ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΥΠΟ ΤΟ ΦΩΣ ΤΗΣ ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΑΣ

ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΥΠΟ ΤΟ ΦΩΣ ΤΗΣ ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΗΣ
ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΑΣ

Yehuda Rav

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Όταν μιλά κανείς για τα θεμέλια των μαθηματικών ή τα θεμελιώδη τους προβλήματα , είναι σημαντικό να θυμάται ότι τα μαθηματικά δεν είναι ένα οικοδόμημα που κινδυνεύει να κατάρρευση αν δεν στηρίζεται σε στέρεες και αιώνιες βάσεις που προέχοντα από κάποια λογική , φιλοσοφική ή εξω-μαθηματική δομή . Αντίθετα τα μαθηματικά θα πρέπει να θεωρούνται σαν ένα συνεχώς διευρυνόμενο τμήμα που πλέει στο διάστημα , με σχέσεις που αναπτύσσονται συνεχώς μεταξύ προηγούμενων αυτόνομων τμημάτων , ενώ άλλοι τομείς ατροφούν λόγω έλλειψης ενδιαφέροντος ή ενδιαφερομένων . Τα θεμέλια των μαθηματικών συνεχώς αυξάνουν , αλλάζουν και συνδέονται με άλλους κλάδους των μαθηματικών ή και άλλων πεδίων γνώσης . Η πρόοδος των μαθηματικών σε ανοιχτά και ακανθώδη προβλήματα και τα θεμελιώδη προβλήματα δεν αποτελούν εξαίρεση . Τέτοια προβλήματα προέκυψαν στην αρχαιότητα ήδη αλλά η ραγδαία πρόοδος στο δεύτερο μισό του 19ου αιώνα προς ψηλότερα επίπεδα αοριστίας και η διέξοδος στο πραγματικό άπειρο από τον Dedekind και τον Cantor πίεσαν για έντονη ενασχόληση με τα θεμελιώδη προβλήματα . Η ανακάλυψη άρρητων αριθμών , η χρήση αρνητικών αριθμών , η εισαγωγή των φανταστικών αριθμών , η επινόηση του απειροστικού λογισμού και οι (ασυνάρτητοι) υπολογισμοί με αποκλίνουσες σειρές , καθεμία από αυτές τις καινοτομίες επιτάχυναν στην εποχή τους τις αβεβαιότητες και οδήγησαν σε μεθοδολογικούς στοχασμούς . Αλλά ξεκινώντας από τη δημιουργία μη-Ευκλείδειων γεωμετριών και μεσουρανώντας στην καντοριανή θεωρία των υπερβαινόντων αριθμών ο αριθμός με τον οποίο παρουσιάζονταν νέα θεμελιώδη προβλήματα αυξανόταν μέχρι του σημείου να προκαλέσουν ένα αίσθημα κρίσης όπως αυτή στην αρχή του αιώνα .

Η φιλοσοφία των μαθηματικών αντιμετωπίζεται με συστηματική σκέψη για τη φύση των μαθηματικών , τα μεθοδολογικά τους προβλήματα , τη σχέση τους με την πραγματικότητα και την εφαρμοσιμότητα τους . Ορισμένες θεμελιώδεις αναζητήσεις , εν τέλει φιλοσοφικές , τελικά εσωτερικεύτηκαν . Έτσι αποτελέσματα από έρευνες με φιλοσοφικά κίνητρα , παρήγαγαν εντυπωσιακές εξελίξεις στον τομέα της λογικής , με τελική ενσωμάτωση στα μαθηματικά . Σήμερα , διάφορα αποτελέσματα θεμελιώδους εργασίας όπως η αποδεικτική θεωρία , η αξιωματική θεωρία και η θεωρία της επανάληψης είναι τμήμα της επίσημης μαθηματικής έρευνας . Αυτό δεν σημαίνει ότι η φιλοσοφία των μαθηματικών έχει αρχίσει ή θα έπρεπε να αρχίσει να φθίνει . Το αντίθετο . Σήμερα αυξάνουν οι φωνές που χαιρετίζουν μια αναγέννηση στη φιλοσοφία των μαθηματικών και ζητωκραυγάζουν την ακμή της . Ας σημειωθεί η σύγχρονη ενασχόληση των βιολόγων μαζί με τους φιλοσόφους με τα θεμελιώδη προβλήματα της βιολογίας . (΄Ενα ειδικό περιοδικό , Βιολογία και Φιλοσοφία , δημιουργήθηκε το 1986 να χρησιμεύσει σαν ένα κοινό μέρος διακίνησης ιδεών) Αντίθετα η μαθηματική κοινότητα είναι μάλλον απομονωμένη και πολλοί μαθηματικοί έχουν την τάση να περιφρονούν τα φιλοσοφικά ερωτήματα . Ωστόσο χωρίς τη φιλοσοφία παραμένουμε απλοί σωροί από πέτρες : “Μπορείς ασφαλώς να κατανοήσεις τη δομή των πετρών αλλά δεν θα αντιληφθείς ποτέ την ουσία που βρίσκεται πίσω από τις πέτρες” . (Saint-Exupery, 1948-256)

Eίναι σημαντικό να σημειωθεί ότι στην σύγχρονη βιβλιογραφία σχετικά με την μαθηματική φιλοσοφία σημειώνεται μια αλλαγή προς την ανάλυση της μαθηματικής πρακτικής (Feferman-1985; Herch-1979; Kitcher-1983; Kreisel-1973;Resnik-1975,81,82; Resnik and Kusher-1987; Shapiro-1983; Steiner-1978a,87b,83; Van Bendegem-1987) . Αυτή είναι αναζωογονητική , διότι είναι καιρός η φιλοσοφία των μαθηματικών να απελευθερωθεί από τη θεσμοθετημένη και τετριμμένη τετραλογία του Πλατωνισμού , λογικισμού , έμφυτης αντίληψης και φορμαλισμού . Όπως τόνισε ο Quine (1980:14) , οι παραδοσιακές πηγές γνώσης της φιλοσοφίας των μαθηματικών έχουν τις ρίζες τους στα μεσαιωνικά δόγματα του ρεαλισμού , της φιλοσοφικής θεωρίας και του νομιναλισμού . Ενώ η διαμάχη σχετικά με την συμπαντικότητα και την οντολογία είχε την σημασία της στο πλαίσιο της μεσαιωνικής κουλτούρας , το ότι μερικοί φιλόσοφοι των μαθηματικών συζητούσαν την ύπαρξη ακεραίων αριθμών ή όχι , ήταν σκάνδαλο . Ήταν ένα ενδιαφέρον θέμα να συγκρίνονται μαθηματικά αντικείμενα με φυσικά αντικείμενα , εφόσον η νεότερη έννοια θεωρούνταν διφορούμενη . Όμως με την ανάπτυξη της κβαντομηχανικής , η ίδια η έννοια του φυσικού αντικειμένου έγινε πολύ πιο προβληματική από οποιαδήποτε μαθηματική έννοια . Εν συντομία , η γόνιμη φιλοσοφία των μαθηματικών έχει τα παραδείγματα της και όπως οποιαδήποτε άλλη φιλοσοφία , θα πρέπει να προσανατολίζεται προς την άσκηση της δικής της πρακτικής και να διατηρεί επαφή με τα ρεύματα της φιλοσοφίας των επιστημών . Ο σκοπός αυτού του δοκιμίου είναι να εξερευνήσει ένα από αυτά τα ρεύματα που λέγεται εξελικτική επιστημολογία με στόχο να αποκτηθεί επίγνωση σχετικά με τη φύση της μαθηματικής γνώσης . Αυτό δεν είναι πρόγραμμα υπεραπλούστευσης . Αλλά η αναζήτηση νέας επίγνωσης φαίνεται πιο προσοδοφόρα από την παντοτινή ενασχόληση με την παγίδα του νεο-σχολαστικισμού και παρακλάδια του . Συμφωνώ με τον Wittgenstein ότι ¨το φιλοσοφικό έργο αποτελείται βασικά από διασαφηνίσεις¨.

ΟΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΑΣ

Η Εξελικτική Επιστημολογία δημιουργήθηκε ανεξάρτητα από τον βιολόγο Lorenz , τον ψυχολόγο Campbell και τον φυσικό και φιλόσοφο Vollmer . Παρόλο που οι ρίζες της ανάγονται στους εξελικτικούς στοχαστές του 19ου αιώνα , έλαβε την αρχική της μορφή από τον Lorenz (1941) σε ένα δοκίμιο για τον Kant . Ονομάστηκε το1974 από τον Campbell και αναπτύχθηκε συστηματικά από τον Vollmer σε ένα βιβλίο του το 1975 , έκτοτε έχει γίνει αντικείμενο μεγάλου αριθμού εργασιών και βιβλίων (βλέπε Campbell , Hayes και Callebaut , 1987) . Στην πρώτη παράγραφο ενός δοκιμίου προς τιμή του Sir Karl Popper , όπου εμφανίζεται για πρώτη φορά ο όρος εξελικτική επιστημολογία ο Campbell σημειώνει :

H εξελικτική επιστημολογία είναι κατά το ελάχιστο επιστημολογία , λαμβάνοντας υπ’οψη την συμβατότητα της θέσης του ανθρώπου σαν προϊών βιολογικής και κοινωνικής εξέλιξης . Στο δοκίμιο αυτό αναζητείται κατά πόσο η εξέλιξη , ακόμα και στη βιολογική της μορφή , είναι μια διαδικασία γνώσης και το ότι το παράδειγμα της φυσικής επιλογής για την αύξηση αυτής της γνώσης μπορεί να γενικευθεί σε άλλες επιστημονικές δραστηριότητες όπως η μάθηση , η σκέψη και η επιστήμη( Campbell , 1974:413).

Ο σκοπός μου είναι να προστεθούν τα μαθηματικά σε αυτόν τον κατάλογο . Ο Riedl χαρακτηρίζει την εξελικτική επιστημολογία ως εξής :

Σε αντίθεση με τις διάφορες φιλοσοφικές επιστημολογίες , η εξελικτική επιστημολογία επιχειρεί να διερευνήσει τον μηχανισμό της γνώσης από την σκοπιά της φυλογένειας της. Η βασική διαφοροποίηση της από την παραδοσιακή θέση είναι ότι υιοθετεί μια οπτική γωνία έξω από το αντικείμενο και εξετάζει διαφορετικούς μηχανισμούς γνώσης συγκριτικά . Έχει έτσι τη δυνατότητα να παρουσιάσει αντικειμενικά μια σειρά προβλημάτων [ συμπεριλαμβανομένων των προβλημάτων της παραδοσιακής επιστημολογίας , επιλύσιμα όχι μόνο στο επίπεδο αιτίασης αλλά και από την φυλογενετική τους σκοπιά ].(Reidel, 1984:220, 1988:287)

Σε ένα εκτεταμένο άρθρο ο Bradie (1986) εισήγαγε την διάκριση ανάμεσα σε δύο αλληλοσυσχετιζόμενα αλλά διακριτά προγράμματα που καλύπτονται από το όνομα της εξελικτικής επιστημολογίας . Από την μια μεριά ¨υπάρχει μια προσπάθεια να εξηγηθούν τα χαρακτηριστικά του γνωστικού μηχανισμού στα ζώα και τους ανθρώπους με μια ευθεία επέκταση της βιολογικής θεωρίας της εξέλιξης σε αυτές τις πλευρές των χαρακτηριστικών των ζώων που είναι τα βιολογικά υποστρώματα της γνωστικής δραστηριότητας όπως οι εγκέφαλοι , τα νευρικά συστήματα , τα κινητικά συστήματα κ.λ.π¨( Brandie, 1986:403 ). Ο Bradie αναφέρεται σ΄αυτό ως το “ πρόγραμμα του μηχανισμού της εξελικτικής επιστημολογίας ” (ΕΕΜ) . Το πρόγραμμα της θεωρίας της εξελικτικής επιστημολογίας (ΕΕΤ) ¨επιχειρεί να εξηγήσει την εξέλιξη των ιδεών , των επιστημονικών θεωριών και του πολιτισμού γενικά με τη χρήση μοντέλων και μεταφορών δανεισμένων από την εξελικτική βιολογία . Και τα δυο προγράμματα έχουν τις ρίζες τους στη βιολογία του 19ου αιώνα και την κοινωνική φιλοσοφία , στο έργο του Darwin , Spencer και άλλων¨ (Bradie, 1986:403). O Popper θεωρείται γενικά ο εκπρόσωπος του ΕΕΤ αν και ο ίδιος δεν θα αυτοαποκαλούνταν εξελικτικός επιστημολόγος . Η μεγάλη ώθηση για το ΕΕΜ ήρθε από το έργο του Konrad Lorenz και της σχολής του ηθολογίας . Μέσω εκτεταμένων μελετών συμπεριφοράς ζώων στο φυσικό τους περιβάλλον , ο Lorenz εμβάθυνε την κατανόηση μας σχετικά με την αλληλεπίδραση μεταξύ γενετικά καθορισμένων και διδακτών προτύπων συμπεριφοράς . Για τον Lorenz η εξέλιξη του γνωστικού μηχανισμού δεν είναι διαφορετικού είδους από την εξέλιξη των οργάνων . Ο ίδιος εξελικτικός μηχανισμός ερμηνεύει και τα δύο . Όπως το θέτει ο Lorenz σε ένα διάσημο χωρίο :

Σαν την οπλή του αλόγου , ο κεντρικός νευρικός μηχανισμός σκοντάφτει μπροστά σε απρόβλεπτες αλλαγές στο έργο του . Αλλά όπως ακριβώς η οπλή προσαρμόζεται στο έδαφος που αντιμετωπίζει , έτσι και ο κεντρικός μας νευρικός μηχανισμός για να σχηματίσει την εικόνα του κόσμου , προσαρμόζεται στον πραγματικό κόσμο που αντιμετωπίζει ο άνθρωπος . Όπως όλα τα όργανα , ο μηχανισμός αυτός έχει επιτύχει την ωφέλιμη στην αυτοσυντήρηση μορφή του αντιγράφοντας την πραγματικότητα μέσω της γενεαλογικής του εξέλιξης , διάρκειας πολλών αιώνων . (Lorenz, 1983:124)

Στο συναρπαστικό του έργο του 1941 που προαναφέρθηκε , ο Lorenz επανερμήνευσε τις γνωστικές κατηγορίες του Kant , υπό το φως της εξελικτικής βιολογίας . Περνώντας από την κεκτημένη επιστημολογία του Kant σε μία εξελικτική περιγραφική επιστημολογία , η κατηγορία της εκ των προτέρων γνώσης επανερμηνεύτηκε σαν εσωτερικός εκ των προτέρων γνωστικός μηχανισμός του ατόμου που εξελίσσεται στη βάση της εκ των υστέρων αντιμετώπισης του περιβάλλοντος . Εν συντομία , το ψυχογενετικό εκ των υστέρων έγινε το οντογενετικό εκ των προτέρων . Σύμφωνα με τον Lorenz ¨ Οι κατηγορίες και οι μορφές της αντίληψης του γνωστικού μηχανισμού του ανθρώπου είναι φυσικά προϊόντα φυλογένειας και συνεπώς προσαρμόζονται στις παραμέτρους της εξωτερικής πραγματικότητας με τον ίδιο τρόπο και για τον ίδιο λόγο που οι οπλές του αλόγου προσαρμόζονται στο λιβάδι ή τα πτερύγια του ψαριού στο νερό ¨. (1977:37, 1985:57)

Κάθε επιστημολογία άξια του ονόματός της , πρέπει να ξεκινήσει από κάποια αυταπόδεικτα ρεαλισμού : ότι υπάρχει ένας πραγματικός κόσμος με κάποιες οργανωτικές τάξεις . ¨ Σε έναν χαοτικό κόσμο όχι μόνο η γνώση αλλά και οι οργανισμοί θα ήταν αδύνατο να υπάρξουν ¨ (Vollmer, 1983:29). Αλλά ο κόσμος περιλαμβάνει ακόμα και το άτομο που τον αντικατοπτρίζει . Όπως ο ιδεαλιστής , για να παραφράσουμε τον Lorenz , κοιτάει μόνο στον καθρέπτη και γυρνάει την πλάτη στην πραγματικότητα , ο ρεαλιστής κοιτάει μόνο προς τα έξω και αγνοεί ότι είναι ένα κάτοπτρο της πραγματικότητας . Και οι δύο αγνοούν ότι ο καθρέπτης έχει και μια πίσω πλευρά που δεν αντανακλά , που είναι τμήμα της πραγματικότητας και αποτελείται από το φυσιολογικό μηχανισμό που εξελίχτηκε προσαρμοσμένος στον πραγματικό κόσμο . Αυτό είναι το αντικείμενο του του αξιόλογου βιβλίου του Lorenz “Πίσω από τον καθρέπτη”.Ωστόσο η πραγματικότητα δεν προσφέρεται σε άμεση παρατήρηση . ¨ Η πραγματικότητα είναι καλυμμένη ¨, για να χρησιμοποιήσουμε την χαρακτηριστική έκφραση του d’Espagnat . Αλλά το κάλυμμα μπορεί να καταστεί διαφανές με κατάλληλη προτυποποίηση και πειραματισμό . Αυτή είναι η πεποίθηση των επιστημόνων που ασχολούνται . Η εξελικτική επιστημολογία αξιώνει μια ελάχιστη οντολογία γνωστή ως υποθετικός ρεαλισμός , σύμφωνα με τον όρο που επινοήθηκε και προσδιορίσθηκε από τον Campbell ως εξής :

Τον γενικό μου προσανατολισμό θα τον ονομάσω υποθετικό ρεαλισμό . Ένας εξωτερικός κόσμος υποτίθεται γενικά και συγκεκριμένες οντότητες και διαδικασίες θεωρούνται συγκεκριμένα και τα αισθητά συμπεράσματα από αυτές τις υποθέσεις ψάχνουν για επαλήθευση . Καμιά από τις υποθέσεις δεν έχει δικαιολογία ή ισχύ πριν από άλλη ώστε να γίνει η εξέταση σε αυτά τα συμπεράσματα . Και ειδικά και γενικά είναι πάντα σε κάποιο βαθμό δοκιμαστικές . ( Campbell, 1959:156 )

O αναγνώστης παραπέμπεται στην πραγματεία του Vollmer (1987a, 1985, 1986) για μια συστηματική συζήτηση στην εξελικτική επιστημολογία . Δείτε επίσης τα αξιολογημένα άρθρα του Ursua (1986) και του Vollmer (1984) . Μεταγενέστερα , θα παρασυρθώ από την ιδέα να εφοδιαστώ με την γενετική (ή αναπτυξιακή) επιστημολογία του Piaget και της σχολής του (στο οποίο μελετώ κομμάτι από το ΕΕΜ) , όπως επίσης και στη δουλειά του Oeser (1987, Oeser and Seitelberger 1988).

ΚΑΠΟΙΕΣ ΑΙΩΝΙΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Ο Ούγγρος μαθηματικός Alfred Renyi έχει γράψει ένα πολύ ευχάριστο μικρό βιβλίο με τίτλο Διάλογοι στα Μαθηματικά . Το πρώτο είναι ένας διάλογος του Σωκράτη στη φύση των μαθηματικών , αγγίζοντας όμως κάποια κεντρικά θέματα στη φιλοσοφία των μαθηματικών . Από το ακόλουθο απόσπασμα θα αποσπάσω τα σημεία για την επόμενη συζήτηση .

Σωκράτης: Τι πράγματα μελετάει ένας μαθηματικός ; ... Θα έλεγες ότι αυτά υπάρχουν; ...Τότε πες μου , αν δεν υπήρχαν μαθηματικοί , θα υπήρχαν πρώτοι αριθμοί και αν ναι , που θα ήταν ;

Σωκράτης: Έχοντας καθιερώσει ότι οι μαθηματικοί ασχολούνται με πράγματα που δεν υπάρχουν στην πραγματικότητα παρά μόνο στις σκέψεις τους , ας εξετάσουμε την έκθεση του Theaitetos , o οποίος παρατήρησε ότι οι μαθηματικοί μας δίνουν περισσότερες αξιόπιστες γνώσεις απ’ότι μας δίνει οποιοσδήποτε κλάδος της επιστήμης .

Ιπποκράτης: ...Στην πραγματικότητα ποτέ δεν βρίσκεις δύο πράγματα που να είναι ακριβώς τα ίδια ; ...αλλά ένα μπορεί να είναι σίγουρο ότι οι δύο διαγώνιοι ενός ορθογωνίου είναι ακριβώς ίσες ...ο Ηράκλειτος ...είπε οτιδήποτε υπάρχει συνεχώς αλλάζει , αλλά αυτή η σίγουρη γνώση είναι μόνο πιθανή για πράγματα που ποτέ δεν αλλάζουν , για παράδειγμα οι περιττοί και οι άρτιοι , η ευθεία γραμμή και ο κύκλος .

Σωκράτης: Έχουμε πολύ περισσότερη συγκεκριμένη γνώση για άτομα που υπάρχουν μόνο στη φαντασία μας , για παράδειγμα χαρακτήρες σε ένα έργο , παρά για ζωντανά πρόσωπα ...Η κατάσταση είναι ακριβώς η ίδια στα μαθηματικά .

Ιπποκράτης: Αλλά ποια είναι η χρησιμότητα της γνώσης πραγμάτων που δεν υπάρχουν όπως τα προσφέρουν τα μαθηματικά ;

Σωκράτης: Πως να στο εξηγήσω αυτό , όσο συχνά συμβαίνει , οι μαθηματικοί μένουν μακριά ο ένας από τον άλλον και χωρίς να έχουν επαφή , ανεξάρτητα ανακαλύπτουν την ίδια αλήθεια ; Ποτέ δεν άκουσα δυο ποιητές να έχουν γράψει το ίδιο ποίημα ...Φαίνεται ότι το αντικείμενο της (μαθηματικής) μελέτης έχει κάποιο κομμάτι ύπαρξης ανεξάρτητα από το άτομο .

Σωκράτης: Αλλά πες μου , οι μαθηματικοί που βρίσκουν νέες αλήθειες , τις ανακαλύπτουν ή τις εφευρίσκουν ;

Ιπποκράτης: Ο κύριος σκοπός των μαθηματικών είναι να διερευνήσουν τα μυστικά και τα αινίγματα στη θάλασσα των σκέψεων . Αυτό υπάρχει ανεξάρτητα από τα μαθηματικά .

Σωκράτης: Δεν έχουμε ακόμη απαντήσει την ερώτηση : ποια η χρησιμότητα να διερευνήσουμε την υπέροχη θάλασσα της ανθρώπινης σκέψης ;

Σωκράτης: Αν θες να είσαι μαθηματικός , θα πρέπει να συνειδητοποιήσεις ότι θα δουλεύεις κυρίως για το μέλλον . Τώρα ας γυρίσουμε στην κύρια ερώτηση . Είδαμε ότι η γνώση για κάποιο άλλο κόσμο σκέψης , για πράγματα που δεν υπάρχουν στη συνηθισμένη λογική του κόσμου , μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην καθημερινή ζωή για να απαντήσουν ερωτήσεις για τον πραγματικό κόσμο . Δεν είναι εκπληκτικό ;

Ιπποκράτης: Περισσότερο από αυτό είναι αδιανόητο . Είναι πραγματικά ένα θαύμα .

Ιπποκράτης: ...Αλλά δεν βλέπω ομοιότητες μεταξύ του πραγματικού κόσμου και του φανταστικού κόσμου των μαθηματικών .

Ιπποκράτης: ...Θέλεις να πεις πως ο κόσμος των μαθηματικών είναι μια ανακλαστική φαντασίωση του πραγματικού κόσμου στον καθρέπτη της φαντασίας μας ;

Σωκράτης: ...Νομίζεις πως κάποιος που δεν έχει μετρήσει πραγματικά αντικείμενα μπορεί να καταλάβει την αφηρημένη έννοια του αριθμού ; ...Το παιδί φτάνει στην έννοια της σφαίρας από την εμπειρία με στρογγυλά αντικείμενα όπως οι μπάλες . Η ανθρωπότητα ανέπτυξε όλες τις θεμελιώδεις έννοιες των μαθηματικών με τον ίδιο τρόπο.Αυτές οι έννοιες αποκρυσταλλώνονται από τη γνώση του πραγματικού κόσμου και αυτό δεν είναι έκπληξη αλλά απόλυτα φυσικό που φέρνει τα σημάδια της καταγωγής του όπως ένα παιδί φέρνει των γονιών του . Και ακριβώς όπως τα παιδιά όταν μεγαλώνουν γίνονται οι υποστηρικτές των γονιών τους , έτσι και κάθε κλάδος των μαθηματικών εάν είναι επαρκώς ανεπτυγμένος γίνεται ένα χρήσιμο εργαλείο στη διερεύνηση του πραγματικού κόσμου .

Ιπποκράτης: ...Τώρα βρήκαμε ότι ο κόσμος των μαθηματικών δεν είναι τίποτε άλλο παρά μια αντανάκλαση στο μυαλό μας του πραγματικού κόσμου .

Σωκράτης: ...Σου λέω ότι η απάντηση δεν έχει ακόμα συμπληρωθεί .

Σωκράτης: Είμαστε τόσο κοντά στην παρομοίωση της ανακλαστικής φαντασίας . Μια παρομοίωση είναι σαν ένα τόξο - αν το τραβήξεις πολύ , σπάει .

Συνοπτικά τα θέματα κλειδιά που προβάλλονται από το διάλογο είναι τα εξής :

Οντολογία . Με ποια αίσθηση μπορεί κάποιος να πει ότι τα μαθηματικά “αντικείμενα” υπάρχουν ; Εάν ανακαλυφθεί , τι θα πει ότι ένα μαθηματικό θεώρημα είναι αληθινό ανεξάρτητα από το γνωστό θέμα και προγενέστερο της ανακάλυψης του ;
Επιστημολογία . Πως μπορούμε να γνωρίσουμε την “μαθηματική αλήθεια” και γιατί η μαθηματική γνώση μελετάται να γίνει συγκεκριμένη και αποδοτική ;
Εφαρμογή . Γιατί η μαθηματική γνώση εφαρμόζεται στην πραγματικότητα ;
Ψυχοσιολογία . Εάν εφευρεθεί , πως μπορεί διαφορετικές προσωπικότητες να βρίσκουν το ίδιο θεώρημα ; Ποιος ο ρόλος της κοινωνίας και του πολιτισμού ;
Είχε δοθεί έμφαση από τον Korner (1960) και τον Shapiro (1983) ότι το 3ο πρόβλημα είναι τελικά επαρκές να μοιρασθεί σε κάθε παραδοσιακή φιλοσοφία των μαθηματικών . Ο Shapiro παρατηρεί σωστά : “ Πολλοί από τους λόγους που κάνουν ευχάριστη τη φιλοσοφία εξ’ολοκλήρου δίνουν μια περιγραφή για την σχέση μεταξύ μαθηματικών και πολιτισμού κατά προτεραιότητα ...Κάθε θέση του κόσμου που δεν συντηρεί μια τέτοια περιγραφή είναι ατελής στην καλύτερη των περιπτώσεων ” (1983:524). Για να απαντήσει σ’αυτή την πρόκληση υπάρχουν φωνές που προσπαθούν να αναβιώσουν του Μill’s long-buried εμπειρική φιλοσοφία των μαθηματικών , όχι με το να στέκονται στο φανερό γεγονός ότι τα μαθηματικά θεωρήματα δεν ανακαλύφθηκαν από διαίσθηση ούτε θα μπορούσαν να αντικρουστούν από εμπειρικές παρατηρήσεις . Πως μπορούμε να αντλήσουμε από την εμπειρία ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σε ένα κλειστό διάστημα είναι το σύνολο Riemann ; Μια περισσότερο σκοτεινή εμπειρική είχε υπερασπιστεί από τον Kalmar και Lakatos . Η θέση τους δέχτηκε αυστηρή κριτική από τον Goodstein (1970) και εγώ συμφωνώ με τις διαφωνίες του Goodstein (Lolli, 1982). Σε μια διαφορετική κατεύθυνση ο Korner (1965) έδειξε μια εμπειρική δικαίωση των μαθηματικών μέσω εμπειρικής εξακρίβωσης , θεωρήματα ανάλογα μετατράπηκαν από μαθηματικές προτάσεις σε εμπειρικές . Σκέψου ότι ο δρόμος στο εμπειρικό έχει στρωθεί με καλές προθέσεις , όπως με όλους αυτούς τους δρόμους , το τέλος είναι το ίδιο . Ακόμα , η επιτυχία των μαθηματικών σαν ένα επιστημονικό εργαλείο είναι από μόνο του ένα εμπειρικό γεγονός . Και ακόμα τα εμπειρικά στοιχεία δείχνουν να ταιριάζουν στα περισσότερο αριθμητικά μέρη των αριθμών και είναι δύσκολο να εξηγηθούν . Για να πούμε και αυτό , κάποιες μαθηματικές έννοιες φόρεσαν την έννοια “αφηρημένη” , από εμπειρία μόνο μετατοπίζει το πρόβλημα , για το οποίο εμείς δεν ξέρουμε πως η μέθοδος του αφηρημένου μπορεί να δουλέψει . Εξάλλου , δεν είναι το αριθμητικό μέρος των μαθηματικών που παίζει βασικό ρόλο στην ανάπτυξη των επιστημονικών θεωριών ; ή αλλιώς είναι η ολότητα των μαθηματικών που είναι περισσότερο αφηρημένες έννοιες που εξυπηρετεί σαν μια λιμνούλα από την οποία οι επιστήμονες τραβούν συνδυασμένες έννοιες για την ανάπτυξη της επιστημονικής θεωρίας . Για να εξηγηθεί αυτή η μέθοδος η εξελικτική επιστημολογία ξεκινά από μια ελάχιστη φυσική οντολογία , γνωστή σαν “ υποθετικός ρεαλισμός ”, θεωρείς την ύπαρξη της αντικειμενικής πραγματικότητας ότι είναι ανεξάρτητη από αυτό που λαμβάνουμε επισήμως γνώμη . Αυτοί που ζουν , ιδεαλιστικοί φιλόσοφοι συμπεριλαμβάνονται , είναι φυσικά κομμάτι της αντικειμενικής πραγματικότητας . Είναι αρκετό να θεωρείς ότι ο κόσμος δεν είναι χαοτικός , ή απόλυτα , ο κόσμος να θεωρείται η μέθοδος της ομαλής οργάνωσης . Αλλά δεν θα αποδώσω στην πραγματικότητα έννοιες όπως “αντικειμενικές σχέσεις”, “ποσοτικές σχέσεις”, “αμετάβλητοι κανόνες” κ.ο.κ. Όλες αυτές είναι επιστημονικές έννοιες και έχουν χώρο μόνο με τον σκελετό των επιστημονικών θεωριών . Κάποιοι φιλόσοφοι των μαθηματικών έχουν προχωρήσει μακριά πέρα από τον υποθετικό ρεαλισμό και υπάρχουν φέρνοντας γύρω την παγίδα για τον εμπειρισμό και τον Πλατωνισμό , όπως ο Ruzavin όταν έγραφε : ¨ Σε πλήρη συμφωνία με τους ισχυρισμούς της επιστήμης , ο διαλεκτικός υλισμός θεωρεί τα μαθηματικά θέματα σαν φανταστικά , φωτογραφίες , αντίγραφα των πραγματικών ποσοτικών σχέσεων και χώρων του κόσμου που μας περιβάλλει ¨ (1977:193). Αλλά ποτέ δεν μας είπαν πως για παράδειγμα το μετρικό θεώρημα του Urysohn στους τοπολογικούς χώρους μπορεί να απεικονίσει αντικειμενική πραγματικότητα . Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι αυτό είναι προεικόνα της αντικειμενικής πραγματικότητας , το θεώρημα του Urysohn ήταν ήδη αληθινό πριν οποιοσδήποτε σκεφτεί καν τους τοπολογικούς χώρους ; Αυτή η θέση δεν είναι τίποτε άλλο από την αμηχανία του Πλάτωνα και παραπέρα συνεπάγεται ότι κάθε μαθηματικό πρόβλημα είναι ανεξάρτητο από κάθε βαθύτερη θεωρητική δομή .

Επαναλαμβάνοντας : μαθηματικά και αντικειμενική πραγματικότητα σχετίζονται αλλά η σχέση είναι υπερβολικά περίπλοκη και καμία μαγική φόρμουλα δεν μπορεί να αντικαταστήσει την ασθενή επιστημολογική ανάλυση . Περνάμε τώρα στο καθήκον να υποδείξουμε την κατεύθυνση για μια τέτοια ανάλυση από την πλευρά της εξελικτικής επιστημολογίας (Vollmer, 1983).

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ

Μερικοί θεωρείς ότι είναι θαύμα - όπως ο Ιπποκράτης είπε – ότι τα μαθηματικά είναι τα κατάλληλα για να εξετάσουν τον πραγματικό κόσμο .Σ’ ένα διάσημο άρθρο , ο Wigner εκφράστηκε με παρόμοιο τρόπο :΄΄Η τεράστια χρησιμότητα των μαθηματικών στις φυσικές επιστήμες είναι κάτι οριακό στο μυστήριο και … δεν υπάρχει σχετική εξήγηση γι’ αυτό .΄΄ ( Wigner , 1960:2) Είναι δύσκολο να πιστέψουμε ότι η δική μας συλλογική δύναμη μεταφέρθηκε , απ’ του Darwin τη διαδικασία , της φυσικής συλλογής , στη τελειότητα , την οποία κατέχει όπως φαίνεται .

Με το οφειλόμενο σεβασμό στο δέος του μεγάλου φυσικού , υπάρχει μια σχετική εξήγηση για την χρησιμότητα των μαθηματικών και είναι καθήκον κάθε επιστημολογίας να προμηθεύσει με μία .Περιέργως , θα βρούμε την εμπειρική της βάση στην πολύ εξελικτική διαδικασία την οποία έπλεξε ο Wigner .Εδώ είναι η θεωρία την οποία προτείνω.

Το ουσιώδες στοιχείο , η βαθύτατη στρατηγική των μαθηματικών , ενσωματώνει γνωστικούς μηχανισμούς , οι οποίοι έχουν εμπλακεί σαν άλλους βιολογικούς μηχανισμούς , με αντιπαράθεση στην πραγματικότητα τα οποία έχουν γίνει γενετικώς σταθερά στο δρόμο της εξέλιξης .Θα αναφερθώ σ’ αυτήν την ουσιώδη στρατηγική σαν την λογικο – λειτουργική συνιστώσα των μαθηματικών .Επ’ αυτού του πλαισίου στήριξης της ανάπτυξης και συνεχίζοντας να αναπτύσσει την θεματική συνιστώσα των μαθηματικών , η οποία συμφωνεί με το συγκεκριμένο περιεχόμενο των μαθηματικών. Αυτό το 2ο επίπεδο είναι μορφωτικά αποφασισμένο και προερχόμενο , πιθανών , από τελετουργικές ανάγκες . ( Η τελετουργική προέλευση των μαθηματικών έχει συζητηθεί και καταγραφεί από πολλούς συγγραφείς όπως Seidenberg ,1981; Carruccio , 1977:10; Michaels ,1978 και από τις δικές τους σεβαστές βιβλιογραφίες ) .Ας σημειώσουμε ότι αυτές οι ανάγκες ήταν πρακτικές ανάγκες από το περιβάλλον των κοινών πολιτισμών , δεν υπάρχει αμφιβολία σχετικά με την πρακτική καταγωγή των μαθηματικών! Ο Marchack (1972) έχει καταγράψει την παρουσία των μαθηματικών σημειώσεων σε σκελετούς απ’ την παλαιολιθική εποχή , περίπου 3000 χρόνια πριν .Αυτό τον τοποθετεί 20000 χρόνια πριν την αρχή της γεωργίας , μερικές μαθηματικές γνώσεις ήταν ήδη σε διάθεση για τις ανάγκες των μετρήσεων της γης , πρόβλεψης παλιρροιών κτλ. Σύμφωνα μ’ αυτήν την εντυπωσιακά μεγάλη ιστορία , τα μαθηματικά έχουν ταξινομηθεί σε μια μακρά πολιτιστική διαδικασία παρόμοια με μια περιβαντολλογική εκλογή .Ενώ η θεματική συνιστώσα των μαθηματικών είναι πολιτιστικά μεταδιδόμενη και είναι σε συνεχόμενο επίπεδο ανάπτυξης , η λογικο – λειτουργική συνιστώσα είναι βασισμένη σε γενετικά μεταδιδόμενους γνωστικούς μηχανισμούς , και αυτό είναι σταθερό . ( Αυτή η εκδοχή δεν σημαίνει ότι το λογικο – λειτουργικό επίπεδο είναι έτοιμο για χρήση απ’ τη γένεση , είναι ακόμη ζήτημα οντογενετικής ανάπτυξης .Το γενετικό πρόγραμμα είναι ένα ανοιχτό πρόγραμμα ( Mayr , 1974:651-52) το οποίο είναι υλοποιήσιμο στον φαινότυπο , κάτω απ’ την επιρροή εσωτερικών και εξωτερικών παραγόντων και είναι πραγματοποιήσιμο από βήματα στην ανάπτυξη της προσωπικότητας ) .

Ας κοιτάξουμε κοντύτερα στην φύση των γνωστικών μηχανισμών .Η γνωστική είναι η θεμελιώδης φυσική διαδικασία , στην απλή της μορφή εμφανίζεται στο μοριακό επίπεδο , όταν συγκεκριμένες διαμορφώσεις επιτρέπουν τη συσσώρευση μορίων σε μεγαλύτερα συγκροτήματα . ( Δεν υπάρχει πλέον ανθρωπομορφισμός εδώ μιλώντας για μόρια γνωστικής απ’ το να χρησιμοποιείς τον όρο δύναμη στη φυσική.)

Καθώς μετακινούμε τη σκάλα της πολυπλοκότητας , η γνωστική παίζει ένα κεντρικό ρόλο στην προβιολογική χημική εξέλιξη και στη δομή της αυτοαντιγραφής μονάδων. Εδώ στην εξέλιξη των μακρομοριακών ,΄΄επιβίωση του προσαρμοστή΄΄ έχει κυριολεκτικό νόημα : αυτό το οποίο προσαρμόζεται (χημικά) .Αυτό το οποίο δεν προσαρμόζεται , απλά μένει έξω απ’ το παιχνίδι , ΄΄εξουδετερώνεται΄΄ .Αυτές οι απλές θεωρήσεις πρέπει να έχουν λογικευμένη επίδραση όταν κοιτάμε σε περισσότερο πολύπλοκες εξελικτικές διαδικασίες .Η σημασία της γνωστικής στην διαδικασία της αυτοοργάνωσης ενός ζώντος θέματος δεν μπορεί να υπερτονιστεί. Έτσι ο Maturana γράφει :΄΄ Τα ζώντα συστήματα είναι τα γνωστικά συστήματα και ζώντας σαν διαδικασία , είναι η διαδικασία της γνωστικής΄΄ (1980:13) .Αυτό που επιθυμώ εδώ να τονίσω είναι ότι υπάρχει μία συνέχεια γνωστικών μηχανισμών απ’ τη γνωστική μορίων στη γνωστική των πράξεων των οργανισμών και μερικά απ’ αυτά τα εξαρτήματα έχουν γίνει γενετικά σταθερά και μεταδίδονται από γενιά σε γενιά .Η γνωστική δεν είναι μία παθητική ανοσία σ’ ένα τμήμα ενός οργανισμού αλλά μία δυναμική διαδικασία που πετυχαίνει πλήρως .Ο Lorenz (1983:102) έχει τονίσει ότι η γερμανική λέξη για τη πραγματικότητα , Wirklichkeit , προέρχεται από το ρήμα wirken .Η εξέλιξη των γνωστικών μηχανισμών είναι η ιστορία των επιτυχημένων εξαρτημάτων των οργανισμικών δραστηριοτήτων στα εσωτερικά και εξωτερικά περιβάλλοντα .

Είναι αξιοσημείωτο πόσο πολύπλοκα και καλά προσαρμοσμένα απ’ τη γέννηση δείγματα συμπεριφοράς , μπορούν να είναι , όπως πολλά μαθήματα από ηθολόγους έχουν δείξει .

Θεώρησε για παράδειγμα (γράφει ο Bonner) μία μοναχική σφήκα .Το θηλυκό τοποθετεί τα αυγά της σε μικρές κοιλότητες , προσθέτει λίγο φαγητό και βγάζει το κέλυφος. Παρόλο που κατά την εμφάνιση η νεαρή σφήκα δεν έχει ποτέ δει ένα του είδους της , μπορεί ήδη να περπατήσει , να πετάξει , να φάει , να βρει ταίρι , να ταιριάξει , να βρει λεία και να παρουσιάζει συμπεριφορά άλλων μοτίβων .Αυτό γίνεται χωρίς να μάθει από άλλες μονάδες .Είναι φοβερό να συνειδητοποιήσεις ότι τόσα μοτίβα συμπεριφοράς μπορούν να εξαλειφθούν μετά από γενεές .(1980:40)

Δεν είναι αυτό τόσο εντυπωσιακό όσο ότι ΄΄η δική μας δύναμη λογικής ήρθε , απ’ τη διαδικασία του Darwin της φυσικής επιλογής , στην τελειότητα την οποία φαίνεται να κατέχουμε ;΄΄(θυμήσου το απόσπασμα από τον Wigner) Απ’ την αυστηρά απλή επιλογή συμπεριφοράς , όπως στη περίπτωση της μοναχικής σφήκας , μέσα απ’ την εξέλιξη της πολλαπλής επιλογής συμπεριφοράς και μέσα απ’ την ικανότητά μας των προγραμματισμένων ενεργειών όλα τα ενδιάμεσα στάδια εμφανίζονται και συχνά εγκρίνονται .

Όπως η συμπεριφορά και τα λογικά όργανα γίνονται πιο πολύπλοκα (γράφει ο Simpson) , η αντίληψη της αίσθησης απ’ αυτά τα όργανα , φανερά συντηρούν μια ρεαλιστική σχέση στο περιβάλλον .Για να το τοποθετήσουμε αυστηρά αλλά και γραφικά , ο πίθηκος που δεν είχε μια ρεαλιστική αντίληψη του κλαδιού ενός δέντρου πήδηξε σ’ αυτό και σκοτώθηκε και έτσι δεν έγινε ένας απ’ τους προγόνους μας .Οι αντιλήψεις μας δίνουν αληθοφάνεια ακόμα κι αν δεν είναι ολοκληρωμένες , αναπαραστούν τον έξω κόσμο γιατί αυτό ήταν και είναι μία βιολογική αναγκαιότητα η οποία διαμορφώθηκε σε μας από φυσική εκλογή .Αν δεν ήμασταν έτσι , δεν θα ήμασταν εδώ ! Τώρα έχουμε τέτοιες αντιλήψεις τις οποίες οι πρόγονοί μας δεν είχαν ανάγκη , π.χ. για τις Χ-ακτίνες ή για το ηλεκτρικό δυναμικό , αλλά τώρα έχουμε , μεταφράζοντας αυτές σε φόρμες , οι οποίες είναι εξελικτικά δοκιμασμένες .(1963:84)

Το νευρικό σύστημα είναι πρωτίστως μία κατευθυντήρια μονάδα για τον εσωτερικό και εξωτερικό συντονισμό των δραστηριοτήτων .Δεν υπάρχει τέτοιο πράγμα σαν ένα ΄΄μη λογικό΄΄ βιολογικό συντονισμό μηχανισμού , διαφορετικά η επιβίωση δεν θα ήταν εφικτή. ΄΄Για την επιβίωση΄΄ γράφει ο Oeser , ΄΄δεν είναι οι κατάλληλες εικόνες που μετρούν αλλά οι ανταποκρινόμενες αντιδράσεις΄΄(1988:38).

Οι αλληλεπιδρούσες δραστηριότητες του νευρικού συστήματος κατευθύνονται περισσότερο σε υποσυνείδητο επίπεδο , προσέχουμε το χέρι το οποίο προσπαθεί να πιάσει το ποτήρι που πέφτει μόνο στο τέλος της ενέργειας .Ακόμη ένας άλλος κρίσιμος μηχανισμός έχει εμπλακεί στο ανθρώπινο επίπεδο σαν προσχεδιασμένη ενέργεια. Επιτρέπει μια επιλογή ενέργειας ή υποθετικού συλλογισμού: μπορούμε να φανταστούμε, προηγούμενης ενέργειας το πιθανόν αποτέλεσμα μιας πράξης και έτσι ελαχιστοποιεί όλους τους κινδύνους .Η τιμή επιβίωσης της προβλεψιμότητας μοιάζει να είναι προφανής! Όταν σχηματίζουμε μια αναπαράσταση πιθανής ενέργειας , το νευρικό σύστημα χειρίζεται αυτήν την αναπαράσταση Σαν να ήταν μια αισθητήρια είσοδος , γι’ αυτό το λόγο την διεργάζεται με τα ίδια λογικο – λειτουργικά σχέδια όπως όταν έχουμε να χειριστούμε μια κατάσταση του περιβάλλοντος (Shepard and Cooper ,1981) .Από μια διαφορετική προοπτική , ο Maturana και ο Varela το εκφράζουν μ’ αυτό τον τρόπο : ΄΄ Όλες οι καταστάσεις του νευρικού συστήματος είναι εσωτερικές και το νευρικό σύστημα δεν μπορεί να διακρίνει τη διαδικασία των μετασχηματισμών μεταξύ των εσωτερικών και εξωτερικών των παραγόμενων αλλαγών΄΄(1980:131) .Με αυτό τον τρόπο τα λογικά σχήματα σε υποθετικές αναπαραστάσεις είναι τα ίδια με τα λογικά σχήματα στην αλληλεπίδραση των ενεργειών , σχήματα τα οποία έχουν δοκιμαστεί μέσα στους αιώνες της εξέλιξης και τα οποία τώρα είναι γενετικά αμετάβλητα .

Οι προηγούμενες θεωρήσεις έχουν μακράν επίπτωση για τα μαθηματικά .Απ’ αυτά τα ΄΄λογικο – μαθηματικά σχήματα΄΄ ο Piaget καταλαβαίνει τα γνωστικά σχήματα τα οποία αφορούν ομαδοποιήσεις των φυσικών αντικειμένων , διευθέτησή τους σε σειρά , σύγκριση ομαδοποιήσεων κτλ. Αυτά τα βασικά προμαθηματικά σχήματα έχουν ένα γενετικό φάκελο αλλά είναι ώριμα από στάδια στην πνευματική ανάπτυξη της ατομικότητας .Αυτά είναι βασισμένα στα ισάξια γενετικά καθορισμένα λογικο – λειτουργικά σχήματα , μία έκφραση την οποία έχω προτείνει , καθώς αυτά τα σχήματα κινούνται στο μη ανθρώπινο επίπεδο .Τα λογικο – λειτουργικά σχήματα διευθετούν τη βάση των λογικών μας σκέψεων .Καθώς είναι θεμελιώδη ιδιότητα του νευρικού συστήματος στη λειτουργία μέσω επαναλαμβανόμενων βημάτων , κάθε υποθετική αναπαράσταση την οποία θεωρούμε , ασχολείται με την ίδια ΄΄λογική΄΄ χειρισμού σαν να ασχολούμαστε με καταστάσεις της πραγματικής ζωής .Ξεκινώντας με τα στοιχειώδη λογικο – μαθηματικά σχήματα , η ιεραρχία είναι πραγματικότητα . Κάτω απ’ την ώθηση κοινωνικοπολιτιστικών παραγόντων , μαθηματικές αρχές εισήχθησαν και κάθε νέα στρωμάτωση συγχωνεύεται με τις προηγούμενες στρωματώσεις .Στη δόμηση νέων στρωματώσεων , οι ίδιοι γνωστικοί μηχανισμοί ενεργούν με σεβασμό στις προηγούμενες στρωματώσεις όπως ενεργούν με σεβασμό σε μια περιβαλλοντολογική είσοδο .Αυτό ίσως εξηγεί γιατί οι ενεργοί μαθηματικοί προδιατίθενται στις πλατωνικές ψευδαισθήσεις .Η αίσθηση της πραγματικότητας που κάποιος βιώνει , ασχολείται με μαθηματικές αρχές απ’ το γεγονός ότι σε ‘όλες τις υποθετικές συζητήσεις το αντικείμενο της συζήτησής συμπεριφέρεται στο νευρικό σύστημα με γνωστικούς μηχανισμούς , το οποίο έχει εμπλακεί μέσω αλληλεπιδράσεων με την εξωτερική πραγματικότητα .

Αθροίζοντας : τα μαθηματικά δεν αντανακλούν την πραγματικότητα .Αλλά οι γνωστικοί μηχανισμοί έχουν πάρει την άδεια να μιλούν μέσω συναλλαγής με τον κόσμο. Η εμπειρική συνιστώσα στα μαθηματικά δείχνει τον εαυτό της όχι σε θεματικό επίπεδο το οποίο είναι επιστημονικά αποφασισμένο , αλλά μέσω των λογικο– λειτουργικών και λογικο – μαθηματικών σχημάτων .Όπως τα δείγματα και οι οδηγίες στα μαθηματικά συμφωνούν , είναι αποσυντεθειμένες από τους λογικο – λειτουργικούς νευρικούς μηχανισμούς και τα περιληπτικά δείγματα και οδηγίες , αποκτούν την ιδιότητα των ενδεχόμενων γνωστικών σχημάτων , εισάγοντας περιληπτικές παγκόσμιες εικόνες .Τα μαθηματικά είναι μια ξεχωριστή πλούσια γνωστική πισίνα του ανθρώπινου είδους απ’ την οποία τα σχήματα μπορούν να ζωγραφιστούν εισάγοντας θεωρίες οι οποίες έχουν να κάνουν με φαινόμενα τα οποία κείτονται στην έκταση των καθημερινών εμπειριών και ακόμη για την οποία η συνήθης γλώσσα είναι ανεπαρκής .Τα μαθηματικά είναι δομημένα από γνωστικούς μηχανισμούς οι οποίοι έχουν αναπτυχθεί σε αντιπαράθεση με την εμπειρία , και με τη σειρά τους τα μαθηματικά είναι ένα εργαλείο για κατασκευαστικές κυριότητες της έμμεσης εμπειρίας .Αλλά τα μαθηματικά είναι κάτι παραπάνω από ένα εργαλείο .Τα μαθηματικά είναι μια συλλογική εργασία της τέχνης που αντλεί την αντικειμενικότητά της μέσω κοινωνικών αλληλεπιδράσεων .΄΄Ο μαθηματικός , όπως ένας ζωγράφος ή ένας ποιητής , είναι κατασκευαστής δειγμάτων΄΄, γράφει ο Hardy (1969:84). Η μεταφορά της ύφανσης έχει συχνά επικαλεστεί .Αλλά ο μαθηματικός είναι ένας υφαντής ενός πολύ καλού είδους .Όταν ο υφαντής φθάνει στον αργαλειό , έχει να βρει ένα ύφασμα ήδη , φτιαγμένο από γενιές προηγούμενων υφαντών όπου η έναρξή τους προσδιορίζεται πέρα από τους ορίζοντες .Ακόμη με το νήμα της δημιουργικής φαντασίας,υπαρκτά δείγματα είναι εκτεταμένα και μερικές φορές τροποποιημένα .Ο υφαντής ίσως μόνο προσθέσει ένα όμορφο μοτίβο ή να καλυτερεύσει την υφή , μερικές φορές ο υφαντής ίσως να νοιάζεται περισσότερο για τη πιθανή χρήση του ρούχου .Αλλά η ύφανση με το χέρι , για οποιοδήποτε μοτίβο μπορεί να φθάσει για τη σαίτα του αργαλειού , είναι το πολύ χαρισματικό όργανο το οποίο ξετυλίγεται σαν ένα άπληστο όργανο σφιγκτήρας και οι ενέργειές της έχουν περάσει το τεστ της προσαρμοστικής εξέλιξης .Στα μαθηματικά ο τεχνίτης και ο καλλιτέχνης είναι ενωμένοι μέσα σε μια μη ξεχωριστή ακεραιότητα και η ένωση η οποία αντανακλά τη μοναδικότητα του ανθρώπινου είδους όπως η ανθρώπινη φυλή (Homo artifex) .

ΤΑ ΤΡΙΑ ΛΗΜΜΑΤΑ ΤΗΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΩΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Το 1902 , άρχισε μια έρευνα πάνω στις μεθόδους εργασίας των μαθηματικών. Το ερωτηματολόγιο αναπαρίσταται (σε αγγλική μετάφραση) σαν παράρτημα 1 στο Hadamard (1945) .Ιδιαιτέρου ενδιαφέροντος είναι το ερώτημα 30 , το οποίο, μεταξύ άλλων απεύθυνε ο Hadamard στον Einstein .(Συγκεκριμένη ημερομηνία για την αλληλογραφία δεν υπάρχει , αλλά την τοποθετώ στη δεκαετία του 40 όταν ο Hadamard ήταν στο πανεπιστήμιο Columbia) .Το ερώτημα 30 έχει ως εξής :

Θα ήταν πολύ χρήσιμη για την έρευνα της ψυχολογίας η γνώση των ειδών των εσωτερικών ή πνευματικών εικόνων , του είδους του ΄΄εσωτερικού κόσμου΄΄ που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί , είτε είναι κινούμενα , ακουστικά , οπτικά ή μικτής μορφής , εξαρτώμενα από το αντικείμενο μελέτης .

Στην απάντησή του στον Hadamard (1945,παράρτημα 2 :142-43) , o Einstein έγραψε :

(α) Οι λέξεις ή η γλώσσα με τον τρόπο που γράφουν ή μιλούν οι μαθηματικοί δεν φαίνεται να παίζουν κανένα ρόλο στο μηχανισμό της σκέψης .Οι φυσικές οντότητες τις οποίες φαίνεται να χρησιμοποιούν σαν στοιχεία στη σκέψη είναι καθορισμένα σύμβολα , σχεδόν ξεκάθαρες εικόνες οι οποίες μπορούν ΄΄εκουσίως΄΄ να αναπαραχθούν και να συνδυαστούν …

(b) Τα προαναφερόμενα στοιχεία είναι , στη περίπτωσή μου , οπτικού και μερικά δυνατού τύπου .Οι συμβατικές λέξεις ή τ’ άλλα σημάδια οφείλουν να αναζητηθούν έντονα μόνο σε δεύτερο στάδιο , όταν η αναφερόμενη συσχετιζόμενη εκτέλεση είναι αρκετά επιβεβαιωμένη και μπορεί ν’ αναπαραχθεί συνέχεια (ιταλική πηγή) .

Στο προηγούμενο τμήμα αναφέρθηκα στην εσωτερική δομή των μαθηματικών η οποία αποτελείται από λογικο – λειτουργική διάταξη για το συντονισμό των πράξεων . Σ’ όλη τη διάρκεια της ανθρώπινης εξέλιξης , οι συντονισμένοι μηχανισμοί του χεριού και του ματιού έπαιξαν έναν ιδιαίτερο σημαντικό ρόλο , κυρίως για τη πραγματοποίηση εκτεταμένης χρησιμοποίησης των εργαλείων έτσι ώστε να προάγουν την εγκεφαλική ανάπτυξη .Δεν είναι επομένως έκπληξη το μοίρασμα των ιδεών , όπου οι ίδιοι νευρωνικοί μηχανισμοί είναι ανακατεμένοι , οπτικά και κινητικά ιχνοστοιχεία φανερώνονται μόνα τους στα ενδιαφέροντα , όπως το επιβεβαίωσε το πειστήριο του Einstein .

Ο κόσμος των άμεσων πράξεών μας είναι πεπερασμένος και οι νευρωνικοί μηχανισμοί για προβλεπτικές αναπαραστάσεις είναι πλαστοί εξαιτίας της σχέσης με το πεπερασμένο .Η τυπική λογική δεν είναι η πηγή των συλλογισμών μας , αλλά μόνο κομμάτια κωδικών από την πορεία των συλλογισμών .Αλλά από πού προέρχεται το συναίσθημα της ασφάλειας και της εμπιστοσύνης στο βάθος των σχεδίων που η τυπική λογική ενσωματώνει ; Σε μια εξελικτική επιστημολογία , η λογική δεν είναι βασισμένη σε συνθήκες , μάλλον ψάχνουμε για το βιολογικό υπόστρωμα του βασικού σχεδίου του συμπεράσματος .Για παράδειγμα το modus ponens :

Α ® Β

Α

--------

\ Β.

Αν ένα πρόβατο αντιληφθεί μόνο το στόμα του λύκου , απομακρύνεται γρήγορα για να σώσει τη ζωή του .Εδώ ΄΄στόμα – λύκος΄΄ είναι καλωδιομένο στο νευρικό του σύστημα .Γι’ αυτό το λόγο και μόνο η θέα του στόματος – το στόμα οποιουδήποτε λύκου,όχι ακριβώς το στόμα κάποιου ιδιαίτερου λύκου – καταλήγει στο συμπέρασμα της παρουσίας του λύκου .Εννοείται τέτοια έμφυτα δείγματα συμπεριφοράς είναι ουσιώδη. Για σχετικά παραδείγματα κοίτα Lorenz (1973) και Riedl (1979) .Ο αναγκαίος τύπος της λογικής , κωδικοποιώντας τη λογικο – λειτουργική διάταξη , παίρνει μια κατανοητή εξήγηση λαμβάνοντας υπόψη τη φυλογενετική προέλευση .Ακολουθεί απώτερα το μέχρι η λογική να είναι ενδιαφέρων, ο πεπερασμένος δεν χρειάζεται άλλη επιπλέον δικαιολογία. Είναι βιολογικός κανόνας . Η κατάσταση είναι διαφορετική σε σχέση με τη θεματική σύνθεση των μαθηματικών . Κάποτε ο πολιτισμός δέχονταν επινοημένες αριθμητικές λέξεις και σύμβολα τα οποία μπορεί να είναι αορίστως εκτεταμένα , μαθηματικώς ορθά , όπως ο απειροστικός λογισμός , ήρθαν στην ύπαρξη .Η ιστορία της πρώιμης φιλοσοφικής ενασχόλησης με τα μαθηματικά και πιθανώς με το φυσικό άπειρο είναι γνωστή .Όταν τελικά εδραιώθηκε το πραγματικό άπειρο – ουσιαστικά από τον Kummer και τον Dedekind και επίσημα από τον Cantor και τον Zermelo – μια έντονη προκατάληψη με τα θεμελιώδη προβλήματα δημιουργήθηκε .Το πρώτο σχολείο που εμφανίστηκε βασιζόταν στη λογική των Frege και Russell .΄΄Η θέση της λογικιστικής είναι΄΄ , γράφει ο Church , ΄΄ότι η λογική και τα μαθηματικά είναι συγγενικά , όχι σαν δυο διαφορετικά αντικείμενα , αλλά σαν νεότερα και παλιότερα κομμάτια του ίδιου αντικειμένου και μάλιστα σε τέτοιο βαθμό ώστε τα μαθηματικά μπορούν να επικρατήσουν από την θεωρητική λογική χωρίς τη βοήθεια πρόσθετων αξιωμάτων ή πρόσθετων υποθέσεων΄΄ (Church , 1962:186) .Το πρόγραμμα που βασίστηκε στη λογικιστική είχε πετύχει , κατόπιν τα απειροστικά μαθηματικά , ένα πολιτισμικό προϊών , θα είχαν πάρει μια απειροστική θεμελίωση στο άπειρο , βιολογικά βασισμένα στη λογική .Αλλά το 1902 , ο Keyser ήδη αποκάλυψε ότι η μαθηματική επαγωγή απαιτεί ένα αξίωμα του άπειρου και τελικά ο Russell αποδέχτηκε ότι ένα τέτοιο αξίωμα (συν το αξίωμα της ελαχιστοποίησης ) έπρεπε να προστεθεί στο σύστημά του .Έτσι το πραγματικό άπειρο είναι το θεμέλιο στο οποίο ιδρύθηκε ο λογικισμός .Ακόμη οι προσπάθειες του λογικιστικού σχολείου δεν ήταν άσκοπες , όπως ο Church έχει επισημάνει :΄΄δεν ακολουθεί το ότι ο λογικισμός είναι άκαρπος από φρούτα .Δύο σημαντικά πράγματα παραμένουν .Το ένα είναι η μείωση του μαθηματικού λεξιλογίου σε μια εκπληκτικά περιληπτική λίστα αξιωμάτων , όλα υπάρχοντα στο λεξιλόγιο της θεωρητικής λογικής .Το άλλο είναι το να βασίζονται όλα τα υπάρχων μαθηματικά σ’ ένα συγκριτικά απλό ενωτικό σύστημα αξιωμάτων και σε συμπεράσματα λογικής ανάλυσης .΄΄ (1962:186)

Η δεύτερη προσπάθεια στην πεπερασμένη θεμελίωση για τα μαθηματικά ήρθε από τον Hilbert στο διάσημο πρόγραμμά του .Δεν είναι ίσως άκαιρο να τονίσουμε ότι ο Hilbert ποτέ δεν υποστήριξε σοβαρά το ότι τα μαθηματικά είναι χωρίς περιεχόμενο και η συχνή του αναφορά χαριτολογώντας ότι ΄΄τα μαθηματικά είναι ένα παιχνίδι που παίζεται σύμφωνα με προσδιορισμένους απλούς κανόνες με ασήμαντα σημαδεμένα χαρτιά΄΄ έχει, θλιβερά , καταλήξει σε αδικαιολόγητα φιλοσοφικά συμπεράσματα .Το τυπικό πρόγραμμα του Hilbert είναι μια τεχνική , μια επινόηση , για να αποδείξει τη συνοχή των απειροστικών μαθηματικών με τις πεπερασμένες έννοιες .Στο κύριο άρθρο που περιγράφει το πρόγραμμά του , ο Hilbert μιλάει για την ακόλουθη αναφορά της θεωρίας του Cantor για τους μεταβλητούς πεπερασμένους αριθμούς : ΄΄Αυτό φαίνεται σε μένα σαν το πιο θαυμάσιο λουλούδι του μαθηματικού νου και γενικά ένα από τα μεγαλύτερα κατορθώματα της καθαρά λογικής ανθρώπινης δραστηριότητας΄΄ (1967:373) .Ένα ασήμαντο παιχνίδι ; Βεβαίως όχι !

Δια μέσου της τυποποίησης των θεματικών μαθηματικών , ο Hilbert πρότεινε ΄΄το ικανοποιητικό συμπέρασμα να αντικατασταθεί από παραποιημένα σύμβολα τα οποία να συμφωνούν με τους κανόνες΄΄ (1967:381) .Αυτή η παραποίηση (manus , κυριολεκτικά ΄΄χέρι΄΄ ) , αυτός ο χειρισμός των επιγραφών στο τρόπο χρήσης φυσικών αντικειμένων δημιουργήθηκε από την πλευρά της εξελικτικής επιστημολογίας , στο πλαίσιο της λογικο – λειτουργικής διάταξης σε σχέση με το πεπερασμένο .Ήταν ένα θαυμάσιο πρόγραμμα αν και λαμβάνοντας υπόψη την ατελή θεωρία του Gobel δεν μπορούσε να επιτύχει σαν πρωτότυπη σκέψη , παρακλάδι του , αποδεικτική θεωρία , είναι ένας σημαντικός ανεπτυγμένος κλάδος της μαθηματικής λογικής .Έτσι η συνεισφορά του λογικισμού και του προγράμματος του Hilbert είναι μια διαρκής ανεκτίμητη αξία .Όπως στον πρωτότυπο σκοπό , πρέπει να δεχτούμε ότι ένας δεν μπορεί να πιάσει ένα τεράστιο ψάρι με μικρό δίχτυ! Έτσι έχουμε 3 εναλλακτικές προτάσεις :

1.Χρησιμοποίησε ένα τεράστιο δίχτυ , περίπου ίσο με ε0 (Gentzen)

2.Φάε μόνο συνθετικό ψάρι (Brouwer)

3.Να είσαι υποσιτιζόμενος και να δέχεσαι μικρό ψάρι (αυστηρά πεπερασμένος)

ΕΠΙΝΟΗΣΗ ΕΝΑΝΤΙΟΝ ΑΝΑΚΑΛΥΨΗΣ

΄΄Αλλά πες μου΄΄, ρώτησε ο Σωκράτης στο διάλογο του Renyi , ΄΄ο μαθηματικός που βρήκε νέα αλήθεια , την επινόησε ή την ανακάλυψε ;΄΄ Όλοι ξέρουμε ότι ένας έξυπνος τρόπος για να ξεκινήσει μια φιλοσοφική συζήτηση μετά από ένα δείπνο είναι να υποβληθεί μια τέτοια ερώτηση .Ο κόσμος συμφωνεί ότι ακολουθώντας μια γενική χρήση της γλώσσας , ο Columbus δεν επινόησε την Αμερική , ούτε ο Beethoven ανακάλυψε την 9η συμφωνία .Αλλά όταν ένα νέο φάρμακο εμφανίζεται , μιλάμε γενικά για μια ανακάλυψη , αν και το συστατικό του φάρμακου δεν υπήρχε πουθενά πριν δημιουργήσει τη σύνθεσή του .Ο Hadamard , στην εισαγωγή του βιβλίου του Η ψυχολογία της επινόησης στο Μαθηματικό πεδίο , σχολιάζει ότι ΄΄υπάρχουν πολλά παραδείγματα από επιστημονικά αποτελέσματα τα οποία όσο ανακαλύψεις είναι , άλλο τόσο είναι και επινοήσεις΄΄, αν και προτιμά να μην επιμένει στη διάκριση μεταξύ επινόησης και ανακάλυψης (1945:xi) .Αλλά υπάρχουν ακόμη φιλόσοφοι των μαθηματικών που υποστηρίζουν τη βασική διάκριση ανάμεσα στην ανακάλυψη και την επινόηση .Διαισθητικά , οι μαθηματικές προτάσεις είναι πνευματικές κατασκευές και επομένως δεν μπορούσαν να προκύψουν από μια ανακάλυψη .Ο νεοπλατωνιστής , απ’ την άλλη μεριά , πιστεύει ΄΄ότι η μαθηματική πραγματικότητα βρίσκεται έξω από μας , όπου η λειτουργία μας είναι να την ανακαλύψουμε ή να την παρατηρήσουμε προσεχτικά΄΄, όπως το έθεσε ο Hardy (1969:123). Η τυπικότητα , αν και για διαφορετικούς λόγους , συμφωνούσε με τη διαισθητική και θεωρούσε ότι τα μαθηματικά επινοημένα .Προφανώς , ούτε ο λογικισμός , ούτε η τυπολατρία υποστηρίζουν τη διχοτόμηση της ανακάλυψης – επινόησης .Είναι η διαμάχη της επινόησης εναντίον της ανακάλυψης ένα ανώφελο θέμα ή μπορεί κάποιος να χρησιμοποιήσει τη κοινή λογική στη διάκριση των δύο όρων , για να διευκρινίσει τη ξεχωριστή σημασία των δύο για την ανάπτυξη της μαθηματικής γνώσης ; Ας εξετάσουμε το θέμα μ’ ένα τυπικό παράδειγμα .Προτείνω να αποδείξουμε ότι :

η αρχή του ‘πρώτου αριθμού’ είναι μια επινόηση
το θεώρημα ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί είναι μια ανακάλυψη
(Σημ.:διατύπωση του Euclid , βιβλίο 9 , πρόταση 20 , λέει :΄΄Οι πρώτοι αριθμοί είναι περισσότεροι από οποιοδήποτε μεγάλο αριθμό από ορισμένους πρώτους αριθμούς .΄΄)

Γιατί θα έπρεπε η αρχή του πρώτου αριθμού να θεωρούνταν επινόηση , ένα απολύτως δημιουργικό βήμα το οποίο δεν χρειάστηκε να αποδειχθεί , ενώ αντιθέτως εμφανίζεται μια εξέταση των αναλυμένων ιδιοτήτων των φυσικών αριθμών να οδηγεί κατευθείαν στην ανακάλυψη ότι μερικοί αριθμοί είναι σύνθετοι και άλλοι όχι , και αυτό μοιάζει με μια απλή πεζή θεωρία ; Δεν ήταν οι πρώτοι αριθμοί ήδη εκεί , σαν μέλος της ακολουθίας των φυσικών αριθμών , πριν τους παρατηρήσουν κάποιοι ; Τώρα τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά .Πρώτ’ απ’ όλα , οι αριθμήσιμοι αριθμοί , σαν ταξινομημένη διάταξη , δεν έκαναν μια ξαφνική εμφάνιση σαν μια αόριστα εκτεταμένη ακολουθία .Μερικοί πολιτισμοί ποτέ δεν πήγαν πέρα από τους επινοημένους αριθμούς δηλαδή τους αρχικούς ακέραιους αριθμούς .Υπάρχουν ακόμη γλώσσες φτωχές σε καθαρά αριθμητικές λέξεις .Αλλά ακόμη και σε πολιτισμούς με υψηλή ανάπτυξη στην αριθμητική , όπως στην αρχαιότητα η Βαβυλωνία , η Αίγυπτος ή η Κίνα , η αρχή των πρώτων αριθμών ήταν ανύπαρκτη .Ο Μο (1982) έδειξε πως οι μαθηματικοί στην αρχαία Κίνα , αν και δεν ήξεραν την αρχή των πρώτων αριθμών , έλυναν προβλήματα απλοποίησης κλασμάτων σε χαμηλότερους βαθμούς , πρόσθεσης κλασμάτων και έβρισκαν Πυθαγόρεια τρίγωνα .Μπορούσε μετριοπαθώς να είπε ότι οι Κινέζοι μόλις έχασαν την ανακάλυψη των πρώτων αριθμών και έτσι έκαναν τους Βαβυλώνες και τους Αιγυπτίους , παρά την υψηλή ανάπτυξη της μαθηματικής κουλτούρας τους να επεκταθούν για χιλιάδες χρόνια ; Δεν το νομίζω. Ανακεφαλαιώνοντας φαίνεται σε μας ότι υπήρχαν μάλλον μερικές απαιτήσεις στις οποίες η αρχή των πρώτων αριθμών σκοντάφτει πάνω σ’ αυτές .Αλλά αυτό είναι μια παραπλανητική εντύπωση .Η εξέλιξη , βιολογική ή πολιτιστική, είναι καιροσκοπική. Πολλά από τα μοντέρνα μαθηματικά θα ήταν ακόμα άγνωστα , αν η αρχή των πρώτων αριθμών ήταν άγνωστη , αν και η θεωρία των αριθμών άρα και το τμήμα της θεωρητικής άλγεβρας θα ήταν διαφορετικά .Υπάρχουν υποσύνολα του ΙΝ από τα οποία μόνο μπορεί να είναι ορισμένα από γλωσσικές έννοιες .Δεν ανακαλύψαμε ούτε επινοήσαμε καθένα απ’ αυτά τα υποσύνολα ξεχωριστά. Αλλά όταν το επινοητικό βήμα συμπεριέλαβε τη διατύπωση της αρχής των πρώτων αριθμών , ένα απ’ αυτά τα υποσύνολα του ΙΝ ξεχώρισε (αυτό είναι το λεγόμενο , εκτελώ χρέη μοντέλου, στη μοντέρνα ορολογία) .Μερικοί ιστορικοί των μαθηματικών αποδίδουν στους Πυθαγόρειους κάποια θεωρήματα με σχέση τους πρώτους αριθμούς, αλλά αυτό πιο πολύ μοιάζει με το ότι η αρχή των πρώτων αριθμών είναι πιο πρόσφατου χρόνου .Είναι κατανοητό ότι υπάρχει μια σύνδεση ανάμεσα στους κοσμολογικούς στοχασμούς για την ακριβή σύσταση του θέματος από τους Έλληνες ατομιστές και σκέφτοντας για τα αριθμητικά άτομα , αυτό είναι , οι πρώτοι αριθμοί. Ένα πράγμα είναι βέβαιο : η επινόηση της μαθηματικής σκέψης είναι συνδεδεμένη με το πολιτισμό .Όπως ο White (1956) επικύρωσε κόντρα στο Πλατωνιστικό δόγμα το ΄΄ο τόπος της μαθηματικής πραγματικότητας είναι πολιτιστική παράδοση΄΄ .Η εξέλιξη των μαθηματικών σκέψεων γίνεται αντιληπτή μόνο στο κατάλληλο κοινονικοπολιτιστικό περιβάλλον .

Ας παρατηρήσουμε ότι οι αρχές μπορεί να οριστούν ρητά , όπως στη περίπτωση των πρώτων αριθμών , ή αναμφίβολα από ένα σύστημα αξιωμάτων , σαν μια αρχή μιας ομάδας .Και στις δύο περιπτώσεις είναι μια επινοητική πράξη .Τα θεωρήματα , απ’ την άλλη μεριά , έχουν περισσότερο το χαρακτήρα της ανακάλυψης, με τη λογική ότι ένας ανακαλύπτει ένα δρόμο συνδέοντας διαφορετικές τοποθεσίες. Μόλις κάποιες αρχές εμφανίστηκαν και έτσι άξιες αναφοράς , είναι ήδη εκεί , είναι θέμα ανακάλυψης η σύνδεσή τους και αυτό είναι η λειτουργία των αποδείξεων. Πίσω στο θεώρημα ότι κανένα πεπερασμένο σύνολο πρώτων αριθμών μπορεί να περιέχει όλους τους πρώτους , έχει το χαρακτήρα της ανακάλυψης όταν ένας αποδεικνύει έναν ταξιδιωτικό χάρτη (Goodstein , 1970) συνδέοντας ΄΄ το σύνολο των πρώτων ΄΄ και ΄΄τον αριθμό στοιχείου΄΄ ώστε να φτιάξει ένα μονοπάτι για το συμπέρασμα .Ένα προτεινόμενο μονοπάτι ίσως είναι ίσως δεν είναι έγκυρο , ωραίο ή ενδιαφέρων .Αλλά για να πούμε ότι μια απόδειξη ΄΄αληθεύει΄΄ , μεταφορικά είναι όταν κάποιος απαιτεί να βρει ένα ΄΄αληθινό΄΄ μονοπάτι. Φαίνεται ότι είναι το καλύτερο να απαλλαγούμε εντελώς με την ιδέα της μαθηματικής αλήθειας .(Αυτό δεν έχει σχέση με την τεχνική μαθηματική ιδέα της ΄΄αλήθειας΄΄ με την έννοια του Tarski) .Σπουδαία είναι , επίσης η απαρχαιωμένη Αριστοτελική αρχή των ΄΄αληθινών αξιωμάτων΄΄ .(Σκέψου τις Ευκλείδειες και τις όχι – Ευκλείδειες γεωμετρίες). Μια τέτοια ΄΄όχι – αλήθεια΄΄ άποψη επίσης λύνει την ατέλειωτη παλινδρόμηση , ανακατεμένη με το φανερό ξεχείλισμα αλήθειας από τα αξιώματα στα θεωρήματα , τα οποία ο Lakatos (1962) προσπάθησε πολύ να εξαλείψει από μια αστήρικτη επιστροφή στον εμπειρικισμό .Η δημιουργική δουλειά των μαθηματικών αποτελείται από επινοημένες αρχές και αναπτυσσόμενες μεθόδους , επιτρέποντας το σχεδιασμό μονοπατιών ανάμεσα στις αρχές .Αυτό είναι πως τα μαθηματικά αυξάνουν την ανταπόκριση στα εσωτερικά και εξωτερικά προβλήματα και καταλήγουν σ’ ένα οικοδόμημα το οποίο είναι όμορφο και χρήσιμο ταυτόχρονα .

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ

Η εξελικτική άποψη επικράτησε σ’ αυτή τη προσπάθεια , αμφότερα και στη μεταφορική και στην αυστηρά βιολογική έννοια .Ξεκίνησα με την άποψη ότι τα μαθηματικά είναι ένα αναπτυσσόμενο μέγαρο , περιλαμβάνοντας και τα θεμέλια .Σε αρμονία με την ισχύουσα έμφαση στη φιλοσοφία των μαθηματικών σε σχέση με τη πραγματική μαθηματική πράξη , ένα από τα κύρια ενδιαφέροντά μου ήταν να διασαφηνίσω τη σχέση μεταξύ των μαθηματικών και της εξωτερικής πραγματικότητας. Αν και αρνήθηκα ότι ο εμπειρικισμός είναι μια ανεπαρκής φιλοσοφία των μαθηματικών , προσπάθησα να εξηγήσω το εμπειρικό μέρος στα μαθηματικά του οποίου η παρουσία είναι ξεκάθαρη αλλά δύσκολο να εντοπιστεί .Τα μαθηματικά είναι επιστήμη δομών , επιστήμη θεωρητικών τύπων (cf. Resnic, 1981 , 1982) .Είναι ανθρώπινη δημιουργία , γι’ αυτό το λόγο είναι φυσικό να ψάχνει για τη βιολογία σαν κοινωνικοπνευνατικό εργοστάσιο το οποίο ελέγχει τη γένεση της μαθηματικής γνώσης .Η επιτυχία των μαθηματικών σαν γνωστικό εργαλείο δεν αφήνει αμφιβολία ότι μερικοί βασικοί βιολογικοί μηχανισμοί είναι πολύπλοκοι .Η απόκτηση γνώσης από τους οργανισμούς , ακόμη και στη πιο απλή μορφή τους , προϋποθέτει μηχανισμούς οι οποίοι μπορούν να αναπτυχθούν μόνο κάτω από περιβαντολογικές ανάγκες .Η εξελικτική επιστημολογία ξεκινάει από την εμπειρική πραγματικότητα απ’ την οποία οι γνωστικοί μηχανισμοί μας είναι το αποτέλεσμα της εξέλιξης και υποστηρίζει ότι η παγκόσμια εικόνα μας πρέπει να προορίζεται για σχέση με τον κόσμο , γιατί αλλιώς η επιβίωση δεν θα ήταν δυνατή (cf. Bollmer,1975:102) .Βέβαια , είναι από το συντονισμό των ενεργειών σε σχέση με τον κόσμο στον οποίο προβλεπτικά σχέδια ενεργειών έχουν αναπτυχθεί ,αυτά ,διαδοχικά, είναι στην αρχή της λογικής μας σκέψης .Έτσι , φυλογενετικά αλλά όχι ιδιαιτέρως εμπειρικά στοιχεία εμφανίζονται μόνα τους στα λογικο – λειτουργικά σχέδια των ενεργειών , τα οποία βρίσκονται στην αρχή των στοιχειώδη λογικο – μαθηματικών λειτουργιών , όπως μελετήθηκαν από τον Piaget .Απ’ την άλλη μεριά , η ύλη των μαθηματικών θεωριών είναι πολιτιστικά καθορισμένη , αλλά η γενική μαθηματική δομή στηρίζεται σε λογικο – λειτουργικά θεμέλια .Τα μαθηματικά , γι’ αυτό το λόγο , φαίνονται σαν ιστός δύο επιπέδων : ένα λογικο – λειτουργικό επίπεδο βασισμένο σε γνωστικούς μηχανισμούς οι οποίοι έχουν προσαρμοστεί με τον κόσμο και ένα θεματικό επίπεδο καθορισμένο από πολιτιστικές και κοινωνικές ανάγκες και έτσι τα μαθηματικά βρίσκονται σε μια συνεχή πορεία προς την ανάπτυξη .Αυτή η ειδική δομή των δύο επιπέδων δόθηκε στους μαθηματικούς με τη προσθήκη της καλλιτεχνικής αξίας με τη λειτουργία μιας γνωστικής λίμνης η οποία είναι ιδιαίτερα ταιριαστή με τη συνηθισμένη γλώσσα ώστε να διατυπώνονται επιστημονικές αρχές και θεωρίες .

Στη πορεία των συζητήσεών μου , επίσης επανεκτίμησα το σκεπτικό του λογικισμού και τι πρόγραμμα του Hilbert .Από τους παραδοσιακούς φιλόσοφους των μαθηματικών , μόνο ο Πλατωνισμός είναι τελείως ασύμβατος με την εξελικτική επιστημολογία .΄΄Πώς ισχύει ότι η Πλατωνιστική αρχή του μαθηματικού αντικειμένου μπορεί να είναι τόσο πειστική , τόσο καρποφόρος και ακόμη τόσο καθαρά λανθασμένη ;΄΄ γράφει ο Paul Ernest σε μια κριτική (1983) .Διαφωνώ με τον Ernest σ’ ένα μόνο σημείο : Δεν νομίζω ότι ο Πλατωνισμός είναι καρποφόρος .Στη πραγματικότητα ο Πλατωνισμός έχει αρνητικά αποτελέσματα στην έρευνα εμποδίζοντας μια δυναμική και διαλεκτική άποψη .Απλά σκέψου τους θεωρητικούς συνόλων που αναζητούν τα ΄΄αληθινά αξιώματα΄΄ της θεωρίας συνόλων και τον μαθηματικό που δεν θα ασχοληθεί το ίδιο με τις συνέπειες της άρνησης της υπόθεσης της συνέχειας και με τις συνέπειες της αποδοχής της υπόθεσης της συνέχειας .Για τον ίδιο λόγο πάρα πολύ διδάσκαλοι της λογικής ακόμα αγνοούν τις υπερβολικά συνεπείς και άλλες ΄΄παρεκκλίνοντες΄΄ λογικές. Όπως η βιολογική θεωρία του προσχηματισμού – το οποίο είναι μια άλλη πλευρά του ίδιου νομίσματος – ο Πλατωνισμός έχει βαθιές κοινωνιολογικές και ιδεολογικές ρίζες. Αυτό που έχει να πει ο Dobzhansky για τον προσχηματιστικό τρόπο σκέψης είναι το mutatis mutandis στον Πλατωνισμό :

Η ιδέα ότι τα πράγματα είναι προσχηματισμένα , προκαθορισμένα , που περιμένουν απλώς να έρθει η σειρά τους να εμφανιστούν , είναι ευχάριστη και βολική σε πολύ κόσμο .Όλα είναι πεπρωμένο , μοίρα .Αλλά για άλλους ανθρώπους , ο προκαθορισμός είναι ασυμβίβαστος με την ελευθερία και τον νεωτερισμό .Αυτοί προτιμούν να σκέφτονται ότι η ροή των γεγονότων στον κόσμο μπορεί να αλλάξει δημιουργικά και ότι νέα πράγματα εμφανίζονται .Η επιρροή των δύο αυτών μορφών σκέψης είναι φανερή στην ανάπτυξη των βιολογικών θεωριών .(1955:223)

Έτσι γίνεται και στην φιλοσοφία των μαθηματικών .

Με εκκίνηση την παραπλανητική μεταφορά της μαθηματικής αλήθειας , οι Πλατωνιστές επωφελήθηκαν από την περαιτέρω παραπλανητική μεταφορά των μαθηματικών αντικειμένων σαν φυσικά αντικείμενα , στην οποία η ΄΄αλήθεια΄΄ υποτίθεται ότι αντιστοιχεί .Οι μεταφορές είναι διευκρινιστικές αλλά όταν στοιβάζονται η μία πάνω στην άλλη ατέλειωτα , το αποτέλεσμα είναι ασάφεια και τελικά σκοταδισμός .Ειλικρινά ομολογώ ότι είμαι απόλυτα ανίκανος να καταλάβω τι εννοείται με τον όρο ΄΄οντολογική δέσμευση΄΄ και το θέμα της ΄΄ύπαρξης των αφηρημένων αντικειμένων΄΄ και αρχίζω να υποπτεύομαι ότι ο αυτοκράτορας είναι γυμνός .Όχι , δεν υπάρχουν προκαθορισμένες , προσχηματισμένες μαθηματικές ΄΄αλήθειες΄΄ που βρίσκονται εκεί έξω ή εκεί ψηλά .Η εξελικτική συλλογιστική μας διδάσκει έτσι κι αλλιώς .

Caminante , son tus huellas
el camino y nada mas ;
caminante , no hay camino ,
se hace camino al andar .

(Antonio Machado)

Οδοιπόρε , τα βήματά σου
είναι μονοπάτι και τίποτα παραπάνω
οδοιπόρε , δεν υπήρχε μονοπάτι εκεί πριν
το μονοπάτι δημιουργήθηκε από το περπάτημα .

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Αυτή είναι μια έκδοση συζητήσεων που παρουσιάστηκαν στο Διεθνές Συμβούλιο ΄΄Επικοινωνία και Εφαρμοσμένη Επιστημολογία΄΄ , Ghent , 6-10 Δεκεμβρίου 1987 , στο Σεμινάριο Λογικής των Kurt-Gobel-Gesellschaft ,Τεχνικό Πανεπιστήμιο , Βιέννη 30 Μαίου 1988 και στο Σεμινάριο Φιλοσοφίας και Μαθηματικών , Ανώτατη Σχολή , Παρίσι 7 Νοεμβρίου 1988 .Ευχαριστώ τους οργανωτές και τους συμμετέχοντες για τις πολυάριθμες και ερεθιστικές συνομιλίες και συζητήσεις .

Όσον αφορά στο ρόλο του Dedekind , που συχνά αμελείται σε ομοσπονδιακές συζητήσεις , βλέπε Edwards (1983) .Στην ανασκόπηση του Edward , o Dieudonnι κάνει την ακόλουθη σημαντική παρατήρηση : ΄΄ο Dedekind διαλύει τελείως το νέο έδαφος στην ελεύθερη χρήση του πεπερασμένου σαν απλά αντικείμενα τα οποία κάποιος θα μπορούσε να τα χειριστεί όπως τους αριθμούς , πολύ πριν ο Cantor αρχίσει την εργασία του στην θεωρία ομάδων΄΄ (Μαθηματική Ανασκόπηση 84d:01028) .
΄΄Με την όχι-Ευκλείδια γεωμετρία ήρθε στην ύπαρξη ένας νέος τρόπος σκέψης ο οποίος εντυπωσείασε με το πνεύμα ελευθερίας του στην όλη ανάπτυξη των μοντέρνων μαθηματικών ΄΄ (Toth , 1986:90 , αυτό το φανταστικό θέμα ασχολείται σε βάθος με το επιστημολογικό πρόβλημα της όχι-Ευκλείδιας γεωμετρίας) .
Από μια άποψη , τα φυσικά αντικείμενα θεωρούνται σαν γεγονότα ή καταστάσεις που μένουν αναλλοίωτα για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα .Επειδή οι όροι ΄΄γεγονός΄΄ και ΄΄κατάσταση΄΄ αναφέρονται στην πραγματικότητα , προκειμένου κάποιος να μιλήσει γι’ αυτά χρειάζεται το μαθηματικό μηχανισμό που εμπεριέχεται σε φυσικές θεωρίες. Έτσι κάποιος καταλήγει ξανά σε μαθηματικές έννοιες .Άρα είναι μάταιο να θεωρείς τις μαθηματικές έννοιες σαν αντικείμενα με τον τρόπο των φυσικών αντικειμένων και μετά κοντά σ’ όλα τα άλλα να τα παραπέμπεις σε μια Πλατωνική θέση .Για μια περαιτέρω συζήτηση οντολογικών ερωτήσεων που αφορούν φυσικά αντικείμενα , βλέπε Dalla Chiara 1985 , Dalla Chiara και Toraldo di Francia 1982 , Quine 1976 .
O Vollmer (1987a,1987b) τονίζει επίσης τη διαφορά μεταξύ ΕΕ κατά Lorerenz σαν μια βιολογική θεωρία της εξέλιξης των γνωστικών συστημάτων και ΕΕ κατά Popper σαν μια θεωρία της εξέλιξης των επιστημονικών ιδεών .
Cf. Η άρνηση του Popper στον Riedl 1987:24 .Σύμφωνα με τη φιλοσοφία του Popper , η γνώση της πραγματικότητας δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν βάση για μια επιστημολογία , ενώ αντιθέτως η εξελικτική επιστημολογία συνδέεται μ’ ένα ΄΄δυσεπίλυτο πλέγμα μεταξύ της εμπειρικής γνώσης και των μεταθεωρητικών αντανακλάσεων΄΄, ακολουθώντας τον Vollmer .Επιπλέον τα μεγάλα άλματα της επιστήμης τα τελευταία 50 χρόνια οφείλονται στις βελτιωμένες πειραματικές τεχνικές και τεχνολογίες που διπλασιάζονται με κομματιαστά μοντέλα , παρά σε μια επεξεργασία μεγάλων θεωριών .Όταν κάποιος κοιτάζει σ’ ένα μοντέρνο ερευνητικό ινστιτούτο , σπάνια βρίσκει επιστήμονες να ασχολούνται με επιβλητικές έρευνες για σοβαρές υποθέσεις και να αγωνιούν για τυχόν αρνήσεις , αλλά εναντίον πλησιάζουν απλά στη ΄΄φύση με την ελπίδα΄΄ ,παίρνοντας πληροφορίες απ’ αυτό όχι σαν μαθητής, ο οποίος ακούει όσα του λέει ο δάσκαλός του , αλλά τα κρίνει και επιβάλει στο μάρτυρα να απαντήσει στις ερωτήσεις που ο ίδιος νομίζει ότι είναι απαραίτητο να προτείνει .(Kant,1934:10-11)
Βλέπε Rιnyi 1967 .Το εγχειρίδιο περιλαμβάνει 3 διάλογους :
(α) ΄΄Ένα Σωκρατικό διάλογο για τα μαθηματικά΄΄ με πρωταγωνιστές το Σωκράτη και τον Ιπποκράτη .
(β) ΄΄Ένα διάλογο για τις εφαρμογές των μαθηματικών΄΄ μεταξύ του Αρχιμήδη και του Hieron .

(γ) ΄΄Ένα διάλογο για τη γλώσσα του βιβλίου της φύσης΄΄ με κύριο χαρακτήρα τον Γαλιλαίο .

Έχω αποσπάσει αυτό το υλικό από τις σελίδες 7-25 του A. Rιnyi , Διάλογοι για τα μαθηματικά (San Francisco : Holden Day 1967) .Αυτά τα αποσπάσματα περιλαμβάνονται με την άδεια του εκδότη .
Ο Αριστοτέλης το 1941 συζήτησε τις δυσκολίες με την πλατωνική έννοια των μαθηματικών αντικειμένων και την ύπαρξή τους .Βλέπε Μεταφυσική , βιβλίο 13 , κεφ. 1-3 , 1076a 33-1078b 6 .
Οφείλουμε πολλά για την κατανόηση της οντογενετικής ανάπτυξης των ποικίλων λογικο – μαθηματικών σχημάτων στον Piaget και στη σχολή του .Σύγκρινε με τον Muller 1987:102-6 , για μια λακωνική περίληψη της θεωρίας του Piaget. Παρατήρησε ότι πολλά από την (οντο)γενετική επιστημολογία του Piaget είναι σύμφωνα με την εξελικτική επιστημολογία .Βλέπε τις συζητήσεις των Apostel (1987) και Oeser (1988:40,165) .
Αυτά τα τμήματα δίνονται από τον Bonner (1980) .Ιδιαίτερης σημασίας είναι η επέκταση της σκέψης της ΄καλλιέργειας΄ την οποία ορίζει ως ακολούθως :
Με τον όρο καλλιέργεια εννοώ τη μεταφορά της πληροφορίας από μέσα συμπεριφοράς , ειδικότερα με τη διδασκαλία και τη μάθηση. Χρησιμοποιείται με μια έννοια που διαφέρει από τη μεταβίβαση της γενετικής πληροφορίας που περνά απευθείας στα γονίδια .Η πληροφορία που μεταφέρεται με την καλλιέργεια συσσωρεύεται με τη μορφή της γνώσης και της παράδοσης , αλλά η έμφαση αυτού του ορισμού δίνεται στη μορφή της μεταβίβασης της πληροφορίας παρά στο αποτέλεσμα .Αυτό τον απλό ορισμό έχω προσέξει να μην τον περιορίσω στον άνθρωπο. (1980:10,italics mine)

Είναι μια ΄΄θεμελιώδης αρχή της νευρο – επιστημολογίας΄΄, γράφει ο Oeser ,΄΄που κάθε νέα γνωστική λειτουργία προέρχεται από μια ενσωμάτωση με προηγούμενες και ήδη υπάρχουσες λειτουργίες΄΄ (1988:158) .
Η εξέλιξη του χεριού σαν κατασκευή για πιάσιμο αντικειμένων , όχι μόνο έδωσε στον άνθρωπο την ικανότητα ν’ αρπάζει φυσικά αντικείμενα αλλά οδήγησε και σε νευρωνικούς μηχανισμούς ικανούς να δημιουργήσουν σχέσεις με τα αντικείμενα. Αυτό είναι το μονοπάτι από την αντίληψη στη κατανόηση , ή στα Γερμανικά , όπως σημείωσε ο Lorenz , από το greifen (πιάνω) διαμέσου του begreifen (καταλαβαίνω), στο begriff (έννοια) (βλέπε Lorenz 1973:192-94,Vollmer 1975:104-5,Oeser και Seitelberger 1988:159) .Από μια νευροφυσιολογική μεριά , παρατήρησε τη μεγάλη έκταση των κύριων γραμμών των χεριών (βλέπε Granit 1977:64-65) .
Για μια συλλογή των περισσότερων σχετικών αποσπασμάτων του Αριστοτέλη , βλέπε Apostel (1952) .Ο Αυγουστίνος δεν είχε ενδοιασμούς σχετικά με το πραγματικό άπειρο στα μαθηματικά , να πει :΄΄Κάθε αριθμός καθορίζεται από το δικό του μοναδικό χαρακτήρα έτσι ώστε κανένας αριθμός δεν είναι ίσος με κάποιον άλλον.Είναι όλοι άνισοι , διαφορετικοί μεταξύ τους και οι ατομικοί αριθμοί είναι πεπερασμένοι αλλά σαν σύνολο είναι άπειροι΄΄(1984:496,my italic).
Τα ΄΄παράδοξα΄΄ έπαιξαν μόνο μικρό ρόλο σ’ αυτή τη διαδικασία και κανένα στην περίπτωση του Frege .Για συζήτηση , σύγκρινε τον Garciadiego 1986 και την ανασκόπηση του Corcoran στην ΄΄Μαθηματική Ανασκόπηση΄΄ 1988 (88a:01026).
Όμως , δεν υπάρχει ξεχωριστή θεωρία συνόλων με μια ξεχωριστή θεμελιώδη λογική απ’ την οποία μπορούν να αντιληφθούν όλα τα πρόσφατα γνωστά μαθηματικά .(Απλά ανακάλεσε τα πολυάριθμα αποτελέσματα της ανεξαρτησίας και τις ανάγκες της θεωρίας των κατηγοριών .) Επιπλέον , όταν κάποιος εξασκεί πραγματική μαθηματική πρακτική , οι ελλείψεις της ΄΄συνηθισμένης λογικής΄΄ είναι προφανείς , όπως σαφώς έχει τονίσει ο Corcoran (1973) .Ακόμα , γνωστικοί φιλόσοφοι και ερευνητές στην τεχνητή νοημοσύνη είναι πολύ ενήμεροι του γεγονότος ότι τα ακριβή σχήματα της τυπικής λογικής είναι ανεφάρμοστα στην ανάλυση πραγματικών αιτιολογικών διαδικασιών . (cf. Gardner 1985:368-70 και οι παραπομπές που υπάρχουν εκεί) .Αρκετή δουλειά είναι απαραίτητο να γίνει στην ανάπτυξη μια λογικής πραγματικών αιτιολογήσεων .
Για περαιτέρω ανάλυση , βλέπε White 1956 , Wilder 1981 .Ο Borel προσθέτει τις ακόλουθες παρατηρήσεις :
Τείνουμε να κάνουμε υπαρκτά όλα εκείνα τα πράγματα που ανήκουν στον πολιτισμό ή την κουλτούρα τα οποία μοιραζόμαστε με άλλους ανθρώπους και μπορούμε να ανταλλάξουμε απόψεις γι’ αυτά .Κάτι γίνεται αντικειμενικό αμέσως μόλις πειστούμε ότι υπάρχει στο μυαλό των άλλων με την ίδια μορφή που υπάρχει στο δικό μας και μπορούμε να σκεφτούμε και να συζητήσουμε γι’ αυτό μαζί τους .Επειδή η γλώσσα των μαθηματικών είναι τόσο ακριβής , χρησιμοποιείται για τον καθορισμό εννοιών για τις οποίες υπάρχει ομοφωνία. Κατά τη γνώμη μου , αυτό αρκεί να μας δώσει το αίσθημα της αντικειμενικής ύπαρξης της πραγματικότητας των μαθηματικών .(1983:13)

Μια εμβάθυνση στις μαθηματικές αποδείξεις αναδεικνύει τη λογική δομή τους και αυτή η άποψη έχει παραδοσιακά τονιστεί στο κόστος του να δεις την ουσία των αποδείξεων .Η συσχέτιση μεταξύ εννοιών δεν έχει μόνο μια λογική πλευρά που χρειάζεται για να πείσει , φτιάχνει ακόμα δεσμούς που τροποποιούν και καταργούν συμπλέγματα μαθηματικών ιδεών κι αυτό δείχνει πόσο διαφέρουν οι αποδείξεις από τη καταγωγή τους .
Ομοίως , ο Machover γράφει όσον αφορά τον Πλατωνισμό:΄΄Το πιο αξιοσημείωτο πράγμα γι’ αυτή την τελείως απίστευτη φιλοσοφία είναι η επιτυχία της΄΄(1983:4). Και ακόμη:΄΄Η πιο σαφής αποδοκιμασία του Πλατωνισμού δεν είναι τόσο η πίστη στη μυστικότητα αλλά η πλήρης ανικανότητά του να εφαρμοστεί στα θεμελιώδη μαθηματικά΄΄ (1983:5) .