Η ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΥΠΟΣΤΑΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Η ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΥΠΟΣΤΑΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

[Κεφάλαιο 13]

Sal Restivo

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Οι μαθηματικοί και οι φιλόσοφοι των μαθηματικών έχουν προ πολλού μονοπωλήσει τη δικαιοδοσία των ερευνών πάνω στη φύση της μαθηματικής γνώσης. Οι έρευνές τους βασίστηκαν σε παραδοχές όπως οι παρακάτω: οι πλατωνικές και πυθαγόρειες αντιλήψεις περί μαθηματικών είναι έγκυρες, σαφείς και χρήσιμες, οι μαθηματικές προτάσεις υπερβαίνουν τη ροή της ιστορίας, τα μαθηματικά είναι μια διαδικασία καθαρής σκέψης και το μυστικό της δύναμης των μαθηματικών έγκειται στις τυπικές σχέσεις μεταξύ συμβόλων. Η γλώσσα που χρησιμοποιείται για να μιλήσουμε για τη φύση της μαθηματικής γνώσης ήταν η ίδια η γλώσσα των μαθηματικών. Όταν άλλες γλώσσες (π.χ. φιλοσοφία, λογική) χρησιμοποιούνταν, ήταν γλώσσες που εξαρτιόνταν ή προέρχονταν από τα μαθηματικά. Αντίθετα, ο κοινωνικός λόγος κυριαρχεί της τεχνικής μαθηματικής ορολογίας όταν εξετάζουμε τα μαθηματικά με κοινωνιολογικούς όρους.

Η κοινωνιολογική σκέψη σχετικά με τα μαθηματικά έχει αναπτυχθεί μέσα και έξω από τη μαθηματική κοινότητα. Στην κοινότητα της κοινωνιολογίας έχει εκδηλωθεί ως μια πιο εσωτερική, επαγγελματική κοινωνιολογία. Στη μαθηματική κοινότητα, η καθημερινή παραδοσιακή κοινωνιολογία των μαθηματικών αρθρώθηκε καλύτερα από τη στιγμή που οι μαθηματικές μελέτες οργανώθηκαν καλύτερα και καθώς εδραιώθηκε μια στοιχειώδης συνέχεια στην Ευρώπη του δεκάτου εβδόμου αιώνα. Τελικά, κάποιοι μαθηματικοί οι οποίοι είχαν μια ιδιαίτερη επίγνωση της κοινωνικής υπόστασης της μαθηματικής κοινότητας άρχισαν να γράφουν κοινωνικές, ακόμα και κοινωνιολογικές ιστορίες σχετικά με το αντικείμενό τους (π.χ. ο Dirk Struik) αυτή τους την επίγνωση στα μαθηματικά τους προγράμματα (όπως στην περίπτωση των κονστρουκτιβιστών και μια ομάδας μαθηματικών γνωστοί με το όνομα Ν.Βourbaki). Εξ’ αιτίας αυτού δεν είναι , πια, προφανές ότι η τεχνική ορολογία μπορεί να μας προσφέρει μια πλήρη κατανόηση των μαθηματικών.

Η πτώση των πυθαγόρειων, πλατωνικών, φορμαλιστικών και θεμελιωτιστικών προκαταλήψεων άνοιξε το δρόμο για ένα κοινωνικό διάλογο με θέμα τα μαθηματικά. Αλλά η συμβολή και η δυναμική του κοινωνικού διαλόγου χρειάζονται ακόμα καιρό για να γίνουν αντιληπτά. Το έργο μου σε αυτό το κεφάλαιο έχει το χαρακτήρα προγράμματος: να σκιαγραφήσω τη συμβολή και τη δυναμική των σκέψεων και του διαλόγου του σχετικού με τα μαθηματικά με κοινωνιολογικούς όρους.

Υπάρχει μια κοινωνιολογική απαίτηση που διαμορφώνεται κατά μήκος μιας πλατιάς έκτασης περιοχών και η οποία αλλάζει τον τρόπο με τον οποίο εξετάζουμε τον εαυτό μας, τον κόσμο μας, τη μαθηματική και επιστημονική γνώση. Κάτι τέτοιο δεν αποτελεί ένα είδος πειθαρχικού ιμπεριαλισμού. Η κοινωνιολογική απαίτηση δεν είναι το ίδιο με την πειθαρχία ή με το επάγγελμα του κοινωνιολόγου. Είναι ένας τρόπος να δεις τον κόσμο ο οποίος αναπτύσσεται μέσα από τα συμφραζόμενα της σύγχρονης πείρας, ένας τρόπος σκέψης που ξεπροβάλλει μέσα από τη σύγχρονη κοινωνική πρακτική. Η βάση αυτής της κοπερνικικής κοινωνικοεπιστημονικής επανάστασης “ακουμπά” πάνω σε τρεις αλληλένδετες αντιλήψεις: 1) μια συζήτηση γύρω από τα πάντα είναι κοινωνική, 2) το άτομο είναι μια κοινωνική δομή και 3) η νοημοσύνη (μυαλό, επίγνωση, γνωστικός μηχανισμός) είναι μια κοινωνική δομή. Αυτές οι αντιλήψεις αποτελούν το θεμέλιο της ριζοσπαστικής μαθηματικής κοινωνιολογίας.

ΟΙ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΓΩΓΕΣ ΤΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΚΗΣ ΑΠΑΙΤΗΣΗΣ

Το πρόγραμμα για μια ριζοσπαστική μαθηματική κοινωνιολογία, στην οποία όλη η συζήτηση γύρω από τα μαθηματικά είναι ένα είδος κοινωνικού διαλόγου, ξεκινά με τη διατύπωση από τον Μαρξ της αντίληψης ότι η επιστήμη είναι μια κοινωνική δραστηριότητα. Για να υπογραμμίσω το θέμα του κεφαλαίου αυτού, παίρνω την άδεια να αντικαταστήσω τον όρο “επιστημονικός” με τον όρο “μαθηματικός” στο παρακάτω απόσπασμα:

Ακόμα και όταν φέρνω εις πέρας μια [μαθηματική] εργασία κ.τ.λ. , μια δραστηριότητα την οποία σπάνια μπορώ να διεξάγω με απ’ ευθείας συνεργασία με άλλους ανθρώπους, εκτελώ μια κοινωνική (εξ’ αιτίας του ότι είναι ανθρώπινη) πράξη. Δεν είναι μόνο το υλικό της δραστηριότητάς μου -όπως καθεαυτή η γλώσσα που χρησιμοποιεί ένα σκεπτόμενο άτομο- το οποίο μου προσφέρεται σαν ένα κοινωνικό προϊόν. Η ίδια μου η ύπαρξη είναι μια κοινωνική δραστηριότητα (Μαρξ, στους Bottomore και Rubel,1956:77).

Αυτή η θεμελιώδης δήλωση της κοινωνιολογικής απαίτησης φτάνει στην κλασσική της μορφή στις τελευταίες σελίδες του βιβλίου του Emile Durkheim, οι στοιχειώδεις μορφές της θρησκευτικής ζωής. Στο βιβλίο αυτό, ο Durkheim εγκαινιάζει το μετασχηματισμό των προφανών παρατηρήσεων ότι ο Μαθηματικός είναι ένα κοινωνικό ον και ότι και η γλώσσα που χρησιμοποιεί είναι κοινωνική, για μια κοινωνιολογία εννοιών μη προφανή.

Ο Durkheim υποστηρίζει ότι οι μεμονωμένες σκέψεις μπορούν να γίνουν κατανοητές και να εξηγηθούν μόνο με συνδέοντάς τις με τις κοινωνικές καταστάσεις από τις οποίες εξαρτώνται. Έτσι, οι ιδέες γίνονται μεταδόσιμες αντιλήψεις μόνο όταν και στο βαθμό που Το πρόγραμμα για μια ριζοσπαστική μαθηματική κοινωνιολογία μπορούν και μοιράζονται στους άλλους (Durkheim, 1961:485). Οι νόμοι της σκέψης και της λογικής, για τους οποίους ο George Boole έψαξε μέσα σε καθαρά γνωστικές διαδικασίες (βλέπε την παρακάτω αναφορά), στην πραγματικότητα πρόκειται να βρεθούν και στην κοινωνική ζωή. Οι προφανώς καθαρότερες ιδέες, οι λογικές ιδέες, μεταφέρουν την εμφάνιση των αντικειμενικών και πλασματικών αντιλήψεων μόνο μέχρι το σημείο στο οποίο είναι μεταδιδόμενες και επικοινωνίσιμες, δηλαδή μέχρι το σημείο στο οποίο είναι συλλογικές απεικονίσεις. Στην περίπτωση αυτή, όλες οι ιδέες είναι συλλογικές απεικονίσεις και συλλογικές επεξεργασίες επειδή συλλαμβάνονται, αναπτύσσονται, υποστηρίζονται και αλλάζουν μέσα από κοινωνικές διαδικασίες μέσα στα κοινωνικά συμφραζόμενα. Το επόμενο πνευματικό στάδιο είναι να αναγνωρίσουμε ότι η “διεργασία”, τα “συμφραζόμενα”, η “σκέψη” και η “δράση” είναι έννοιες αδιαχώριστες μεταξύ τους. Οι ιδέες, έτσι, δεν είναι απλώς κοινωνικά προϊόντα, είναι συστατικά της κοινωνίας. Αυτή η πορεία σκέψης οδηγεί στο επαναστατικό συμπέρασμα ότι οι κοινωνικοί πληθυσμοί και οι κοινότητες είναι που σκέπτονται και όχι κάποια μεμονωμένα άτομα. Κοινότητες τέτοιου είδους δεν σκέπτονται στην κυριολεξία, με κάποιο υπερφυσικό τρόπο. Θα λέγαμε καλύτερα ότι τα μεμονωμένα άτομα δρουν ως οχήματα για να εκφράζει μια κοινότητα τις σκέψεις της, ή , αλλιώς, ότι είναι “κολεκτίβες σκέψης”. Ή, για να το πούμε αλλιώς, τα μυαλά είναι κοινωνικές δομές (Gumplowicz, 1905:268, Fleck, 1979:39).

Είναι μάταιο να υποθέσουμε ότι οι αντιλήψεις του κοινωνικού διαλόγου θα μπορούσαν να καταλήξουν ή να εκτιμηθούν από ανθρώπους οι οποίοι είναι βυθισμένοι σε συζητήσεις στις οποίες χρησιμοποιείται αποκλειστικά τεχνική ορολογία. Για να κατανοήσει κανείς και να εκτιμήσει τέτοιες αντιλήψεις, θα πρέπει να ασχοληθεί με τα μαθηματικά θεωρώντας τα σαν ένα πλήρως κοινωνικό χώρο, παρά σαν ένα κόσμο που αποτελείται από τύπους, συμβολισμούς, σημάδια, φαντασία, διαίσθηση και συλλογισμούς. Αυτό το πρώτο στάδιο μας κάνει να αντιληφθούμε τον “κόσμο των μαθηματικών”, που αποτελείται από δίκτυα ανθρώπων που επικοινωνούν μέσα σε αρένες γεμάτες συγκρούσεις και συνεργασίες, κυριαρχίες και πειθαρχίες. Εδώ είναι που αρχίζουμε να βιώνουμε τα μαθηματικά σαν μια κοινωνική πρακτική και να αναγνωρίζουμε τη σύνδεση και την αλληλεξάρτηση με άλλες κοινωνικές πρακτικές. Καθώς εισερχόμαστε στον κόσμο των μαθηματικών, αποκαλύπτεται εθνογραφικά η συνέχεια μεταξύ των κοινωνικών δικτύων των μαθηματικών και των κοινωνικών δικτύων της κοινωνίας και εμφανίζονται σαν κάτι το ενιαίο. Με τον τρόπο αυτό αποκαλύπτεται η αναλογία ανάμεσα στην πολιτισμική παραγωγή μέσω των μαθηματικών και την πολιτισμική παραγωγή μέσω όλων των άλλων κοινωνικών δραστηριοτήτων (Collins, 1985:165).

Το δεύτερο στάδιο στη σειρά αυτή προκύπτει όταν διακρίνουμε ότι ο κοινωνικός διάλογος και η τεχνική ορολογία φαίνονται να προχωράνε ταυτόχρονα και διαδοχικά. Το τρίτο στάδιο εστιάζει στον κοινωνικό διάλογο με όρους φυσικής ιστορίας, εθνογραφίας καθώς και με όρους κοινωνικής ιστορίας των σημάτων, συμβόλων, οχημάτων νόησης και φαντασίας. Όσο πιο πολύ συμμετέχουμε στους μαθηματικούς κόσμους στους οποίους οι μαθηματικοί “βλέπουν, ονομάζουν, ακούν και φτιάχνουν”, τόσο περισσότερο καθιστούμε απτή την τεχνική ορολογία (Geertz,1983:94-120). Το τελευταίο στάδιο στο να κατανοήσουμε την κοινωνιολογική απαίτηση προκύπτει όταν, τελικά, και τουλάχιστον κατ’ αρχάς αντιληφθούμε ότι ο διάλογος με τεχνική ορολογία είναι ένα είδος κοινωνικού διαλόγου.

Η μαθηματική γνώση δεν είναι απλά μια “παρέλαση συντακτικών μεταβολών”, μια ομάδα “δομικών μετασχηματισμών” ή ακόμα και “απλού τύπου γραμμικές συνδέσεις”. Όσο περισσότερο βυθιζόμαστε εθνογραφικά στους μαθηματικούς κόσμους, τόσο περισσότερο εντυπωσιαζόμαστε από τη γενικότητα της κοινωνιολογικής απαίτησης. Οι μαθηματικοί τύποι ή τα μαθηματικά αντικείμενα όλο και περισσότερο τείνουν να εξετάζονται σαν λογικότητες, συλλογικοί μετασχηματισμοί και παγκοσμίου ενδιαφέροντος απόψεις. Τα θεμέλια των μαθηματικών δεν εντοπίζονται στη λογική ή σε συστήματα από αξιώματα αλλά στην κοινωνική ζωή. Οι μαθηματικοί τύποι και τα μαθηματικά αντικείμενα ενσαρκώνουν τους μαθηματικούς κόσμους. Περιλαμβάνουν την κοινωνική ιστορία της κατασκευής τους. Παράγονται μέσα και από τους μαθηματικούς κόσμους. Τελικά, είναι οι κόσμοι αυτοί και όχι κάποιοι μεμονωμένοι μαθηματικοί αυτοί που δημιουργούν τα μαθηματικά (Becker,1982).

Η απελευθέρωσή μας από τις υπερβατικές και υπερφυσικές δυνάμεις και οράματα αρχίζει όταν η κοινωνιολογική απαίτηση αρπάζει την πίστη από τους θεολόγους και τους πιστούς και την ξεσκεπάζει. Γίνεται, δε, οριστική (για αυτό το στάδιο της ανθρώπινης ιστορίας) όταν η ίδια αυτή απαίτηση παίρνει από τα χέρια των φιλόσοφων και των ψυχολόγων τη νοημοσύνη και τη σκέψη. Στο κομμάτι αυτό της έρευνας είναι που τα περισσότερα προς συζήτηση θέματα της μαθηματικής κοινωνιολογίας γίνονται προφανή. Ο Durkheim έθεσε τα θέματα αυτά επί τάπητος όταν συνέδεσε την κοινωνιολογική του εργασία σχετικά με την πίστη με ένα πρόγραμμα για την κοινωνιολογική εργασία σχετικά με τις λογικές αντιλήψεις. Η πρώτη πλήρης έκφραση αυτών των θεμάτων συναντάται στο βιβλίο του Oswald Spengler, Η παρακμή της Δύσης.

Ο SPENGLER ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΚΟΥΛΤΟΥΡΑ

Σε μια από τις πρώτες αναγγελίες μιας “καινούργιας επιστημονικής κοινωνιολογίας”, ο David Bloor αναφέρει τον Oswald Spengler σαν έναν από τους λίγους συγγραφείς ο οποίος αναμετρήθηκε με τα αυταπόδεικτο “γεγονός” ότι τα μαθηματικά είναι παγκόσμια και ευμετάβλητα (Bloor,1976:95). Αλλά ο Bloor δεν αναφέρει και πολλά πράγματα για το κεφάλαιο “Αριθμοί και Κουλτούρα” από το βιβλίο του Spengler, Η παρακμή της Δύσης - μόνο ότι είναι “εκτεταμένο και συναρπαστικό, ίσως και σε μερικά σημεία ασαφές”. Η έκταση αυτή και η ασάφεια είναι, πιθανότατα, δύο λόγοι για τους οποίους η συνεισφορά του Spengler στην κατανόηση των μαθηματικών έχει αγνοηθεί. Επίσης, κάποιοι διανοούμενοι και επιστήμονες τον θεωρούν πολύ συντηρητικό, ακόμα και φιλικά προσκείμενο σε φασίστες και στην ιδεολογία τους, και γι’ αυτό το λόγο ανάξιο σοβαρής μελέτης από κάποιο σοβαρό μελετητή. Αλλά ο Spengler δεν ήταν φασίστας και σίγουρα δεν ήταν περισσότερο συντηρητικός ή εθνικιστής από κάποιους άλλους διανοούμενους και επιστήμονες που έχουν τύχει πλατιάς αποδοχής και σεβασμού από την επιστημονική κοινότητα (π.χ. ο Max Weber). Μάλιστα, η ενδιαφέρουσα σχέση του Spengler με τον Wittgenstein (και, στην πραγματικότητα, το πόσο επηρέασε ο Spengler αυτό το εξέχον πρόσωπο στο πάνθεον των μοντέρνων φιλοσόφων) μόλις τώρα αρχίζει να έρχεται στο φως. Μεγάλο ενδιαφέρον στη σχέση αυτή παρουσιάζει η κοινή και αρκετά παραμελημένη ηθική τους ατζέντα (η οποία υπέπεσε στην αντίληψή μου με τη βοήθεια του Ιστορικού Peter John). Αλλά αυτό που είναι άμεσου ενδιαφέροντος είναι η κοινή τους σκέψη για μια μαθηματική ανθρωπολογία (για τον Spengler, τον Wittgenstein και άλλους οι οποίοι έχουν συνεισφέρει στη μαθηματική ανθρωπολογία, βλέπε Restivo,1983:161-75 και Crumb,1989).

Υπάρχουν λίγες αμφιβολίες σχετικά με το ότι μέρος της αντίθεσης στον Spengler οφείλεται στο γεγονός ότι, αντίθετα από άλλους συγγραφείς που έχουν αναμετρηθεί με τις κυρίαρχες αξίες της δυτικής κουλτούρας (συμπεριλαμβανόμενου και του Wittgenstein), o Spengler είναι πιο δύσκολο να αναγνωριστεί σαν ένας λογικός και αναγνωρίσιμος αντίπαλος ή σύμμαχος. Εμφανίζονται αντιφάσεις και παράδοξα στο περιθώριο της δουλειάς του, στην πραγματικότητα δεν θέλει να παίξει το παιχνίδι της σύγχρονης επιστήμης, κουλτούρας και φιλοσοφίας. Όσοι θέλουν να παίξουν αυτά τα παιχνίδια δεν μπορούν να χρησιμοποιήσουν τον Spengler, ακόμα και όταν, κατά κάποιο τρόπο, τον εκτιμούν. Ο Bloor είναι μια τέτοια περίπτωση. Άσχετα από το θαυμασμό και την υποχρέωσή του προς τον Spengler, τελικά η μαθηματική κοινωνιολογία του Bloor βασίζεται στην υπεράσπιση της σύγχρονης (δυτικής) επιστήμης και κουλτούρας (Restivo,1988:208).

Η ανάλυση του Spengler δεν προσδιορίζει μια προνομιακή κατάσταση στη δυτική κουλτούρα ή επιστήμη. Είναι, επίσης, σημαντικό να αναγνωρίζουμε τη σημασία της προτεραιότητας που δίνει στους αριθμούς. Το πρώτο ουσιαστικό κεφάλαιο στον πρώτο τόμο, το κεφάλαιο 2, αναφέρεται στους αριθμούς και στην κουλτούρα και αναγνωρίζει τα μαθηματικά ως ένα σημείο- κλειδί για την ανάλυση της κουλτούρας του Spengler. Μια και έχω αναφερθεί στις απόψεις του Spengler εκτενώς σε άλλα σημεία, θα είμαι πολύ σύντομος στο να αναγνωρίσω τα κεντρικά αξιώματα της θεωρίας του (Restivo,1983:211-31).

Ο αριθμός, σύμφωνα με τον Spengler, είναι “το σύμβολο της αιτιολογικής ανάγκης”. Είναι το σύμβολο μιας ολοκληρωμένης (μηχανικής) οριοθέτησης και ένα μέσο για να εξασκήσει κανείς τη θέληση να “εξουσιάσει τον κόσμο”. Επειδή ο Spengler φαντάζεται ότι οι διάφορες κουλτούρες είναι άσχετες μεταξύ τους (αν και δέχεται την προοδευτική μεταμόρφωση μιας κουλτούρας σε μιαν άλλη), υποστηρίζει ότι τα μαθηματικά γεγονότα και επιτεύγματα δεν θα’ πρεπε να τα βλέπουμε σαν στάδια στην εξέλιξη κάποιων “παγκοσμιο-ποιημένων” μαθηματικών. Ένας, συγκεκριμένος κάθε φορά, τύπος μαθηματικής σκέψης συνδέεται με κάθε μία κουλτούρα -Ινδιάνικη, Κινέζικη, Βαβυλωνιακή-Αιγυπτιακή, Αραβική-Ισλαμική, Ελληνική (κλασσική) και Δυτική. Στο σχέδιο του Spengler, οι δυο μεγαλύτερες κουλτούρες, η κλασσική και η Δυτική, συνδέονται αντίστοιχα με τον αριθμό σαν μέγεθος (σαν την ουσία κάποιων ορατών, πραγματικών αντικειμένων) και με τον αριθμό σαν σχέση (με τη συνάρτηση σαν μια ένωση σχέσεων. Η αφηρημένη ισχύς τέτοιου είδους αριθμών είναι αυτοδιαιρούμενη (Spengler,1926: κεφ. 2).

Η θεωρία των μαθηματικών του Spengler παράγει μια ασθενή και μια ισχυρή μαθηματική κοινωνιολογία. Η ασθενής μορφή είναι αυτή την οποία οι σπουδαστές του κόσμου των μαθηματικών που έχουν δεχτεί την ισχύ και τη χρησιμότητα του κοινωνικού διαλόγου πάνω στα μαθηματικά, τη βρίσκουν λίγο πολύ λογική. Απλώς υπογραμμίζει τη βαρύτητα της μαθηματικής παράδοσης ανάμεσα στις διάφορες κουλτούρες. Η ισχυρή μορφή προϋποθέτει την κοινωνιολογική απαίτηση -την άποψη ότι τα μαθηματικά αντικείμενα είναι φύσει κοινωνικά.

Η ΑΣΘΕΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑ

Η ασθενής μορφή της θεωρίας του Spengler ερμηνεύεται από τα εναλλακτικά μαθηματικά, τα οποία έχουν παρουσιαστεί από τους Wittgenstein και Bloor (τα οποία, στην πραγματικότητα, δεν είναι εναλλακτικά για τα μοντέρνα μαθηματικά αλλά, θα λέγαμε, πολιτισμικά ξεχωριστές μορφές μαθηματικών) και από συγκεκριμένες μαθηματικές παραδόσεις (Ευρωπαϊκή, των χωρών κάτω από τη Σαχάρα, Κινέζικη κ.τ.λ.). η μελέτη αυτών των παραδόσεων παράγει ιστορίες σχετικά με τα “μαθηματικά της επιβίωσης”, οι οποίες είναι οι κοινωνικο-πολιτισμικές βάσεις για την άνοδο και την πτώση των μαθηματικών, τα εθνομαθηματικά, τα οποία είναι οι κοινωνικές αλήθειες πίσω από τους μύθους του Ελληνικού και Αραβοϊσλαμικού “θαύματος” και η οργανική επανάσταση στα Ευρωπαϊκά μαθηματικά και τις επιστήμες, γενικότερα, από το δέκατο έβδομο αιώνα και έπειτα. Η επεισοδιακή ιστορία των Ινδικών μαθηματικών φαίνεται έτσι να σχετίζεται, μαζί με άλλους παράγοντες, με την τμηματική αποκέντρωση της Ινδικής κουλτούρας και του συστήματος της κάστας. Ο “χρυσός” αιώνας στην Αρχαία Ελλάδα, ο Αραβοϊσλαμικός κόσμος μεταξύ 700 και 1200, η Ιαπωνία του δεκάτου εβδόμου αιώνα, η T’ang Κίνα και άλλες τέτοιες περιπτώσεις μπορούν να συσχετισθούν αιτιολογικά με τις κοινωνικές και εμπορικές επαναστάσεις. Οι κυρίαρχες κοινωνικές δυνάμεις που κράτησαν τις εμπορικές και πνευματικές δραστηριότητες υπό τον έλεγχο της κεντρικής γραφειοκρατίας στην Κίνα φαίνεται να είναι μια από τις αιτίες της αποτυχίας της Κίνας να υποφέρει μια αυτόχθονη επιστημονική επανάσταση.

Οι διαφορές ανάμεσα στις μαθηματικές παραδόσεις δεν σημαίνουν, απαραίτητα, κάποια ασυμμετρία. Είναι συμβατές με την ιδέα της μακρόχρονης εξέλιξης ή ανάπτυξης των “παγκοσμιοποιημένων” μαθηματικών. Αλλά η ισχυρή μορφή της θεωρίας του Spengler -ότι οι μαθηματικοί είναι αντανακλάσεις της άποψής τους για τον κόσμο- είναι μια άλλη ιστορία.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΙΣΧΥΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ

Δεν υπάρχει κάποιο σαφές πειστήριο της ισχυρής μορφής της θεωρίας του Spengler σχετικά με τους αριθμούς και την κουλτούρα, δηλαδή δεν υπάρχει ένα παράδειγμα που να πείθει την πλειοψηφία των μαθηματικών και των σπουδαστών των μαθηματικών ότι όντως είναι πιθανό να περιγράψει κανείς και να εξηγήσει το περιεχόμενο των “συγκεκριμένων επιστημών” με κοινωνιολογικούς όρους. Αλλά υπάρχουν κάποια σημάδια στο δρόμο της εύρεσης ενός τέτοιου πειστηρίου. Κάποια από αυτά τα σημάδια είναι συστατικά της κοινωνιολογικής απαίτησης. Κάποια άλλα είναι αποτέλεσμα του ακόμα πολύ μικρού σώματος έρευνας στην κοινωνιολογία και την κοινωνική ιστορία των μαθηματικών. Βασισμένοι στα σημάδια αυτά αρχίζουμε να προσδοκούμε ότι θα μπορούμε να αφηγούμαστε μια ιστορία σχετική με τα μαθηματικά με όρους της ισχυρής μορφής της θεωρίας του Spengler. Ξεκινώ με μια σύντομη εισαγωγή.

Οι αριθμοί προκύπτουν εν μέρει από το ότι 1) τα πράγματα και τις διαδικασίες στον κόσμο μας τα βιώνουμε και μπορούμε να τα μεταχειριστούμε σαν ξεχωριστά και 2) τα ξεχωριστά πράγματα και διαδικασίες σχηματίζουν ή μπορούν να διαταχθούν σε ομάδες: “Αν το δούμε με τον τρόπο αυτό, οι αριθμοί μπορούν να θεωρηθούν αφαιρετικές ιδιότητες κάποιων ομάδων, παρά, όπως κάποιοι φιλόσοφοι διατείνονται, δημιουργήματα του εγκεφάλου” (Hawkins,1964:12-13). Ο αριθμός, τότε και κατ’ αρχάς, αναφέρεται σε πράγματα και διαδικασίες που βιώνουμε στον κόσμο. Σύμφωνα με τη λογική αυτή, η αναφορά είναι εκδηλωτική, ονομαστική ή προφανής. Αλλά τι γίνεται με τον δεύτερο τύπο αναφοράς, τον οποίο ο Hawkins (1964;18) ονομάζει “προτασιακό” ή “περιγραφικό”; και εδώ η αναφορά αφορά έναν υλικό κόσμο, αλλά τουλάχιστον σε ένα δευτερεύοντα ρόλο. Το κεντρικό υλιστικό ζήτημα σχετικά με τα αφηρημένα ή τα καθαρά μαθηματικά εκφράζεται με τη γενική θεωρία ότι “όποτε κάποιοι άνθρωποι αναπτύσσουν επαρκώς περίπλοκα όργανα, αυτά είναι συνήθως αντικείμενα της δικαιοδοσίας τους” (Hawkins,1964:36).

Μπορούμε, τότε, να βρούμε νόημα με κοινωνιολογικούς και υλιστικούς όρους του ισχυρισμού του Hawkins (1964:31) ότι τα μαθηματικά δεν είναι αντιπροσωπευτικά, αλλά έχουν υπενθυμιστικό ρόλο, δηλαδή ότι είναι περισσότερο ένα “μοντέλο”, παρά μια “περιγραφή”; στο σημείο αυτό είμαι έτοιμος να υποδείξω πώς θα μπορούσαμε να κινηθούμε για να πούμε μια κοινωνιολογική ιστορία σχετική με τα μαθηματικά.

Όσοι ασχολούνται με τα μαθηματικά χρησιμοποιούν εργαλεία, μηχανισμούς, τεχνικές και δεξιότητες για να μετασχηματίσουν την πρώτη ύλη σε έτοιμο προϊόν. Δουλεύουν σε μαθηματικά “εργαστήρια γνώσης” τόσο μικρά όσο ένα άτομο και τόσο μεγάλα όσο τα ερευνητικά κέντρα και τα παγκόσμια δίκτυα. Αλλά άσχετα από το αν αυτός που δουλεύει είναι ένα άτομο ή ένα κέντρο, είναι πάντα μέρος ενός μεγαλύτερου δικτύου από ανθρώπινα, υλικά και συμβολικά μέσα και αλληλεπιδράσεις- είναι πάντα μια κοινωνική δομή.

Όσοι ασχολούνται με τα μαθηματικά παράγουν μαθηματικά αντικείμενα όπως θεωρήματα, σημεία, ψηφία, συναρτήσεις και ακεραίους. Ασχολούνται με δύο, γενικά, είδη πρώτων υλών. Το πρώτο είδος είναι το σύνολο των πραγμάτων, γεγονότων και διαδικασιών (συμπεριλαμβανομένων των μαθηματικών αντικειμένων) της ανθρώπινης συμπεριφοράς, τα οποία μπορούν να “μαθηματικοποιηθούν”. Το δεύτερο είδος είναι το σύνολο των μαθηματικών αντικειμένων. Όσοι ασχολούνται με τα μαθηματικά δουλεύουν πρωτίστως ή και αποκλειστικά με πρώτες ύλες από το πρώτο είδος. Οι μαθηματικοί (απλοί, αλά και όσοι ασχολούνται με τα καθαρά μαθηματικά) δουλεύουν κυρίως ή πρωτίστως με πρώτες ύλες από το δεύτερο είδος. Όσο πιο εξειδικευμένη και οργανωμένη γίνεται η μαθηματική εργασία, τόσο αυξάνεται ο βαθμός καμουφλαρίσματος, διείσδυσης, και δυνατότητας αντικατάστασης ανάμεσα στα μαθηματικά αντικείμενα, τις πρώτες τους ύλες, τους μηχανισμούς και τα εργαλεία. Όσο μακρύτερη είναι η παραγωγική συνέχεια σε έναν ειδικευμένο μαθηματικό κόσμο, τόσο πιο αφηρημένα μαθηματικά προϊόντα θα δημιουργούνται. Είναι, επίσης, σημαντικό να αναγνωρίζουμε τον τρόπο με τον οποίο καλύπτονται μεταξύ τους τα μαθηματικά αντικείμενα, οι πρώτες ύλες της μαθηματικής εργασίας και τα εργαλεία και οι μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται για την επίτευξη της μαθηματικής εργασίας.

Καθώς η εξειδίκευση αυξάνεται, όπως και τα επίπεδα της αφαίρεσης, η υλική και η κοινωνική καταγωγή της μαθηματικής εργασίας και των προϊόντων της γίνεται όλο και πιο ασαφής. Συγκεκριμένα, αυτό που συμβαίνει είναι ένας ενισχυμένος τύπος πολιτισμικής ανάπτυξης. Η πολιτιστική δραστηριότητα δημιουργεί νέα συμβολικά στρώματα στα υλικά στρώματα της καθημερινής ζωής. Όσο υψηλότερο είναι το επίπεδο της πολιτισμικής ανάπτυξης, τόσο αυξάνεται η απόσταση μεταξύ των υλικών και των στρωμάτων της καθημερινής ζωής. Όλο και περισσότερο οι άνθρωποι δουλεύουν και ανταποκρίνονται στα υψηλότερα συμβολικά επίπεδα. Φανταστείτε, τώρα, την περίπτωση όπου κάποιος που ασχολείται με τα μαθηματικά είναι απελευθερωμένος από την αναγκαιότητα να τρέχει συνέχεια και να αποταμιεύει ή να ψωνίζει και να πληρώνει φόρους και κάθεται να εργαστεί με τα καθαρότερα μαθηματικά αντικείμενα που έχουν δημιουργηθεί από τους προγόνους του. Κάτω από τις συνθήκες αυτές, η άποψη ότι η καθαρή μαθηματική δραστηριότητα (που ίσως εκτελείται ακόμα με χαρτί και μολύβι- μεγάλη υποχώρηση για έναν Πλατωνικό!) είναι η πηγή των μαθηματικών αντικειμένων, γίνεται όλο και πιο επιβεβλημένη και πιθανή. Οι μαθηματικοί ξεχνούν την ιστορία που γράφουν ως δημιουργοί στον κοινωνικό και υλικό κόσμο και της ιστορία των προγόνων τους, οι οποίοι χρησιμοποιούσαν χαλίκια, σκοινιά, εκτάσεις γης, βωμούς και βαρέλια με κρασί. Ή, επειδή δεν κατέχουν τη γλώσσα που απαιτείται για να καταγράψουν κοινωνικά γεγονότα, η άγνοια παρά η ασθενής μνήμη καλλιεργεί “αγνά” συμπεράσματα. Η αναλογία με τις θρησκευτικές ιδέες, απόψεις και σκέψεις είναι άμεση και πρωτοαναγνωρίστηκε, τουλάχιστον σιωπηρά, από τον Durkheim. Στον Spengler, η άποψη αυτή αποκτά μια σαφή και βαθιά έκφραση.

Η ειδίκευση, η επαγγελματοποίηση και η γραφειοκρατικοποίηση είναι πτυχές της οργανικής και καθιερωμένης ιστορίας των μοντέρνων μαθηματικών. Αυτές οι διαδικασίες προέκυψαν στις πρώιμες μαθηματικές περιόδους αλλά η έκταση, η κλίμακα και η συνέχισή τους στη σύγχρονη εποχή είναι άνιση. Το αποτέλεσμά τους είναι να παράγουν κλειστότητα στον κόσμο των μαθηματικών. Όσο η κλειστότητα αυξάνει, τα σύνορα που ξεχωρίζουν τους μαθηματικούς κόσμους μεταξύ τους και από τους υπόλοιπους κοινωνικούς χώρους γίνονται όλο και πιο σκληρά και αδιαπέραστα. Οι ειδικευμένες γλώσσες, οι συμβολισμοί και η σημειογραφία είναι κάποια από τα πράγματα που κάνουν πιο συμπαγή τα σύνορα γύρω από τον κόσμο των μαθηματικών.

Τελικά, στη θεωρία, αν η διαδικασία που έχω σχεδιάσει συνεχιστεί χωρίς έλεγχο, προκύπτει ένα εντελώς κλειστό σύστημα. Αυτό, τεχνικά, είναι αδύνατο. Αλλά όσο η κλειστότητα γίνεται μέγιστη, ο κόσμος των μαθηματικών (όπως και κάθε άλλος κόσμος) στασιμοποιείται, αρχίζει να εκφυλίζεται και, στο τέλος, αποσυντίθεται.

Ένα μέρος αυτής της κλειστότητας διευκολύνει κάποιες καινοτομίες και κάποιες σταδιακές αλλαγές. Η μεγιστοποίηση της κλειστότητας εμποδίζει κάτι τέτοιο. Για το λόγο αυτό, τα πλεονεκτήματα αυτής της κλειστότητας πρέπει να ισορροπηθούν με τα πλεονεκτήματα ενός ανοίγματος, δηλαδή της ανταλλαγής πληροφοριών με άλλους κοινωνικούς χώρους. Συγκεκριμένα, ο κίνδυνος για το κοινωνικό σύστημα των καθαρών μαθηματικών είναι ότι θα αποκοπεί από το ερέθισμα των εξωτερικών προβλημάτων. Αν τα καθαρά μαθηματικά βασίζονται αποκλειστικά στις δικές τους πολιτισμικές πηγές, η ικανότητά τους να παράγουν καινοτόμα, δημιουργικά προβλήματα και λύσεις σταδιακά εκφυλίζεται. Σαν επακόλουθο αυτού, τα αποτελέσματα της εργασίας πάνω στα καθαρά μαθηματικά θα μπορούν να εφαρμοστούν όλο και πιο λίγο σε προβλήματα άλλων κοινωνικών χώρων.

Ο κύκλος της κλειστότητας ενισχύει την ακεραιότητα της κοινότητας. Ο κύκλος του ανοίγματος τη δυναμώνει με δεδομένα και προκλήσεις από άλλους κοινωνικούς χώρους. Η αλληλεπίδραση μεταξύ των εσωτερικών και εξωτερικών μαθηματικών κοινωνιολογιών, των μαθηματικών και μη μαθηματικών ιδεών και των καθαρών και εφαρμοσμένων μαθηματικών είναι όλα πλευρές του ανοίγματος του κύκλου και είναι και απαραίτητα για τις δημιουργικές, καινοτόμες αλλαγές στις μαθηματικές ιδέες και στην οργάνωση των μαθηματικών κόσμων.

Η ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΥΠΟΣΤΑΣΗ ΤΩΝ ΚΑΘΑΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Τα καθαρά μαθηματικά είναι θεμελιωμένα και αποτελούνται από κοινωνικές και υλικές πηγές. Η άποψη ότι τα καθαρά μαθηματικά είναι προϊόν κάποιου τύπου άμεσης γνωστικής διαδικασίας βασίζεται στη δυσκολία να ανακαλύψει κανείς τη σχέση μεταξύ ατομικής, σκεπτόμενης κοινωνικής ζωής υλικού κόσμου. Αυτή η ανακάλυψη είναι που σιγά σιγά οικοδομείται πάνω στα θεμέλια της εργασίας των Durkheim, Spengler, Wittgenstein και άλλων. Το να εδραιώσει κανείς αυτή τη σχέση συμπεριλαμβάνει, μερικώς και το να αναγνωρίσει ότι τα σύμβολα και η σημειογραφία αυτή είναι, στην πραγματικότητα, “υλικά” και ότι δουλεύονται με τους ίδιους τρόπους και κανόνες που ορίζουν τον τρόπο με τον οποίο δουλεύουμε με χαλίκια, τούβλα και άλλα “σκληρά” αντικείμενα.

Η προσπάθεια του George Boole να ανακαλύψει τους “νόμους της σκέψης” απέτυχαν επειδή δεν κατάλαβε τις κοινωνικές και υλικές βάσεις των κατηγορηματικών προτάσεων (Restivo,1990:132). Οι κατηγορηματικές προτάσεις είναι, στην πραγματικότητα, υψηλού επιπέδου αφαιρέσεις, οι οποίες σχηματίζονται από εμπειρίες της “αληθινής ζωής”, θεμελιωμένες στη γενικευμένη συνέχεια των σχέσεων δασκάλου- μαθητή και ερευνητή- ερευνητή και οι οποίες αντανακλώνται και εκφράζονται μέσα από αλυσίδες επαγωγικών συμπερασμάτων. Το “αυταπόδεικτο” τέτοιων προτάσεων εμφανίζεται όχι από τα υποθετικά τους αξιώματα ότι είναι “νόμοι της σκέψης”, αλλά από το πραγματικό αξίωμα ότι είναι γενικεύσεις βασισμένες σε γενιές ανθρώπινης εμπειρίας, συμπυκνωμένες σε συμβολικές μορφές.

Στην περίπτωση των μεταμαθηματικών, τα προβλήματα, τα σύμβολα και τα νοήματα που φαίνεται να είναι παράγωγα καθαρής νόησης και αυθαίρετης και χαρούμενης δημιουργικότητας, είναι, στην πραγματικότητα, αντικείμενα κατασκευασμένα σε ένα πολύ σπάνιο αλλά όχι και κατώτερο κοινωνικό χώρο. Όλο και πιο αφηρημένες απόψεις που αναπαράγονται με τη μορφή μιας νέας γενιάς, παίρνουν τα προϊόντα παλιότερων γενιών και τα χρησιμοποιούν σαν αποθέματα και εργαλεία για τις δικές τους παραγωγικές διαδικασίες. Ακόμα μεγαλύτερες αφαιρέσεις αναπαράγονται όταν οι μαθηματικοί αντανακλώνται στα θεμέλια των αφηρημένων συστημάτων και όταν από μόνοι τους αρχίζουν να δημιουργούν ολόκληρους μαθηματικούς κόσμους.

Μπορούμε να παρακολουθήσουμε αυτή τη διαδικασία όπου η αφαίρεση φτάνει σε όλο και μεγαλύτερα επίπεδα από το “πρωτόγονο” στάδιο της καθημερινής ζωής στην εργασία του Boole πάνω στον “ειδικό νόμο” x2=x. Ξεκινά προτείνοντας με έναν αφηρημένο και τυπικό τρόπο ένα Βασίλειο των Αριθμών στο οποίο υπάρχουν δύο σύμβολα, το 0 και το 1. Και τα δύο υπακούουν στον ειδικό νόμο. Αυτό τον οδηγεί στην περιγραφή μιας Άλγεβρας στην οποία τα σύμβολα x, y, z και c “δέχονται με τον ίδιο τρόπο τις αξίες 0 και 1 και ξεχωριστά την καθεμιά”. Τώρα, από πού προέρχεται αυτός ο ειδικός νόμος; ο Boole τον σχηματίζει στη βάση μιας “ταξικής” προοπτικής, εδραιωμένης πάνω σε παραδείγματα του “αληθινού κόσμου”, όπως “λευκά αντικείμενα” (x), “πρόβατα” (y) και “λευκά πρόβατα” (xy). Αυτό ορίζει ότι xy=yx. Επίσης, παίρνει ότι 12=1, εξηγώντας ότι το “καλοί, καλοί άνθρωποι” είναι ισοδύναμο του “καλοί άνθρωποι”. Στην περίπτωση του xy=yx, υποστηρίζει ότι από τη στιγμή που ο συνδυασμός δύο κυριολεκτικών συμβόλων, xy, συμβολίζει την τάξη εκείνη των αντικειμένων στην οποία τα ονόματα ή οι ποσότητες που αντιπροσωπεύουν τα x και y είναι αμφότερα εφαρμόσιμα, προκύπτει ότι “αν τα δύο σύμβολα έχουν ακριβώς την ίδια σημασία, ο συνδυασμός τους δεν εκφράζει τίποτε περισσότερο απ’ ό,τι το καθένα ξεχωριστά”. Έτσι, xy=x και αφού το y σημαίνει ό,τι και το x, xx=x (Boole,1958:31-37).

Τελικά, υιοθετώντας τη σημειογραφία της κοινής άλγεβρας, ο Boole φτάνει στο αποτέλεσμα x2=x. Είμαστε πάλι σε έναν κόσμο στον οποίο είναι δυνατό να εκφέρουμε συνηθισμένες εκφράσεις όπως “καλοί, καλοί άνθρωποι” και μαθηματικές εκφράσεις, όπως 12=1. Μια προσεκτική επανάληψη της διαδικασίας του Boole, μας αποκαλύπτει ότι πέρα από τη δημιουργία μιας “μυστήριας” σημειογραφίας εκτός της πραγματικότητάς μας, περιγράφει απλώς έναν πρωτόγονο “καθημερινό” κόσμο, στον οποίο υπάρχουν μόνο μηδενικά και μονάδες. Αυτός είναι όντως ένας σπάνιος κόσμος, αλλά στον οποίο οι κανόνες που ορίζουν τη συμπεριφορά των μηδενικών και των μονάδων μοιάζει με αυτούς που ορίζουν τη συμπεριφορά των υλικών αντικειμένων στον καθημερινό υλικό κόσμο. Τα σύμβολα και οι σημειογραφίες είναι απλώς αντικείμενα υψηλότερου βαθμού τα οποία χρησιμοποιούμε με τον ίδιο τρόπο και με του ίδιου τύπου περιορισμούς που υφίστανται και στα “σκληρά” υλικά (στο τέλος, ο Boole μεταφράζει το μηδέν και τη μονάδα, συγκριτικά, σαν Τίποτα και Σύμπαν).

Έχει ενδιαφέρον το ότι υπάρχει στους φιλοσόφους των μαθηματικών και τους μεταμαθηματικούς μια τάση αναπαραγωγής ενός βαθύτατα αμφισβητούμενου, αφελούς ρεαλισμού για να “εξηγηθεί” η διαδικασία της εργασίας πάνω σε παλιές αφαιρέσεις, ώστε να δημιουργηθούν καινούργιες. Ο Kleene, π.χ., γράφει:

Οι μεταμαθηματικοί πρέπει να μελετήσουν το τυπικό σύστημα σαν ένα σύστημα συμβόλων κ.τ.λ., τα οποία θεωρούνται εντελώς αντικειμενικά. Αυτό σημαίνει ότι αυτά τα σύμβολα κ.τ.λ. είναι από μόνα τους τα απόλυτα αντικείμενα και δεν χρησιμοποιούνται για να αναφερθούν σε τίποτα άλλο παρά τον εαυτό τους. Ο μεταμαθηματικός κοιτάει απλώς αυτά τα αντικείμενα, δεν κοιτάει ούτε μέσα ούτε πίσω από αυτά. Κι αυτό γιατί είναι αντικείμενα τα οποία δεν χρήζουν εξήγησης ή κάποιου νοήματος (1971:63).

Η διαδικασία αυτή δημιουργεί την ιδέα της αντικειμενικής επιστήμης. Αλλά χωρίς να υπάρχει μια κοινωνιολογική θεωρία σχετικά με τη γνώση και τη νόηση, είναι αδύνατο να αντιληφθούμε ότι οι ίδιοι λόγοι για τους οποίους απορρίπτουμε τον αφελή ρεαλισμό στις φυσικές επιστήμες είναι παρόμοιοι και στην περίπτωση των πολυξακουσμένων συγκεκριμένων επιστημών (βλέπε τη σχετική εργασία στο Restivo,1990).

Κάποιο μαθηματικοί και φιλόσοφοι των μαθηματικών έχουν αναγνωρίσει ότι αυτή η αφαίρεση έχει σχέση με την επανάληψη. Έχουν εκφράσει αυτή τους την αναγνώριση σε ιδέες όπως “αφηρημένα μοντέλα δεύτερης γενιάς” και “άλγεβρες κατασκευασμένες πάνω σε άλγεβρες”. Μια σημαντική περίπτωση όπου επικαλείται κάποιος την αρχή της επανάληψης είναι το αξίωμα του Richard Dedekind ότι “η αριθμητική θα αναπτυχθεί από μόνη της”. Θα μπορούσαμε να ισχυριστούμε ακόμα και ότι τα μαθηματικά είναι, σε γενικές γραμμές, μια επαναληπτική διαδικασία. Από κοινωνιολογική άποψη, η επανάληψη είναι μια κοινωνική διαδικασία κάποιων συμπαγών αλυσίδων από μαθηματικούς, το οποίο είναι μια παραγωγική συνέχεια. Όσο η παραγωγική συνέχεια εντείνεται και η κλειστότητα διευρύνεται στη μαθηματική κοινότητα, οι μαθηματικοί εργάζονται όλο και περισσότερο μέσα στον κόσμο των μαθηματικών και όλο και λιγότερο έξω από αυτόν. Τελικά, οι εμπειρίες τους σταδιακά όλο και πιο δύσκολα μπορούν να γίνουν βίωμα και να συζητηθούν με όρους που χρησιμοποιούνται στις γνώριμες καθημερινές εμπειρίες. Οι κόσμοι που αφήνουν πίσω τους αποτελούνται από εικόνες, τοπία και αναγνωρίσιμα αντικείμενα. Οι μαθηματικοί κόσμοι αποτελούνται από σύμβολα και σημειογραφίες. Αυτές είναι οι κοινωνικές και υλικές βάσεις των πολυξακουσμένων μη απεικονίσιμων μαθηματικών. Αλλά οι μαθηματικές εμπειρίες στους ιδιαίτερα ειδικευμένους μαθηματικούς κόσμους δεν είναι κυριολεκτικά μη απεικονίσιμες. Τα μέσα που ανακατεύονται και συλλαμβάνονται στους μαθηματικούς κόσμους είναι τόσο ραφιναρισμένα που δεν είναι απεικονήσιμα με όρους από την καθημερινή πραγματικότητα. Οι αναφορές σχετικά με τα μαθηματικά αντικείμενα είναι όλο και περισσότερο μαθηματικά, παρά αντικείμενα της καθημερινής ζωής. Από τη στιγμή που η κλειστότητα δεν είναι ποτέ τέλεια, ένας βαθμός εικόνων βρίσκει θέση και στην πιο αφηρημένη μαθηματική εργασία. Και σε κάθε περίπτωση οι καθημερινές εικόνες σχεδόν αναπόφευκτα παράγονται όσο οι μαθηματικοί κινούνται ανάμεσα στους μαθηματικούς κόσμους και σε άλλους κόσμους. Την ίδια στιγμή, νέες εικονικές εμπειρίες και διαδικασίες οδηγούν στην εμφάνιση νέων εικόνων, των εικόνων του μαθηματικού κόσμου. Κατά τη διάρκεια της περιόδου στην οποία οι εικόνες αυτές κατασκευάζονται κοινωνικά (δηλαδή όσο οι μαθηματικοί μαθαίνουν να μεταφράζουν ή να “βλέπουν” αντικείμενα στους μαθηματικούς κόσμους), η μαθηματική εμπειρία στις πιο αφηρημένες της μορφές θα στερείται, αναγκαστικά, εικόνων.

Η ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΩΝ ΑΠΟΔΕΙΞΕΩΝ

Το 1928, ο G.H. Hardy έγραψε:

Δεν υπάρχει αυστηρά καθορισμένη ομιλία στις μαθηματικές αποδείξεις. Το μόνο που μπορούμε να κάνουμε στο τελικό μέρος της ανάλυσης είναι να υποδεικνύουμε... οι αποδείξεις είναι αυτό που ο Littlewood και εγώ ονομάζουμε “φλυαρίες”, ρητορικά στολίδια σχεδιασμένα να επηρεάζουν την ψυχολογία, σχέδια πάνω στον πίνακα σε κάποια διάλεξη, επινοήσεις σχεδιασμένες για να ερεθίζουν τη φαντασία των μαθητών (Kline,1980:314).

Κάποια χρόνια μετά, ο μαθηματικός R.L. Wilder υποστήριξε ότι μια απόδειξη είναι απλά ένας τρόπος να “δοκιμάσουμε τα προϊόντα της διαίσθησής μας”.

Προφανώς, ποτέ δεν κατέχουμε και, πιθανότατα ποτέ δεν θα κατέχουμε, κανένα τύπο αποδείξεων που να είναι ανεξάρτητος του χρόνου, του προς απόδειξη πράγματος, ή του ατόμου ή της σχολής σκέψης που τον χρησιμοποιεί. Και κάτω από αυτές τις συνθήκες, το λογικό είναι να παραδεχτούμε ότι δεν υπάρχει, σε γενικές γραμμές, η απόλυτη αλήθεια [απόδειξη] στα μαθηματικά, ό,τι κι αν νομίσει ο κόσμος (Kline,1980:314).

Και ο ίδιος ο Whitehead αντιτάχθηκε στη θεμελίωση της φιλοσοφικής σκέψης στις συγκεκριμένες αναλύσεις των ειδικών επιστημών- από την πλευρά της ανάπτυξης της σκέψης, η ακρίβεια και η λογική είναι μια “απάτη” (Kline,1980:315).

Η άποψη που έχουν οι μαθηματικοί για τις αποδείξεις ποικίλλει ανάλογα με το χώρο και το χρόνο. Οι J.Hoene- Wronski, Lacroix και Jacobi ήταν οι μαθηματικοί που συνεισέφεραν στη χαμηλή υπόληψη της αυστηρότητας και των αποδείξεων στα 1850 (Kline,1980:166). Εύκολα βρίσκουμε παραδείγματα μιας συνεχιζόμενης προτίμησης στην αυστηρότητα και την απόδειξη, ακόμα και στον “θεμελιώδη” ευαίσθητο εικοστό αιώνα. Παρατηρήστε τις σημειώσεις από τους Hardy, Whitehead και Wilder. Ακόμα και ο Bertrand Russel έγραψε το 1903 ότι μια από τις κύριες αξίες των αποδείξεων είναι ότι “προωθούν σιγά σιγά ένα βέβαιο σκεπτικισμό σχετικά με το αποτέλεσμα της απόδειξης” (Kline,1980:315). O Kline (1980:319) υποστήριξε ότι στο τέλος η λογική ηττήθηκε από την αυστηρότητα και την τυπικότητα των μαθηματικών. Σαν αποτέλεσμα, η απόδειξη ακόμα μια φορά αναλαμβάνει ένα δευτερεύοντα ρόλο, με τη διαίσθηση να αναπτύσσεται ως η ουσιαστική βάση των δημιουργικών μαθηματικών. O Kline κρούει τον κώδωνα του κινδύνου ενάντια στη “λογική αμηχανία” που προτείνεται από τους Βουρβακιστές.

Οι ιστορικές αλλαγές στο νόημα που αποδίδεται στις αποδείξεις και στο ποσό ενέργειας που αφιερώνεται στη διαδικασία των αποδείξεων δείχνει ότι πρέπει να εξετάσουμε τη σχέση των αλλαγών αυτών (ταλαντεύσεων) με τις αλλαγές στην κοινωνική δομή της μαθηματικής εργασίας. Για την ώρα, σημειώνω απλώς ότι η διαδικασία των αποδείξεων φαίνεται να αποκτά όλο και μεγαλύτερη σημασία όποτε η μαθηματική εργασία αναπτύσσει έναν συγκεκριμένο βαθμό κοινωνικής αυτονομίας.

Σκέπτομαι αν μπορούμε να φανταστούμε τις αποδείξεις σαν αντικείμενα πολιτισμού και, συγκεκριμένα, αν μπορούμε να τις δούμε σαν εργαλεία ή μηχανές για την επεξεργασία δεδομένων μαθηματικών αντικειμένων και για την παραγωγή νέων μαθηματικών αντικειμένων. Ο Kitcher παραθέτει έναν λειτουργικό χαρακτηρισμό για τις αποδείξεις. Τις ονομάζει “μια σειρά δηλώσεων στην οποία κάθε μέλος της σειράς είναι ή μια βασική, εκ των προτέρων δήλωση ή μια δήλωση η οποία ακολουθεί προηγούμενα μέλη της σειράς, σύμφωνα με έναν κανόνα ο οποίος εξασφαλίζει εκ των προτέρων κάποιο συμπέρασμα” (Kitcher,1983:37-38).

Το άγχος της απόδειξης είναι συνηθισμένο στα μαθηματικά και δεν είναι προϊόν κάποιων αποδείξεων οι οποίες έχουν προέλθει με τη βοήθεια Υπολογιστή. Υπάρχει πάντα το μέλημα σε μια μακροσκελή απόδειξη πως ακόμα και αν κάποιος είναι σίγουρος για την ορθότητα του κάθε βήματος, εντούτοις πάντα μπορεί να κρύβεται κάπου ένα λάθος. O Kitcher σημειώνει ότι υπάρχει ένα είδος κοινωνικής ψυχολογίας στις αποδείξεις. Είτε είσαι αρχάριος είτε “παλιός”, αν οι άλλοι υποστηρίζουν την αιτιολόγησή σου νιώθεις σίγουρος για την ορθότητα της απόδειξής σου. Εντούτοις,

η λογική αμφιβολία που εγείρεται όταν ακολουθούμε περίπλοκες αποδείξεις μπορεί να αξιοποιηθεί στις περιπτώσεις όπου δεχόμαστε κριτική και όχι χειροκροτήματα από τον κόσμο των γραμμάτων. Η αβεβαιότητα είναι λογικά συμβατή με τη γνώση εξαιτίας της φύσης των μέχρι τώρα εμπειριών. Μετασχηματίζοντας την ποιότητα της ζωής μας, η γνώση και η αβεβαιότητα θα σταματήσουν να συνυπάρχουν (Kitcher,1984:41-43).

Κάποιοι διορατικοί θεωρούν ότι το μόνο που κάνει μια απόδειξη είναι να πιστοποιεί ότι κάποιες συγκεκριμένες κατασκευές έχουν συγκεκριμένες ιδιοκτησίες (Kitcher,1983:143). Αλλά κάποιες άλλες εκθέσεις θεωρούν ότι οι αποδείξεις έχουν άλλη λειτουργία (Kitcher,1984:180-81): για παράδειγμα, μπορούν να παράγουν γνώση ή να μας βοηθήσουν να αποκτήσουμε νέα γνώση από την ήδη υπάρχουσα. Αλλά αν και όπου μια αποδεικτική διαδικασία είναι, στην πραγματικότητα, “ένας καλά ορισμένος επαναληπτικός μετασχηματισμός κάποιων τύπων σε νέους τύπους”, μπορούμε να μηχανικοποιήσουμε τη διαδικασία (Hawkins,1964:34). Αυτή είναι μια σημείωση που υποδηλώνει πολλά πράγματα και με ωθεί να σκεφτώ μέχρι σε ποιο σημείο οι αποδείξεις, γενικά, είναι μηχανισμοί.

Ο Curry (1951) φαντάζεται ότι τα τυπικά συστήματα ορίζονται από ένα πρωτόγονο πλαίσιο, δηλαδή από μια ομάδα συνηθειών. Αυτό το πρωτόγονο πλαίσιο παρέχει στον “μηχανικό” (μαθηματικό ή μεταμαθηματικό) “όσα δεδομένα χρειάζεται (εκτός από την τεχνογνωσία) για να κατασκευάσει τον απαιτούμενο μηχανισμό για την παραγωγή των τύπων”. Αυτό φαίνεται να είναι σύμφωνο με ορισμούς τυπικών αποδείξεων όπως ο παρακάτω:

“Μια (τυπική) απόδειξη είναι μια πεπερασμένη σειρά ενός ή περισσοτέρων τύπων, τέτοια ώστε κάθε τύπος της σειράς αυτής είναι ή ένα αξίωμα ή μια άμεση συνέπεια των προηγουμένων τύπων της σειράς (Kleene,1971:83).

Δείτε μια απόδειξη σαν ένα πείραμα. Φτιάχνουμε έναν μηχανισμό ο οποίος θα ονομάζεται “Δοσμένου ότι...” ή “Εάν...”. Έπειτα, “τρέχουμε” το πείραμα. Στην απόδειξη, μεταφέρουμε διαισθητικά ή / και κατασκευαστικά λειτουργίες οι οποίες επιτρέπονται από το μηχανισμό, ή βάζουμε το μηχανισμό να λειτουργήσει. Μετά, περιμένουμε για κάποιο “αποτέλεσμα”. Αυτό είναι το “Τότε..” ή το “Έπεται ότι...”. Αυτή η αντίληψη για τις αποδείξεις, συμπτωματικά, έρχεται αμέσως μετά τη θεώρηση της απόδειξης σαν μιας επίδειξης.

ΕΙΝΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ;

Η πραγματικότητα των μαθηματικών αντικειμένων είναι ό,τι ακριβώς βλέπει κανείς σε συνεχόμενα κομμάτια χαρτιού (ή σε οποιοδήποτε υλικό μπορούμε να κάνουμε τα μαθηματικά αντικείμενα φανερά). Από την άποψη αυτή, ο φορμαλισμός του Hilbert ήταν σωστός. Αλλά οι σημειώσεις πάνω στο χαρτί δεν είναι αυθαίρετες. Συνδέονται ιστορικά με προγενέστερες σημειώσεις και εξηγήσεις. Τα μαθηματικά προχωρούν λαμβάνοντας πράξεις οι οποίες παλιότερα αντιμετωπίζονταν συγκεκριμένα (όπως μια συγκεκριμένη συνάρτηση ή ένας συγκεκριμένος αριθμός) και δημιουργώντας μια απεικόνιση συμβόλων για αυτές. Με τον τρόπο αυτό, αυτό που πρωτύτερα ήταν συγκεκριμένο ή προέκυπτε διαισθητικά, τώρα είναι διαθέσιμο στο χαρτί σαν ένα ευκρινές αντικείμενο. Αυτή η διαδικασία είναι η βάση των πρωτογενών εμπειρικών και πλατωνικών προοπτικών στα μαθηματικά. Οι αλυσίδες των αφηρημένων ή των ανώτερων μαθηματικών μπορούν να εντοπιστούν στις απεικονίσεις του φυσικού κόσμου, εξαιτίας της θέσης των εμπειριστών. Εντωμεταξύ, οι απεικονίσεις έχουν τα δικά τους ειδικά χαρακτηριστικά, τα οποία δεν βασίζονται στον φυσικό κόσμο. Αυτά τα χαρακτηριστικά συμβολίζονται και χρησιμοποιούνται στις μαθηματικές πράξεις. Οι απεικονίσεις παίρνουν μια “απτή” ποιότητα εξαιτίας του Πλατωνισμού. Ας κάνω τις ιδέες αυτές λίγο πιο συγκεκριμένες.

Σκεφτείτε την πρόταση του Kitcher ότι σκεπτόμαστε τα μαθηματικά με όρους από μαθηματικών δραστηριοτήτων. Έτσι, θα πρέπει να έχουμε στο μυαλό μας όχι μια συλλογή αλλά το να συλλέγουμε (Kitcher,1983:110). Η στοιχειώδης συλλογή έχει να κάνει με το φυσικό χειρισμό των υλικών αντικειμένων. Η εμπειρία μας με τη συλλογή, τελικά μάς δίνει τη δυνατότητα να ταιριάξουμε με τη συλλογή σκέψεων. Συλλέγουμε αντικείμενα “διασχίζοντας μια λίστα ονομάτων ή παράγοντας δηλώσεις οι οποίες απευθύνονται σε αυτά”. Μπορούμε να δημιουργήσουμε μια ιεραρχία συλλογών, καθορίζοντας σύμβολα για τα προϊόντα μιας δοσμένης συλλογής και επαναλαμβάνοντας τις πράξεις συλλογής στα σύμβολα αυτά: “η σημειογραφία μας δίνει τη δυνατότητα όχι μόνο να μιλάμε (π.χ.) για συναρτήσεις από αντικείμενα πάνω σε αντικείμενα (τα οποία ανταποκρίνονται σε συγκεκριμένες αντιστοιχίες πρώτου επιπέδου), αλλά και για συναρτήσεις από συναρτήσεις σε συναρτήσεις κ.ό.κ. (Kitcher,1983:111). Το να παραβάλλουμε ή να ταιριάξουμε υλικά είναι μια άλλη στοιχειώδης μαθηματική δραστηριότητα. Σημειώστε ότι ο Kitcher δεν ισχυρίζεται ότι η υψηλότερου επιπέδου συλλογή χρειάζεται και σύμβολα συλλογής. Πιο πολύ, συλλέγονται προγενέστερες πράξεις. Τα σύμβολα, φυσικά, χρησιμοποιούνται στην εκτέλεση πράξεων: “Το να συλλέγεις σημαίνει να επιτύχεις έναν συγκεκριμένο τύπο απεικόνισης και όταν εκτελούμε πράξεις υψηλότερου επιπέδου, οι απεικονίσεις που επιτεύχθηκαν σε μια προηγούμενη συλλογή μπορούν να χρησιμοποιηθούν σαν υλικά από τα οποία μπορεί να γεννηθεί μια νέα απεικόνιση” (Kitcher,1983:129, Restivo και Collins,1982).

Το μοντέλο του Kitcher για την ιδέα του να κάνεις πράξεις προέρχεται από τη θεωρία ομάδων. Ακολουθώντας τον Boolos (1971:215-31), o Kitcher (1983:131) υποστηρίζει ότι οι ομάδες σχηματίζονται σε στάδια. Η διαδικασία είναι η εξής: 1)Σχηματίζουμε ομάδες από μεμονωμένα στοιχεία, 2) σχηματίζουμε συλλογές από ομάδες και μεμονωμένα στοιχεία, όπως και στο πρώτο βήμα, 3) στο (n+1) βήμα σχηματίζουμε συλλογές από μεμονωμένα στοιχεία και ομάδες που έχουν σχηματιστεί μέχρι τότε, συμπεριλαμβανομένων και αυτών του n- οστού βήματος. Αυτή η διαδικασία μπορεί να συνεχίζεται έπ’ άπειρον. Η ιεράρχηση της θεωρίας ομάδων των Zermelo-Frankel σχηματίζεται με τον επαναλαμβανόμενο σχηματισμό ομάδων από πρωτύτερα κατασκευασμένο μαθηματικό “υλικό”. O Kitcher υποστηρίζει ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε όσα ισχύουν στη θεωρία ομάδων για να μοντελοποιήσουμε οποιαδήποτε άλλη μαθηματική δραστηριότητα. Η μελέτη του με υποθέσεις σχετικά με τον λογισμό έχει σχεδιαστεί έτσι ώστε να επεξηγεί τη βιωσιμότητα του μοντέλου της δράσης πάνω σε πράξεις στη θεωρία ομάδων. Στην πραγματικότητα, ενδιαφέρεται να δείξει ότι οι αλλαγές στην ιστορία του λογισμού ήταν “λογικές” (βλέπε την επεξήγηση που έχω κάνει για τη θεώρηση αυτή στο επόμενο κεφάλαιο). Δεν δίνει μια σαφή εξήγηση για τη λογισμική δραστηριότητα με όρους interated ομάδων. Εντούτοις, δίνει κάποια αριθμητικά παραδείγματα επανάληψης. Η έννοια της επανάληψης σαν μιας βασικής μαθηματικής διαδικασίας έχει τονιστεί από πολλούς μαθηματικούς, όπως επεσήμανα προηγουμένως.

Οι δύο σημαντικότερες έννοιες με τις οποίες ασχολείται ο Kitcher για τη μελέτη των πράξεων είναι η “επανάληψη” και ο “αναφορικός”. Η δεύτερη από τις έννοιες χρησιμοποιείται για την αίσθηση της αναγνώρισης του αναφορικού για τα μαθηματικά αντικείμενα. O Kitcher αποδεικνύει ότι (όπως, ίσως, θα περιμέναμε από την προηγούμενή μου εργασία πάνω στη μαθηματική εργασία) η αναφορά είναι είτε ένα μαθηματικό αντικείμενο είτε ένα μαθηματικό αντικείμενο το οποίο αντιπροσωπεύει υλικά αντικείμενα ή άλλα μαθηματικά αντικείμενα. Για παράδειγμα, θεωρήστε ότι ο αναφορικός είναι “αριθμός”. Στα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα, ο αναφορικός ενός αριθμού θα μπορούσε να έχει οριστεί αν λέγαμε πως οτιδήποτε μπορεί να παρασταθεί με τη μορφή “a+ib” (όπου τα a και b είναι δεκαδικοί) είναι ένας αριθμός. Με βάση τον ορισμό αυτό, η ιδέα του Cantor για έναν αριθμό που να ακολουθεί όλους τους φυσικούς αριθμούς δεν θα “ανέφερε”. Αλλά αυτό είναι διαφορετικό από το να ορίσουμε αναφορικό για τον αριθμό με όρους πράξεων. Οπότε, αν πούμε ότι οι αριθμοί είναι μόνο όσα πράγματα προστίθενται, αφαιρούνται, πολλαπλασιάζονται και διαιρούνται, τα υπερπεπερασμένα αντικείμενα του Cantor μπορούμε να τα εμφανίσουμε σαν αριθμούς αν αποδειχθεί ότι είναι αντικείμενα τα οποία μπορούν να προστεθούν, αφαιρεθούν, πολλαπλασιαστούν και διαιρεθούν. Σημειώστε ότι ο Cantor ένωσε με κατηγορηματικό τρόπο τη θεωρία του για τους υπερπεπερασμένους αριθμούς με τη θεωρία των ομάδων απείρων σημείων και με μια υπερπεπερασμένη αριθμητική: “Υπάρχουν παραδείγματα διαδοχικότητας στα οποία όλοι οι αριθμοί μιας σειράς είναι διαδοχικοί, ακόμα και αν η σειρά δεν έχει τελευταίο αριθμό” (Κitcher,1983:174). Για παράδειγμα, το 1 ακολουθεί όλα τα μέλη της απειροσειράς <1/ 2, 3/4, 5/6,.................1- 1/2n,.........>.

Αν ορίσουμε τον αναφορικό ενός “αριθμού” χρησιμοποιώντας παραδείγματα όπως 3, 1, 2 κ.τ.λ. , δηλαδή αν περιορίσουμε την αναφορά σε πραγματικούς αριθμούς, τότε ο -1 δεν μπορεί να αναφέρει. Αλλά αν φανταστούμε τους αριθμούς με όρους πράξεων, τότε ο -1 μπορεί να αναφέρει. Ο Bombelli και άλλοι όρισαν τον αναφορικό για έναν αριθμό, στην πραγματικότητα, με το δεύτερο τρόπο και με τον τρόπο αυτό μπορούσαν να δεχτούν εκφράσεις όπως το -1 στους υπολογισμούς τους. “Αυτό που έπρεπε να γίνει για να δείξουμε ότι η πιο περιοριστική μέθοδος αναφοράς θα έπρεπε να απορριφθεί από το αναφορικό δυναμικό του “αριθμού” ήταν να κατευνάσουμε όλους τους φόβους ότι δεν μπορούν να βρεθούν αναγνωρίσιμες αναλογίες στις συνηθισμένες αριθμητικές πράξεις (Kitcher, 1983:175). Αυτό οδήγησε στο να ορίσουμε την αναφορά έτσι ώστε το αναφορικό δυναμικό του -1 “να φτάσει να περιλαμβάνει μόνο περιπτώσεις στις οποίες ο i θα αναγνωρίζεται σαν ο αναφορικός”. Για να γίνει αυτό, χρειάστηκε να δείξουμε ότι υπήρχαν παραλληλισμοί ανάμεσα στους μιγαδικούς και τους πραγματικούς αριθμούς, με όρους επιδεκτικότητας στις αριθμητικές πράξεις.

Οι φυσικοί αριθμοί (οι πράξεις με φυσικούς) βασίζονται στο μέτρημα. Οι πραγματικοί αριθμοί (οι πράξεις με πραγματικούς) στην καταμέτρηση. Ο Bombelli στην πραγματικότητα προσανατολιζόταν στις “μέχρι τώρα μη αναγνωρίσιμες πράξεις”. Έχοντας δείξει ότι η καινούργια πράξη θα περιλαμβάνεται στις “αναγνωρίσιμες αριθμητικές επεξεργασίες”, το επόμενο βήμα ήταν να δείξει ότι η νέα πράξη μπορούσε να “αναλυθεί με φυσικούς όρους”. Αυτό επιτεύχθηκε δείχνοντας ότι ο a+bi αναφερόταν στην πράξη του διανύσματος μετατόπισης. Ο μιγαδικός πολλαπλασιασμός αναφερόταν στην πράξη της περιστροφής. Αυτή είναι μια συστηματική διαδικασία (Goffman,1974). Έτσι, στη συνήθη κατασκευή που χρησιμοποιούνταν πριν τη δουλειά του Bombelli, υπήρχε ομοφωνία στο ότι “δεν υπάρχει αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι ο -1”. Ο Bombelli “έσπασε” το σύστημα και το επανακαθόρισε έτσι ώστε τώρα αυτό που ήταν “αληθές” ήταν ότι “δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι το -1” (Kitcher, 1983:179).

Ας γυρίσουμε στη διαδικασία της επανάληψης. Ακολουθώντας τον Kitcher, τα [ {a,b},{c,d} ] μπορούμε να τα δούμε σαν μια σειρά πράξεων με ενώσεις. Πρώτα ενώνουμε τα a, b , μετά τα c,d και μετά κάνουμε πράξεις πάνω στα σύνολα αυτά. Το “{.....}” αναπαριστά την ένωση πρώτου βαθμού. Η επανάληψη αυτής της διαδικασίας είναι ένα καινούργιο επίπεδο αναγωγικής διαδικασίας. Τυπικά, ο Kitcher συστήνει τις παρακάτω αρχικές ιδέες: (1) μεμονωμένη πράξη, (2) διαδοχική (μια πράξη διαδοχική κάποιας άλλης, (3) πρόσθεση (μια πράξη που να προστίθεται σε άλλες πράξεις και (4) συκρισιμότητα των πράξεων:

Εκτελούμε μια μεμονωμένη πράξη όταν εκτελούμε μια χωριστή πράξη στην οποία ένα μεμονωμένο αντικείμενο διαχωρίζεται. Μια πράξη είναι διαδοχική μιας άλλης όταν εκτελούμε την προηγούμενη πράξη διαχωρίζοντας όλα τα διαχωρισμένα, λόγω της δεύτερης πράξης αντικείμενα, μαζί με ένα επιπλέον μεμονωμένο αντικείμενο. Όταν συγκρίνουμε τα αντικείμενα που έχουν μαζευτεί σε δυο διαχωριστικές πράξεις πάνω σε ξεχωριστά αντικείμενα, κάνουμε μια πρόσθεση στις πράξεις αυτές (Kitcher,1983:11-12).

Τα αξιώματα και οι ορισμοί “συστηματοποιούν προγενέστερα αποδεκτές λύσεις προβλημάτων. Μια θεμελιώδης μελέτη αιτιολογείται από την ανάγκη να διαμορφώσουμε τα εργαλεία για τη συνέχιση της μαθηματικής έρευνας” (Kitcher,1983:271). Αυτό που προσπάθησα εγώ, με τη σειρά μου, να κάνω σαφές είναι οι οργανικές βάσεις και συνέπειες μιας εντελώς φιλοσοφικής ματιάς, όπως είναι αυτή που υποστηρίζει ο Kitcher, μια φιλοσοφική ματιά που έχει μολυνθεί, αλλά όχι και νικηθεί από τις κοινωνικές και πολιτισμικές απόψεις.

Ας δώσω ένα πιο απτό παράδειγμα επανάληψης, το οποίο με βοηθά να ξεκαθαρίσω ότι η επανάληψη είναι μια μορφή δουλειάς. Αυτό το παράδειγμα θα ανακεφαλαιώσει, επίσης, τη συζήτηση γύρω από την επανάληψη με έναν τρόπο ο οποίος τη σχετίζει με τις πρώτες μου υποθέσεις περί κλειστότητας και ειδίκευσης.

Ας αρχίσουμε μπαίνοντας στον κόσμο του Πρώτου Επιπέδου. Αυτός ο κόσμος περιλαμβάνει ξεχωριστά αντικείμενα, όπως ΜΗΛΑ και ΔΕΝΤΡΑ (έχετε στο μυαλό σας ότι είμαστε ήδη σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο αφαίρεσης, το οποίο, όμως, μπορεί να αποτελέσει για μας το σημείο εκκίνησης). Μερικά αντικείμενα στον κόσμο του Πρώτου Επιπέδου συνδέονται με άλλα αντικείμενα. Για παράδειγμα, τα ΚΟΤΣΑΝΙΑ συνδέουν τα ΜΗΛΑ και τα ΔΕΝΤΡΑ. H πολιτισμική ανάπτυξη οδηγεί στην κατασκευή μοντέλων για τα αντικείμενα που συναντούμε και χρησιμοποιούμε στον κόσμο του Πρώτου Επιπέδου και μια από τις επιπτώσεις της συνέχισης αυτής της διαδικασίας είναι ότι αφαιρούμε ποσότητες, λειαίνουμε σκληρές άκρες και εξιδανικεύουμε τα αντικείμενα του Πρώτου Επιπέδου (συνδέω τους περίπλοκους λόγους των κινήσεων αυτών, αλλά παίρνουν μέρος καθαρά σε ανθρώπινες δραστηριότητες που αφορούν την επιβίωση, την ανάπτυξη την κατανόηση και τον έλεγχο). Αυτή η διαδικασία μπορεί να σκιαγραφηθεί χρησιμοποιώντας ένα μοντέλο Tinker Toy.

Σχήμα 13-1. Κόσμοι Πρώτου και Δευτέρου Επιπέδου.

Στο σχήμα 13-1, κατασκευάζουμε μοντέλα του κόσμου του Πρώτου Επιπέδου και δημιουργούμε έναν κόσμο Δευτέρου Επιπέδου. Ταυτόχρονα, προσθέτουμε τρία νέα αντικείμενα στον κόσμο του Πρώτου Επιπέδου. Ένα τέταρτο αντικείμενο προστίθεται όταν ολοκληρώνουμε την κατασκευή στο σχήμα 13-2. Μπορούμε τώρα να κατασκευάσουμε επιπλέον αντικείμενα όπως ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ κ.ό.κ. Και μπορούμε να αναπαράγουμε τα Α, Β, Γ, Δ μια ή περισσότερες φορές, ανάλογα, φυσικά, με τη διαθεσιμότητα των σχετικών μέσων και μετά να δημιουργήσουμε πιο περίπλοκες κατασκευές ( το Ε π.χ., συνδυάζοντας δύο Δ). Σημειώστε ότι οι τελευταίες κινήσεις δεν σχετίζονται άμεσα με τον κόσμο του Πρώτου Επιπέδου. Πιο ειδικά, μπαίνουμε όλο και περισσότερο στο Δεύτερο Επίπεδο και σε κόσμους υψηλότερων επιπέδων.

Σχήμα 13-2. Κατασκευή ενός Αφηρημένου Αντικειμένου.

Έχοντας υπ’ όψη τα προαναφερθέντα, θεωρήστε ότι στα μαθηματικά ο κόσμος της τρισδιάστατης Ευκλείδειας γεωμετρίας απαρτίζεται, εσωτερικά και εξωτερικά από τον άμεσα περιβαλλόμενο και προσιτό σε μας χώρο, με σημεία, ευθείες, επίπεδα, σφαίρες κ.ά. (ξαναθυμηθείτε ότι λειτουργούμε πάνω σε κάποιο επίπεδο αφαίρεσης στο στάδιο αυτό). Ο κόσμος της θεωρίας συνόλων θα αποτελείται από τα λεγόμενα απλά σύνολα και από τις απλές σχέσεις των μελών. Ο κόσμος της θεωρίας των αριθμών περιλαμβάνει τους φυσικούς, τη διάδοχη συνάρτηση, τις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης κ.ά. (Snapper,1979:552).

Τι συμβαίνει όταν συνεχίζουμε αυτή την επαναληπτική διαδικασία έπ’ άπειρον; μέχρις ενός σημείου, θα μπορούμε να επανέλθουμε στον κόσμο των μήλων και των δέντρων και να πούμε κάτι χρήσιμο για τον κόσμο αυτό. Ο λόγος είναι ότι οι επαναλήψεις, στην πραγματικότητα, αναμιγνύουν πλευρές του κόσμου του Πρώτου Επιπέδου των οποίων την ύπαρξη αγνοούμε και ότι το μοντέλο της διαδικασίας μάς επιτρέπει να ανακαλύψουμε κάποια των πλευρών αυτών. Αλλά από ένα σημείο κι έπειτα, θα κινηθούμε πέρα από τη χωρητικότητα των κόσμων των υψηλότερων επιπέδων, ώστε να επικοινωνήσουμε με τον κόσμο του Πρώτου Επιπέδου. Μπορεί, σε κάποιο σημείο, να ανακαλύψουμε ότι δεν μπορούμε να γυρίσουμε στο Δεύτερο Επίπεδο, οπότε ο κόσμος του Τρίτου Επιπέδου θα είναι το όριό μας κ.ό.κ. Όσο η επανάληψη συνεχίζεται, σε συνδυασμό με τους περιορισμούς των όλο και πιο στενών τύπων κοινωνικής οργάνωσης, η ακτίνα των κόσμων που μπορούμε να διασχίσουμε μειώνεται με γοργούς ρυθμούς.

Η αύξηση της ειδίκευσης και του “εξαγνισμού” των μαθηματικών μπορεί να αποτελέσει μια διαδικασία προσαρμογής σε όλο και στενότερες συνθήκες. Μπορεί να αποβεί, όπως συμβαίνει και σε άλλες διαδικασίες ειδίκευσης και γενίκευσης, μια αδιέξοδη στρατηγική. Το αποτέλεσμα αυτής της υποχώρησης θα μπορούσε να παρομοιαστεί με το κλείσιμο ενός ανθρώπου στον εαυτό του, μέχρι να καταρρεύσει (μια τέτοιου είδους διαδικασία συναντάται στη δουλειά πάνω σε συγκεκριμένους τύπους ψυχικών ασθενειών). Η αναλογία αυτή υποδεικνύει τη σημασία της αλληλεπίδρασης μεταξύ των κεντρομόλων δυνάμεων της κλειστότητας και των φυγόκεντρων δυνάμεων, οι οποίες διατηρούν επαφές με την πλειοψηφία των κόσμων και, ειδικά, με τον κόσμο του Πρώτου Επιπέδου, ο οποίος μας στηρίζει.

Μπορεί να εκπλαγούν κάποιοι αναγνώστες μαθαίνοντας ότι μόνο οι απόψεις τις οποίες εξέθεσα σχετικά με τη διατήρηση επαφών ανάμεσα στους διαφόρους κόσμους και, ειδικά στον κόσμο του Πρώτου Επιπέδου, μπορούν να βρεθούν στη λογοτεχνία της μαθηματικής κοινότητας. Συγκεκριμένα, κάποιοι μαθηματικοί των εφαρμοσμένων μαθηματικών έχουν υποστηρίξει ότι τα καθαρά μαθηματικά έχουν προοδεύσει τόσο, που οι πιθανότητες να αντιληφθούμε στο παρελθόν τη συνεισφορά τους στην εργασία μας πάνω στον κόσμο του Πρώτου Επιπέδου εξαφανίζονται με γοργούς ρυθμούς (Boos και Niss,1979).

Κάθε διάδοχη μορφή μαθηματικών έχει τα θεμέλιά της στις κοινότητες των μαθηματικών, όπου λύνονται ανταγωνιστικά τα προβλήματα και, επιλεκτικά, κρίνεται ποιες λύσεις γίνονται δεκτές ως ισχύουσες. Οι πιο “πρακτικές” και “εμπειρικές” (με τη συμβατική έννοια των όρων αυτών) μορφές μαθηματικών είναι και οι μορφές εκείνες οι οποίες εμποδίζουν την αυτονομία της μαθηματικής κοινότητας. Ο βαθμός στον οποίο οι μαθηματικοί μπορούν να κάνουν αφαιρέσεις εκτός των μορφών αυτών, ο βαθμός στον οποίο μπορούν να κατασκευάσουν μετααντικείμενα από τις ίδιες τις πράξεις τους, περιορίζεται από το συμπαγές φράγμα της αναφοράς μέσα στην οποία οι μορφές αυτές αναπτύσσονται και χρησιμοποιούνται. Οι αφαιρέσεις υψηλότερων επιπέδων -καθαρά μαθηματικά- εξαρτώνται από τους μαθηματικούς, οι οποίοι όλο και πιο πολύ “κλείνονται” οργανικά (σαν “κοινότητα”), γίνονται όλο και πιο ειδικευμένοι και αυτόνομοι (με την έννοια που δόθηκε προηγουμένως) και όλο και περισσότερο επαγγελματίες, σε διαδοχικά στάδια. Είναι, επίσης, απαραίτητο να αναπτύξουμε και να διατηρήσουμε μια ισχυρή σύνδεση ανάμεσα στις διάφορες γενιές. Αυτό βοηθάει στην ανάπτυξη της φωλιασμένης αυτό-αναφοράς των μαθηματικών.

Κάθε διαδοχικό επίπεδο αφαίρεσης (συμβολικά και παραστατικά) περιλαμβάνει αυτού του είδους τις πράξεις που χρησιμοποιούσαν οι μαθηματικοί των προηγουμένων γενιών. Αλλά “ενσωματώνοντας” τις προηγούμενες πράξεις, με έναν τρόπο τις “σκοτώνει” ή τις “βαλσαμώνει” (Spengler, 1926). Οι πράξεις που χρησιμοποιούνται, έτσι, δεν είναι, πια, ανοιχτές. Γίνονται αμετάβλητες και μη προβληματικές (αυτό, πιθανότατα, συναντάται περισσότερο σε περιπτώσεις μηχανημάτων και εργαλείων). Αυτό που φαίνεται να είναι ένα είδος “υπερφυσικής αντικειμενικότητας” στα μαθηματικά, στην πραγματικότητα είναι ζήτημα των εξαιρετικά ασφαλών κοινωνικών βάσεων της μαθηματικής κοινότητας.

Η κοινωνική πλευρά των μαθηματικών έχει δύο διαστάσεις: ιστορική (στην ενσωμάτωση πεπερασμένων πράξεων που έχουν μειωθεί σε αναπαραστάσεις, εργαλεία και μηχανήματα) και σύγχρονη (κάθε μαθηματικός, σιωπηρά ή κατηγορηματικά, συνεργαζόμενος ή συγκρουόμενος, διαπραγματεύεται με την κοινότητά του για το ποια προβλήματα αξίζουν προσοχής, ποιες μέθοδοι είναι κατάλληλες και ποιες λύσεις θα γίνουν αποδεκτές). Το τελευταίο αποτελεί το περιεχόμενο της μαθηματικής “διαίσθησης”. Όπως τονίζει ο Goodman (1979), η διαίσθηση ενός μαθηματικού πρέπει να διαφέρει από τον φορμαλισμό, επειδή η διαίσθηση είναι μια ασχημάτιστη ιδέα για την οποία ο φορμαλισμός επιζητείται στο τέλος (σαν το τελικό αποτέλεσμα της διαδικασίας της άρθρωσης και της μηχανοποίησης της διαίσθησης). Οι διαισθήσεις δεν είναι αμείωτα μυστήριες -είναι μαθηματικές ιδέες οι οποίες είναι , ακόμα, υπό διαπραγμάτευση. Αυτό το “μεταίχμιο” θα υπάρχει όσο υπάρχει αυτή η παραγωγική συνέχεια που επιτρέπει στους μαθηματικούς να χτίζουν πάνω σε προηγούμενα ζητήματα και όσο υπάρχει απομόνωση και ανταγωνισμός.

Το ενσωματωμένο κομμάτι των μαθηματικών είναι αυτό ακριβώς στο οποίο κάποιος δεν έχει κάτι άλλο για να διαπραγματευτεί ή να αντιπαρατεθεί -απλώς θεωρεί δεδομένες κάποιες προηγούμενες πράξεις. Από μια άποψη, ακόμα και όταν τα μαθηματικά είναι μοναδικά μέχρις εκεί όπου πραγματοποιείται το ρητό του Whitehead -η επιστήμη που αρνείται να ξεχάσει τους ιδρυτές της αφανίζεται-, οι αρχαίοι χρησιμοποιούνται ακόμα στους ενσωματωμένους τύπους. Και, φυσικά, μπορεί κάποιος ακόμα να διαπραγματευτεί και να αντιπαρατεθεί με πεθαμένους μαθηματικούς, με το νου του.

ΤΟ ΤΕΛΟΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Η κοινωνιολογική απαίτηση συγκρούεται με τη δουλειά των μαθηματικών και των φιλοσόφων που χρησιμοποιούν το λεξιλόγιο της ψυχολογίας, της κουλτούρας, του εμπειρισμού και του πραγματισμού. Αλλά υπάρχει μια αντίσταση στο να δοθεί μια ολοκληρωμένη έκφραση στην απαίτηση αυτή. Ας πάρουμε, για παράδειγμα, τις απόψεις του Philip Kitcher για τη μαθηματική γνώση. Ο Kitcher, σαν εμπειριστής επιστημολόγος των μαθηματικών, κατασκευάζει μια “λογική” εξήγηση της γνώμης και της γνώσης που φέρνει την ψυχολογία στη φιλοσοφία των μαθηματικών, αλλά με την ψυχολογική της μορφή. Αλλά η ψυχολογία δεν μπορεί να σηκώσει το βάρος της επίθεσής της στους απριοριστές εκτός και αν αναγνωριστεί γι’ αυτό που είναι -μια κουτσουρεμένη κοινωνιολογία και ανθρωπολογία. Ο Kitcher φαίνεται, σε κάποιο σημείο, να το καταλαβαίνει αυτό. Καταλαβαίνει ότι η γνώση πρέπει να επεξηγηθεί με όρους των επιστημονικών κοινοτήτων και ότι οι ιστορίες σχετικά με τη γνώση μπορούν να ειπωθούν με τρόπο που να αποκαλύπτει πώς η γνώση αποκτάται, μεταφέρεται και επεκτείνεται. Αυτή είναι η μόνη ιστορία που μπορεί να αφηγηθεί ο Kitcher, αλλά προτίθεται η ιστορία του να επιβεβαιώνει τη λογική και τη σωστά θεμελιωμένη αιτιολόγηση στα μαθηματικά.

Η λογική και η σωστά θεμελιωμένη αιτιολόγηση δεν μπορούν να διαχωριστούν από την κοινωνική πρακτική και κουλτούρα. Όπου φαίνεται ότι είχαμε ως αποτέλεσμα έναν τέτοιο διαχωρισμό, αποδεικνύεται ότι απλούστατα απομονώσαμε τη μαθηματική δουλειά ως ένα κοινωνικοπολιτικό σύστημα και αφηγηθήκαμε μια κοινωνιολογικά ανακαινισμένη ιστορία σχετικά με το πώς λειτουργεί το σύστημα. Το σημείο στο οποίο τα μαθηματικά είναι ένα αυτόνομο κοινωνικό σύστημα θα ποικίλλει από χρόνο σε χρόνο και από μέρος σε μέρος και το ίδιο θα ποικίλλει το σημείο στο οποίο ένας εμπειριστής επιστημολόγος θα μπορεί να αρθρώσει μια λογική εξήγηση για τα μαθηματικά. Το “λογική” αναφέρεται στους κανόνες που διέπουν μια σχετικά καλά οργανωμένη κοινωνική δραστηριότητα. Το να κάνουμε μια κοινωνιολογική στροφή σημαίνει να αναγνωρίζουμε ότι το “λογικό” είναι συνώνυμο του “κοινωνικού” και του “πολιτισμικού”, σαν μια επεξηγηματική αφήγηση. Ο Kitcher μπορεί να σώσει τη λογικότητα των μαθηματικών δείχνοντας μόνο (και το κάνει πολύ καλά) ότι τα μαθηματικά είναι λίγο πολύ μια επιβεβλημένα αυτόνομη δραστηριότητα. Αλλά κάτι τέτοιο καθιστά τη λεγόμενη λογική επεξήγησή του, τίποτα παραπάνω από μια κοινωνική και πολιτισμική επεξήγηση. Του ξεφεύγει αυτό το σημείο σε μεγάλο βαθμό επειδή σκέφτεται κυρίως με ψυχολογικούς όρους. Όσο πιο γρήγορα αντικαταστήσουμε την ψυχολογία με την κοινωνιολογική απαίτηση, η λογικότητα (σαν μια προνομιούχος επεξηγηματική στρατηγική) και η επιστημολογία (σαν μια φιλοσοφική ψυχολογική θεωρία της γνώσης) ακυρώνονται.

Η ίδια κατάσταση είναι χαρακτηριστική της φιλοσοφικής μεταχείρισης της γνώσης και της αντίληψης, όπου δεν υπάρχει ολοκληρωμένη επίγνωση της κοινωνιολογικής απαίτησης, αλλά συγκρατείται η απόλυτη δύναμή της. Ο πραγματισμός του Richard Rorty (1979) εγκαινιάζει μια στρατηγική για να εξαλείψει την επιστημολογία, αλλά στο τέλος ο ίδιος “δυτικοποιεί” (ή, ακριβέστερα, “Αμερικανοποιεί”) την επιστημολογία (αυτό είναι μια αντανάκλαση της δύναμης του πραγματισμού σαν μιας “αμερικανικής φιλοσοφίας”) και της δίνει μια αναστολή. Περιορίζει κατηγορηματικά το ηθικό ενδιαφέρον στη “συζήτηση για τη Δύση”. Στο χείλος μιας λογικής κοινωνικής κατασκευαστικής υπόθεσης πάνω στη φύση της γνώσης, συγκρατείται από: 1) την επιμονή του στο ιδανικό της πολιτισμένης συζήτησης και στην αποτυχία του να ασχοληθεί με τις πιο αγωνιστικές και βίαιες μορφές της κοινωνικής πρακτικής της επιστήμης και του πολιτισμού, γενικότερα, 2) τη Δυτικότροπή του κλίση, η οποία εκδηλώνεται στις διανοούμενες και πολιτισμικές του οφειλές, 3) στην αντίληψη του Kuhn για τη σχέση μεταξύ ερμηνευτικής (“επαναστατική έρευνα”) και επιστημολογίας (“κανονική έρευνα”) η οποία είναι παραγραπτή, μια παρακώλυση στις κριτικές μελέτες της έρευνας και ένα κόλπο που σώζει την επιστημολογία και, 4) η εστίασή του σε μια ακοινωνιολογική θεώρηση της δικαιολογίας. Ο Patrick Heelan (1983) επίσης δεσμεύει μια δυναμικά απελευθερωτική συμφραζόμενη θεωρία (στο σημείο αυτό της αισθητήριας γνώσης), μιλώντας για κόσμους που ανήκουν στη δυτική κοινότητα, ακόμα και κατά τη διάρκεια που ενοχοποιεί τον εαυτό του στο σχέδιο για τη “λύτρωση” της επιστήμης από τη βαβυλωνιακή της αιχμαλωσία στη Δύση.

Και, τελικά, θυμάμαι τον Bloor και το δυνατό του πρόγραμμα, το οποίο βοήθησε να μπουν οι βάσεις για τη μελέτη της μαθηματικής και επιστημονικής γνώσης από τους νέους κοινωνιολόγους της επιστήμης. Ανακατεύει την κοινωνική απαίτηση με μια διακανονιστική δέσμευση στη δυτική κουλτούρα και επιστήμη.

Έχοντας δώσει τόσα πολλά στη φιλοσοφία η δυτική σκέψη, αναρωτιέμαι για το βαθμό στον οποίο φιλόσοφοι όπως αυτοί που ανέφερα είναι θιασώτες του ορθόδοξου πολιτισμού και των επικρατούντων μορφών εξουσίας. Η ορθότητα τέτοιου είδους ιδεολογικών αλυσίδων φαίνεται στον τρόπο με τον οποίο οι φιλόσοφοι (πιεσμένοι από την εμπειρική και εθνογραφική έρευνα να δουν ότι ο Πλατωνισμός και ο απριορισμός -μαζί με το Θεό- είναι νεκροί), προσαρμόζονται, προοδευτικά, στην κοινωνική δομή. Οι αποτυχίες τους αποδίδονται στη διαδικασία επαγγελματοποίησης της φιλοσοφίας και τη θεμελίωσή της στην ψυχολογία. Αυτά όλα είναι σημαντικά για να εκτιμήσουμε τη σημασία της κοινωνιολογικής απαίτησης στη μελέτη των μαθηματικών, επειδή τα μαθηματικά είναι ο “βασιλιάς των επιστημών”, το κόσμημα στην κορώνα της δυτικής επιστήμης. Η προστατευτική, σεβάσμια, εμπνευσμένη από το δέος μελέτη των μαθηματικών γίνεται εύκολα κατανοητή από την άποψη αυτή σαν ένα υπόλειμμα υποταγής στο δυτικό Θεό. Και στις δυο περιπτώσεις, είμαστε πιο κοντά στη θεολογία, παρά στην κοινωνιολογία των μαθηματικών.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: ΑΞΙΕΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΚΗ ΑΠΑΙΤΗΣΗ

Ο κόσμος των μαθηματικών είναι ένας κοινωνικός χώρος. Αλλά τι είδους κοινωνικός χώρος; Πώς εντάσσεται σε ένα μεγαλύτερο πλαίσιο πολιτισμού αντικειμένων; Ποιών τα ενδιαφέροντα εξυπηρετεί ο κόσμος των μαθηματικών; Τι είδους άνθρωποι είναι μέλη αυτού του κόσμου; Τι είδους αξίες δημιουργεί και στηρίζει; Στην περιγραφή του και υπεράσπιση από πλευράς του της “κοινωνιολογικής φαντασίας” (ενός είδους κοινωνιολογικής απαίτησης), ο C.Wright Mills (1961) έδωσε προσοχή στη σχέση ανάμεσα στα προσωπικά προβλήματα και τα θέματα δημοσίου ενδιαφέροντος, τη διασταύρωση βιολογίας και ιστορίας στην κοινωνία και σε ερωτήσεις σχετικά με την κοινωνική δομή, τη θέση των διαφόρων κοινωνιών μέσα στην ιστορία και τα διαφορετικά είδη ανδρών και γυναικών που υπερισχύουν και θα υπερισχύσουν στην κοινωνία. Aν πλησιάσουμε τον κόσμο των μαθηματικών από την πλευρά αυτή, οι ερωτήσεις που θα κάνουμε θα είναι πολύ πιο διαφορετικές από αυτές που κάνουν συνήθως οι φιλόσοφοι οι ιστορικοί και οι κοινωνιολόγοι. Οι ερωτήσεις που έχω θέσει και αλλού , ισχύουν και για τον κόσμο των μαθηματικών και είναι οι εξής:

Τι παράγουν οι επιστήμονες και πώς; Ποια μέσα χρησιμοποιούν και καταναλώνουν; Τι υλικά υποπροϊόντα και σκουπίδια παράγουν; Από ποια άποψη είναι καλά αυτά που παράγουν; Κάτω από ποιες κοινωνικές περιστάσεις εκτιμούνται και ποιος τα εκτιμά; Σε τι τιμήματα, ρίσκα και οφέλη οδηγεί η επιστημονική εργασία για τον άνθρωπο, τις κοινωνίες τις τάξεις, τις κοινότητες και τις οικολογικές βάσεις της κοινωνικής ζωής… Ποια η σχέση ανάμεσα στους επιστήμονες και τους πολίτες, τα ακροατήρια, τους πελάτες και τους υποστηρικτές ; Τι σχέσεις έχουν οι επιστήμονες μεταξύ τους, με την οικογένειά τους και τους φίλους τους, τους συντρόφους τους σε άλλα μονοπάτια της ζωής; Ποια είναι η θέση τους ως εργαζομένων για τους έχοντες τα μέσα για την επιστημονική παραγωγή; Ποια είναι η άποψή τους για τον εαυτό τους; Πώς αντιλαμβάνονται τη θέση τους στην κοινότητα στην οποία ζουν; Ποιοι είναι οι στόχοι, τα οράματα και τα κίνητρά τους; (Restivo,1988:218)

Οι ερωτήσεις αυτές είναι σχετικές με τη μελέτη του κόσμου των μαθηματικών επειδή μάς βοηθούν να επανασυνδέσουμε τους κοινωνικούς χώρους που προοδευτικά αποκόπτονται κατά τη διαδικασία της παραγωγής και, τελικά, της παρουσίασης (επαναπαρουσίασης) μαθηματικών αντικειμένων.

Η εξήγηση του “περιεχόμενου” των μαθηματικών δεν είναι ένα απλό ζήτημα δημιουργίας μιας απλής αιτιακής σύνδεσης μεταξύ των μαθηματικών αντικειμένων, όπως είναι ένα θεώρημα ή μια κοινωνική δομή. Είναι, περισσότερο, ζήτημα ξεσκεπάσματος των κοινωνικών ιστοριών και χώρων που ενσαρκώνονται με τη βοήθεια αντικειμένων όπως τα θεωρήματα. Τα μαθηματικά αντικείμενα κυριολεκτικά είναι και πρέπει να αντιμετωπιστούν σαν αντικείμενα, πράγματα που παράγονται, κατασκευάζονται από κοινωνικά όντα. Δεν υπάρχει λόγος ένα αντικείμενο όπως ένα θεώρημα να αντιμετωπιστεί διαφορετικά από ένα γλυπτό, ένα φλιτζάνι τσαγιού ή ένα χαρταετό. Μόνο σε έναν άλλο πλανήτη θα μπορούσε να αναπτυχθεί η άποψη ότι η αίσθηση των μαθηματικών γίνεται αντιληπτή μόνο με την τεχνική ορολογία. Οι παραστάσεις και τα σύμβολα είναι εργαλεία, υλικά και, γενικά, μέσα που κατασκευάζονται κοινωνιολογικά γύρω από κοινωνικά ενδιαφέροντα και προσανατολίζονται γύρω από κοινωνικούς στόχους. Παίρνουν νόημα από ιστορικό της κατασκευής και της χρήσης τους, από τους τρόπους που χρησιμοποιούνται στο παρόν, από τις συνέπειες της χρήσης τους μέσα και έξω από τα μαθηματικά και από το δίκτυο ιδεών του οποίου είναι μέρος. Η κοινωνιολογική επιταγή, ειδικά όταν εμπλουτίζεται από την κοινωνιολογική φαντασία, είναι ένα εργαλείο προσγείωσης στον κόσμο μας και ξεσκεπάσματος των όψεων και των αξιών του κόσμου των μαθηματικών και όσων εργάζονται μέσα στον κόσμο αυτό.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1: ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Είναι χρήσιμο να αναγνωρίσουμε τους φιλοσόφους των μαθηματικών που βλέπουν τα μαθηματικά σαν μια εμπειρική επιστήμη, ή, όπως γενικότερα θα έλεγα, μια “κουλτούρα”. Ο L.O.Katsoff, π.χ., βλέπει με καλό μάτι την παρατήρηση του Gronseth ότι η λογική είναι η φυσική των αντικειμένων per se. Αυτή η παρατήρηση μπορεί να εφαρμοστεί και στα τυπικά αλλά και στα καθαρά μαθηματικά, ίσως -αν αυτές οι διακρίσεις έχουν ακόμα νόημα. Σύμφωνα με τον Katsoff, ο οποίος επηρεάστηκε από τον Husserl: “Τα μαθηματικά δεν είναι απλώς ένας όμιλος συμβόλων, αλλά μια ανθρώπινη κατασκευή η οποία έχει θέση στην κοινωνία και η οποία έχει σχέση με εμπειρικά γεγονότα. Γι’ αυτό έχει συντακτικά, ψυχολογικά και επιστημονικά επίπεδα έρευνας” (Katsoff, 1948:253).

Ένα αρκετά παλιό παράδειγμα μαθηματικής εργασίας που να εμφανίζει αναλογίες με την εργασία γενικά, μας δίνει ο de Morgan. Ασχολήθηκε με τη “μαθηματικοποίηση των μαθηματικών”, σαν κάτι αντίστοιχο της επαγγελματοποίησης. Ο Augustus de Morgan ήταν ένας “δορυφόρος” για την Αναλυτική Κοινωνία. Αφιέρωσε τον εαυτό του αντιλαμβανόμενος τη μαθηματική εργασία σαν ένα επάγγελμα. Την ίδια στιγμή, τόνισε τη σημασία ενός συγκεκριμένου μαθηματικού συμβολισμού ως κάτι το οποίο θα προσέφερε καινούργια αποτελέσματα.

Στη διδασκαλία, χρησιμοποιούσε παραδείγματα όπως τα παρακάτω:

32-22=(3-2)(3+2)

62-42=( )( )

a2-b2=( )( ), a>b

α2-b2=( )( )

Σε αυτή την ομάδα βημάτων, αναγνωρίζουμε ένα προσανατολισμό στη γενίκευση ενός αριθμητικού γεγονότος σε κάποιους αριθμούς, γενικά. Θεωρήστε το παρακάτω πιο αυστηρό παράδειγμα:

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=..............

.

.

.

(a+b)n=.............,για κάθε ακέραιο n.

(a-b)n=..............,για κάθε ακέραιο n.

Και πάλι, αυτά είναι βήματα προς τη γενίκευση. Και το ενδιαφέρον για αυτού του είδους τα βήματα, ειδικά σε πιο προχωρημένα στάδια ανάπτυξης, είναι ένα σημάδι επαγγελματοποίησης. Έτσι, η συνειδητοποίηση του de Morgan για την ανάγκη επέκτασης του νοήματος σχετικά με την ερμηνευτική πλευρά της μαθηματικής εργασίας, προκύπτει σαν ένα κομμάτι ή ένα αντίστοιχο της γενικής ανάπτυξης των μαθηματικών σε επάγγελμα. Ένα ιδιαίτερα ενδιαφέρον παράδειγμα της προσέγγισης του de Morgan είναι το παρακάτω:

1.2Χ=Χ (για Χ=0)

2.2Χ/Χ=Χ/Χ

3.2=1

Αυτό το ίχνος μαθηματικής μαγείας, το οποίο είχε σαν σκοπό τη χρησιμοποίηση των παλιών μαθηματικών για την κατασκευή νέων μαθηματικών, ήταν αποτυχημένο. Αλλά όταν ο Βoole πραγματοποίησε μια παρόμοια κίνηση, από το ότι (1)(1)=1 και (0)(0)=0 στο ότι (Χ)(Χ)=Χ, έβαλε τα θεμέλια για μια παραγωγικότατη άλγεβρα.

Σύμφωνα με τον Mannoury, τα μαθηματικά είναι “ένα φαινόμενο της ζωής” (Lebenenserscheinung). Eξετάζει τα μαθηματικά από τη σκοπιά της “σημαντικής”, δηλαδή “της θεωρίας των πνευματικών σχέσεων που υπάρχουν πίσω από τις ανθρώπινες, προφορικές πράξεις, αλλά ειδικότερα της θεωρίας των επιστημών της γλώσσας, με τη στενότερη έννοια (σημειολογία, ετυμολογία, γλωσσολογία και φιλολογία)” (Katsoff,1948:197). Τα μαθηματικά αποτελούνται από δύο μέρη: τις λέξεις και τα σύμβολα μέσα από τα οποία εκδηλώνονται (τυπικά μαθηματικά) και το “σύστημα των πνευματικών σχέσεων” στο οποίο τα τυπικά μαθηματικά είναι βασισμένα. Σύμφωνα με τον Μannoury:

Μια μαθηματική φόρμουλα, εκτός από απλούς διδακτικούς σκοπούς, εκφράζεται ή καταγράφεται μόνο όταν πρόκειται να εφαρμοστεί σε κάποιο εμπειρικό δεδομένο. Ο σκοπός αυτής της εφαρμογής δεν αποφασίζεται από τη φόρμουλα αλλά από τη σχέση του ατόμου που μιλάει στο αντικείμενο των υπολογισμών του. Η φόρμουλα, ή γενικότερα, τα λιγότερο ή περισσότερο “καθαρά” μαθηματικά, είναι μόνο ο τύπος της εμφάνισης της μετάβασης από το σκοπό στο μέσο (Katsoff,1948:199).

Έπειτα ο Mannoury εξετάζει τη φύση των φυσικών νόμων και των μαθηματικών δηλώσεων από μια “ψυχολογίστικη” σκοπιά. Εδώ, όπως και σε άλλες περιπτώσεις όπου τα ανθρώπινα θεμέλια της επιστήμης ή των μαθηματικών αναγνωρίζονται, η “ψυχολογία” άμεσα αναγνωρίζεται σαν αυτή που εισάγει μια ευρύτερη κοινωνική και πολιτισμική σκοπιά. Υποστηρίζει ότι οι φυσικοί νόμοι δεν μπορούν να έχουν κανένα αντικειμενικό περιεχόμενο υπό καμιά αυστηρή έννοια, δηλαδή ένα περιεχόμενο ανεξάρτητο της ανθρώπινης ζωής. Είναι, τελικά, ψυχολογικοί νόμοι (βάζοντας σε αγκύλες το πρόβλημα των “νόμων”, θα υποστήριζα τον όρο “κοινωνιολογικός” εδώ). Αυτοί οι νόμοι είναι:

μόνο και μόνο εκφράσεις για κανονικότητες οι οποίες από τη μια φανερώνονται από τις σχέσεις μεταξύ ενθυμούμενης προσδοκίας και εμπειρίας και από την άλλη, για ανταποκρινόμενες κανονικότητες στις σχέσεις μεταξύ εμπειρίας και προσδοκίας (συναισθηματικό- βουλητικό νόημα του φυσικού νόμου) (Katsoff,1948:200).

Τώρα, ο Mannoury υποστηρίζει ότι υπάρχει μια διάκριση ανάμεσα στην τυπική μαθηματική και την τυπική φυσική γλωσσική ή προφορική πράξη:

Η πνευματική εργασία ακόμα και των πιο απομονωμένων μαθηματικών αποτελείται από γλωσσικές πράξεις. Ως εκ τούτου, μπορεί και πρέπει να εξετασθεί στα ενδεικτικά και συναισθηματικής φύσης στοιχεία της. Είναι προφανές ότι ακόμα και αυτός ο τύπος πνευματικής εργασίας διαμορφώνεται από τις μνημιακές και προσδοκώμενες σχέσεις του, όπως και κάθε άλλος τύπος. Μόνο που εδώ το “εμπειρικό περιεχόμενο” μιας μαθηματικής απόδειξης ή ενός θεωρήματος συνίσταται στη γνώση που είναι προσφιλής και στο συγγραφέα και στον αναγνώστη (Katsoff,1948:202).

Αλλά κατ’ αρχάς έχουμε να κάνουμε με δυο αρένες αναπαραγωγής “εμπειρικού περιεχομένου”, και όχι δυο εκ βάθρων διαφορετικές προφορικές πράξεις. Πράγματι, ακόμα και όταν ο Mannoury προσπαθεί να υπερασπιστεί τη διάκριση ανάμεσα στους φυσικούς και τους μαθηματικούς νόμους, συμπεραίνει ότι “οι φυσικές και προφορικές κανονικότητες επηρεάζουν η μία την άλλη”. Οπότε το 1+1=2 και ο “φυσικός νόμος” της επιμονής είναι άρρηκτα δεμένοι μεταξύ τους” (Katsoff,1948:204). Υπάρχουν και άλλες αναντιστοιχίες στον Mannoury, ή στην ερμηνεία που δίνει ο Katsoff για τον Mannoury. Για παράδειγμα, σύμφωνα με τον Katsoff, o Mannoury “επιβεβαιώνει ότι μπορούμε να μιλάμε φορμαλιστική -τυπική μαθηματική γλώσσα όταν η γλωσσική αντίδραση του ακροατή στην προφορική πράξη του ομιλητή είναι, όσο το δυνατόν, ανεξάρτητη από τα πρόσωπα και από τα φαινόμενα που τη συνοδεύουν” (Katsoff,1948:205).

Αλλά αυτό δεν φαίνεται να είναι σύμφωνο με τις περιληπτικές παρατηρήσεις του Katsoff (1948:206) στις οποίες ο Mannoury φέρεται να ισχυρίζεται ότι “τα μαθηματικά είναι συγγενικά με τις γλωσσικές πράξεις και τις προφορικές μορφές”, ότι η ανάπτυξή τους είναι “σχετική με την ανάπτυξη της ανθρώπινης γλώσσας και σκέψης” και ότι “δεν μπορούν να είναι ανεξάρτητα των ανθρώπων και των επιδιώξεών τους”. Ίσως οι αναντιστοιχίες αντανακλούν την ψυχολογική σκοπιά του Mannoury, ένα προχώρημα για τις καθαρές απόψεις, αλλά και μια απορριπτέα κοινωνιολογική προσέγγιση. Πρέπει, επίσης, να σημειωθεί ότι για τον Mannoury, “η αποφασιστική προς χρήση μέθοδος για να θεωρήσουμε τα θεμέλια των μαθηματικών είναι η εμπειρική και η ψυχολογική μέθοδος. Οπότε η συγκεκριμένη ή ψυχογλωσσική έρευνα πρέπει να επιφέρει αξιωματικές έρευνες” (Katsoff,1948:206). Αυτή η θεώρηση της “σειράς αναλύσεων” είναι ακόμα ένα πιθανό στοιχείο για τις αναντιστοιχίες στην προσέγγιση του Mannoury.

Δεδομένων όσων είπαμε πρωτύτερα στο κεφάλαιο αυτό, μπορούμε να δούμε γιατί δεν είναι μια απλή υπόθεση το να υποστηρίξουμε (όπως κάνει ο Κörner [1926:174]) ότι οι βάσεις για τα “εδώ υπάρχει ένα κομμάτι χαλκού” και “εδώ υπάρχει ένα Ευκλείδειο σημείο” είναι “αρκετά διαφορετικά”. Πράγματι, αυτό είναι ένα παράδειγμα αυτού που αλλού ονομάζω “η πλάνη της ασύμμετρης αναλογίας”. Απ’ την άλλη μεριά, η δήλωση του χαλκού έχει τις ρίζες της σε μια πρωτόγονη σχέση με κάποιο αντικείμενο του φυσικού κόσμου του Κörner. Αυτό αγνοεί την ιστορική ανάπτυξη της σύλληψης του χαλκού και τη σπανιότητα της αφηρημένης ιδέας “χαλκός” στην π.χ. μεταλλουργία. Από την άλλη, η σύλληψη ενός Ευκλείδειου σημείου είναι το τρέχον αποκορύφωμα μιας αφηρημένης διαδικασίας η οποία ξεκινά με δηλώσεις στο επίπεδο του Πρώτου Κόσμου της δήλωσης του χαλκού.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2:ΠΟΛΙΤΙΚΗ,ΜΟΡΦΩΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Τα μαθηματικά υπήρξαν ένα εργαλείο για να ελέγξει κανείς την ελίτ και τους πολιτικούς του αντιπάλους, από την ανάπτυξή τους στους αρχαίους πολιτισμούς μέχρι σήμερα. Στη μοντέρνα ιστορία, μπορούμε να αναφερθούμε στα παραδείγματα του Ναπολέοντα του I, όπου υποστηρίζει ότι “η πρόοδος και η τελειότητα των μαθηματικών είναι άρρηκτα δεμένες με την ευημερία της Πολιτείας” (Μoritz,[1914] 1942:42) και το σλόγκαν που υιοθετήθηκε στη Μοζαμβίκη το 1970: “Αφήστε μας να κάνουμε τα μαθηματικά ένα όπλο για την οικοδόμηση του σοσιαλισμού” (Zaslavsky,1981:16). Τα μαθηματικά, οι επιστήμες και η γνώση, γενικά, είναι αποφασιστικά μέσα σε όλες τις κοινωνίες. Οπότε, τα συστήματα της γνώσης τείνουν να υπηρετούν τα ενδιαφέροντα των πιο δυνατών τάξεων της κοινωνίας. Επομένως, οι κοινωνίες στρωματοποιούνται, η φύση και η μετάδοση της γνώσης αρχίζουν να αντανακλούν κοινωνικές ανισότητες. Σήμερα, βλέπουμε να εξηγείται η εξής αρχή στο πρόγραμμα των μαθηματικών: “Είναι το περιεχόμενο και η μεθοδολογία του μαθηματικού προγράμματος το οποίο παρέχει ένα από τα αποτελεσματικότερα μέσα για να επιτύχουν τη διαίρεση των τάξεων οι κυβερνώντες την κοινωνία μας” (Zaslavsky,1981:15).

Το μαθηματικό πρόγραμμα, όπως όλα τα προγράμματα, καθορίζεται από τις κοινωνικές λειτουργίες της εκπαίδευσης σε μια διαστρωματωμένη κοινωνία. Τα εκπαιδευτικά ιδρύματα στις ανεπτυγμένες βιομηχανικές κοινωνίες “ευνοούν τύπους προσωπικής επικράτησης παρόμοιους με τις σχέσεις επικράτησης και υποταγής στο χώρο της οικονομίας”: “Ο κυρίαρχος προσανατολισμός στα γυμνάσια αντανακλά τη στενή επίβλεψη των χαμηλόβαθμων εργατών, ενώ η εσωτερικότητα των κανόνων και της ελευθερίας υπό διαρκή επίβλεψη στα κολέγια της ελίτ αντανακλά τις κοινωνικές σχέσεις της ανώτερης εργασίας (“λευκό κολάρο”). Τα περισσότερα κρατικά πανεπιστήμια και δημόσια κολέγια και όσα συγκαταλέγονται σε αυτά, προσαρμόζονται σε χαμηλού επιπέδου απαιτήσεις σε τεχνικό προσωπικό και προσωπικό συντήρησης και επίβλεψης” (Bowles και Gintes,1976:11-12). Αυτού του τύπου η πολιτική οικονομία ευνοεί χαμηλές απαιτήσεις ανάμεσα στους δασκάλους των σχολείων στο εσωτερικό της πόλης και ενθαρρύνει τα παιδιά στη βάση μιας “καλής διεύθυνσης”. Εντωμεταξύ, στις εύπορες περιοχές, τα σχολεία “μπορούν να προσφέρουν σύγχρονα προγράμματα, καλά εκπαιδευμένους δασκάλους, ολιγάριθμα τμήματα και εκπαίδευση σε υπολογιστή για κάθε μαθητή ξεχωριστά” (Zaslavsky,1981:20). Με τα δεδομένα αυτά, μια κίνηση στα μαθηματικά (καθώς και σε άλλους χώρους) η οποία θα λέει “πίσω στα βασικά”, μπορούμε να αντιληφθούμε σαν ένα μέσο 1) για περικοπή δαπανών για την εκπαίδευση και “απελευθέρωση κονδυλίων για ακόμα μεγαλύτερη στρατιωτική ενίσχυση” και 2) για “να πειστούν οι φτωχοί, οι μειονότητες και οι γυναίκες να δεχτούν τη μειονεκτική θέση τους στην καπιταλιστική κοινωνία” (Zaslavsky,1981:24). Του ίδιου είδους καταστάσεις αναπαράγονται και στο σύστημα διαστρωμάτωσης σε όλο τον κόσμο (D’ Ambrosio,1985).

Η σχέση ανάμεσα στα μαθηματικά, τις τάξεις και την εξουσία στο σημερινό κόσμο αποκτά ένα βαθύτερο νόημα μέσω της κοινωνιολογίας των μαθηματικών, στην οποία αναφέρθηκα νωρίτερα. Η προοπτική της “κοινωνικής κατασκευής” δείχνει πόσο βαθιά εμπλέκονται η πολιτική, η εκπαίδευση και άλλοι κοινωνικοί παράγοντες στη μαθηματική εργασία και γνώση. Μια σημαντική συνέπεια της κατασκευαστικής αυτής προοπτικής είναι ότι οι μαθηματικές μεταρρυθμίσεις (ή και πιο ριζικές αλλαγές) δεν μπορούν να ολοκληρωθούν αποτελεσματικά αν απομονωθούν από ευρύτερα ζητήματα αξιών, εξουσίας και κοινωνικής δομής. Αν, από την άλλη πλευρά, αποδεχτούμε τα συνήθη μαθηματικά εργαλεία και τους συνήθεις τρόπους επίλυσης κοινωνικών, προσωπικών και περιβαλλοντικών προβλημάτων, δεν θα πετύχουμε τους στόχους μας. Τα μοντέρνα μαθηματικά, σαν μια κοινωνική δημιουργία, είναι από μόνα τους ένα κοινωνικό πρόβλημα στη σύγχρονη κοινωνία. Ως εκ τούτου, είναι παράλογο να υποθέσουμε ότι οι κοινωνικοί μεταρρυθμιστές και επαναστάτες θα μπορούσαν να εξαφανίσουν τα μαθηματικά από την κοινωνία, και το ίδιο παράλογο να υποθέσουμε ότι οι μαθηματικοί αυτοί μεταρρυθμιστές και επαναστάτες θα μπορούσαν να οδηγήσουν με το ζόρι τα μαθηματικά (όπως τα ξέρουμε σήμερα) σε μια “εναλλακτική” μορφή, ανεξάρτητα από ευρύτερες κοινωνικές αλλαγές.

Ποια, τότε, πρέπει να είναι η προσέγγισή μας στην κοινωνική αλλαγή των μαθηματικών; η κατασκευαστική προοπτική υποστηρίζει ότι θα έπρεπε να εστιάσουμε στο μετασχηματισμό του τρόπου ζωής, των κοινωνικών σχέσεων και των αξιών της κοινωνίας γενικότερα. Όπως έχω επισημάνει αλλού, “μια ριζική αλλαγή στη φύση των κοινωνικών μας σχέσεων θα αντανακλόνταν σε ριζικές αλλαγές στο πώς οργανώνουμε τη μαθηματική εργασία -και οι αλλαγές αυτές, με τη σειρά τους, θα επηρεάσουν τον τρόπο με τον οποίο σκεπτόμαστε το περιεχόμενο των μαθηματικών μας” (Restivo,1983:266).

Τα μοντέρνα μαθηματικά μπορούν να θεωρηθούν ένα κοινωνικό πρόβλημα από πολλές πλευρές. Τείνει να εξυπηρετεί ενδιαφέροντα της κυρίαρχης τάξης. Μπορεί να αποτελεί ένα καταφύγιο το οποίο επιτρέπει σε ένα επαγγελματικό και ελιτίστικο γκρουπ μαθηματικών να επιδιώκει υλικές ανταμοιβές ανεξάρτητα από έννοιες για κοινωνική, προσωπική και περιβαλλοντική ανάπτυξη, αύξηση και για αύξηση της ποιότητας ζωής. Οι αισθητικοί στόχοι στα μαθηματικά μπορεί να είναι σημάδι αλλοτρίωσης ή εσφαλμένης αντίληψης στην εκτίμηση του κοινωνικού ρόλου των μαθηματικών και η μαθηματική προπόνηση και “εκπαίδευση” μπορεί να τονίσει τη “λύση του παζλ” (κατά την αντίληψη του Kuhn) παρά “την εφευρετικότητα, τη δημιουργικότητα και τη διαίσθηση” (D’ Ambrosio,1985:79). Κάθε προσπάθεια να απευθύνει κανείς τα προβλήματα αυτά θα αποτύχει αν βασίζεται στην άποψη ότι τα μαθηματικά είναι μια ομάδα δηλώσεων, μια βάση γνώσης ή μια μεθοδολογία. Αυτή η άποψη αντικατοπτρίζει την αντίληψη ότι η τεχνική ορολογία σχετικά με τα μαθηματικά μας προσφέρει μια πλήρη κατανόηση των μαθηματικών. Αν, από την άλλη πλευρά, υιοθετήσουμε την κατασκευαστική προοπτική ότι ο κοινωνικός λόγος σχετικά με τα μαθηματικά είναι το κλειδί για να κατανοήσουμε τα μαθηματικά (συμπεριλαμβανομένης και της μαθηματικής γνώσης), τότε η προσέγγισή μας στην επίλυση των κοινωνικών προβλημάτων των μαθηματικών και στο πρόβλημα των “μαθηματικών ως ενός κοινωνικού προβλήματος” θα εστιάζει απαραίτητα σε κοινωνικούς ρόλους και θεσμούς.

Νέες κοινωνικές περιστάσεις και καταστάσεις θα δώσουν έδαφος σε νέες ιδέες και τύπους μαθηματικών. Δεν μπορούμε να προβλέψουμε αυτές τις ιδέες και τους τύπους. Παραπέρα, δεν μπορούμε ούτε καν να τις φανταστούμε. Μπορούμε να φανταστούμε ότι θα διδάσκουμε, θα παράγουμε και θα χρησιμοποιούμε τα μαθηματικά με καινούργιες μεθόδους. Αυτό δεν απαιτεί να επιτεθούμε σε όλες τις κοινωνικές αρρώστιες σε όλα τα επίπεδα ταυτόχρονα. Απαιτεί, τελικά, να προσεγγίσουμε αναθεωρήσεις, ανασχηματισμούς και επαναστάσεις στα μαθηματικά, όντας πάντα προσεκτικοί απέναντι στον ιστό των ρόλων, θεσμών, ενδιαφερόντων και αξιών τον οποίο ενσαρκώνουν και μέσα στον οποίο είναι τοποθετημένα τα μαθηματικά.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ

Αυτό το κεφάλαιο βασίζεται στις συνεισφορές μου στα ειδικά τεύχη του Philosophica και ZDM. Κάποια από τα τελευταία τμήματα είναι βασισμένα στη δουλειά μου πάνω στην κοινωνιολογία των μαθηματικών με τον Randall Collins και περιλαμβάνουν κάποια δουλειά που παρουσιάστηκε στη συνάντηση του 1984 της Ένωσης Κοινωνικών Σπουδών στο Gent του Βελγίου, στη διάλεξή μου με τίτλο, “Οι κοινωνικές αλήθειες της μαθηματικής γνώσης”.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Becker, H.

1982 Oι κόσμοι της τέχνης. Berkeley και Los Angeles: University of California Press.

Bloor, D.

1976 Γνώση και κοινωνικά είδωλα. Λονδίνο: Routledge Kegan Paul.

Boole, G.

1958 Οι νόμοι της σκέψης. Επανεκτύπωση: Αυθεντική έκδοση το 1854. Νέα Υόρκη: Dover.

Boolos, G.

1971 “Η επαναληπτική έννοια των Ομάδων”. Journal of Philosophy 68:215-231.

Booss, B. και Μ. Niss

1979 Τα μαθηματικά και ο αληθινός κόσμος. Βοστόνη: Birkhouser.

Bottomore, T. και M. Rubel

1956 Karl Marx: Επιλεγμένες σημειώσεις πάνω στην Κοινωνιολογία και στη Φιλοσοφία της Κοινωνίας. Μεταφρασμένο από τον T. Bottomore. Νέα Υόρκη: McGraw- Hill.

Bowles, S. και H. Gintis

1976 Η σχολειοποίηση στην καπιταλιστική Αμερική. Νέα Υόρκη: Basic Books.

Collins, H.

1985 Αλλάζοντας σειρά. Beverly Hills: Sage.

Crumb, T.

1989 Η Ανθρωπολογία του Αριθμού. Cambridge: Cambridge University Press.

Curry, H. B.

1951 Γενικές αρχές μιας τυπικής Φιλοσοφίας για τα Μαθηματικά. Αmsterdam: North- Holland.

D’ Ambrosio, U.

1985 Οι κοινωνικοπολιτισμικές βάσεις της μαθηματικής εκπαίδευσης. Campinas, Βραζιλία: UNICAMP.

Dedekind, R.

1956 “Ο ασύμμετρος αριθμός”. 528-36 στο βιβλίο του J.R. Newman, Ο κόσμος των Μαθηματικών, τόμ. 1. Νέα Υόρκη: Simon and Schuster.

Durkheim, E.

1961 Οι στοιχειώδεις μορφές της θρησκευτικής ζωής. Νέα Υόρκη: Collier Books.

Fleck, L.

1979 Η γένεση και η ανάπτυξη ενός επιστημονικού γεγονότος. Μεταφρασμένο από τους F. Bradley και T. Trenn. Σικάγο: University of Chicago Press.

Geertz, C.

1983 H ντόπια γνώση Νέα Υόρκη: Basic Books.

Goffman, E.

1974 Ανάλυση συστημάτων Νέα Υόρκη: Harper Torchbooks.

Goodman, N. D.

1979 “Τα Μαθηματικά σαν μία αντικειμενική επιστήμη”. American Mathematical Monthly 86,7:540-557.

Gumplowicz, L.

1905 H Grundrisse της κοινωνιολογίας. Βιέννη: Manz.

Hawkins, D.

1964 Η γλώσσα της φύσης. San Francisco: W. H. Freeman.

Heelan, P.

1983 Η αντίληψη του Σύμπαντος και η Φιλοσοφία των Επιστημών. Berkeley και Los Angeles: University of California Press.

Katsoff, L.D.

1948 Μια Φιλοσοφία των Μαθηματικών. Ames: Iowa State College Press.

Kither, P.

1983 Η φύση της μαθηματικής γνώσης. Νέα Υόρκη: Oxford University Press.

Kleene, S.

1971 Εισαγωγή στα μεταμαθηματικά. Νέα Υόρκη: American Elsevier.

Kline, M.

1980 Μαθηματικά: Η απώλεια της βεβαιότητας. Νέα Υόρκη: Oxford University Press.


Körner, S.

1962 Η φιλοσοφία των Μαθηματικών. Νέα Υόρκη: Harper Torchbooks.

Latour, B.

1987 Η επιστήμη στην πράξη. Cambridge, Mass: Harvard University Press.

Mills, C. Wright

1961 Η κοινωνιολογική φαντασία. Νέα Υόρκη: Grove.

Moritz, R. E.

1942 Σχετικά με τα Μαθηματικά και τους Μεταμαθηματικούς. Νέα Υόρκη: Grove.

Restivo, S.

1983 Οι κοινωνικές σχέσεις της Φυσικής, του Μυστικισμού και των Μαθηματικών. Dordrecht: D. Reidel.

1988 “Οι μοντέρνες επιστήμες σαν ένα κοινωνικό πρόβλημα”. Κοινωνικά προβλήματα 35:206-25.

1990 “Οι κοινωνικές ρίζες των καθαρών Μαθηματικών”. 120-43 στο βιβλίο των S. Cozzens και T. Gieryn, Οι θεωρίες της επιστήμης στην κοινωνία. Bloomington: Indiana University Press.

Restivo, S. και R. Collins

1982 “Μαθηματικά και Πολιτισμός”. The Centennial Review 26,3:277-301.

Rorty, R.

1979 Η Φιλοσοφία και ο Καθρέπτης της Φύσης. Princeton: Princeton University Press.

Snapper, E.

1979 “Τι είναι τα Μαθηματικά;” American Mathematical Monthly 86:551-557.

Spengler, O.

1926 Η παρακμή της Δύσης. τομ. 1. Νέα Υόρκη: International Publishers.

Zaslavsky, C.

1981 “Μαθηματική Εκπαίδευση: Η πλάνη του “πίσω στα βασικά” και το σοσιαλιστικό αντιπαράδειγμα”. Science and Nature Νο. 4:15-27.