900. Καθόρισε ένα σύνολο από άλυτα προβλήματα για τους μελλοντικούς μαθηματικούς. «Ένας κλάδος της επιστήμης είναι γεμάτος ζωή», είπε, «για όσο προσφέρει αφθονία προβλημάτων. Η έλλειψη προβλημάτων αποτελεί ένα σημάδι θανάτου» (Weil, 1971: 324). Πέντε χρόνια αργότερα, ένας επικεφαλής της ομάδας Bourbaki, o Andre Weil πρότεινε ένα παρόμοιο πρόγραμμα και επικαλέστηκε το «πολιτικό» του σχήμα από την πειθαρχία (Weil, 1971: 333):

... υπάρχουν πολύ λίγα πραγματικά σημαντικά προβλήματα που δεν ενδόμυχα συσχετισμένα με άλλα, που με την πρώτη ματιά, φαίνονται να είναι πολύ απομακρυσμένα από τα πρώτα. Όταν ένας κλάδος μαθηματικών παύει να ενδιαφέρει κάποιον άλλο παρά μόνο τους ειδικούς, βρίσκεται πολύ κοντά στο τέλος του, ή σε κάποιο βαθμό κοντά σε μία παράλυση, από την οποία μπορεί να σωθεί μόνο με το να επιστρέψει πίσω στις αναζωογονητικές πηγές της επιστήμης.


Αυτή η πλευρά των μαθηματικών ως μια συνεχής και αλληλοσυνδεόμενη επιχείρηση οδήγησε τους μαθηματικούς στο να «βυθιστούν» στη συλλογικότητα.

Οι συλλογικές συμπεριφορές ανάμεσα στους μαθηματικούς του 20ου αιώνα επηρεάστηκαν συθέμελα. Οι μαθηματικοί έπρεπε να γίνουν αλτρουιστές με σκοπό να επιδιώξουν σημαντικές πνευματικές φιλοδοξίες. Η αύξηση της μαθηματικής κοινότητας και η ανάπτυξη πολλών ειδικευμένων κλάδων δημιούργησαν το φόβο ότι θα ήταν πια πολύ δύσκολο ή σχεδόν αδύνατο για μεμονωμένους μαθηματικούς να έχουν τις δημοσιεύσεις τους αναγνωρισμένες (Hagstrom, 1964; Hargens, 1975). Για να υπερέχει κάτω από τις νέες συνθήκες κάποιος, δεν θα έπρεπε πια να προσπαθήσει να επιλύσει όλα τα συμπαγή προβλήματα των μαθηματικών από μόνος του, όπως έκανε ο Cardan. Ούτε θα μπορούσε κάποιος, ακολουθώντας το παράδειγμα του Leibniz, να ιδρύσει ένα πνευματικό πρόγραμμα ικανό να κυριαρχήσει στον κόσμο των μαθηματικών. Δεν ήταν πλέον δυνατόν να μιμηθεί κανείς τον Cauchy και να προσπαθήσει να κυβερνήσει τον κόσμο των μαθηματικών με φανατική εργασιακή συμπεριφορά και να ελέγξει ένα συγκεντρωτικό σύστημα εκδόσεων. Στον 20ο αιώνα, ο φιλόδοξος μαθηματικός έπρεπε να παράγει αποτελέσματα που να βρίσκουν εφαρμογή σε πολλούς τομείς των μαθηματικών. Ο σκοπός ήταν η δόμηση συστημάτων σε ένα υψηλά αφαιρετικό επίπεδο. Το μοντέρνο ενδιαφέρον για τις θεμελιώδεις αρχές των μαθηματικών είναι ένα αποτέλεσμα αυτού του δομικού χαρακτηριστικού της μαθηματικής κοινότητας.

Παρ’ όλες τις δομικές αλλαγές, η μηχανή της μαθηματικής καινοτομίας συνεχίζει να τροφοδοτείται από επιθετική και ανταγωνιστική συμπεριφορά. Αυτό που έχει αλλάξει είναι ότι αυτή η συμπεριφορά βασίζεται τώρα σε συλλογικές, οργανωτικές δομές. Ο δημιουργός μιας επιτυχημένης αυτοκρατορίας δεν μπορεί πλέον δημιουργήσει μια προσωπική αυτοκρατορία. Πρέπει να δράσει πολιτικά και να δημιουργήσει οργανώσεις. Η ακραία ευγένεια, η απόδοση εκτίμησης σε άλλους, η παρότρυνση στους άλλους να δουλέψουν σε συγκεκριμένες κατευθύνσεις και μια συλλογική οργανωτική συνείδηση αποτελούν, γενικά, αναγκαιότητα για την επιτυχία στο μοντέρνο περιβάλλον. Δεν ισχυριζόμαστε ότι ο κολεκτιβισμός και ο αλτρουισμός πρέπει να εφαρμοστούν χωρίς όρια. Εάν τα άτομα που ανήκουν σε κάποιου τη σχολή είναι αναγνωρισμένοι για τις ανακαλύψεις τους, οι αντίπαλες σχολές αντιμετωπίζονται με λιγότερη επιείκεια. Αυτό συμβαίνει κυρίως για τις ανταγωνιστικές σχολές, όπως το ινστιτούτο του Brouwer, που εμφανίστηκε για να αντικρούσει τους οργανωτικούς. Ακόμα και το κίνημα των αντι-οργανωτικών έγινε μία ανταγωνιστική οργάνωση υπό το κλίμα των μοντέρνων συνθηκών.

Η εποχή των δημιουργών οργανώσεων επιβάλει τα ιδανικά του αλτρουισμού, της σεμνότητας, της αφιέρωσης σε συλλογικούς σκοπούς και ενός προσανατολισμού προς τους υπερβατικούς σκοπούς - «για τη δόξα του ανθρώπινου πνεύματος», χρησιμοποιώντας τα λόγια των Hilbert και Weil. H εικόνα της επιστήμης του Merton βασίζεται στα ιδανικά του 20ου αιώνα. Υποκείμενη σε αυτά τα ιδανικά είναι μια δομή συλλογικού ανταγωνισμού μέσα από τον οποίο φιλόδοξα άτομα μπορούν να επιτύχουν μόνο με το να παρουσιάσουν τους εαυτούς τους ως ανιδιοτελείς εκπρόσωπους της επιστημονικής ομάδας - εν συντομία, ως άγιους πνευματικούς πολιτικούς.

ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑ

Η βασική γραμμή ανάπτυξης στην επίλυση των μαθηματικών προβλημάτων του Δυτικού κόσμου περιελάμβανε μια αυξημένη συνειδητοποίηση ότι τα επίπεδα της αφαίρεσης δημιουργούνται από τους ίδιους τους μαθηματικούς. Ένα από τα πρώτα βήματα σ’ αυτήν την κατεύθυνση έγινε όταν οι Ευρωπαίοι μαθηματικοί άρχισαν να χρησιμοποιούν τους αρνητικούς αριθμούς (αντί να απορρίπτουν τις αρνητικές ρίζες, όπως κάνανε οι Ινδουιστές, οι Άραβες, οι Ισλαμιστές και οι Ευρωπαίοι μαθηματικοί του μεσαίωνα). Αργότερα, συνειδητοποιήσανε ότι οι φανταστικοί αριθμοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν παρόλο που φαίνονται παράλογοι. Ο Gauss εφάρμοσε μια νέα βάση για την μοντέρνα άλγεβρα δημιουργώντας ένα σύστημα αναπαράστασης για τους μιγαδικούς αριθμούς. Τα ανώτερα μαθηματικά του 19ου αιώνα ξεκίνησαν από εκείνο το σημείο. Τουλάχιστον κάποιοι μαθηματικοί κατανόησαν τελικά ότι δεν ήταν δεμένοι σε κοινής λογικής αναπαραστάσεις του κόσμου αλλά ότι οι μαθηματικές έννοιες και τα συστήματα μπορούσαν σκόπιμα να δημιουργηθούν. Οι καινούριες, πιο γενικές γεωμετρίες (προεξέχων, μη-Ευκλείδεια) κατέστησαν δημοφιλές αυτό το σημείο και προκάλεσαν τη δημιουργία νέων αλγεβρών και πιο γενικευμένων μορφών μαθηματικής ανάλυσης. Όλα αυτά αντανακλούσαν την αναπτυσσόμενη κλειστότητα του Ευρωπαϊκού μαθηματικού κόσμου.

Τα αντικείμενα με τα οποία ασχολούνται τα μοντέρνα μαθηματικά είναι, ανεξάρτητα από την εμφάνισή τους, πραγματικά - με την πλήρη έννοια της λέξης. Δεν είναι απλά «πράγματα» όπως πιστευόταν κάποτε αλλά μάλλον λειτουργίες, ενέργειες που οι μαθηματικοί εκτελούν. Ο φανταστικός αριθμός i, για παράδειγμα, αποτελεί συντομογραφία για μια πραγματική ενέργεια, τη λειτουργία της εξαγωγής μιας τετραγωνικής ρίζας από έναν αρνητικό αριθμό. Αυτή η λειτουργία, φυσικά, δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί. Όμως οι μαθηματικοί έχουν από καιρό συνηθίσει να δουλεύουν προς τα πίσω από μια λύση που δεν έχει βρεθεί ακόμα στις προϋποθέσεις συμβολίζοντας τη λύση με τη χρήση μιας αυθαίρετης μεταβλητής «x». Αυτό το σύμβολο αντιπροσώπευε το αποτέλεσμα μιας φανταστικής λειτουργίας. Ο φανταστικός αριθμός i, τότε, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως η βάση για άλλες μαθηματικές λειτουργίες, αν και η διαδικασία της παραγωγής του δεν θα μπορούσε ποτέ να εκτελεστεί στην πραγματικότητα.

Οι έννοιες της συνάρτησης, της ομάδας, κλπ. είναι όλες λειτουργίες με διαφορετικούς βαθμούς πολυπλοκότητας. Ένας ολόκληρος φυσικός αριθμός είναι επίσης μια λειτουργία - η λειτουργία της μέτρησης (και πιθανόν άλλες λειτουργίες για των οποίων τη φύση οι μοντέρνοι μαθηματικοί ακόμα μπερδεύονται). Η αλήθεια ότι τα μαθηματικά αντικείμενα δεν αποτελούν απλά πράγματα αλλά λειτουργίες δε σημαίνει ότι δεν είναι επίσης πράγματα. Στην πραγματικότητα, η ικανότητα των μοντέρνων μαθηματικών να αντιμετωπίζουν τις λειτουργίες ως πράγματα, ως μονάδες, σε μια αλληλουχία αναλύσεων βρίσκεται στην αρχή της απογείωσης για ανώτερες αφηρημένες σφαίρες τις οποίες έχουν εκτελέσει. Οι λειτουργίες, με άλλα λόγια, έχουν αποκρυσταλλωθεί σε νέα σύμβολα τα οποία μπορούν τότε να τα χειριστούν σαν να ήταν πράγματα.

Μια διαδικασία αναπαράστασης κάτι αφηρημένου ως ύλη συνόδευσε την εμφάνιση της συνειδητοποίησης ότι οι αφαιρετικές γενικεύσεις είναι δημιουργίες των μαθηματικών. Έτσι, τα μαθηματικά βασίστηκαν πάνω στον εαυτό τους ιεραρχικά αντιμετωπίζοντας τις λειτουργίες ως οντότητες πάνω στις οποίες άλλες λειτουργίες μπορούν να εκτελεστούν. Η Δυτική μόδα στο συμβολισμό, τότε, δεν είναι ένα «τυχαίο» χαρακτηριστικό της μοναδικότητας των μαθηματικών της Δύσης. Ο συμβολισμός δημιουργήθηκε ακριβώς διότι η μαθηματική κοινότητα πίεζε προς ένα υψηλό βαθμό αυτογνωσίας τον οποίο υπαινίχτηκα.

Τα μαθηματικά, όπως άλλες μοντέρνες δραστηριότητες, επηρεάστηκαν από εξειδίκευση σε ένα επίπεδο άγνωστο και αδύνατο στις προηγούμενες ιστορικές περιόδους. Ως αποτέλεσμα, η «προκαλούσα δύναμη» των ίδιων των μαθηματικών στη σχέση τους ανάμεσα στις μαθηματικές και άλλες κοινωνικές δραστηριότητες είχε αυξηθεί σταθερά. Οι μαθηματικές ιδέες είχαν έντονα γίνει η γεννήτρια βάση για νέες μαθηματικές ιδέες. Το σκηνικό της δουλειάς και το κατεστημένο περιβάλλον της μαθηματικής δράσης έγινε ένα κοινωνικό θεμέλιο μιας ανώτερης τάξης από αυτή του κοινωνικού θεμελίου της συνεχιζόμενηςπαραγωγικής διαδικασίας. Τα μαθηματικά συνεχίζουν να είναι κοινωνικά ριζωμένα μέσα στην μαθηματική κοινότητα. Είναι ιδιαίτερα σημαντικό να αναγνωρίσουμε την κοινωνική φύση των συμβόλων που δημιούργησαν οι μαθηματικοί για να επικοινωνούν μεταξύ τους.

Η ανάπτυξη των ανώτερων μαθηματικών στη Δύση, τότε, αποτελεί μια κοινωνική ανάπτυξη. Επειδή τα αντικείμενα με τα οποία ασχολούνται οι μαθηματικοί είναι μαθηματικές λειτουργίες. Στο να χτίσουν πάνω σε λειτουργίες που υπάρχουν ήδη και να τις μετατρέψουν σε συμβολικές ποσότητες πάνω στις οποίες μπορούν να γίνουν περαιτέρω λειτουργίες, οι μαθηματικοί χτίζουν συναισθητά πάνω σε προηγούμενες ενέργειες της πνευματικής τους κοινότητας. Τα μαθηματικά έτσι ενσωματώνουν την ίδια την κοινωνική τους ιστορία και τη χρησιμοποιούν ως τη βάση πάνω στην οποία κατασκευάζονται οι ενέργειες της τωρινής κοινότητας.

Τα μαθηματικά της Δύσης εξαρτώνται λοιπόν από ένα συγκεκριμένο είδος μακροχρόνιας οργάνωσης της πνευματικής τους κοινότητας. Αυτή είναι μια οργάνωση στην οποία διατηρούνται ισχυρές συνδέσεις ανάμεσα στις γενιές και μάλιστα σε μία αρκετά ανταγωνιστική και συνειδητή μορφή. Οι καινούριες προσπάθειες να καταναλωθεί ανταγωνιστικά το παλιό. Οι σημαντικοί συνδετικοί κρίκοι μεταξύ των δασκάλων και των μαθητών τους τυπικά υπήρχαν σε κάθε Ευρωπαϊκή μαθηματική κοινότητα, μαζί με ισχυρό εξωτερικό ανταγωνισμό ανάμεσα σε διαφορετικές μαθηματικές γενεαλογίες, αποτέλεσαν την κοινωνική βάση γι’ αυτό το πρότυπο. Αφού το πρότυπο της ανταγωνιστικής συναίσθησης είχε αποκατασταθεί, ακόλουθοι γύροι ανταγωνισμού μπορούσαν μόνο να κλιμακώσουν το βαθμό της αυτοεξέτασης και της εφευρετικότητας ανάμεσα στους μαθηματικούς. Έξω από αυτή την κατάσταση αναπτύχθηκαν τα υπεραντανακλαστικά ενδιαφέροντα για την έρευνα των θεμελίων του 20ου αιώνα.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

Οι περιπτώσεις που αναφέρονται εδώ, δεν αποτελούν απλές περιγραφές των προσωπικοτήτων κάποιων ατόμων. Οι προσωπικότητες ως ένα βαθμό διαμορφώνονται και αντανακλούν συνθήκες εργασίας και οι σοβαροί άνθρωποι του πνεύματος επενδύουν ένα μεγάλο κομμάτι του εαυτού τους, του χρόνου τους και της ενέργειάς τους στη δουλειά τους. Ούτε είναι οι περιπτώσεις τετριμμένες, ένα «ξέπλυμα άπλυτων» που γίνεται δημόσια, ή συμπτώσεις της ιστορίας του πνεύματος. Η γενική λύση για την εξίσωση τρίτου βαθμού ήταν ένα σημαντικό γεγονός για την εποχή του. Σηματοδότησε την πρώτη φορά που οι Ευρωπαίοι επιστήμονες έλυσαν ένα πρόβλημα το οποίο οι αρχαίοι Έλληνες δεν είχαν καταφέρει να λύσουν. Με αυτή την έννοια, το Ars Magna του Cardan μπορεί εύλογα να θεωρηθεί ως η αρχή της Επιστημονικής Επανάστασης. Επίσης εγκαινιάζει μια εποχή νέων αλγορίθμων και μια τάση για όλο και ψηλότερα επίπεδα αφαίρεσης. Οι Leibniz και Nεύτωνας ασχολήθηκαν με την ανάπτυξη των βασικών μεθόδων της μαθηματικής ανάλυσης. Ανοίξανε νέες προοπτικές για τους μαθηματικούς και εγκαθιδρύσανε τα θεμέλια για τα περισσότερα από τα μαθηματικά του 18ου αιώνα. Οι Cauchy, Abel και Galois ανέπτυξαν τη θεωρία των συνόλων και εισήγαγαν νέες αφαιρετικές μεθόδους και αυστηρές αποδείξεις, που αποτέλεσαν το κλειδί για τα μεγάλα επιτεύγματα στο χώρο των μαθηματικών που έγιναν το 19ο αιώνα. O τρόπος με τον οποίο ο Cantor πραγματευόταν το άπειρο σηματοδότησε την αρχή μιας περιόδου στην οποία θεμελιώδεις έννοιες έγιναν επίκεντρο του μαθηματικού ενδιαφέροντος και, ως επακόλουθο, των μαθηματικών εργασιών. Οι Hilbert, Russell και Bourbaki ήταν οι βασικοί συστηματίες των μαθηματικών ολόκληρης της περιόδου μετά τον Ευκλείδη και μαζί με τους αντι-συστηματίες αντιπάλους τους (Brouwer, Gφdel) ίδρυσαν τις σημαντικότερες σχολές μαθηματικών του 20ου αιώνα.

Οι αμφισβητήσεις δεν ανάγονται σε ένα απλό ζήτημα από πολλαπλές ανακαλύψεις και φιλονικίες για την πρωτοτυπία και την κυριότητα αυτών. Η περίπτωση των Νεύτωνα και Leibniz περιελάμβανε τέτοια θέματα, αλλά βρίσκουμε επίσης σκάνδαλα σχετικά με παραβίαση της μυστικότητας (Cardan και Tartaglia), παρεμπόδιση αντίθετων ιδεών (Cauchy, Poisson, Abel και Galois), πλήρη οικειοποίηση των ιδεών των άλλων κάτω από το όνομα κάποιου άλλου (l’Hospital, Gregory, Bernoulli), εθνική αποκλειστικότητα των ιδεών (το επακόλουθο της φιλονικίας των Νεύτωνα και Leibniz) και φατριαστικές διαμάχες για τον έλεγχο των πανεπιστημιακών θέσεων, των περιοδικών και των επιστημονικών ενώσεων (Cantor και Kronecker). Εάν δε ταιριάζει το μοντέλο του Merton, ούτε το μοντέλο του Kuhn ταιριάζει. Σε καμιά περίπτωση δεν αντικρίζουμε μια μαθηματική αλλαγή επικεντρωμένη σε ένα αγώνα ανάμεσα σε αντιδραστικούς παραδοσιακούς και νεωτεριστές. Επιπλέον, η μακροχρόνια τάση στα Δυτικά μαθηματικά δεν ήταν προς ένα μοναδικό, επικρατών παράδειγμα, αλλά μάλλον προς ανταγωνιστικές σχολές που δε συμφωνούσαν για θεμελιώδη ζητήματα σχετικά με τις χρησιμοποιούμενες μεθόδους και τη γνώση. Εάν τα μαθηματικά είναι η πιο «προηγμένη» από τις επιστήμες, μετακινήθηκαν, όταν έγιναν «ώριμα», σε μεγαλύτερο πλουραλισμό παραδειγμάτων από οποιαδήποτε άλλη περίοδο στην ιστορία τους. Έτσι, άρχισε να μοιάζει με τις κοινωνικές επιστήμες ή άλλους προσποιητά «παραδειγματικούς» τομείς περισσότερο από την εικόνα που δίνει ο Kuhn για την επιστήμη.

Τα σκάνδαλα και οι αμφισβητήσεις που εξετάσαμε και οι πνευματικές εξελίξεις που σχετίζονταν με αυτές αναλύονται καλύτερα με τους όρους των αλλαγών που αναδεικνύουν στις οργανωτικές μορφές. Η διαμάχη των Cardan και Tartaglia σηματοδοτεί την αρχή της κατάρρευσης της πατριαρχικής οργάνωσης της πνευματικής ιδιοκτησίας και στο σύστημα των διαγωνισμών ανάμεσα στους μαθηματικούς. Η μυστικότητα των γενικών μεθόδων και η δημοσιοποίηση συγκεκριμένων προβλημάτων και των λύσεών τους έδωσαν τη θέση τους σε πνευματικό ανταγωνισμό σε πιο αφαιρετικές έννοιες. Η αμφισβήτηση μεταξύ Νεύτωνα και Leibniz αποκαλύπτει μια στροφή από τις παραδοσιακές μορφές πατρωνίας σε πιο μόνιμη κρατική πατρωνία μέσα από οργανωμένες ακαδημίες και μια αντίστοιχη στροφή από ένα ανεπίσημο δίκτυο επικοινωνίας που συνδεόταν μέσω «κέντρων μηνυμάτων» στην πιο απρόσωπη αρένα των επιστημονικών περιοδικών. Τα σκάνδαλα των Abel και Galois στη Γαλλική Ακαδημία, από την άλλη, δείχνουν την εξασθένιση της συγκεντρωτικής πατρωνίας στα πνευματικά ιδρύματα και την άνοδο των με κατεύθυνση την έρευνα πανεπιστημίων. Και οι διαμάχες των Cantor και Kronecker εμφανίστηκαν σε μία περίοδο, που το σχετικά μικρό, κυριαρχημένο από μια ελίτ πανεπιστημιακό δίκτυο επεκτεινόταν σε μια μεγάλη παγκόσμια μαθηματική κοινότητα.

Σε κάθε περίπτωση, οι φιλόδοξοι πνευματικοί που επιδίωκαν μονοπάτια προσωπικών συμφερόντων για δόξα και περιουσία εκμεταλλεύονταν οποιαδήποτε οργανωτικά μέσα πρόσφεραν οι νέες συνθήκες. Η εμφάνιση των «άγιων πολιτικών» είναι μία πηγή των ιδανικών που λανθασμένα ο Merton αναγνώρισε ως τα παγκόσμια πρότυπα της επιστήμης. Αλλά ακόμα και στον 20ο αιώνα, ο ανταγωνισμός για το προσωπικό συμφέρον αποτελεί ακόμα τη ρίζα της επιστημονικής προόδου. Οι δομικές συνθήκες έχουν μερικώς αναγκάσει τους φιλόδοξους πνευματικούς να ανταγωνίζονται σε συλλογικό παρά σε ατομικό επίπεδο. Όπως οι καπιταλιστές του 19ου αιώνα στη βιομηχανία, οι πνευματικοί ληστο-αριστοκράτες δεν εξαφανίστηκαν αλλά άλλαξαν τον τύπο τους. Στο βαθμό που οι πνευματικές κοινότητες είχαν γίνει πλουραλιστικές, η βίαιη ληστο-αριστοκρατική συμπεριφορά περικόπηκε. Σε κάποιο βαθμό, οι συλλογικές μορφές καλύπτουν μια τέτοια συμπεριφορά. Ο «άγιος πολιτικός» είναι ο «πολιτισμένος» ληστο-αριστοκράτης.

Η εποχή των άγιων πολιτικών δεν είναι απαλλαγμένη από σκάνδαλα. Τα σημαντικότερα σκάνδαλα των πρόσφατων χρόνων δεν έχουν εμφανιστεί στα μαθηματικά, αλλά στις βιο-ιατρικές επιστήμες (Broad και Wade, 1983). Μερικές περιελάμβαναν κατασκευή αποτελεσμάτων, άλλα την υποκλοπή εργασιών από κριτές κατά τη διαδικασία της επιθεώρησης για τη δημοσίευση σε περιοδικό. Κάποιοι επιστήμονες εκμεταλλεύτηκαν το μεγάλο αριθμό των δημοσιεύσεων για να εκδώσουν την έρευνα άλλων επιστημόνων με διαφορετικό τίτλο. Με δεδομένο τον υπερβολικό διαχωρισμό των ειδικοτήτων στα μαθηματικά και το χαμηλό αριθμό του αναγνωστικού κοινού για τα περισσότερα άρθρα (Hagstrom, 1964), τέτοια σκάνδαλα μπορεί να εμφανίστηκαν και στα μαθηματικά. Ο διαχωρισμός είναι τόσο έντονος που δεν θα έγιναν αντιληπτά. Η φήμη και η πνευματική πρόοδος σε μια επιστήμη, πάντως, δε μπορεί να επιτευχθεί χωρίς την προσέλκυση προσοχής. Η έλλειψη μεγάλων σκανδάλων ή βίαιων αμφισβητήσεων υποδηλώνει ότι η μαθηματική κοινότητα δεν υποβάλλεται σε σημαντικές οργανωτικές αλλαγές - τουλάχιστον δε βρίσκεται σε μια οργανωτική καμπή.

Τα μαθηματικά και άλλες επιστήμες δε χρειάζεται να ακολουθήσουν οργανωτικά στάδια όπως αυτά που περιγράψαμε. Οι ανταγωνιστικές προκλήσεις της Αναγεννησιακής Ιταλίας, οι ακαδημίες του 16ου και του 17ου αιώνα, οι αναμορφώσεις στο Γερμανικό πανεπιστήμιο στις αρχές του 18ου αιώνα, όλα είχαν συγκεκριμένες ιστορικές αιτίες που εισέβαλλαν στην πνευματική ζωή. Άλλοι συνδυασμοί συνθηκών μπορεί να παρήγαγαν μια διαφορετική ακολουθία. Για παράδειγμα, αν και η μυστικότητα για τις μεθόδους αποτελούσε χαρακτηριστικό των μαθηματικών σε σχετικά πρώιμες περιόδους της εξέλιξης τους σε διάφορους πολιτισμούς και υπερκαλύφθηκε από δημόσιο ανταγωνισμό και πρόοδο στις ίδιες τις μεθόδους, δεν υπάρχει κανένας λόγος για να πιστέψουμε ότι η μυστικότητα δε μπορεί να γίνει «κανόνας» στο μέλλον. Βλέπουμε τις τρέχουσες ενδείξεις αυτής της πιθανότητας με τη μορφή των κυβερνητικών προσπαθειών να μετατρέψουν όλη τη μαθηματική πρόοδο σχετικά με την κρυπτογραφία σε «απόρρητες πληροφορίες».

Η φύση και η διαθεσιμότητα των οργανωτικών και υλικών μέσων μπορεί να μεταβάλλει την οργανωτική δομή των μαθηματικών. Εάν τα μαθηματικά εξαρτώνται όλο και περισσότερο από στρατιωτική χρηματοδότηση ή από ακριβούς υπολογιστές, μπορεί να βιώσουν μια τέτοια οργανωτική στροφή. Η παλιά πατριαρχική οργάνωση της πνευματικής ιδιοκτησίας μπορεί να επανεμφανιστεί εάν τα μαθηματικά εγκατασταθούν κυρίως σε δημόσια εργαστήρια, όπου οι ανακαλύψεις αντιμετωπίζονται ως εταιρική και όχι ως προσωπική ιδιοκτησία.9 Δε μπορούμε να περιμένουμε ότι οι οργανωτικές εξελίξεις στην επιστήμη θα ακολουθήσουν μια απλή γραμμική εξέλιξη. Αυτή η ανάλυση δηλώνει, πάνω απ’ όλα, ότι η ανάπτυξη της μαθηματικής γνώσης, ριζωμένη όπως είναι σε οργανωτικές μορφές, θα ακολουθήσει αυτές τις μορφές και δε θα εμφανίσει μια απλή λογική εξέλιξη σύμφωνα με κάποιου τύπου «εσωτερική λογική» (MacKenzie, 1981).

Η πρόκληση για την κοινωνιολογική θεωρία είναι να δημιουργηθούν γενικευμένες ερμηνείες από την ανάλυση των μεμονωμένων συμβάντων όπως αυτά που αναφέρθηκαν παραπάνω. Ούτε η θεωρία του Merton ούτε η θεωρία του Kuhn μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την πρόβλεψη των πνευματικών αλλαγών. Το μοντέλο του Kuhn προτείνει μόνο ότι τα κυρίαρχα παραδείγματα έσπασαν τελικά κάτω από τη συσσώρευση εμπειρικών ανωμαλιών. Το μοντέλο του Merton είναι ακόμα πιο αδύνατο επειδή περιγράφει ένα στατικό σύνολο από κανόνες και δεν προτείνει μεταβλητές που θα επηρέαζαν την πνευματική παραγωγικότητα.

Ένα μοντέλο που φαίνεται να είναι σύμφωνο με τα δεδομένα μας είναι η το μοντέλο των συνόλων θεωρημάτων που προτάθηκε από τους Griffith και Mullins (Griffith, 1972; Mullins, 1973). O Leibniz ήταν ένας δημιουργός συνόλων θεωρημάτων. Ήταν τόσο ένας πνευματικός όσο και ένας οργανωτικός ηγέτης. Οι Bernoullis και ο l’Hospital εξασφάλισαν κέντρα εκπαίδευσης στη Basle και το Παρίσι και ένα επίσημο θέμα. Όλα αυτά αποτελούσαν αυτό που οι Griffith και Mullins αποκαλούσαν «στάδιο του δικτύου». Οι Αγγλικές επιθέσεις στη σχολή του Leibniz και οι αντεπιθέσεις και ο αυξανόμενος δογματισμός κατά την περίοδο 1700-1720 είναι ακριβώς αυτά που προβλέπει το μοντέλο για το «στάδιο της ομαδοποίησης». Οι διάρκειες αυτών των σταδίων είναι περίπου σύμφωνες με τα ευρήματα του Mullin για τα σύνολα θεωρημάτων του 20ου στις κοινωνικές επιστήμες και σε άλλους τομείς. Το μοντέλο μπορεί να ολοκληρωθεί με μια πιο γενική προοπτική για την επιστημονική καινοτομία εάν μπορούσε να επεκταθεί για να περιγράψει τη δομή των αντίπαλων συνόλων θεωρημάτων και τις μακροχρόνιες ακολουθίες μέσω των οποίων κινούνται.

Η ένταση της επιστημονικής δημιουργικότητας είναι μεγαλύτερη κατά τη διάρκεια σημαντικών στροφών προς νέες οργανωτικές μορφές που συνθέτουν ενέργειες και επικοινωνία. Αυτές οι ίδιες οργανωτικές στροφές είναι επίσης ένα σημαντικότατο αίτιο των επιστημονικών σκανδάλων. Έτσι, εποχές χωρίς σκάνδαλα είναι πιθανό να είναι ήρεμες από πλευράς πνευματικής εξέλιξης. Τα αποτελέσματα των διαφόρων βαθμίδων και ειδών ανταγωνισμού και τα αποτελέσματα συγκεκριμένων καθιερωμένων διακανονισμών για το περιεχόμενο της πνευματικής δημιουργικότητας παραμένουν όχι τόσο καλά καθορισμένες και απαιτείται να ραφιναριστούν και να δηλωθούν επίσημα για περαιτέρω αναλύσεις. Μια τέτοια θεωρία θα εύρισκε εφαρμογή όχι μόνο στα μαθηματικά, αλλά με τις κατάλληλες μετατροπές σε όλες τις θεωρητικές επιστήμες.

ΤΑ ΑΦΡΙΚΑΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΕΘΝΟΛΟΓΙΑΣ

Η γνώση μας για τη μαθηματική δουλειά στην Αφρικανική Σαχάρα περιέχεται ολόκληρη στο έργο της Claudia Zaslavsky (1973) Africa Counts. Υπερασπίζεται τα μαθηματικά, ακολουθώντας τον Hogben (1940: 9), αναφέροντας «... η τεχνική της ανακάλυψης και μεταφοράς με τον πιο οικονομικό δυνατό τρόπο χρήσιμων κανόνων αξιόπιστης λογικής για τους υπολογισμούς, τις μετρήσεις και την εξέλιξη» (Zaslavsky, 1973: 6).

Η δουλεία της Zaslavsky δείχνει ότι εάν και οι εκφράσεις για το 3 και το 4 για τους Bushmen (φυλή της Αφρικής) και άλλες φυλές σημαίνουν «πολλά», αυτό δε συνεπάγεται ότι το μέτρημα δεν προχωράει πέρα από το 3 και το 4. Οι λέξεις για το ένα, το δύο ή το τρία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για το μέτρημα πάνω από το τρία. Χρησιμοποιούνται επίσης χειρονομίες, κυρίως για να δοθεί έμφαση στη λέξη «πολλά». Οι Yοruba που χρησιμοποιούσαν ένα μικρής αξίας νόμισμα ως τη βάση της αριθμητικής τους, έδειξαν αξιοσημείωτο ταλέντο στη διεξαγωγή εμπορίου ανάμεσα στα χωριά. Και μπορούσαν να μετρήσουν ως το ένα εκατομμύριο.

Στην πλειοψηφία τους τα συστήματα μέτρησης στις στοιχειώδεις Αφρικανικές οικονομίες ήταν μοναδιαία. Το δέκα και το είκοσι χρησιμοποιήθηκαν ως δευτερεύοντες βάσεις καθώς οι οικονομίες και ως επακόλουθο τα συστήματα αρίθμησης αναπτύσσονταν. Όταν ξεκίνησε η επίσημη μόρφωση, το μήκος των αριθμητικών εκφράσεων μειώθηκε για να διευκολυνθεί η διδασκαλία και η μάθηση. Η κατασκευή του Soho για το 99, για παράδειγμα, ήταν αρχικά «δεκάδες που έκλειναν το ένα δάχτυλο που είχαν μονάδες που έκλειναν το ένα δάχτυλο». Αυτό ελαττώθηκε στο «εννιά δεκάδες με μια βάση που είναι εννιά» (Zaslavsky, 1973: 38).

Οι διαδεδομένες προκαταλήψεις εναντίον της μέτρησης ανθρώπων, ήμερων ζώων και τιμαλφή είχαν καταστρατηγηθεί στις παραδοσιακές Αφρικανικές κοινότητες εφαρμόζοντας ένα προς ένα αντιστοίχηση με τη χρήση κάποιου είδους συσκευής μέτρησης. Ένα άλλο χαρακτηριστικό αυτών των συστημάτων μέτρησης, που μπέρδεψε κάποιους παρατηρητές, είναι το ότι συχνά φέρνουν κέρδη στο ίδιο του σύστημα μέτρησης. Εκτός του αν ο παρατηρητής είναι γνώστης, το μέτρημα σε οικονομικές συναλλαγές εμφανίζεται υπερβολικά μπερδεμένο.

Τα περισσότερα Αφρικανικά χειρόγραφα, όπως οι δουλειές του αστρονόμου του 18ου αιώνα, μαθηματικού και αστρολόγου Muhammad ibn Muhammad, και του δασκάλου του Muhammad Alwali του Bogirmi, δεν έχουν διασωθεί. Όμως γνωρίζουμε από διάφορες πηγές ότι υπήρχαν σημαντικά κέντρα μάθησης στην Σαχάρα. Το Timbuktu αποτελούσε ένα τέτοιου είδους κέντρο από τις αρχές του 14ου αιώνα έως τις αρχές του 18ου. Εκείνη την εποχή, υποκαταστάθηκε από την Katsina, μια πολιτεία των Hausa (φυλή νέγρων του Σουδάν) στην βόρεια Νιγηρία. Εκεί ήταν το σπίτι του Muhammad ibn Muhammad. Τα κέντρα αυτά ήταν κυριαρχημένα από την Ισλαμική θεολογία και παράδοση. Δεν υπάρχει καμία απόδειξη ότι κάποια πρωτότυπη εργασία σε «καθαρά» μαθηματικά έγινε σ’ αυτά τα κέντρα. Το εάν οι Μουσουλμάνοι Αφρικανοί ήταν ανάμεσα στους μαθηματικούς στις Ισλαμικές πόλεις στην Ισπανία, την Αίγυπτο και την Ασία δεν είναι γνωστό. Θα έπρεπε να είχαν αραβικά ονόματα και οι δουλειές τους θα είχαν γραφτεί στα Αραβικά. Δεν υπάρχει τίποτα γνωστό για μη Μουσουλμανικές συνεισφορές (Zaslavsky, 1973: 275-276).

ΤΟ ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Υπήρχαν λίγες δυνατότητες στην Αφρικανική Σαχάρα για την ανάπτυξη σταθερών αγροτικών και αστικών κοινοτήτων ή για την εγκαθίδρυση ενός εκτεταμένου δικτύου εμπορίου. Το επίπεδο της Δυτικοαφρικάνικης κουλτούρας ήταν ανώτερο από αυτό της βόρειας Ευρώπης το 15ο αιώνα. Όμως γενικά, η πυκνότητα του πληθυσμού στην Αφρικανική Σαχάρα ήταν πολύ μικρή. Οι μετακινήσεις των φυλών στην αναζήτηση για καλύτερη γη ήταν συχνές. Και όταν μετακινούνταν, η ερημιά επανερχόταν, βοηθώντας τις φυλές να μένουν απομονωμένες. Το φτωχό έδαφος και η μαλάρια ήταν ενδημικά σε μερικές περιοχές. Ψηλά βουνά, έρημοι, δάση και μη πλωτά ποτάμια και η έλλειψη λιμανιών όλα απέτρεπαν τη σταθερότητα και το εμπόριο μεγάλης κλίμακας.

Ακόμα και εκεί που άνθισαν αυτοκρατορίες, όπως στη Δυτική Αφρική, οι κάτοικοι της ενδοχώρας παρέμειναν σε ένα χαμηλό επίπεδο. Σχετικά σταθερές κοινότητες εμφανίστηκαν μόνο τους τελευταίους αιώνες, κυρίως στις ανατολικές και δυτικές περιοχές της ηπείρου. Αλλά ακόμα και τότε, οι εισβολές, το εμπόριο των σκλάβων, οι θρησκευτικές αποστολές και οι ιμπεριαλιστικές πολιτικές συνέβαλλαν για την αστάθεια, καταστρέφοντας τρόπους ζωής και σκέψης στην Αφρική. Έτσι η Αφρικανική Σαχάρα δεν είχε ούτε καν τις πιο θεμελιώδεις κοινωνικές και υλικές συνθήκες απαραίτητες για την εμφάνιση ανάπτυξης των μαθηματικών της επιβίωσης σε επίπεδο που είχε επιτευχθεί για παράδειγμα, στην Κίνα.

Όπως είπε η Zaslavsky για την Αφρική, και ο Ascher (1986, 1991) πιο γενικά για τους εθνομαθηματικούς, δεν υπάρχει καμία ένδειξη για «στοιχειώδεις γνώσεις» σε αυτές τις περιπτώσεις. Αλλά στην Σαχάρα και κάποιες άλλες εθνομαθηματικές παραδόσεις, οι συνθήκες για να γίνουν κέντρα «μαθηματικών ζυμώσεων» δεν υπήρχαν (Zaslavsky, 1973: 273). Οι διαφορές ανάμεσα σ’ αυτές τις «περιφερειακές» κοινωνίες και τα «κέντρα» όπως η Κίνα, η Κεντρική Αμερική, ο Αραβικός-Ισλαμικός κόσμος, η Ελλάδα και η Ινδία οφείλονται στα χαρακτηριστικά χαμηλά επίπεδα εμπορικών συναλλαγών και ανάπτυξης.

ΟΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΗΣ ΣΚΕΨΗΣ

Η σχέση ανάμεσα στις πρώιμες και μοντέρνες μεθόδους της σκέψης αποτέλεσε βασικό ζήτημα για την ανθρωπολογία από τότε που ο Durkheim και οι φοιτητές του ξεκίνησαν την μελέτη για μια στοιχειώδη ταξινόμηση και συλλογικές αναπαραστάσεις. Η κοινωνιολογία των μαθηματικών αποτελεί μία έννοια αυτής της προς εξέταση περιοχής στο βαθμό που εστιάζει στο πρόβλημα της επεξήγησης ποια είναι εκείνα τα γεγονότα που τα κατονομάζουμε «καθαρά» νοητικά χρησιμοποιώντας κοινωνικούς και υλικούς όρους. Με αυτήν την έννοια, τότε, η κοινωνιολογία των μαθηματικών αποτελεί μια ειδική περίπτωση της γενικής θεωρίας των συλλογικών αναπαραστάσεων και αυτό το βιβλίο είναι μια συνεισφορά σε αυτή τη γενική θεωρία. Είναι φυσικό να σκεφτούμε τα προβλήματα των «μεθόδων της σκέψης» ιδιαίτερα, με σκοπό να υπογραμμίσουμε τη σύνδεση ανάμεσα στην κοινωνιολογία των μαθηματικών και τη θεωρία των συλλογικών αναπαραστάσεων.

Υπάρχουν τρεις θεμελιώδεις τρόποι με τους οποίους οι ερευνητές συλλαμβάνουν τη σχέση μεταξύ των αρχικών και των μοντέρνων μεθόδων σκέψης. Ο ένας είναι ότι στέκονται στην εξελικτική σχέση - η μοντέρνα μέθοδος σκέψης είναι πιο λογική και πιο ανεπτυγμένη και πολύπλοκη από την παλιά. Ο δεύτερος είναι ότι δεν έχουν κοινό μέτρο μέτρησης - υπάρχουν, για παράδειγμα, εναλλακτικές λογικές. Ο τρίτος είναι ότι δεν υπάρχει καμία σημαντική διαφορά ανάμεσα στις παλιές και στις μοντέρνες μεθόδους της σκέψεις σε σχέση με τους όρους των αρχών λειτουργίας των. Ας κοιτάξουμε πρώτα το δεύτερο τρόπο, ο οποίος μερικές φορές αποκαλείται «δυισμός».

Ο Alfred Kuhn (1977) και άλλοι βλέπουν τον κόσμο σαν να αποτελείται από δύο βασίλεια - το βασίλειο των προτύπων ή της πληροφορίας και το βασίλειο της ύλης ή της ύλης-ενέργειας. Και τα δύο βασίλεια μπορούν να αντιμετωπιστούν επιστημονικά, αλλά οι επιστήμες που τα χειρίζονται είναι εντελώς διαφορετικές και ανεξάρτητες. Ο Aletta Biersack (1982: 825), για παράδειγμα, αναφέρει ότι η παρατηρούμενη συμπεριφορά των Paiela, μιας ορεινής φυλής της Παπούα Νέας Γουινέας, βασίζεται σε μια επικοινωνιακή λογική, μια λογική της περιγραφικής διαδικασίας επικοινωνίας που περιέχεται στην καταμέτρηση της συμπεριφοράς:

Εδώ, τότε, έχουμε μια εναλλακτική λογική και έναν εναλλακτικό ορθολογισμό σε σχέση με τον οποίο σκέφτονταν οι Paiela, εάν δεν σκέφτονταν όλοι οι πρωτόγονοι άνθρωποι έτσι, ο οποίος δεν φαίνεται να είναι «ελλιπής». Στην πραγματικότητα, το σύνολο των εννοιών και αφαιρέσεων πάνω στο οποίο βασίζεται φαίνεται τόσο πολύπλοκο όσο οι νέες επιστήμες πληροφοριών και επικοινωνίας. Εάν αυτό είναι αληθινό, τότε η σχέση ανάμεσα στον τρόπο σκέψης των Paiela και Των Δυτικών δε μπορεί να είναι εξελικτική. Πρέπει να είναι δυιστική.

Κάποιοι μαθητές υποστήριξαν μια εξελικτική άποψη μαζί με ένα επιχείρημα για τον τρίτο τρόπο. Ο Robin Horton (1967: 55), για παράδειγμα, έγραψε:

Σε παραδοσιακές κουλτούρες δεν υπάρχει ανεπτυγμένη αίσθηση για εναλλακτικές λύσεις στο εγκαθιδρυμένο σώμα των θεωρητικών δογμάτων. Ενώ σε προσανατολισμένες προς την επιστήμη κουλτούρες, μια τέτοια αίσθηση είναι αρκετά ανεπτυγμένη.

Ο Biersack (1982: 812) διαφώνησε ότι αυτή είναι μια «ενοχοποιητική παραδοχή» για το επιχείρημα της εξέλιξης, δεδομένης της έμφασης πάνω στις ομοιότητες ανάμεσα στον παραδοσιακό Αφρικανικό τρόπο σκέψης και το Δυτικό που έδωσε ο Horton. Στην πραγματικότητα, ο Horton αναγνωρίζει ένα από τα κεντρικά κριτήρια για την εξακρίβωση του επιπέδου της ανάπτυξης ενός τρόπου σκέψης (όχι απαραίτητα σε ένα αυστηρά εξελικτικό περιβάλλον). Όμως δεν είναι αφύσικο να βρίσκουμε μαθητές σε αυτόν τον τομέα που να παλεύουν με την ένταση ανάμεσα στις ομοιότητες και τις διαφορές. Ο Levi-Strauss (1966), για παράδειγμα, εξύμνησε την στοιχειώδη σκέψη από τη μία πλευρά και από την άλλη υποδήλωσε ότι είναι ψεύτικη επιστήμη, βασισμένη όπως είναι σε «μερικώς» δευτερεύουσες ιδιότητες αντί για τις στοιχειώδεις ιδιότητες της αντικειμενικής πραγματικότητας.

Ο C. R. H. Hallpike (1979: 481) είναι λιγότερο αντιφατικός:

Είναι πολύ περισσότερο καρποφόρο, απ’ ότι ξέρουμε, να θεωρούμε ότι οι στοιχειώδεις τρόποι σκέψης βασίζονται σε μια μη ολοκληρωμένη λογική παρά σε μια διαφορετική λογική και , πράγματι, για όσο μπορώ να γνωρίζω η πιθανότητα μιας εντελώς διαφορετικής λογικής δεν έχει ποτέ αποδειχτεί.

Το επιχείρημα ότι υπάρχει μια μη σταθερή λογική ανάμεσα στον Azande και τον Nuer (Cooper, 1975) αμφισβητήθηκε από τον Merillee Salmon (1978). Ισχυρίζεται ότι η απόδειξη (πενιχρή για τον Nuer) δεν υποστηρίζει ένα τέτοιο επιχείρημα.

Μια ανάλυση αυτής της διαφωνίας δηλώνεται από την ιδέα ότι όλες οι λογικές είναι εθνολογικές, εγκατεστημένες, ενδιάμεσες λογικές. Αυτό απαιτεί να δούμε τη λογική ή την επιστήμη ως κοινωνικούς θεσμούς παρά ως σύνολα από ξεχωριστές πραγματικότητες και προτάσεις (Scholte, 1978). O James Hamill (1979: 481-482) υποστηρίζει ότι η βασισμένη στη σημασιολογία λογική θα εκθέσει τις λογικές οντότητες οπουδήποτε υπάρχουν σημασιολογικές οντότητες. (Τέτοιες οντότητες θα συσχετιστούν με καθολικές ενέργειες, οργανωτικές δομές και ιδρύματα). Ιδιαίτερα λογικά συστήματα θα ιδρυθούν οπουδήποτε μπορούμε να βρούμε ιδιαίτερη γλωσσική σημασιολογία.

Ο μακροχρόνιος αγώνας για την «πρώιμη διανόηση» φτάνει μόλις τώρα σε κάποια ανάλυση. Η κοινωνιολογία της επιστημονικής γνώσης έχει βάλει τα θεμέλια για την επίλυση αυτής της διαμάχης. Το επόμενο στάδιο θα περιλαμβάνει, σύμφωνα με την άποψή μου, μια θεωρία συλλογικών αναπαραστάσεων που επανεξετάζει τη δουλειά του Durkheim και των οπαδών του υπό το φως της νέας κοινωνιολογίας της επιστήμης.

Το Τρίτο Μέρος αυτού του βιβλίου αποτελεί μια συνεισφορά σε αυτήν την πορεία.

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ Ο ΘΕΟΣ

Η απόκρυφη σχέση ανάμεσα στους θεούς και τους αριθμούς είναι ένα κύριο χαρακτηριστικό της ιστορίας των εργασιών με θέμα τους αριθμούς, τους υπολογισμούς, και τα μαθηματικά από τα αρχαία χρόνια μέχρι σήμερα. Η μυστικιστική σημασία των αριθμών για τους Πυθαγόρειους είναι πασίγνωστη. Αλλά είναι μόνο ένα, και όχι το παλιότερο, παράδειγμα της στενής σχέσης ανάμεσα στη θρησκεία και τα μαθηματικά. Συζήτησα τη σχέση ανάμεσα των εργασιών με θέμα τους αριθμούς και την «επιστήμη των βωμών» νωρίτερα. Οι αριθμοί και οι αναλογίες αποθεώνονται επίσης. Στη Μεσοποταμία, για παράδειγμα, ο σημαντικός λόγος «2/3» αποθεώθηκε όπως ο θεός Ea, ο Δημιουργός. Στη Μεσοποταμία και αλλού, οι «κανονικοί» λογικοί αριθμοί είναι αυτοί που τείνουν να αποθεώνονται. Ο μη κανονικός αριθμός «7» αποτελεί μια ενδιαφέρουσα περίπτωση. Τα μαθηματικά κείμενα από αυτόν τον πρώιμο πολιτισμό σημειώνουν ότι «το 7 δε διαιρείται», δεν υπάρχει ο αντίστροφος λόγος. Με την μυθοποιητική σκέψη εκείνων των εποχών, τέτοιες μαθηματικές ιδιότητες ήταν αρκετές για να κάνουν το «7» να συσχετιστεί με τους θεούς. Το «7» έφτασε να συμβολίζει τον απόκρυφο κόσμο στην περιοχή της Μεσοποταμίας. Η απόκρυφη σημασία του «7» και των πολλαπλάσιών του πέρα από τα σύνορα της Μεσοποταμίας υποδηλώνει ότι η Μεσοποταμία αποτελούσε την πηγή αυτής της άποψης για το «7».

Οι μονοθεϊστές Εβραίοι απέρριψαν τη μυθοποιητική πρακτική των αποθεωμένων αριθμών, με την εξαίρεση του «1». Το «1», όπως αναφέρει ο Ησαΐας 44:6, αποτελούσε την αρχή και το τέλος. Και τουλάχιστον από την εποχή της αρχαίας Ελλάδας μέχρι σήμερα, η σύνδεση ανάμεσα στα μαθηματικά και τον ουράνιο λόγο απεικονίστηκε και διατηρήθηκε από την έννοια των μαθηματικών ως η «επιστήμη του άπειρου». Στη μεσαιωνική Ευρώπη οι θεολογικές συζητήσεις για το άπειρο αποτελούσαν ένα σημαντικό κομμάτι της ιστορίας της μαθηματικής ανάλυσης. Γενικότερα, ο Nicolas του Cosa (στο Amor Dei Intellectualis, 1450), βρήκε την αληθινή αγάπη για το Θεό στα μαθηματικά. Υπεραμύνθηκε μια πνευματική τέχνη που αποκαλύπτει τη Θεϊκή παρουσία μέσα στα μαθηματικά. Και ο Norvalis (Friedrich von Hardenberg, 1801) θεώρησε ότι τα μαθηματικά έχουν θρησκευτική φύση: (1) «Das Leben der Gotter ist Mathematik» και (2) «Zur Mathematik gelangt Man nur durch eine Theophanie» (Davis και Hersh, 1981: 110).

Νωρίτερα, στην Αίγυπτο του 10ου αιώνα, ένας διαπρεπής αρχηγός του Βαβυλωνιακού γκέτου, ο Sa’id ibn Yusuf, ανέδειξε τα μαθηματικά της εποχής του με μία θεολογική πραγματεία, Kitab al-Amanat wa’all Iteqadat (To Βιβλίο Πεποιθήσεων και των Απόψεων). Στο κεφάλαιο για το Θεό, ο ibn Yusuf αναφέρεται στην αφαίρεση, το συλλογισμό, την απόδειξη με χρήση αντιφάσεων και σε προβλέψεις σχετικά με τις συναρτήσεις της ύπαρξης και τα θεωρήματα μοναδικότητας (Davis και Hersh, 1981: 119). Αυτά είναι μόνο μερικά από τα παραδείγματα που παρουσιάζουν μια σύνδεση ανάμεσα στο Θεό και το άπειρο που είναι ακόμα σημαντικό στον 20ο αιώνα. Ο διακεκριμένος μαθηματικός Hermann Weyl (1932) για παράδειγμα, έκανε διάφορες σκέψεις στο βιβλίο του Θεός και Σύμπαν παράλληλα ανάμεσα στην έννοια του άπειρου στα μαθηματικά και τη θρησκευτική διαίσθηση.

Η μαθηματική δουλειά τον 17ο, 18ο και 19ο αιώνα θεωρήθηκε από τους εξασκώντες επάγγελμα ως μια αποκάλυψη της δουλείας του Θεού του μαθηματικού. Ο Sprengler, φυσικά, ισχυρίστηκε ότι οι μαθηματικοί καινοτόμοι τείνουν να είναι είτε θρησκευτικοί ηγέτες είτε άνθρωποι που βίωσαν τα μαθηματικά ως μια θρησκεία. Ο Πυθαγόρας και ο Mahariva από τα αρχαία χρόνια, και ο George Cantor από τη μοντέρνα εποχή διαφώτισαν τους ισχυρισμούς του Sprengler. Πάνω στη σύνδεση ανάμεσα στο Θεό, τους αριθμούς και τα ονόματα, ο Sprengler γράφει:

Το να ασφαλίζεις, να κρατάς στον έλεγχό σου, να καθησυχάζεις, να «γνωρίζεις» είναι όλα, σε τελική ανάλυση, το ίδιο πράγμα. Στο μυστικισμό όλων των πρωίμων περιόδων, το να γνωρίζεις το Θεό σημαίνει να τον ξορκίζεις, να τον κάνεις να σε ευνοήσει, να τον καταλαμβάνεις πνευματικά. Αυτό επιτυγχάνεται, βασικά, μέσα από μία λέξη. Το Όνομα και επίσης ιεροτελεστικές πρακτικές μυστικής δυναμικότητας, και η περίπλοκη, όπως επίσης και πιο παντοδύναμη, μορφή αυτής της άμυνας είναι αιτιολογική και συστηματική γνώση, οριοθέτηση κατά ετικέτα και αριθμό.

Το 1930, ο φυσικός επιστήμονας Sir James Jeans υποστήριξε ότι ο «Μεγάλος Αρχιτέκτονας του Σύμπαντος αρχίζει να εμφανίζεται ως ένας καθαρός μαθηματικός». Όμως ο Ισαάκ Νεύτωνας (στην τρίτη έκδοση των Μαθηματικών Αρχών της Φυσικής Φιλοσοφίας) είχε ήδη τοποθετήσει όλα τα πράγματα στα χέρια «ενός ευφυούς και παντοδύναμου Όντος». Αναγνωρίζεται πια γενικά ότι τα θρησκευτικά ενδιαφέροντα αποτελούσαν τα «πραγματικά κίνητρα» της επιστημονικής και μαθηματικής δουλειάς του Νεύτωνα (Kline, 1980: 52-60). Τα χριστιανικά δόγματα, στα οποία πίστευε ο Νεύτωνας, είχαν αποκαλυφθεί από το Θεό. Και ο Θεός αποτελούσε την αιτία που κρύβεται πίσω από όλες τις φυσικές δυνάμεις και τα φυσικά φαινόμενα. Τα περισσότερα από τα τελευταία του χρόνια ήταν αφιερωμένα σε αποκλειστικά θρησκευτικά ζητήματα. Το 1733, δημοσίευσε τις Παρατηρήσεις πάνω στις Προφητείες του Δανιήλ και την Αποκάλυψη του Ιωάννη. Η εργασία του Η Χρονολογία των Αρχαίων Βασιλείων Συμπληρωμένη και εκατοντάδες από επιπρόσθετα αδημοσίευτα χειρόγραφα αναφέρουν την προσπάθειά του να εγκαθιδρύσει μια χρονολογία για τα Βιβλικά δεδομένα.

Ο βασικότερος αντίπαλος του Νεύτωνα, ο Leibniz, επίσης πίστευε στο Θεό ως το δημιουργό και τον καθοδηγητή του κόσμου - Cum Deus calculat, fit mundus. Όμως πίστευε ότι η Principia του Νεύτωνα αποκάλυπτε ένα κόσμο που λειτουργούσε σύμφωνα με ένα σχέδιο και μπορούσε να δουλέψει χωρίς τη συμμετοχή του Θεού. Γι’ αυτό το λόγο, άσκησε κριτική στην εργασία του Νεύτωνα αντιχριστιανική (Kline, 1980: 71-72).

To 1744, o Maupertois διαμόρφωσε την γνωστή αρχή της ελάχιστης ενέργειας, την οποία ανακήρυξε ότι είναι ένας παγκόσμιος νόμος και «η πρώτη επιστημονική απόδειξη της ύπαρξης και της σοφίας του Θεού». Ο Euler, την ίδια περίοδο, υποστήριξε ότι η παγκοσμιότητα των κανόνων του μέγιστου και του ελάχιστου αποκαλύπτει ότι το σύμπαν αποτελεί τη δουλειά «ενός πολύ σοφού δημιουργού» (Kline, 1980: 65-66).

Η πίστη στο Θεό ως ένα μαθηματικό σχεδιαστή του σύμπαντος αρχίζει να σβήνει το 19ο αιώνα. Όμως δεν εξαφανίζεται. Διατηρείται στους αντιπροσώπους του Θεού «Φύση» και «Λογική» και στη δουλειά του Cantor, του κβαντικού φυσικού, και στα μυστικιστικά χειρόγραφα με φυσικά θέματα του 1970 και του 1980. Σε ένα πρόσφατο βιβλίο, ο μαθηματικός από το Princeton, Edward Nelson (1985), αναφέρεται σε επίσημες εξελίξεις στην κβαντική θεωρία και «εάν και κατά πόσο μπορούν οι κβαντικές διακυμάνσεις να είναι υλικά πραγματικές». Υπάρχει, γράφει (προσωπική επικοινωνία), «ένα βέβαιο θεολογικό ζήτημα εδώ, αλλά αυτό μπορεί να μην είναι προφανές σε οποιονδήποτε διαβάσει το βιβλίο»

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗ

Όπως σε όλες τις κοινωνικές δραστηριότητες έτσι και στην επιστήμη

οι διαμάχες,τα σκάνδαλα,οι αμφισβητήσεις προκαλούν σημαντικές ιστορικές αλλαγές στην κοινωνική οργάνωση.Οι επιστήμονες και οι συνεργάτες τους δρουν για πλούτο,δόξα,,για να ελέγχουν τη ροή των ιδεών και να επιβάλλουν τις ιδέες τους σε άλλους.Για αυτό και χρήσιμο είναι οι ιδέες να κρατούνται κρυφές προκείμενου να προστατευτούν από ορισμένους «ληστο-αριστοκράτες» επιστήμονες που σφετερίζονται η υποτάσσουν τις ιδέες άλλων.

Κατά την διάρκεια της ιστορίας της επιστήμης μεγάλα σκάνδαλα σηματοδότησαν αλλαγές στις οργανωτικές συνθήκες.Στη συνέχεια θα αναλύσουμε τρεις περιπτώσεις από την «ληστο-αριστοκρατική» περίοδο των μαθηματικών.

«ΛΗΣΤΟ-ΑΡΙΣΤΟΚΡΑΤΕΣ» CARDAN ΕΝΑΝΤΙΟΝ TARTAGLIA

Στις αρχές της δεκαετίας του 50, οι μαθηματικοί διαγωνίζονταν αρκετές φορές θέτοντας δημόσιες προκλήσεις με χρηματικά έπαθλα για τους νικητές.Έτσι διατηρούσαν τη φήμη τους και προσέλκυαν νέους μαθητές.Βέβαια οι μέθοδοι λύσης δεν γίνονταν γνωστές παρά μόνο τα αποτελέσματα.Τη δεκαετία του 1530 ο γιατρός, αστρολόγος,χαρτοπαίκτης, καβγατζής Cαrdαn παριστάνοντας τον αριστοκράτη προσκαλεί τον δάσκαλο των μαθηματικών Τartaglia o oποίος είχε κερδίσει μαθηματικές μονομαχίες με τον Colla και τον Fiore λύνοντας δυο κυβικές εξισώσεις x3+βx2=c και x3+ax2=c. O Fiore είχε την πρώτη εξίσωση η οποία του είχε ανατεθεί από τον δάσκαλο του Ferro αλλά όχι την δεύτερη.Ο Τartaglia μετά από αρκετή πίεση από τον Cαrdαn του αποκάλυψε τον τύπο του αφού πρώτα τον έβαλε να του ορκιστεί ότι θα τον κρατήσει μυστικό.Ο Cαrdαn έπειτα χρησιμοποίησε το μαθηματικό αυτό μυστικό σε διαγωνισμούς. Το 1542 ο Scipione , γαμπρός του Cαrdαn , του αποκαλύπτει ότι ο ίδιος είχε ανακαλύψει τον τύπο που κατείχε ο Cαrdαn.Οπότε αυτό το χρησιμοποίησε για να μην κρατήσει την υπόσχεση που είχε δώσει στον Τartaglia.Το 1545 δημοσίευσε τη λύση για τις κυβικές εξισώσεις αποδίδοντας την ανακάλυψη στον Ferro και αναφέροντας ότι ο Tartaglia μιμούμενος τον Ferro είχε ανακαλύψει την ίδια λύση στον διαγωνισμό εναντίον του Fiore.Πράγμα που δεν ήταν αληθές.Ο Ferro είχε λύσει την x3+bx=c.Ο Tartaglia έγινε έξω φρενών και δημοσίευσε ο ίδιος την λύση την επόμενη χρονιά με το δικό του όνομα μαζί με μια υβριστική επίθεση εναντίον του Cαrdαn. Ακολούθησε μια σειρά από διαξιφισμούς και τελικά συμφώνησαν να κανονιστεί το θέμα με μια μαθηματική μονομαχία,στην οποία τελικά εμφανίσθηκε ο Ferrari (μαθητής του Cαrdαn) οπότε βλέποντας αυτό ο Τartaglia αποσύρθηκε με αποτέλεσμα να κηρυχθεί νικητής ο Ferrari.Ο Cαrdαn αποκόμισε την περισσότερη δόξα για την επίλυση της κυβικής εξίσωσης η οποία έγινε γνωστή ως «κανόνας του Cαrdαn».Ο ίδιος στη συνέχεια γενίκευσε τη λύση της εξίσωσης πέρα από τις ειδικές περιπτώσεις εφαρμόζοντας έναν ειδικό μετασχηματισμό για την απομάκρυνση του δεύτερου όρου στις εξισώσεις της μορφής x3+ax2+bx=c.Έκανε τη γενική παρατήρηση ότι μια εξίσωση με βαθμό μεγαλύτερο του πρώτου έχει περισσότερες από μία ρίζες και σημείωσε τη σχέση μεταξύ ριζών και συντελεστών.Εκεί που οι παλιότεροι μαθηματικοί επιζητούσαν μόνο αριθμητικές λύσεις ο Cαrdαn εγκαινίασε τη γενικότερη θεωρία των αλγεβρικών εξισώσεων.Η διένευξη ανάμεσα στον Cαrdαn και Tartaglia αποκαλυψε μια μετάβαση από μια κατάσταση οπου η μυστικότητα ήταν φυσιολογική σε μια άλλη οπου ήταν φυσιολογικό να μοιράζεται η πνευματική ιδιοκτησία προκειμένου η επιστήμη να προχωρά σε ευρύτερες ανακαλύψεις. Oι αντίπαλοι του Cαrdαn ήταν έξαλλοι γιατί αποκάλυψε μυστικές λύσεις με τις οποίες επιβίωναν.Το ίδιο συνέβη και με άλλους επιστήμονες.Συνεπώς ο ανταγωνισμός ανάμεσα στον Cola, Tartaglia.Fiοre όχι μόνο προκάλεσε την εκ νέου ανακάλυψη και την επέκταση της λύσης των τριτοβάθμιων εξισώσεων αλλά έδωσε ώθηση σε μια ταχύτατη διεύρυνση πνευματικών προτύπων.

LEIBNIZ ΚΑΙ BERNOULLI ΕΝΑΝΤΙΟΝ ΝΕΥΤΩΝΑ

Οι προκλήσεις συνεχίζουν να παίζουν σημαντικό ρόλο στα μαθηματικά ακόμα και μετά την περίοδο Cαrdαn και Tartaglia.Το 1576 ιδρύθηκε η έδρα του προέδρου του μαθηματικού στο Βασιλικό Κολέγιο του Παρισίου,με τη ρητή συμφωνία ότι ο κάτοχος του αξιώματος θα αντικαθίστονταν από όποιον προκαλών τον κέρδιζε σ`ένα δημόσιο διαγωνισμό.

Πολλοί γνωστοί μαθηματικοί,όπως οι:Pascal,Leibniz,Bernoulli και Νεύτωνας συμμετείχαν σε φημισμένες προκλήσεις.Όμως το κοινωνικό περιεχόμενο αυτών των προκλήσεων άλλαζε διαρκώς.Αντί ως εμπορικοί μαθηματικοί δάσκαλοι να προσπαθούν να αυξήσουν τη φήμη τους για να προσελκύσουν μαθητές, ενδιαφέρονταν περισσότερο για την προσέλκυση της Βασιλικής Πατρωνίας.Αργότερα η Βασιλική Πατρωνία για την επιστήμη άρχισε να παίρνει τη μορφή ιδρυμάτων σε ακαδημίες.

Οι δάσκαλοι των εμπορικών μαθηματικών κυριάρχησαν στα μαθηματικά του 16ου αιώνα.Τα μαθηματικά του 17ου αιώνα ήταν μάρτυρες σε μια άνοδο των μαθηματικών στις ακαδημίες και των καθηγητών Πανεπιστημίων στα μαθηματικά και την αστρονομία.Επίσης,είναι η πρώτη φορά τον 17ο αιώνα που εμφανίζονται επαρκή και συγκεκριμένα δίκτυα επιστημονικής επικοινωνίας.Η βιομηχανία εκδόσεως βιβλίων συνεχώς αναπτύσονταν και εμφανίζονται και τα πρώτα επιστημονικά περιοδικά.

Στα χρόνια μετά το 1665,ο νεαρός μαθηματικός του Cambridge Nεύτωνας ανέπτυξε μια γενική μέθοδο σε ό,τι ξέρουμε ως Μαθηματική Ανάλυση.

Το 1676 ο Νεύτωνας και ο Leibniz ξεκινούν αλληλογραφία.Ο Leibniz καταφέρνει να πείσει τον Νεύτωνα να του στείλει μια περιγραφή της δουλειάς του πάνω στις άπειρες σειρές.Ο Νεύτωνας,καχύπτοτος για τα κίνητρα του Leibniz ανέφερε τη συνεχούς αλλαγής Μαθηματική Ανάλυση του σε μια απλή κρυπτογραφημένη πρόταση με τη μορφή αναγραμματισμού.Έτσι ο Leibniz δεν απέκτησε πολύ άμεση πληροφορία από τον Νεύτωνα,όμως, παρόλα αυτά βελτίωσε τη Μαθηματική του Ανάλυση χρησιμοποιώντας μια πιο ξεκάθαρη και χρήσιμη σημειογραφία από τον Νεύτωνα,την οποία ο Νεύτωνας δεν τη θεώρησε σημαντική.

Ο Leibniz άφησε το Παρίσι για να μπει στο διπλωματικό σώμα ενός σημαντικού Γερμανού πολιτικού.Ο Leibniz γίνεται ένας αξιοσέβαστος και επιτυχημένος πολιτικός σε αρκετές αυλές.Το 1682,ιδρύεται από μέλη του πνευματικού κύκλου του Leibniz το πρώτο εξειδικευμένο περιοδικό στη Γερμανία,Acta Eruditorum.Τώρα που έλεγχε μια έκδοση ανεξάρτητη από τις Αγγλικές και τις Γαλλικές επιρροές,ο Leibniz δημοσίευσε τις αλγεβρικές σειρές για τις οποίες καυχιότανε στο Λονδίνο χωρίς να αναφέρει κανένα προκάτοχο.

Το 1684 και το 1686 ο Leibniz δημοσιεύει σύντομες περιγραφές της Μαθηματικής του Ανάλυσης και θεωρείται ότι άνοιξε μια νέα εποχή στη ιστορία των μαθηματικών.Η ανωτερότητα της νέας Μαθηματικής Ανάλυσης έγινε γρήγορα γνώστη ανάμεσα στους Ευρωπαίους μαθηματικους.Έτσι ο Leibniz γίνεται γνωστός ως ο επικεφαλής μαθηματικός στην Ευρώπη.

Kατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου,ο Νεύτωνας παρέμεινε σχετικά δυσνόητος ενώ είχε απομονωθεί από την πνευματική κοινότητα του Λονδίνου.Η φήμη του Νεύτωνα ανακτήθηκε μετά από δημοσίευση της σύνθεσης του για την επίγεια και αστρονομική φυσική.Στη συνέχεια αφήνει την απομόνωση του για να γίνει στο Cambridge ένας αποφασιστικός συνήγορος της επανάστασης ενάντια του κινδύνου μιας καθολικής παλινόρθωσης.Το 1690 φεύγει από το Cambridge και αυξάνεται η δημοτικότητα του ως επικεφαλής της Πνευματικής Αγγλίας.Το 1703 γίνεται πρόεδρος της Βασιλικής Εταιρείας όπου οι εθνικιστικοί ακόλουθοι του Νεύτωνα υπερασπίζουν τους ισχυρισμούς του για ανωτερότητα στην Μαθηματική Ανάλυση και επιτίθενται στον Leibniz.Τελικά,κάτω από πιέσεις ο Νεύτωνας δημοσιεύει τις παλιές του εργασίες πάνω στις συνεχούς αλλαγής Μαθηματική Ανάλυση.

Ο Leibniz με τη σειρά του εκδικήτε δημοσιεύντας ανώνυμα μια περίληψη της οπτικής στο Acta υποστηρίζοντας τις δικές του απόψεις για πρωτοπορία.Ακολούθησε κατηγορία κατά του Νεύτωνα για λογοκλοπή.

Η διαμάχη Νεύτωνα,Leibniz έγινε θέμα για επίσημη έρευνα.Το αποτέλεσμα ήταν μια βαθιά διάσπαση ανάμεσα στην Αγγλική και την Ευρωπαϊκή επιστήμη.

Η κοινωνιολογική σημασία της διαμάχης του Νεύτωνα με τον Leibniz δεν αποτελεί απλό θέμα πρωτοπορίας.Ο έντονος ανταγωνισμός ανάμεσα σε φιλόδοξα άτομα είναι συχνό φαινόμενο.Το γεγονός ότι ένα πρόβλημα έχει τεθεί με σαφήνεια και γνωρίζουμε ότι υπάρχει μια λύση είναι κρίσιμο για τον υπολογισμό της πνευματικής προόδου.Η κοινωνική κατάσταση που δημιούργησε την αλαζονική φιλοδοξία του Leibniz ήταν κρίσιμη για τον υπολογισμό της προόδου της μαθηματικής λογικής.

Η ατομική φιλοδοξία και ο ανταγωνισμός εντάθηκαν από μια οργανωτική αλλαγή στις κοινωνικές πηγές που ήταν διαθέσιμες να ανταμείψουν τους μαθηματικούς.

Ο Leibniz ήταν ένας υποστηρικτής των νέων οργανωτικών δομών και ο επιχειρηματίας τους προς την τελειότητα.Ο Leibniz πρέπει να τοποθετηθεί σε κλίμακα ως ένας από τους πιο επιτυχημένους δημιουργούς οργανισμών στην ιστορία της επιστήμης.Δημιούργησε και τις οργανωτικές δομές και το πνευματικό περιεχόμενο για να τις γεμίσει.

Άλλη μια ικανότητα του Leibniz ήταν να μαζεύει στοιχεία μέσα από τις ερωτήσεις του,να τις αναπτύσσει γρήγορα και να προλαβαίνει τους δημιουργούς στη δημοσίευση.

Αν και όχι τόσο οργανωτικά καινοτόμος όσο ο Leibniz, ο Νεύτωνας,αφού είχε πρώτα αποκτήσει σταθερή ισχυρή εξουσία,ενήργησε ως ένας αλαζονικός πνευματικός λωποδύτης.Τα τελευταία του κυρίως χρόνια,ήταν περισσότερο απασχολημένος με το να εγκαταστήσει τη δικιά του ''σχολή'' παρά με την πρόοδο των μαθηματικών.

Η προσοχή του κατά τη διάρκεια της διαμάχης με τον Leibniz είχε επικεντρωθεί ολοκληρωτικά στην εγκαθίδρυση της πρωτοπορίας του σαράντα χρόνια νωρίτερα,και όχι με το τί έπρεπε να γίνει για την καλλιέργεια των μαθηματικών χρησιμοποιώντας είτε τη δικιά του θεωρία είτε του Leibniz.O Leibniz έτεινε να είναι προγραμματικός και να κοιτάει μπροστά,ενώ ο Νεύτωνας ήταν περισσότερο ένας πνευματικός που σπάνια έβλεπε τη σημασία της δικής του προόδου αν κάποιος άλλος δεν του το έδειχνε.

Εάν ο Νεύτωνας είχε κίνητρα από παλιά για να προοδεύει στην επιστήμη,θα αναγνώριζε την ανωτερότητα της διατύπωσης του Leibniz θα την υιοθετούσε και θα τη χρησιμοποιούσε για να αναπτύξει τα μαθηματικά στην Αγγλία.

Η διαμάχη του Νεύτωνα με τον Leibniz στην πραγματικότητα αναδεικνύει την αδυναμία του ανεπίσημου συστήματος κέντρου μηνυμάτων.Ήταν εξαρτημένο από λίγα άτομα κλειδιά.Το σύστημα δε διέδιδε ιδέες και φήμες ευθύτατα αφού σχετικά λίγα άτομα μπορούσαν στην πραγματικότητα να λάβουν γράμματα.Δεν υπήρχε ταχυδρομικό σύστημα.Η εξάρτηση του δικτύου στην προσωπική καλή θέληση,του ταξιδιώτη που θα λειτουργούσε ως ταχυδρόμος,το έκανεαδύναμο στο χειρισμό αμφισβητήσεων,ακόμα και με τη μορφή μερικών διαφορών σε θεωρητικές απόψεις.Και η δυσπιστία του Νεύτωνα στην αλληλογραφία του με τον Leibniz είναι ενδεικτική ενός συστήματος επικοινωνίας που δεν εγγυάται ούτε την ασφάλεια των δημόσιων ισχυρισμών για πρωτοπορία,ούτε την ελεύθερη ανταλλαγή πληροφοριών.

Ως επικρατούσες φιγούρες στις οργανωτικές αλλαγές του 17ου αιώνα οι:Νεύτωνας,Leibniz,L`Hospital, και Bernoulli δεν ενήργησαν μόνο ως ληστο-αριστοκράτες αλλά συμμετείχαν στη δημιουργία μιας γνήσιας μαθηματικής αυτοκρατορίας.

ABEL ΚΑΙ GALOIS ΕΝΑΝΤΙΟΝ CAUCHY ΚΑΙ ΤΗΣ ΓΑΛΛΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΙΑΣ

Οι οργανωτικές δομές που πρωτοχρησιμοποιήθηκαν από τον Leibniz καθώς και οι μαθηματικοί που τον υποστήριζαν κυριάρχησαν στα Ευρωπαϊκά μαθηματικά ως τις αρχές του 18ου αιώνα,με τον κίνδυνο να χαθεί το πνευματικό ενδιαφέρον και οι ακαδημίες να γινόντουσαν εθνικιστικές όπως διευκρινίστικε από την Βασιλική Εταιρεία.

Στο τέλος του 19ου αιώνα,ο κόσμος των μαθηματικών είχε κυριαρχηθεί από την Γαλλική Ακαδημία.Όμως στις αρχές του 18ου αιώνα η Ακαδημία είχε μείνει στάσιμη.Εφόσον οι καινοτόμοι μαθηματικοί είχαν συνδεθεί με μια ανταγωνιστική οργανωτική δομή:το νέο προσανατολισμένο προς την έρευνα Πανεπιστήμιο που πρωτοεμφανίστηκε στο Gottingen στα τέλη του 17ου αιώνα.Ένας από τους σημαντικούς ρόλους του Πανεπιστημίου ήταν να εκπαιδεύσει δασκάλους για τα σχολεία.

Όμως η Γαλλία και η Αγγλία δεν αναμόρφωσε τα Πανεπιστήμια της και δεν ίδρυσε δημόσια σχολεία μέχρι τα τέλη του 19ου αιώνα.

Το 1826 ένας νεαρός από την Νορβηγία ο Neils Henrik Abel ταξίδεψε στο Παρίσι για να παρουσιάσει μια σημαντικότατη επιστημονική ανακάλυψη στο κένρο μαθηματικών ερευνών.Ο Abel απέδειξε ότι ήταν αδύνατο να λυθεί μια εξίσωση πέμπτου βαθμού χρησιμοποιώντας ένα γενικό τύπο όπως αυτούς που υπήρχαν για τις εξισώσεις τρίτου και τέταρτου βαθμού,ανακαλύπτοντας συγχρόνως τις υπερβατικές συναρτήσεις.Το μαθηματικό κατεστημένο στο Παρίσι και ιδιαίτερα ο Cauchy αγνόησαν και τις δυο ανακαλύψεις του Abel.Ο Abel πέθανε το 1829 χωρίς καμία ακαδημαϊκή θέση και αμείφθηκε με ένα μεγάλο βραβείο από την Ακαδημία το 1830.

Μία παρόμοια περίπτωση εμφανίστηκε και αργότερα το 1829 όπου ο Evariste Galois,ένας φοιτητής στο Ecole Normale Superieure στο Παρίσι ο οποίος υπέβαλλε μία εργασία στην Ακαδημία σχετικά με τη γενική θεωρία της επιλυσιμότητας των εξισώσεων μέσα από την ομαδοποίηση τους.Oι περιπτώσεις των Abel και Galois αντανακλούν μία ακαδημαϊκή δομή που δημιουργούσε και διατηρούσε μία ελίτ μελών με ασυνήθιστη δύναμη.Η συμπεριφορά του Cauchy ήταν όμοια με αυτή των Αμερικανών καπιταλιστών του 19ου αιώνα αλλά όχι με την οργανωτική δομή του Leibniz. Ο Cauchy χρησιμοποιούσε τις δημοσιεύσεις της Ακαδημίας πραγματικά ως μια ιδιωτική ρεζέρβα.

Ο ακραίος συντηρητισμός του Cauchy ήταν ίσως κατάλληλος για την τελευταία περίοδο ακμής της Γαλλικής Ακαδημίας.Η συμπεριφορά του Cauchy είχε μιμητή και σε άλλαυς τομείς.Ο Lavoisier αποτελούσε ένα άλλο παράδειγμα υπερβολικά φιλόδοξου ανθρώπου,έναν μεγάλο οργανωτή που δημιούργησε την ονοματολογία και τα θεωρητικά θεμέλια της σύγχρονης χημείας.Δεν είχε κανένα ενδοιασμό να δημοσιεύσει τα ευρήματα άλλων ανθρώπων χωρίς να τους αναφέρει.Αυτή η συμπεριφορά ήταν πολύ διαδεδομένη ανάμεσα στην ελίτ των Γάλλων επιστημόνων στα τέλη του 18ου αιώνα.Ακόμα και ο Lagrange έγραψε το 1871 ότι δεν υπάρχει κάτι καινούργιο για να ανακαλυφθεί στα μαθηματικά.Οι επιστήμονες της Γαλλικής ελίτ αισθάνονταν ότι εάν δεν καταφέρουν κάτι,κανένας άλλος δεν θα μπορέσει να το καταφέρει.Από την άλλη άρχισαν να δημιουργούνται ενώσεις που υποστήριζαν τον Abel και τον Galois.Στην Γερμανία ένα ριζοσπαστικό κέντρο τάχθηκε υπέρ του Abel,καθώς το νέο Γερμανικό Πανεπιστήμιο το 1826 ίδρυσε ένα από τα πρώτα περιοδικά στον κόσμο,αφιερωμένο στα μαθηματικά.Τα νέα αναμορφωμένα Πανεπιστήμια έγιναν ανταγωνιστικά με το Γαλλικό συγκεντρωτικό σύστημα,μιας ελίτ επιστημόνων.Αυτή ήταν η αρχή του τέλους για την ληστο-αριστοκρατική περίοδο.

CANTOR ΕΝΑΝΤΙΟΝ KRONECKER:

Η ΜΕΤΑΒΙΒΑΣΗ ΣΤΟΥΣ ''ΑΓΙΟΥΣ'' ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ

Οι καθηγητές Πανεπιστημίου κυριάρχησαν σημαντικά στα μαθηματικά του 19ου αιώνα,κυρίως στο δίκτυο ανταγωνισμού με τα Γερμανικά Πανεπιστήμια.Η τάση αφαίρεσης και συστηματοποίησης των χαρακτηριστικών του εκπαιδευτικού σκηνικού παρήγαγε ένα είδος μαθηματικών που ήταν μακριά από τον εμπειρικό κόσμο και τις κατηγορίες της κοινής λογικής.Ο George Cantor ήταν αρχηγός του κινήματος για ακραία αφαίρεση χωρίς να λαμβάνονται υπόψην τα παράδοξα αποτελέσματα.

Στη δεκαετία του 1870 και 1880 ο Cantor ανέπτυξε τη θεωρία των υπερβατικών συνόλων.Σε αντίθεση,ο Leopold Kronecker υποστήριξε ότι μόνο οι πραγματικοί αριθμοί υπάρχουν και όλα τα μαθηματικά πρέπει να προκύψουν από αυτούς χρησιμοποιώντας ένα πεπερασμένο σύνολο από πράξεις.Οι Cantor και Kronecker έγιναν πικροί αντίπαλοι.Ο Kronecker ήταν μέλος της Βρετανικής Ακαδημίας και πολλών ξένων ακαδημιών και είχε μεγάλη επιρροή στην κυβέρνηση.Ο Cantor ήταν ένας φοιτητής στο Βερολίνο (όπου ο Kronecker ήταν δάσκαλος του )όπως επίσης και στο Gottingen το άλλο κυρίαρχο κέντρο των μαθηματικών και ο Kronecker τον εμπόδιζε να κλείσει ένα ραντεβού σε ένα από αυτά τα Πανεπιστήμια.Ο Cantor όμως είχε τα δικά μέσα,τον Mittag-Leffler εκδότη του περιοδικού Acta Mathematica και κατάφερε να δημοσιεύσει την έρευνα του.Από την άλλη,ο Gottingen δεν κατάφερε να δημοσιεύσει εργασία του στο Acta Mathematica το 1884 εξαιτίας του Cantor. Ο Cantor το 1981 ίδρυσε την Deutse Mathematiker Vereinigung (Ένωση Γερμανών Μαθηματικών ).Ο Cantor συμμετείχε στο Πρώτο Διεθνές Συνέδριο των μαθηματικών,στην Ζυρίχη το 1897 στην προσπάθεια του να αποκοπεί από την συγκεντρωμένη στο Βερολίνο συνωμοσία.Οι προσπάθειες του Cantor πέτυχαν τόσο στο πνευματικό όσο και στο οργανωτικό επίπεδο.

Κατά τη διάρκεια του 20ου αιώνα,για πρώτη φορά,οι μαθηματικοί άρχισαν να δημοσιεύουν εργασίες που είχαν γραφτεί συλλογικά.Ο μαθηματικός από το Cambridge, G.H.Hardy ήταν ένας από τους πρώτους μαθηματικούς που δημοσίευσαν με ένα συνεργάτη τους.Ο Hardy εξέδωσε εκατοντάδες εργασίες μαζί με άλλους.

Ο επικεφαλής της σχολής των φορμαλιστών του Gottingen David Hilbert ήταν ένας άγιος πολιτικός από κάθε άποψη.Αντιτάχθηκε στις διακρίσεις εναντίον των γυναικών και των πολιτικών αντιπάλων και πολέμισε τον επιστημονικό αντισημιτισμό.

ΔΙΑΜΑΧΕΣ,ΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΑΛΛΑΓΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Οι μαθηματικοί του 20ου αιώνα έδωσαν έμφαση στο ότι η επιστήμη αποτελεί μια συλλογική επιχείρηση.Οι ''ενοποιητές'' (''Bourbaki'',Hilbert,Felix Klein,Russel,Whitehead ) αισθάνονταν την ιστορία των μαθηματικών ως μια συλλογική προσπάθεια.Δεν αναγνώριζαν μόνο σχολαστικά προηγούμενες συνεισφορές,αλλά τείνανε να εξαλείφουν τους εαυτούς τους από την πρόοδο που ανέμεναν στο μέλλον.Διέφεραν πολύ λοιπόν από αυτή την άποψη με τους Lavoisier,Laplace και Lagrange,οι οποίοι πίστευαν ότι σε λίγο θα είχαν κορεστεί οι τομείς τους και κανείς δε θα μπορούσε να προσθέσει κάτι καινούριο.Παρ`όλες τις δομικές αλλαγές και τον έντονο αλτρουισμό των μαθηματικών του 20ου αιώνα,η μηχανή της μαθηματικής καινοτομίας συνεχίζει να τροφοδοτείται από επιθετική και ανταγωνιστική συμπεριφορά.Αυτό που αλλάζει είναι ότι αυτή η συμπεριφορά βασίζεται τώρα σε συλλογικές ,οργανωτικές δομές.Η εικόνα της επιστήμης λοιπόν,βασισμένη στα ιδανικά του αλτρουισμού,της σεμνότητας,της αφιέρωσης σε συλλογικούς σκοπούς,είναι μια δομή συλλογικού ανταγωνισμού μέσα απ`τον οποίο φιλόδοξα άτομα μπορούν να επιτ΄θχουν μόνο με το να παρουσιάσουν τους εαυτούς τους ως ανιδιοτελείς εκπροσώπους της επιστημονικής ομάδας.

ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑ

Τα ανώτερα μαθηματικά του 19ου αιώνα ξεκινούν απτο σημείο που συνηδειτοποιούν ότι οι φανταστικοί αριθμοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν παρόλο που φαίνονται παράλογοι.Κάποιοι μαθηματικοί κατανόησαν τελικά ότι δεν ήταν δεμένοι σε κοινήσ λογικής αναπαραστάσεις του κόσμου αλλά ότι οι μαθηματικές έννοιες και τα συστήματα μπορούσαν σκόπιμα να δημιουργηθούν.Τα αντικείμενα με τα οποία ασχολούνται τα μοντέρνα μαθηματικά δεν είναι απλά ''πράγματα''-χωρίς αυτό να σημαίνει ότι δεν είναι επίσης πράγματα- αλλά λειτουργίες,ενέργειες που οι μαθηματικοί εκτελούν.Οι λειτουργίες,με άλλα λόγια,έχουν αποκρυσταλλωθεί σε νέα σύμβολα τα οποία μπορούν τότε να τα χειριστούν σαν να ήταν πράγματα.Αυτή την περίοδο τα μαθηματικά,όπως άλλες μοντέρνες δραστηριότητες,επηρεάστηκαν από εξειδίκευση σε ένα επίπεδο άγνωστο και αδύνατο στις προηγούμενες ιστορικές περιόδους.Οι μαθηματικές ιδέες είχαν έντονα γίνει η γεννήτρια βάση για νέες μαθηματικές ιδέες.Η ανάπτυξη των ανώτερων μαθηματικών στη Δύση,τότε,αποτελεί μια κοινωνική ανάπτυξη.Τα μαθηματικά της Δύσης εξαρτώνται από ένα είδος μακροχρόνιας οργάνωσης-με ισχυρές συνδέσεις ανάμεσα στις γενιές-της πνευματικής τους κοινότητας.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

Το Ars Magna του Gardan μπορεί εύλογα να θεωρηθεί ως αρχή της Επιστημονικής Επανάστασης.Εγκαινιάζει μια νέα εποχή νέων αλγορίθμων και μια τάση για όλο και ψηλότερα επίπεδα αφαίρεσης.Κλειδί για τα μεγάλα επιτε΄τγματα στο χώρο των μαθηματικών,τον 19ο αιώνα,ήταν οι: Cauchy, Abel και Galois οι οποίοι συνέχισαν το έργο των Leibniz και Νεύτωνα, ενώ οι σημαντικότερες σχολές του 20ου αιώνα ιδρύθηκαν από τους Russel, Hilbert, Bourbaki.

Οι αμφισβητήσεις δεν ανάγονται σ`ένα απλό ζήτημα από πολλαπλές ανακαλύψεις και φιλονικίες για την πρωτοτυπία και την κυριότητα αυτών.Στη μαθηματική κοινότητα συναντάμε σκάνδαλα σχετικά με παρεμπόδιση αντίθετων ιδεών,εθνική αποκλειστικότητα ιδεών,φατριαστικές διαμάχες για τον έλεγχο πανεπιστημιακών θέσεων,περιοδικών,επιστημονικών ενώσεων.Επιπλέον,στη Δύση βρίσκουμε ανταγωνιστικές σχολές να διαφωνούν για θεμελιώδη ζητήματα σχετικά με τις χρησιμοποιούμενες μεθόδους και τη γνώση.Τα σκάνδαλα και οι αμφισβητήσεις και οι πνευματικές εξελίξεις που σχετίζονταν με αυτές αναλύονται καλύτερα με τους όρους των αλλαγών που αναδεικνύουν στις οργανωτικές μορφές.Η διαμάχη των Cardan και Tartaglia,για παράδειγμα,σηματοδοτεί την αρχή της κατάρρευσης της πατριαρχικής οργάνωσης της πνευματικής ιδιοκτησίας και στο σύστημα των διαγωνισμών ανάμεσα στους μαθηματικούς.Σ`αυτήν,όπως και σε άλλες περιπτώσεις,οι φιλόδοξοι πνευματικοί που επιδίωκαν μονοπάτια προσωπικών συμφερόντων για δόξα και περιουσία εκμεταλλεύονταν οποιαδήποτε οργανωτικά μέσα προσέφεραν οι νέες συνθήκες.Αλλά ακόμα και στον 20ο αιώνα,ο ανταγωνισμός για το προσωπικό συμφέρον αποτελεί ακόμα τη ρίζα της επιστημονικής προόδου.Οι δομικές συνθήκες έχουν μερικώς αναγκάσει τους φιλόδοξους πνευματικούς να ανταγωνίζονται σε συλλογικό παρά σε ατομικό επίπεδο.

Τα πιο πρόσφατα χρόνια,τα σημαντικότερα σκάνδαλα δεν έχουν εμφανιστεί στα μαθηματικά,αλλά στις βιο-ιατρικές επιστήμες (Broad και Wade,1983)Η έλλειψη μεγάλων σκάνδαλων ή βίαιων αμφισβητήσεων υποδηλώνει ότι η μαθηματική κοινλοτητα δεν υποβάλλεται σε σημαντικές οργανωτικές αλλαγές ,ή,τουλάχιστον,δεν βρίσκεται σε μια οργανωτική καμπή.Είναι γεγονός ότι η φύση και η διαθεσιμότητα των οργανωτικών,υλικών μέσων μπορεί να μεταβάλλει την οργανωτική δομή των μαθηματικών.Δεν μπορούμε να περιμένουμε ότι οι οργανωτικές εξελίξεις στην επιστήμη θα ακολουθήσουν μια απλή γραμμική εξέλιξη.Η ανάπτυξη της μαθηματικής γνώσης,ριζωμένη όπως είναι σε οργανωτικές μορφές,θα ακολουθήσει αυτές τις μορφές και δε θα εμφανίσει μια απλή λογική εξέλιξη σύμφωνα με κάποιου τύπου ''εσωτερική λογική''.

Η πρόκληση για την κοινωνιολογική θεωρία είναι να δημιουργηθούν γενικευμένες ερμηνείες από την ανάλυση των μεμονομένων συμβάντων.Ούτε η θεωρία του Kuhn , ούτε η θεωρία του Merton, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την πρόβλεψη των πνευματικών αλλαγών.Το μοντέλο που προτάθηκε από τους Griffith και Mullins μπορεί να ολοκληρωθεί με μια πιο γενική προοπτική για την επιστημονική καινοτομία εάν μπορούσε να επεκταθεί για να περιγράψει τη δομή των αντιπάλων συνόλων θεωρημάτων και τις μακροχρόνιες ακολουθίες μέσω των οποίων κινούνται.

Η ένταση της επιστημονικής δημιουργικότητας είναι μεγαλύτερη κατά τη διάρκεια σημαντικών στροφών προς νέες οργανωτικές μορφές που συνθέτουν ενέργειες και επικοινωνία.Αυτές οι ίδιες στροφές είναι επίσης ένα σημαντικότατο αίτιο των επιστημονικών σκανδάλων.Έτσι,εποχές χωρίς σκάνδαλα είναι πιθανό να είναι ήρεμες από πλευράς πνευματικής εξέλιξης.

ΤΑ ΑΦΡΙΚΑΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΕΝΟΛΟΓΙΑΣ

Όσες πληροφορίες διαθέτουμε σήμερα για τη μαθηματική δουλειά στην Αφρικανική Σαχάρα προέρχονται από το βιβλίο της Claudia Zaslavsky,Africa Counts. Στο έργο της αυτό,η Zaslavsky, υποστηρίζει ένθερμα τα μαθηματικά και τη χρησιμότητα τους και παρέχει στοιχεία για τους τρόπους αρίθμησης και,εν γένει,το επίπεδο της μαθηματικής σκέψης στις διάφορες φυλές της Αφρικής.Πιο συγκεκριμένα,αναφέρει ότι,οι Bushmen και μερικές άλλες φυλές,χρησιμοποιούσαν χειρονομίες και εκφράσεις για το 3 και το 4 που σημαίνουν ''πολλά'' και,ταυτόχρονα,με τις ίδιες εκφράσεις συνέχιζαν το μέτρημα πάνω από το τρία.Επίσης,την ίδια εποχή,οι Yoruba είχαν ανακαλύψει ένα νόμισμα μικρής αξίας που το χρησιμοποιούσαν για τη διεξαγωγή του εμπορίου και με την ελάχιστη μαθηματική γνώση που κατείχαν,μπορούσαν να μετρήσουν ως το 1εκατ.Αξιοσημείωτο είναι το γεγονός ότι,στις παραδοσιακές Αφρικανικές κοινότητες,επειδή ήταν διαδεδομένες οι προκαταλήψεις εναντίον της μέτρησης ανθρώπων,ήμερων ζώων και τιμαλφή, είχαν ανακαλύψει μια συσκευή μέτρησης,που τελικά καθιστούσε δύσκολο και ιδιαίτερα μπερδεμένο το μέτρημα στις οικονομικές συναλλαγές.Αν και υπήρχαν σημαντικά κέντρα μάθησης στη Σαχάρα,όπως το Timbuktu και η Katsina , τα περισσότερα Αφρικανικά χειρόγραφα,όπως οι δουλειές του αστρονόμου,μαθηματικού και αστρολόγου Muhammad ibn Muhammad δεν έχουν διασωθεί.Τα κέντρα αυτά ήταν κυριαρχημένα από την ισλαμική θεολογία και παράδοση,και δεν γνωρίζουμε αν έγινε σ`αυτά κάποια πρωτότυπη εργασία σε ''καθαρά'' μαθηματικά.Βέβαια,είναι δυνατόν πολλοί Μουσουλμάνοι Αφρικανοί που ασχολούνταν με τα μαθηματικά να δρούσαν στις ισλαμικές πόλεις αλλά δεν έγιναν γνωστοί γιατί προφανώς θα χρησιμοποιούσαν αραβικά ονόματα και την αραβική γλώσσα στα έργα τους.

TO ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Παρόλο που το επίπεδο της Δυτικοαφρικανικής κουλτούρας,ήταν αρκετά ανεπτυγμένο,η πυκνότητα του πληθυσμού ήταν μικρή και δύσκολα μπορούσαν να δημιουργηθούν αστικές κοινότητες και να αναπτυχθεί το εμπόριο.Επειδή το έδαφος ήταν φτωχό και δεν υπήρχαν πλωτά ποτάμια και λιμάνια,οι αφρικανικές φυλές αναγκαζόταν συνέχεια να μετακινούντε,για να βρουν καλύτερη γη,με αποτέλεσμα να αποτρέπεται τελικά η σταθερότητα και το εμπόριο μεγάλης κλίμακας.Ακόμα κι εκεί που άνθισαν αυτοκρατορίες , όπως στη Δυτική Σαχάρα,οι κάτοικοι παρέμειναν σ`ένα χαμηλό επίπεδο και πολύ αργότερα,στις πρώτες σταθερές κοινότητες που εμφανίστηκαν,οι εισβολές,το εμπόριο των σκλάβων,οι θρησκευτικές αποστολές και οι ιμπεριαλιστικές πολιτικές εμπόδισαν την ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης.Έτσι στην Αφρικανική Σαχάρα οι κοινωνικές και υλικές συνθήκες δεν επέτρεψαν ποτέ την ανάπτυξη των μαθηματικών σε επίπεδα όπως αυτά που είχαν αγγίξει η Κίνα,η Κ.Αμερική,ο Αραβικοισλαμικός κόσμος,η Ελλάδα και η Ινδία.


ΟΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΗΣ ΣΚΕΨΗΣ

Ο Durkheim και οι φοιτητές του,προσπαθώντας να συλλάβουν τη σχέση μεταξύ των αρχικών και των μοντέρνων μεθόδων της σκέψης,έθεσαν ένα βασικό ερώτημα για την ανθρωπολογία και επιχείρησαν μια στοιχειώδη ταξινόμηση και συλλογικές αναπαραστάσεις.Η κοινωνιολογία των μαθηματικών αποτελεί μια ειδική περίπτωση της γενικής θεωρίας των συλλογικών αναπαραστάσεων και τη σχέση τους αυτή θα αναλύσουμε παρακάτω.

Υπάρχουν τρεις θεμελιώδεις τρόποι με τους οποίους οι ερευνητές αντιλαμβάνονται τη σχέση μεταξύ των πρώιμων και των νεώτερων τρόπων σκέψης:ο ένας είναι ότι στέκονται στην εξελικτική σχέση,δηλαδή υποστηρίζουν ότι με το πέρασμα των χρόνων οι μέθοδοι σκέψης εξελίσσονται και γίνονται πιο λογικοί,ο δεύτερος είναι ότι δεν έχουν κοινό μέτρο μέτρησης αλλά υπάρχουν εναλλακτικές λογικές (δυισμός) και ο τρίτος είναι ότι δεν υπάρχει καμία ουσιαστική διαφορά ανάμεσα στις παλιές και στις νέες μεθόδους σκέψης.Με βάση τους τρεις αυτούς τρόπους οι διάφοροι ερευνητές τοποθετούνται διαφορετικά και αναπτύσσουν ποικίλες θεωρίες σχετικά με το θέμα.

Αναλυτικότερα,ο Alfred Kuhn, υποστηρικτής του δυισμού βλέπει τον κόσμο να αποτελείται από δυο βασίλεια, το βασίλειο της πληροφορίας και το βασίλειο της ύλης,ενώ ο Aletta Biersack μελετώντας τη συμπεριφορά της ορεινής φυλής των Paiela,πιστεύει ότι δεν υπάρχει εξελικτική σχέση ανάμεσα στον τρόπο σκέψης των Paiela και των Δυτικών αλλά δυιστική.Ταυτόχρονα,ο Robin Horton προκαλώντας τη διαφωνία του παρατηρει ότι σε προσανατολισμένες προς την επιστήμη κουλτούρες,είναι αρκετά ανεπτυγμένη η αίσθηση για εναλλακτικές λύσεις στο σώμα των θεωρητικών δογμάτων και,συγχρόνως, ο Levi Strauss από τη μια εξυμνεί την στοιχειώδη σκέψη και από την άλλη την θεωρεί ''ψεύτικη'' επιστήμη που είναι βασισμένη σε ''μερικώς'' δευτερεύουσες ιδιότητες αντί για τις στοιχειώδεις ιδιότητες της αντικειμενικής πραγματικότητας.Ο λιγότερο αντιφατικός Hallpike θεωρεί ότι οι στοιχειώδεις τρόποι σκέψης βασίζονται σε μια ολοκληρωμένη λογική παρά σε μια διαφορετική λογική και οι Azande και Nuer υποστήριξαν ότι υπάρχει μια μη σταθερή λογική,προκαλώντας την αντίδραση του Merille Salmon. Μια ανάλυση της τελευταίας αυτής διαφωνίας δηλώνεται από την ιδέα ότι όλες οι λογικές είναι εθνολογικές,εγκατεστημένες,ενδιάμεσες λογικές.Aυτό απαιτεί να δούμε τη λογική ή την επιστήμη ως κοινωνικούς θεσμούς παρά ως σύνολα από ξεχωριστές πραγματικότητες και προτάσεις.Ο James Hamill υποστηρίζει ότι η βασισμένη στη σημασιολογία λογική θα εκθέσει τις λογικές οντότητες,οπουδήποτε υπάρχουν σημασιολογικές οντότητες.Ιδιαίτερα λογικά συστήματα θα ιδρυθούν οπουδήποτε μπορούμε να βρούμε ιδιαίτερη γλωσσική σημασιολογία.

Τελικά ο μακροχρόνιος αγώνας για την ''πρώιμη διανόηση'' φτάνει μόλις τώρα σε κάποια ανάλυση και το επόμενο στάδιο θα περιλαμβάνει μια θεωρία συλλογικών αναπαραστάσεων που επανεξετάζει τη δουλειά του Durkheim και των οπαδών του υπό το φως της νέας κοινωνιολογίας της επιστήμης.

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ Ο ΘΕΟΣ

Από τα αρχαία χρόνια μέχρι σήμερα,παρατηρείται μια στενή σχέση ανάμεσα στη θρησκεία και τα μαθηματικά.Πέρα από τη πασίγνωστη πλέον σ`εμάς μυστικιστική σημασία των αριθμών για τους Πυθαγόρειους,γνωρίζουμε ότι,στη Μεσοποταμία και αλλού,οι κανονικοί λογικοί αριθμοί ήταν αυτοί που κατά καιρούς αποθεώθηκαν.Χαρακτηριστικά παραδείγματα αριθμών είναι ο σημαντικός λόγος 2/3 που αποθεώθηκε όπως ο θεός Εα,αλλά και ο μη κανονικός αριθμός 7,που χάρη στην ιδιότητα του να μη διαιρείται,έφτασε να συμβολίζει τον απόκρυφο κόσμο στην περιοχή της Μεσοποταμίας.Επιπρόσθετα,για τους μονοθεϊστές Εβραίους,το 1 αποτελούσε την αρχή και το τέλοςένώ στη μεσαιωνική Ευρώπη οι θεολογικές συζητήσεις για το άπειρο αποτελούσαν ένα σημαντικό κομμάτι της ιστορίας της Μαθηματικής Ανάλυσης.Γενικότερα,πολλοί διακεκριμένοι άνθρωποι στο πέρασμα των αιώνων΄θεώρησαν ότι τα μαθηματικά έχουν θρησκευτική φύση,και ανάμεσα τους είναι ο Nicolas του Cosa, ο Norvalis, ο αρχηγός του Βαβυλωνιακού γκέτου κατά τον 10ο αιώνα,Saικότερα,πολλοί δοακεκριμένοι άνθρωοοι στο πέρασοα Πυθαγόρας και ο Mahariva από τα αρχαία χρόνια, ο George Cantor από τους νεότερους, ο φυσικός επιστήμονας Sir James Jeans, ο Ισαάκ Νεύτωνας που αφιέρωσε τα τελευταια του χρόνια αποκλειστικά σε θρησκευτικά ζητήματα και δημοσίευσε τα έργα του:Παρατηρήσεις πάνω στις Προφητείες του Δανιήλ,Αποκάλυψη του Ιωάννη και η Χρονολογία των Αρχαίων Βασιλείων Συμπληρωμένη,ο Leibniz, ο Maupertois και ο Euler.

Η πίστη στο θεό ως ένα μαθηματικό σχεδιαστή του σύμπαντος αρχίζει να σβήνει το 19ο αιώνα.Ωστόσο δεν εξαφανίζεται και διατηρείται κυρίως στους αντιπροσώπους του θεού,''Φύση'' και ''Λογική'' και στη δουλειά του κβαντικού φυσικού, Cantor.Σ`ένα πρόσφατο βιβλίο,τέλος,ο μαθηματικός Edward Nelson παρουσιάζει κάποια δείγματα πίστης προς το θεό και τη σχέση του με την επιστήμη των μαθηματικών.