ΣΚΕΨΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΚΜΑΘΗΣΗ ΚΑΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

ΣΚΕΨΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΚΜΑΘΗΣΗ ΚΑΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΟ
ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

Terry Wood, Paul Cobb, Erna Yackel

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Είναι γενική η παραδοχή ότι ο κονστρουκτιβισμός αποτελεί μια πολύ σημαντική, αν και συχνά αμφισβητήσιμη, πρακτική και θεωρητική προοπτική στην εξέλιξη της εκπαιδευτικής έρευνας. Μια πρώτη ήπια (ή τετριμμένη) έκδοση του κονστρουκτιβισμού που δημιουργείται στην εργασία του Piaget αναφέρει ότι : η γνώση είναι ενεργά δομημένη από τον μαθητή και όχι παθητικά μεταφερόμενη από τον εκπαιδευτή. Επιπρόσθετα υπάρχει ο ριζοσπαστικός (θεμελιώδης) κονστρουκτιβισμός του Von Glasersfeld (1990), στον οποίο η γνώση δε θεωρείται προσαρμοσμένη με την έννοια ότι είναι βασισμένη και πιστά τροποποιημένη από την εμπειρία του μαθητή. Η μετέπειτα έκδοση του κονστρουκτιβισμού αναδεικνύεται από θεωρίες κοινωνιολογίας επιστημονικών γνώσεων, οι οποίες συμφωνούν με το ότι η γνώση είναι μια κοινωνική κατασκευή στο πλαίσιο της επιστήμης και των τεχνολογικών μελετών.

Σκοπός μας είναι να παρουσιάσουμε μια ξεκάθαρη άποψη από τους διάφορους δρόμους του κονστρουκτιβισμού στις μελέτες της εκπαίδευσης, κοινωνίας, επιστήμης και τεχνολογίας. Ο κονστρουκτιβισμός χωρίζεται σε 4 κατηγορίες : φιλοσοφικός, κυβερνητικός, εκπαιδευτικός και κοινωνιολογικός. Θα αναφερθούμε ειδικότερα στον εκπαιδευτικό κονστρουκτιβισμό.

Ο εκπαιδευτικός κονστρουκτιβισμός, ο οποίος επίσης λέγεται ψυχολογικός κονστρουκτιβισμός (Phillips,1995) διαιρείται στον προσωπικό και κοινωνικό κονστρουκτιβισμό, ανάλογα εάν πρόκειται για ένα μεμονωμένο άτομο ή μια ομάδα που κάνει την κατασκευή ή την επεξεργασία της γνώσης. Το κύριο μέρος των θεωριών των Piaget και Von Glasersfeld αναφέρονται στην προηγούμενη διαίρεση.

Γεγονός είναι ότι ο κονστρουκτιβισμός ασκεί βασική επιρροή στη σύγχρονη εκπαίδευση της επιστήμης αν και έχει γίνει το αντικείμενο θερμής διαφωνίας. Αξιοσημείωτα, μια από τις πιο σημαντικές συνέπειες του ριζοσπαστικού (θεμελιώδη) κονστρουκτιβισμού προκαλεί τις διαδικασίες από τις οποίες μεμονωμένοι μαθητές κατασκευάζουν ενεργά τη γνώση τους. Για παράδειγμα, o Cobb, προτείνει ότι περισσότερη προσοχή πρέπει να δοθεί στις διαπροσωπικές ή κοινωνικές απόψεις της μάθησης όπως το τι εμφανίζεται να είναι “τουλάχιστον προσωρινές καταστάσεις αντικειμενικότητας” (Cobb, Wood & Yackel, 1991). Προχωρώντας περισσότερο, ο Cobb (1990) καλεί τους κονστρουκτιβιστές εκπαιδευτές μαθηματικών να αναπτύξουν ένα καινούριο “μαθηματικό – ανθρωπολογικό περιεχόμενο” με σκοπό να βελτιώσουν και να απευθύνουν τις ιδέες τους στο περιβάλλον της τάξεως των μαθηματικών (Von Glasersfeld, 1989 – 1990) .

Σε αυτό το κεφάλαιο, η πρόθεσή μας είναι να απεικονίσουμε μια άποψη για την εκμάθηση και διδασκαλία των μαθηματικών στο δημοτικό σχολείο που επηρεάζονται και από εποικοδομητικές προοπτικές στην ανάπτυξη της αντίληψης (π.χ. Piaget, 1970α, 1980, von Glasersfeld, 1984,1987α) και από τη συμβολική θεωρία αλληλεπίδρασης όπως αναπτύχθηκε από τους Schutz (1962), Mead (1934) και Blumer (1969). Παίρνοντας αυτή την στάση, αμφισβητούμε έμμεσα τους ισχυρισμούς ότι είτε η αντιληπτική είτε η κοινωνική επεξεργασία θα έπρεπε να περάσει σε μια δευτερεύουσα θέση καθώς προσπαθούμε να κατανοήσουμε την εκμάθηση και διδασκαλία των μαθηματικών στις τάξεις των δημοσίων σχολείων. Από τη μία μεριά αμφισβητούμε ότι τα μαθηματικά είναι κυρίως αντιληπτικά παρόλο που επηρεάζονται από κοινωνικές διαδικασίες. Από την άλλη μεριά, αμφισβητούμε ότι τα μαθηματικά είναι κυρίως κοινωνικά ή πολιτιστικά στη φύση τους , και αυτό απολογείται για την αντιληπτική δραστηριότητα που μπορεί να απορρέει από αναλύσεις αυτών των διαδικασιών. Και οι δύο αυτές απόψεις κάνουν ισχυρισμούς σχετικά με την ουσία των μαθηματικών – σχετικά με τον τρόπο που τα μαθηματικά πραγματικά είναι, ήταν πάντα, και θα είναι πάντα ανεξάρτητα από την ερμηνευτική δραστηριότητα των θεωρηστών. Αυτοί οι ισχυρισμοί σχετικά με την ανιστόρητη, ανεξάρτητη από το μυαλό ουσία των μαθηματικών είναι ασύμβατοι με την επιστημονολογία που υποστηρίζει και τον κονστρουκτιβισμό και τη συμβολική αλληλεπίδραση. Ο κονστρουκτιβισμός είναι μια άποψη που προσπαθεί να εφαρμόσει αυτήν την επιστημονολογία στην ίδια την ερμηνευτική δραστηριότητα των θεωρηστών. Αυτό το διαιρετικό ζήτημα του αν τα μαθηματικά είναι κυρίως αντιληπτικά (θέμα αντίληψης) ή αν είναι κυρίως κοινωνικά είναι τότε κάτι δύσκολο να βρεθεί. Το ζήτημα κεντρικού ενδιαφέροντος δεν είναι να κάνουμε μια επιλογή ανάμεσα στις δύο ερμηνείες των μαθηματικών , αλλά αφορά τη δυναμική σχετικότητα και αξία των δύο ερμηνειών για μας σαν μαθηματικούς εκπαιδευτές όταν τυποποιούμε τους στόχους μας και προσπαθούμε να επιλύσουμε ό,τι βρίσκουμε προβληματικό. Ο κονστρουκτιβισμός βρίσκει αξία και στις δύο προοπτικές και θεωρεί ότι είναι μάλλον συμπληρωματικές παρά αντίθετες. Από αυτήν την άποψη, είναι χρήσιμο να δούμε τα μαθηματικά ως και αντιληπτική δραστηριότητα που εξαναγκάζεται από κοινωνικές και πολιτισμικές διαδικασίες και ως κοινωνικοπολιτιστικό φαινόμενο που αποτελείται από μία κοινότητα ενεργώς αντιλαμβανόμενων ατόμων. Αντιληπτικές και κοινωνικές διαδικασίες θεωρούνται τότε σαν συμπληρωματικές. Κάθε μια χρησιμεύει ως φόντο πάνω στο οποίο η άλλη έρχεται εμπρός. Παρουσιάζουμε αναλύσεις ειδικών γεγονότων στην τάξη, που διεξήχθησαν από αυτήν την άποψη αφού σύντομα δούμε τη φύση και τις συνέπειες των πρακτικών που κάποιος τυπικά παρατηρεί στις τάξεις του δημοτικού σχολείου κατά το μάθημα των μαθηματικών.

ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΑ ΠΙΣΤΕΥΩ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Όπως έχει καλά αρχειοθετηθεί, η αριθμητική θεωρείται τυπικά ότι είναι η καρδιά των μαθηματικών του δημοτικού σχολείου, και η αριθμητική πραγματοποιείται στις περισσότερες τάξεις δημοτικών σχολείων σαν βασικές πράξεις και στάνταρ διαδικασίες για την πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση μεγάλων αριθμητικών συνόλων και κλασμάτων. Όπως έχει επαναλαμβανόμενα σημειωθεί στη λογοτεχνία, αυτές οι πρακτικές στην τάξη εξηγούν με παραδείγματα μια στάση συμπεριφοράς σχετικά με το τι αποτελεί τα μαθηματικά, τι αποτελεί την αριθμητική και σχετικά με το ποιοι θα έπρεπε να είναι οι στόχοι της εκπαίδευσης των μαθηματικών στα παιδιά (π.χ. Brownell, 1928, Van Engen, 1949). Ο σκοπός μας δεν είναι να επαναλάβουμε αυτά τα οικεία επιχειρήματα, αλλά να συμπληρώσουμε την προτίμηση των δασκάλων μαθηματικών για την ψυχολογική προοπτική (π.χ. δάσκαλοι δρουν σαν συμπεριφεριοριστές) θεωρώντας τις κοινωνικοπολιτισμικές όψεις των σύγχρονων πρακτικών στις τάξεις. Είναι εδώ που βρίσκουμε σχετικότητα με τη συζήτηση της Lave (1988α) για τα παραδοσιακά πιστεύω σχετικά με τα μαθηματικά. Όπως σημείωσε, η άποψη ότι τα μαθηματικά αποτελούν ένα σετ από κανόνες που ακολουθεί κάποιος για να πάρει σωστές απαντήσεις θεωρείται γενικά αποδεκτή στην κοινωνία μας. Στην κατ’ εξοχήν αμερικανική κουλτούρα, τα μαθηματικά έχουν μπει στα ιδρύματα σαν μια δραστηριότητα ελεύθερου περιεχομένου, ελεύθερης αξίας και ελεύθερης ύλης – είναι μια τεχνολογία μέσων που είναι παγκόσμια, άμεμπτη πραγματικά και εφαρμόσιμη σε κανονική μορφή. Σαν μια συνέπεια, οι κωδικοποιημένες διαδικασίες των σχολικών μαθηματικών θεωρούνται τυπικά ότι είναι το άριστο της λογικής και της αντικειμενικότητας. Είναι για αυτό το λόγο που τα μαθηματικά μπορούν να χρησιμοποιηθούν σαν ένα μέσο επίτευξης δύναμης πάνω από άλλα και μέσα και έξω από την τάξη. Στην πραγματικότητα η Lave βρήκε ότι οι άνθρωποι που χρησιμοποιούν μη-στάνταρ μεθόδους στις εξωσχολικές ρυθμίσεις θεωρούν τυπικά ότι δεν εξαναγκάζονται στην μαθηματική δραστηριότητα, και δεν είναι ως εκ τούτου εντελώς λογικοί.

Από μια ανθρωπολογική προοπτική, η μαθηματική διδασκαλία σαν μια κοινωνική πρακτική, ή σαν δραστηριότητα με την έννοια του όρου κατά τον Leont’ev (1978), χρησιμεύει στο να προωθεί τους σπουδαστές προς αυτήν την ερμηνευτική στάση προς τα μαθηματικά. Τα ευρήματα πολυάριθμων μελετών δείχνουν ότι οι σπουδαστές βλέπουν τα μαθηματικά στο σχολείο σαν έντονα τυποποιημένα (τυπικά), σαν συμβολική δραστηριότητα χωρισμένη από τη δραστηριότητα τους σε άλλους τομείς. Η διαπίστωση ότι τα μαθηματικά για πολλά παιδιά δεν είναι ένα και τόσο ευχάριστο μάθημα, ασφαλώς δεν είναι καινούρια. Πάντα υπήρχαν και υπάρχουν παιδιά των οποίων η στάση απέναντι στο μάθημα αυτό, αν δεν είναι στάση αρνήσεως και αποστροφής, είναι τουλάχιστον στάση διστακτικότητας και υπεκφυγής.

Είναι τα παιδιά εκείνα για τα οποία συνηθίζουμε να λέμε ότι “δεν αγαπούν τα μαθηματικά”, “δεν τα καταλαβαίνουν”, “δεν μπορούν να λύσουν τα προβλήματα” κτλ. Αν δε επρόκειτο για μεγάλα παιδιά, οι γνωστές και συνηθισμένες δικαιολογίες, ότι δηλαδή “δεν έχουν βάσεις στα μαθηματικά”, “έχουν κενά”, “δεν έχουν κλίση στα μαθηματικά” κτλ θα μπορούσαν ίσως να αποτελέσουν μια κάποια αληθοφανή εξήγηση του φαινομένου. Στην περίπτωση όμως των παιδιών που αναφερόμαστε, δηλαδή αυτών των πρώτων τάξεων του δημοτικού, είναι φανερό ότι παρόμοιες εξηγήσεις δεν μπορούν να δοθούν, μια και τα παιδιά αυτά βρίσκονται ακόμη στα πρώτα στάδια της εκπαιδευτικής τους πορείας.

Αναγκαστικά, λοιπόν, οι αιτίες του φαινομένου δε θα πρέπει να αναζητηθούν στο παρελθόν – σε μια ελλιπή π.χ. μαθηματική υποδομή – αλλά στο παρόν και συγκεκριμένα ανάμεσα στους παράγοντες εκείνους οι οποίοι, σύμφωνα με τα δεδομένα των επιστημών που έχουν για αντικείμενο τη μάθηση και το παιδί, μπορούν να επηρεάζουν αρνητικά την στάση των παιδιών απέναντι στο συγκεκριμένο μάθημα (Βιτζηλαίος, 1979). Για παράδειγμα, οι Carpenter, Hiebert, και Moser (1983) έθεσαν τα ίδια αριθμητικά προβλήματα στην πρώτη και τρίτη τάξη. Βρήκαν ότι της πρώτης τάξης προσπάθησαν τυπικά να βγάλουν νόημα από τα προβλήματα, ενώ της τρίτης τάξης είτε πρόσθεσαν ή αφαίρεσαν τα νούμερα στο πρόβλημα στη βάση επιφανειακών συντακτικών νύξεων. Σαν συνέπεια, της τρίτης τάξης εκτέλεσαν τη λάθος αριθμητική διεργασία πιο συχνά από ότι της πρώτης τάξης. Αυτός ο ισχυρισμός εφαρμόζεται επίσης στη γνώση των κλασμάτων και των δεκαδικών (Hiebert & Wearne, 1985), βασικών αρχών στην άλγεβρα (Wagner,1981), στη γεωμετρία του γυμνασίου (Schoenfeld,1985), στους υπολογισμούς επιπέδου-κολεγίου (Dubinsky & Lewin, 1986) καθώς και στην αριθμητική. Σε κάθε μια από αυτές τις περιπτώσεις, μπορεί κάποιος να αναφέρει ότι τα πιστεύω των σπουδαστών είναι συμβατά με την παραδοσιακή θεώρηση των μαθηματικών, με την προϋπόθεση ότι κάποιος δέχεται την πάλη των πραγματιστών φιλοσόφων όπως οι Pierce, Dewey, και James ότι το να πιστεύουμε είναι το να διακινδυνεύουμε δράση στη βάση αυτού που πιστεύουμε. Τέτοια αναφορά δεν εμπλέκει το ότι οι μαθητές έχουν συνείδηση της φύσης της μαθηματικής τους δραστηριότητας, γιατί για να αναπτύξουν αυτήν την άγνοια, θα έπρεπε να βιώσουν τα μαθηματικά με κάποιον άλλον τρόπο. Από την άλλη πλευρά των μαθητών, αυτό που πιστεύουν ότι είναι τα μαθηματικά, είναι αυτό που είναι για αυτούς στον κόσμο της εμπειρίας τους .

Ισχυριζόμενοι ότι οι μαθητές κατασκευάζουν παραδοσιακά πιστεύω για τα μαθηματικά σαν συνέπεια της αλληλεπίδρασής τους με τους δασκάλους των οποίων το σημειωματάριο οδηγιών αντανακλά αυτήν την άποψη , δεν εννοούμε ότι οι απόψεις των δασκάλων μεταφέρονται απλά στους μαθητές. Μάλλον, οι δάσκαλοι έχουν την εξουσία να νομιμοποιούν αυτό που είναι αποδεκτό και να επικυρώνουν αυτό που δεν είναι αποδεκτό στην τάξη αφού διευθύνουν το ίδρυμα της κοινότητας της τάξης και όσον αφορά τους κοινωνικούς τύπους της τάξης και τις μαθηματικές έννοιες και πρακτικές. Οι μαθητές δρουν τυπικά σαν πραγματιστές στην τάξη και προσπαθούν να είναι αποτελεσματικοί (Balacheff, 1986, 1990, Brousseau, 1984). Όταν οι μαθητές κατανοήσουν ποιες είναι οι υποχρεώσεις τους και τι αναμένεται από αυτούς, ενεργά δημιουργούν και ανασκευάζουν τα πιστεύω τους (βλ. Cobb et al., 1991, Cobb, Yackel, & Wood, 1989). Αν τα μαθηματικά παρουσιαστούν στα παιδιά φυσικά και απλά, με τη μορφή δικών τους ανακαλύψεων βγαλμένων μέσα από πραγματικές καταστάσεις, αν τους δοθούν τα απαραίτητα χρονικά περιθώρια για εξάσκηση και αφομοίωση, αν παροτρυνθούν να εκφράζουν ελεύθερα τη σκέψη τους και τα συμπεράσματά τους και κυρίως, αν ο δάσκαλος τα βοηθήσει μεθοδικά και συζητήσει μαζί τους με υπομονή, μπορούμε να πούμε ότι θα έχουν εξασφαλιστεί οι βασικές προϋποθέσεις για μια θετική στάση των παιδιών απέναντι στα μαθηματικά, μια και θα έχουν διαπιστώσει, την τάξη και τη συνέπεια που τα χαρακτηρίζει και πάνω απ’ όλα, θα έχουν συνειδητοποιήσει ότι αυτά έχουν άμεση σχέση με το γύρω τους κόσμο και τη ζωή (Βιτζηλαίος, 1979). Τα σχολεία σαν κοινωνικά ιδρύματα χρησιμεύουν στο να διαιωνίζουν αυτήν την στάση προς τα μαθηματικά, και έτσι οι παραδοσιακές αντιλήψεις συνεχίζουν να φυτεύονται βαθιά στον πολιτισμό και του σχολείου ειδικά, και της κοινωνίας μας γενικά .

ΕΚΜΑΘΗΣΗ ΑΝΑΚΑΛΥΨΗΣ ( ΕΞΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΚΜΑΘΗΣΗ )

Μια αντίδραση στους περιορισμούς στις εκπαιδευτικές πρακτικές που έχουν μπει στα ιδρύματα, που αντανακλά μια στάση συμπεριφοράς προς τα μαθηματικά είναι να υπερασπιστούμε την εκμάθηση ανακάλυψης. Με την πρώτη ματιά, αυτή η πρόταση θα φαινόταν προαισθητικά λογική. Για παράδειγμα, στην περίπτωση της κατά αξία απαρίθμησης, τα παιδιά θα μπορούσαν να είναι εφοδιασμένα με κατασκευές Deine και να τους ζητείται να επιλύσουν μια αλληλουχία στόχων. Σε αυτήν την προσέγγιση, οι κατασκευές λειτουργούν σαν ένας εκπαιδευτικός αντιπρόσωπος που παρουσιάζει την απαρίθμηση κατ’ αξία στους μαθητές με ένα διαφανή, εύκολα κατανοητό τρόπο (βλ. Resnick, 1983). Μια ανάλογη προσπάθεια, αξιοσημείωτη για τη φαντασία με την οποία επινοήθηκαν νέα δομικά υλικά κατέβαλε ο βέλγος παιδαγωγός Cuisenaire, ο οποίος εισήγαγε ένα υλικό συγκεκριμένο, γνωστό με το όνομα “αριθμοί με χρώματα”, ή “τα χρωματιστά ξυλάκια”.

Η αρχή ήταν ακριβώς η ίδια με αυτήν που είχαν χρησιμοποιήσει οι δίδες Audemars και Lafendel στο “Σπίτι των Μικρών” στη Γενεύη, αλλά ο νεωτερισμός συνίσταται στο ότι τα ξυλάκια μήκους 1,2,3,… ξεχωρίζουν από τα αντίστοιχα χρώματά τους.

Τόσο, λοιπόν, η εισαγωγή αυτή των χρωμάτων όσο και η ίδια η αρχή της αντιστοιχίας του μήκους και των αριθμών μπορούν να δώσουν έδαφος για τελείως διαφορετικές ερμηνείες και εφαρμογές (Piaget, 1979). Παρόλα αυτά, όπως παρατήρησε ο Dearden (1967) ,“ Όταν ένας δάσκαλος παρουσιάζει σε ένα παιδί με κάποια συσκευή ή υλικά….. αυτός τυπικά έχει στο μυαλό του κάποια ιδιαίτερη αντίληψη του τι παρουσιάζει με αυτόν τον τρόπο. Αλλά τότε φαίνεται να γίνεται η απίστευτη παραδοχή ότι η αντίληψη του δασκάλου για την κατάσταση κάπως αποδίδει μια ιδιαίτερη μοναδικότητα σ’ αυτήν τέτοια που τα παιδιά αναπόφευκτα να την αντιλαμβάνονται με τον ίδιο τρόπο επίσης.” (σελ. 145-146).Το τελευταίο αυτό διευκολύνει βέβαια την κατανόηση σε σύγκριση με μεθόδους περισσότερο λεκτικές ή πιο στατικές, αλλά έχει τον κίνδυνο (και αυτός ο κίνδυνος επιτείνεται από την παρουσία των χρωμάτων) να κάνει να κυριαρχήσουν οι απεικονίσεις πάνω στους συλλογισμούς, δηλαδή οι συμβολικές όψεις της σκέψης (αντίληψη, μίμηση, εικόνες), πάνω στις πρακτικές όψεις (πράξεις, ενέργειες) (Piaget, 1979). Οι παρατηρήσεις του Dearden αμφισβητούν την άποψη ότι η ποιότητα της εκπαίδευσης των μαθηματικών στα παιδιά μπορεί να βελτιωθεί απλά αναπτύσσοντας καλύτερες εκπαιδευτικές αντιστοιχίες. Η εμπειριστική άποψη ότι κατάλληλα σχεδιασμένα αντικείμενα, εικόνες, διαγράμματα, ή γραφικοί υπολογιστές συνιστούν την πηγή της μαθηματικής γνώσης αγνοεί την ερμηνευτική δραστηριότητα των μαθητών καθώς συμπληρώνουν τις υποχρεώσεις τους στην κατάσταση της τάξης. Αυτό το σημείο έρχεται μπροστά όταν ρωτάμε με τον Dearden , “Γιατί ενώ τα παιδιά έπαιζαν για χρόνια με κατασκευές και τούβλα, είναι μόνο τώρα, που παρέχονται στα σχολεία, αυτά τα σημαντικά μαθηματικά περιγραφικά βοηθήματα τα οποία υποτίθεται ότι πρέπει να συνοδεύουν το παιχνίδι μαζί τους ;” (σελ. 147). Όπως ξεκαθαρίζει αυτή η ερώτηση, ο δάσκαλος πρέπει να ωθεί τους μαθητές προς μια ιδιαίτερη ερμηνευτική στάση στην τάξη ώστε να γίνεται δυνατό γι’ αυτούς να μάθουν. Οι μαθηματικές τους εμπειρίες είναι απαραίτητα κοινωνικά τοποθετημένες, και είναι αυτή η έννοια που μπορεί να πει κάποιος ότι η μαθηματική τους δραστηριότητα έχει φύση και αντιληπτική και κοινωνική.

Στο φως αυτών των παρατηρήσεων, δε μας εκπλήσσει ότι η εκμάθηση ανακάλυψης δεν πραγματοποιείται ποτέ στην τάξη. Μελέτες περιπτώσεων έχουν διεξαχθεί σε τάξεις στις οποίες οι δάσκαλοι λένε ότι διδάσκουν ανακαλύπτοντας και ότι εξηγούν την εκμάθηση των μαθητών με όρους ανακάλυψης. Στην πραγματικότητα, οι μελέτες αυτών των περιπτώσεων αποκαλύπτουν ότι οι δάσκαλοι ευφυώς και εν αγνοία τους προσπαθούν να δείξουν στους μαθητές αυτό που υποτίθεται πως πρέπει να ανακαλύψουν (Solomon, 1989, Walkerdine , 1988). Θα μπορούσε κάποιος να θεωρήσει ότι η υποχρέωση των μαθητών σ’ αυτές τις καταστάσεις θα ήταν να συμπεριφέρονται κατά τρόπους τους οποίους ο δάσκαλος δείχνει σαν κατάλληλος. Σε κάθε γεγονός, ο δάσκαλος που δεσμεύεται σ’ αυτήν τη μορφή εκπαιδευτικής πρακτικής δεν προσπαθεί συνειδητά να συμπεράνει την πιθανή φύση των ερμηνειών των μαθητών, και φαίνεται να υπάρχει λίγος χώρος για γνήσια μαθηματική επικοινωνία στην οποία δάσκαλος και μαθητές διαπραγματεύονται ρητώς μαθηματικά νοήματα.

ΜΑΘΑΙΝΟΝΤΑΣ ΣΑΝ ΕΝΕΡΓΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

Σαν μια εναλλακτική λύση στην προσέγγιση ανακάλυψης, ο κονστρουκτιβισμός λαμβάνει υπόψη τις κοινωνικά τοποθετημένες μαθηματικές εμπειρίες των μαθητών. Απ’ αυτήν την άποψη, οι μαθητές κατασκευάζουν ενεργά τους μαθηματικούς τους τρόπους γνώσης καθώς αγωνίζονται να συμπληρώσουν τις υποχρεώσεις τους στην τάξη. Αυτή η άποψη υποστηρίζεται από τα ευρήματα πολυάριθμων μελετών που δείχνουν ότι οι μαθητές συχνά αναπτύσσουν τους δικούς τους δρόμους ολοκλήρωσης μαθηματικών στόχων ακόμα και στην παραδοσιακή διδασκαλία (π.χ., σε καταστάσεις όπου δάσκαλος και μαθητές εξαναγκάζονται σε μια αλληλεπιδραστική επικοινωνία, στην οποία και οι δύο συμμετέχοντες στην τάξη επηρεάζουν τις ερμηνείες και πράξεις ο ένας του άλλου. Cobb, Yackel, & Wood, 1993, Wood et al., 1991). Από αυτήν την προοπτική, το κρίσιμο θέμα δεν είναι το αν θα έπρεπε να επιτρέψουμε στους μαθητές να κατασκευάσουν τη μαθηματική τους γνώση επειδή το να μαθαίνουμε σημαίνει ενεργά να δημιουργούμε. Το θέμα μάλλον αφορά τις κοινωνικές καταστάσεις στις οποίες οι μαθητές μπορούν παραγωγικά να δημιουργήσουν μαθηματική γνώση. Αυτό το θέμα μπορεί να προσεγγιστεί κοιτάζοντας πρώτα τη φύση της “γενικά αποδεκτής” μαθηματικής γνώσης.

ΓΕΝΙΚΑ ΑΠΟΔΕΚΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΓΝΩΣΗ

Οι περισσότεροι ενήλικες θα συμφωνούσαν ότι οι κατασκευές Deine αντιπροσωπεύουν μονάδες του 1, 10, 100, και 1000. Όπως σημειώσαμε, τέτοια επιχειρήματα οδήγησαν στο συμπέρασμα ότι οι κατασκευές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να παρουσιάσουν την απαρίθμηση κατ’ αύξουσα αξία στους μαθητές μ’ ένα εύκολο κατανοητό τρόπο. Αλλά αυτό το συμπέρασμα είναι γεμάτο δυσκολίες αν πάμε λίγο βαθύτερα. Οι ενήλικες είναι ικανοί να αναγνωρίζουν την αξία της θέσης στις κατασκευές απλώς επειδή έχουν ήδη κατασκευάσει μια σχετικά διανοητική κατανόηση της κατά αξία απαρίθμησης. Για τους ενήλικες, η όψη των κατασκευών σαν να αντιπροσωπεύουν θέσεις αξίας είναι το αποτέλεσμα μιας συνηθισμένης, αλλά ενεργής ερμηνείας. Όχι μόνο μπορούν οι ενήλικες να κάνουν αυτήν την ερμηνεία, αλλά υποθέτουν ότι και οι άλλοι μπορούν ομοίως. Είναι αυτή η γενικά αποδεκτή ερμηνεία που φταιει για την πεποίθηση ότι η θέση κατ’ αξία των ψηφίων σ’ ένα πολυψήφιο αριθμητικό σύνολο είναι μια έμφυτη ιδιότητα των κατασκευών, και αυτό χρειάζεται απλά να δειχθεί στους μαθητές (βλ. Greeno, 1983). Παρόλα αυτά, πολλοί μαθητές της τρίτης τάξης βλέπουν 600 όταν κοιτάζουν τη μεγαλύτερη κατασκευή. Βλέπουν 100 σε κάθε πλευρά και μετράνε έξι πλευρές (Labinowicz, 1985).

Με την προοπτική ότι πάμε πιο μπροστά, τα μαθηματικά δεν είναι κάτι που υπάρχουν ανεξάρτητα από την ανθρώπινη δραστηριότητα, είτε ατομική είτε συλλογική. Αντίθετα, αυτό που ονομάζουμε αντικειμενική μαθηματική γνώση μπορεί να θεωρηθεί σαν το προϊόν των κοινώς αποδεκτών ή της ανθρώπινης δραστηριότητας, όπου η δραστηριότητα περιλαμβάνει και πράξεις αντίληψης (π.χ., σκέψη) και παρατηρούμενες με τις αισθήσεις κινητήριες πράξεις. Το σημείο που θέλουμε να θίξουμε ότι τα μαθηματικά που βιώνουμε σαν αντικειμενικά υπάρχοντα στον κόσμο είναι το προϊόν μιας ενεργής κατασκευής από τη μεριά μας, την οποία θεωρούμε ότι τη μοιραζόμαστε με τους άλλους. Βλέπουμε ο καθένας μαθηματικές δομές στον κόσμο μας επειδή τις φτιάχνουμε και υποθέτουμε ότι οποιοσδήποτε άλλος που μπορεί να πει ότι ξέρει μαθηματικά μπορεί να κάνει μια συμβατή μ’ αυτές κατασκευή.

ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΑΖΟΝΤΑΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ

Μπορούμε συνοψίζοντας αυτά που έχουν ειπωθεί να τονίσουμε πέντε σημεία. Πρώτον, ο ισχυρισμός ότι οι μαθητές μπορούν να ανακαλύψουν τα μαθηματικά από μόνοι τους, ανεξάρτητα από την υποκίνησή τους προς μια ερμηνευτική στάση, είναι ένας παραλογισμός. Παρά τις επικρίσεις μας για την προσέγγιση εκπαιδευτικής αντιπροσώπευσης, αγνοούμε ότι υλικά που παραδοσιακά ονομάζονται παιδαγωγικές αντιπροσωπεύσεις μπορεί να έχουν αξία με την προϋπόθεση ότι επαναντιλαμβανόμαστε τη λειτουργία τους στην κοινωνική κατάσταση της τάξης. Ιδιαίτερα, αγχωνόμαστε για το ότι οι τρόποι που αυτά τα υλικά ερμηνεύονται και δρουν πρέπει απαραίτητα να διαπραγματευτούν με τους δασκάλους και τους μαθητές. Όπως σημειώσαμε, αυτό δεν εννοεί ότι ο δάσκαλος απλώς δείχνει στους μαθητές αυτό που υποτίθεται ότι πρέπει να δουν. Μάλλον, υπονοεί μια διαδικασία αληθινής επικοινωνίας, στην οποία ο δάσκαλος προσπαθεί να λάβει υπόψη του τις ερμηνείες των μαθητών. Πιο γενικά, η κοινωνική αλληλεπίδραση και η συζήτηση των μαθηματικών ερμηνειών και λύσεων είναι ουσιαστικές για την εκμάθηση.

Δεύτερον, συζητήσαμε ότι οι μαθητές δε μαθαίνουν μαθηματικά εμβαθύνοντάς τα άμεσα στα αντικείμενα, εικόνες, ή οτιδήποτε άλλο, παρόλο που γνωρίζουμε πόσο πολύ μπορεί να πειστούν ότι τα μαθηματικά είναι μια ιδιότητα των κατασκευών, η οποία περιμένει να κατανοηθεί. Φυσικά, αυτό δεν αρνείται ότι οι μαθητές μπορούν να κατασκευάσουν μαθηματική γνώση μέσα από κοινωνικά ενταγμένη, κατευθυνόμενη προς στόχους δραστηριότητα με θέματα του περιβάλλοντός τους (π.χ. κατασκευές Dienes, γραφικά κομπιούτερ) . Όπως αντιλαμβανόμαστε, τέτοιες ενέργειες οι οποίες υποκινούνται από τις αισθήσεις και τις αντιλήψεις, αποτελούν στην πραγματικότητα μια πρωταρχική πηγή της μαθηματικής γνώσης των μαθητών και η μαθηματική σκέψη μπορεί να αναλυθεί επωφελώς σε όρους δράσης. Γενικά, η εκμάθηση των μαθηματικών μπορεί να θεωρηθεί ως μια διαδικασία κατασκευής αυξανόμενα διανοούμενων πράξεων αντίληψης. Είναι γνωστό ότι μια οποιαδήποτε εκμάθηση, και ιδιαίτερα μια εκμάθηση μαθηματικών, για να θεωρηθεί ότι θα μπορέσει να ανταποκριθεί στους σκοπούς της, το πρώτο στοιχείο που θα πρέπει να λάβει υπόψη της είναι οι φυσικοί όροι αναπτύξεως των παιδιών, προς τα οποία απευθύνεται, και κυρίως η διανοητική τους δομή και οι αντιληπτικές τους ικανότητες.

Το παιδί, ας μην ξεχνάμε, δεν είναι η μικρογραφία του ενηλίκου, αλλά αυτό – σύμφωνα με τους ψυχολόγους – έχει τους δικούς του τρόπους να σκέφτεται, να διαλογίζεται και, άρα, να αντιλαμβάνεται τη γύρω του πραγματικότητα, που οπωσδήποτε διαφέρουν από τους τρόπους των μεγάλων. Έτσι, είναι φυσικό αυτά τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της παιδικής σκέψης να αποτελούν βασικό στοιχείο προσδιορισμού του τρόπου με τον οποίο θα τους παρουσιάσουμε αυτά που επιδιώκουμε να αφομοιωθούν σαν γνώση, εάν θέλουμε η αφομοίωση αυτή να γίνει κατά τρόπο φυσικό, μετά από μια “ανακάλυψη” που θα έχει γίνει από τα ίδια τα παιδιά.

Ακριβώς σε σχέση με αυτό το στοιχείο, τα δεδομένα της ψυχολογίας που αφορούν την εξελικτική πορεία της παιδικής νοημοσύνης, μπορούμε να πούμε ότι έρχονται να ενισχύσουν την άποψη ότι ο τρόπος με τον οποίο παρουσιάζονται οι διάφορες μαθηματικές έννοιες σε μια σύγχρονη διδασκαλία ανταποκρίνεται στις ιδιάζουσες αντιληπτικές ικανότητες των παιδιών (Βιτζηλαίος, 1979). Παρόλα αυτά, αυτή η νέα θέση του Piaget, που βλέπει την εκμάθηση των μαθηματικών, ως μια διαδικασία στην οποία οι μαθητές επιλεκτικά αφαιρούν από την ίδια τη δική τους δραστηριότητα, χρειάζεται τροποποίηση για να περιλαμβάνει την περίπτωση των μαθητών που μαθαίνουν ενώ ερμηνεύουν τη δραστηριότητα κάποιου άλλου. Οι μαθητές μπορούν και βασίζουν τις επιλεκτικές αφαιρέσεις τους στις ερμηνείες τους για δραστηριότητες άλλων, καθώς και στις δικές τους ερμηνείες για τις κοινωνικές αλληλεπιδράσεις (J. Voight, προσωπική επικοινωνία, 1989). Γενικά, η προοπτική του Piaget τείνει να υποβαθμίσει το ρόλο της γλωσσολογικής δραστηριότητας στην ανάπτυξη της αφαιρετικής σκέψης. Σύμφωνα με την άποψή μας, αυτό είναι μια βασική αδυναμία της σύγχρονης ψυχολογικής κονστρουκτιβιστικής θεωρητικοποίησης.

Τρίτον, επιπλέον των άλλων της περιορισμών, η προσέγγιση παιδαγωγικής αντιπροσώπευσης και η άμεση εσωτερίκευσή της δεν απευθύνει τον πραγματικό κίνδυνο ότι οι μαθητές θα κάνουν ένα διαχωρισμό ανάμεσα στα μαθηματικά στο σχολείο και στα καθημερινά προβλήματα. Οι θεωρητικοί της παιδαγωγικής αντιπροσώπευσης παίρνουν τη μαθηματική αντίληψη των ιδιοτήτων ότι είναι το τελικό σημείο της διαδικασίας εκμάθησης καθώς επίσης και το αρχικό τους σημείο. Φέρουν αναλύσεις της γνώσης, η οποία αποκτάται και τυπικά αναπτύσσει φυσικά υλικά ή διαγράμματα που εμπεριέχουν αυτήν τη γνώση σε έναν υποτιθέμενα διάφανο τρόπο. Για παράδειγμα, οι κατασκευές Dienes αναπτύχθηκαν σαν ενσωματώσεις του βασικού συστήματος-10θέσιας-απαρίθμησης. Δεν είναι υλοποιήσιμη η προηγούμενη διαδικασία, μέχρι που οι μαθητές να έχουν αναγνωρίσει , κατά κάποιο ανεξήγητο τρόπο, αυτές τις δομές που διδάσκονται σε τεχνητά προβλήματα αυτού του είδους, και να εφαρμόζουν τη γνώση τους στα είδη καταστάσεων που θα μπορούσαν να αντιμετωπίσουν στις καθημερινές τους ζωές. Με άλλα λόγια, ο παραδοσιακός διαχωρισμός ανάμεσα στην απόκτηση και στην εφαρμογή των αντιλήψεων και ιδιοτήτων παραμένει απρόκλητος.

Μια εναλλακτική προσέγγιση λαμβάνει σοβαρά υπόψη την παρατήρηση ότι , ιστορικά, η πραγματική, άτυπη επίλυση του μαθηματικού προβλήματος αποτέλεσε τη βάση από την οποία τα τυπικά, κωδικοποιημένα μαθηματικά ενεπλάκησαν. Ως συνέπεια ο ερμηνευτής δεν επινοεί τεχνητά προβλήματα ,που για τον ενήλικα εμπεριέχουν τυπικές μαθηματικές δομές, αλλά δημιουργεί καταστάσεις που θα μπορούσαν προσωπικά να έχουν νόημα για τους μαθητές σε μια ποικιλία επιπέδων αντίληψης, στους όρους των σύγχρονων δικών τους τρόπων εκμάθησης. Καταστάσεις αυτού του τύπου είναι εκπαιδευτικής αξίας στο βαθμό που οι ερμηνείες των μαθητών για αυτές και η δραστηριότητα σ’ αυτές αποτελούν βάσεις, από τις οποίες αυξανόμενα διανοούμενες μαθηματικές πράξεις μπορούν να εμπλακούν με κατάλληλη καθοδήγηση. Έτσι, σε αντιπαράθεση με την προσέγγιση εκπαιδευτικής αντιπροσώπευσης, είναι οι διαφορετικές εμπειρικές πραγματικότητες των μαθητών μάλλον, παρά τα τυπικά μαθηματικά, που αποτελούν το εναρκτήριο σημείο στην ανάπτυξη παιδαγωγικών δραστηριοτήτων. Ως συνέπεια, καταστάσεις που παραδοσιακά θεωρούνται προβλήματα στα οποία εφαρμόζεται προγενέστερα αποκτηθείσα γνώση φτάνουν να θεωρηθούν σαν πιθανές βάσεις εμπειρίας για την κατασκευή μαθηματικής γνώσης, και ο παραδοσιακός διαχωρισμός ανάμεσα στην απόκτηση και την εφαρμογή υπερβαίνεται. Μ’ αυτό τον τρόπο, η πιθανότητα κατά την οποία οι μαθητές μπορούν να διαχωρίσουν την μαθηματική τους δραστηριότητα στο σχολείο από την μαθηματική τους δραστηριότητα στα καθημερινά προβλήματα αντιμετωπίζεται άμεσα.

Τέταρτον, όπως δείχθηκε στην προηγούμενη συζήτηση για την εκπαιδευτική αξία των παιδαγωγικών καταστάσεων, ο δάσκαλος δεν μπορεί να νομιμοποιήσει απλώς κάθε αντιληπτική δράση που ένας μαθητής θα μπορούσε να κατασκευάσει για να λύσει ένα προσωπικό μαθηματικό πρόβλημα. Αν συμπληρώσουμε την ψυχολογική στάση, μπορούμε να δούμε τους πιθανούς μακροπρόθεσμους στόχους της μαθηματικής εξέλιξης των μαθητών, ως κοινές πρακτικές που αποτελούνται από κοινώς αποδεκτές μαθηματικές πράξεις. Με άλλα λόγια, τα μαθηματικά είναι μια κανονική δραστηριότητα αντίληψης μάλλον, παρά περιεχόμενο για τον κοινωνιολόγο, και η εκμάθηση των μαθηματικών μπορεί να θεωρηθεί σαν μια διαδικασία συμμετοχής σ’ αυτήν την πρακτική. Αν αυτή η άποψη για τα μαθηματικά φαίνεται περίεργη, θα σημειώναμε ότι ορισμένες άλλες κοινωνίες και κοινωνικές ομάδες έχουν αναπτύξει αριθμητικές πρακτικές ρουτίνας που διαφέρουν από αυτές που προσπαθούμε να διδάξουμε στο σχολείο (Carraher & Carraher 1987, Carraher, Carraher, & Schliemann,1985, 1987, D’Ambrosio, 1985, Saxe, Guberman, & Gearhart, 1988).

Πέμπτον, οι ενήλικες μιλούν για τα εκατοστά, δέκατα, και πρώτα σαν να είναι αληθινά πράγματα. Είναι κατανοητό το τι εννοούμε λέγοντας “Βάλε δέκα εκατοστά μαζί για να φτιάξεις 1,000”. Οι ενήλικες βιώνουν τις βασικές αντιλήψεις της αριθμητικής σαν να έχουν μια χειροπιαστή ποιότητα – τα χειρίζονται σαν πράγματα (Fischbein, 1987). Μπορούν να φωτίσουν αυτή την όψη της μαθηματικής εμπειρίας μιλώντας για αφηρημένα, μαθηματικά αντικείμενα. Στην πραγματικότητα, αυτό είναι ένα χαρακτηριστικό των μαθηματικών όπως το γνωρίζουν οι μαθηματικοί ` η ομιλία τους είναι σχετικά με την ύπαρξη, τη φύση και τις σχέσεις ανάμεσα στα μαθηματικά αντικείμενα. Έτσι, οι Davis και Hersh (1981), δύο ασκούμενοι μαθηματικοί, παρατήρησαν ότι “οι μαθηματικοί γνωρίζουν ότι μελετούν μια αντικειμενική πραγματικότητα. Για έναν έξω από αυτούς, φαίνονται ότι είναι δεσμευμένοι σε μια εσωτερική επικοινωνία με τους εαυτούς τους και ένα μικρό γκρουπ φίλων” (σελ. 43-44). Γενικά, η μαθηματική σκέψη είναι μια διαδικασία με την οποία ενεργούμε σε αντιληπτικά αντικείμενα που είναι το προϊόν των προηγούμενων αντιληπτικών μας πράξεων. Αυτή η άποψη εφαρμόζεται ομοίως σε μαθηματικούς ή μαθητές δευτέρας τάξης.

Όπως οι εκπαιδευτές των μαθηματικών, θέλουμε οι μαθητές να συμμετέχουν και να συνεισφέρουν σε μια κοινή μαθηματική πρακτική με κεντρικά θέματα που αφορούν την ύπαρξη, τη φύση και τις σχέσεις ανάμεσα στα μαθηματικά αντικείμενα από την αρχή του δημοτικού σχολείου. Είναι με αυτά τα μέσα που οι μαθητές μπορούν να μάθουν μαθηματικά μ’ αυτό που επονομάζεται τυπικά κατανόηση - το να καταλάβουμε μαθηματικά είναι να δημιουργούμε και να ενεργούμε πάνω σε κοινώς αποδεκτά μαθηματικά αντικείμενα. Αυτή η άποψη αντιπαρατίθεται αιχμηρά με την παραδοσιακή άποψη ότι η μαθηματική κατανόηση είναι θέμα γνώσης των κανόνων που πρέπει να ακολουθήσουμε για να παράγουμε σωστές απαντήσεις.

Θα έπρεπε να είναι φανερό από ότι έχει ειπωθεί μέχρι εδώ ότι η φράση “ανακατασκευή των μαθηματικών του δημοτικού σχολείου” έχει δύο ξεχωριστές ερμηνείες. Από τη μια μεριά, αυτό είναι ακριβώς αυτό που οι μαθητές πρέπει να κάνουν για να μάθουν μαθηματικά. Πρέπει να κατασκευάσουν τις αντιληπτικές πράξεις που συνιστούν τις κοινώς αποδεκτές μαθηματικές πρακτικές του πολιτισμού μας. Από την άλλη μεριά, η φράση μπορεί να ερμηνευτεί σαν την αλλαγή που πρέπει να κάνουν οι δάσκαλοι στη μορφή πρακτικής, που πρέπει να κατασκευάσουν ώστε να ταιριάζει με τους τρόπους εκμάθησης των μαθηματικών από τους μαθητές τους. Αυτή είναι η βασική πρόκληση που αντιμετωπίζουν οι παιδαγωγοί των μαθηματικών. Πρέπει να ανακατασκευάσουμε τι σημαίνει να γνωρίζουμε και να κάνουμε μαθηματικά στο σχολείο, και έτσι τι σημαίνει να διδάσκουμε μαθηματικά. Αυτή η διαδικασία θα εμπλέκει μια στροφή μακριά από την απασχόληση με ιδιοσυγκρασιακές συμβάσεις και προς μια επικέντρωση του ενδιαφέροντος στην αλληλεπιδραστική σύσταση της μαθηματικής σημασίας. Ως εκ τούτου, θα είναι απαραίτητο να προωθηθεί και να καθοδηγηθεί μια τροποποίηση της μαθηματικής φιλοσοφίας στο σχολείο προς αυτό, που σύμφωνα με τον Richards (1991), ονομάζουμε μαθηματικά αναζήτησης.*

ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΑΖΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΕΚΜΑΘΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

Το Μαθηματικό Πρόβλημα-Επικέντρωση στο Πρόβλημα

Είμαστε στον πέμπτο χρόνο μιας μελέτης που συνεχίζεται και ενός σχεδίου ανάπτυξης στη δευτέρα τάξη που στοχεύει στο να συνεισφέρει σε σύγχρονες προσπάθειες ανακατασκευής των μαθηματικών στο δημοτικό σχολείο. Αρχικά, διεξαγάγαμε ένα ετήσιου-μήκους πείραμα διδασκαλίας σε μια τάξη δευτέρου βαθμού (δευτέρα τάξη), στην πορεία του οποίου αναπτύξαμε εκπαιδευτικές δραστηριότητες για ολόκληρο το σχολικό έτος. Κάνοντας έτσι, καθοδηγηθήκαμε από λεπτομερή ψυχολογικά μοντέλα μαθηματικής εκμάθησης σε νέα παιδιά που εξειδικεύουν και τις αντιληπτικές προόδους που κάνουν τα παιδιά και τις διαδικασίες μέσω των οποίων θα μπορούσαν να τις κάνουν. Αυτά τα μοντέλα, όπως συζητήθηκε από τους Cobb και Wheatley (1988), Steffe, Cobb, και von Glasersfeld (1988) και Steffe et al., (1983), είναι σε αντιπαράθεση με τα μοντέλα διαδικασιών - πληροφορικής (π.χ., Briars & Larkin, 1984, Riley, Greeno, & Heller, 1983). Αυτά τα μοντέλα σχεδιάστηκαν για να δώσουν λογαριασμό για τις συμπεραινόμενες μαθηματικές εμπειρίες των παιδιών μάλλον, παρά για τις συμπεραινόμενες αντιληπτικές συμπεριφορές τους.

Οι καθοδηγητικές δραστηριότητες αντανακλούν την άποψη ότι τα παιδιά κατασκευάζουν μαθηματική γνώση για να λύσουν τα μαθηματικά τους προβλήματα. Για αυτό το λόγο, μιλάμε για το σχέδιο σαν να έχουμε μια επικεντρωμένη στο πρόβλημα προσέγγιση. Αυτή η θεώρηση ότι η εκμάθηση είναι μια ενεργή, κατασκευαστική, επιλυτική δραστηριότητα του προβλήματος έχει εφαρμοστεί σ’ όλες τις περιοχές των μαθηματικών δευτέρας τάξης, συμπεριλαμβανομένης και του υπολογισμού της αριθμητικής. Οι καθοδηγητικές στρατηγικές της συζήτησης στην τάξη και της συνεργασίας σε μικρές ομάδες αναπτύχθηκαν κατά την εργασία με τον αρχικό δάσκαλο του σχεδίου και αντανακλούν τον κρίσιμο ρόλο που παίζει η ιδιοφυής επικοινωνία σχετικά με τα μαθηματικά στην εκμάθηση των παιδιών. Τα παιδιά δουλεύουν τυπικά σε ζευγάρια για να αναπτύξουν τις δικές τους μεθόδους επίλυσης για να συμπληρώσουν τις καθοδηγητικές ενέργειες. Ακολούθως, ο δάσκαλος διευθύνει τις συζητήσεις του συνόλου της τάξης, στις οποίες τα παιδιά εξηγούν και δικαιολογούν τις ερμηνείες και λύσεις στους ομοίους τους. Σε όλη αυτήν την αρχική διαδικασία εξέλιξης, έπρεπε να είμαστε πρακτικοί και να διευθύνουμε τους στόχους όλων των συμμετεχόντων στις σχολικές συνεργασίες για τα μαθηματικά δευτέρου βαθμού.(βλ., Cobb, Wood, & Yackel, 1990, για περαιτέρω συζήτηση αυτής της διαδικασίας). Επιπρόσθετα, έπρεπε να βεβαιωθούμε ότι η λειτουργικότητα των παιδιών ήταν ικανοποιητική με βάση ένα τυποποιημένο (στάνταρ) τεστ δείκτη της κατάστασης.

Αρχικά, αυτό το πείραμα διδασκαλίας στην τάξη διεξήχθη σε μια τάξη δευτέρου βαθμού. Τώρα, το πείραμα έχει επεκταθεί σε 25 τάξεις. Παρόλα αυτά, οι περιγραφές και ερμηνείες που παρουσιάστηκαν στο υπόλοιπο αυτού του κεφαλαίου βασίζονται στις αναλύσεις και τα δεδομένα από το πείραμα διδασκαλίας της αρχικής τάξης.

Συζητήσεις στην Τάξη σαν Ευκαιρίες Εκμάθησης

Ανόμοια με τις παραδοσιακές τάξεις μαθηματικών, τα παιδιά έμαθαν γρήγορα ότι το να λύνουμε προβλήματα αποτελούσε μαθηματική ιδιότητα στην τάξη του προγράμματος (σχεδίου). Αυτό καθιερώθηκε στην αρχή του σχολικού έτους, καθώς ο δάσκαλος και οι μαθητές αμοιβαία κατασκεύασαν τους κοινωνικούς κανόνες που το έκαναν δυνατό γι’ αυτούς να επαναπροσδιορίσουν και τους δικούς τους ρόλους και το τι σημαίνει να κάνουν μαθηματικά στο σχολείο. Σαν ένα παράδειγμα, στο ακόλουθο περιστατικό, που πραγματοποιήθηκε την τρίτη μέρα του σχολικού έτους, η τάξη συζητούσε το προφορικό πρόβλημα, “Πόσοι δρομείς όλοι μαζί ; Υπάρχουν έξι δρομείς σε κάθε ομάδα. Υπάρχουν δύο ομάδες στον αγώνα.”

Δασκάλα : Πέτρο, σε τι λύση καταλήγεις ;

Πέτρος : 14

Δασκάλα : Πώς έφτασες σ’ αυτήν την απάντηση ;

Πέτρος : Επειδή 6 συν 6 ίσον 12. Δύο δρομείς σε δύο ομάδες… [Ο Πέτρος σταματάει να μιλάει, βάζει τα χέρια του στο πρόσωπό του και κοιτάζει κάτω στο πάτωμα. Μετά κοιτάζει το πάτωμα. Μετά κοιτάζει τη δασκάλα και μετά τη συνεργάτιδά του, την Άννα. Γυρίζει και αντικρίζει τον τοίχο του δωματίου με την πλάτη του στη δασκάλα]

Δασκάλα : Για ξαναπές το. Δεν το κατάλαβα ακριβώς όλο. Είχες… Πες το ξανά σε παρακαλώ.

Πέτρος : [Σιγά, ακόμα κοιτάζοντας τον τοίχο] Είναι 6 δρομείς σε κάθε ομάδα.

Δασκάλα : Σωστά.

Πέτρος : [Γυρίζει για να κοιτάξει τη δασκάλα] Έκανα ένα λάθος. Είναι λάθος. Έπρεπε να είναι 12.[Γυρίζει και κοιτάζει τον τοίχο του δωματίου]

Όπως είναι φανερό, ο Πέτρος ντράπηκε πάρα πολύ όταν κατάλαβε ότι έκανε λάθος και ερμήνευσε αυτήν την κατάσταση σαν βάσιμο λόγο έντονης ντροπής. Στις περισσότερες τάξεις μαθηματικών, η ερμηνεία του Πέτρου θα ταίριαζε περισσότερο με την περίπτωση του σεβασμού στους κοινωνικούς κανόνες παραδοσιακών οδηγιών, όπου οι μαθητές αναμένονται να παράγουν σωστές απαντήσεις χρησιμοποιώντας ακριβείς μεθόδους. Παρόλα αυτά, η ερμηνεία του Πέτρου συνάντησε την πρόθεση της δασκάλας` η δασκάλα διαπίστωσε ότι αναγκάζοντας τον Πέτρο να εξηγήσει τη λύση του, τον έβαλε στη θέση να πρέπει να παραδεχθεί ότι η απάντησή του ήταν λάθος.

Αναγνώρισε ότι αν έπρεπε να περιμένει από τα παιδιά να εκφράσουν τις δικές τους λύσεις στα προβλήματα, ήταν υποχρέωσή της να βεβαιωθεί ότι δε νοιώθουν ντροπή ή αμηχανία όταν παρουσιάζουν λάθος λύσεις μπροστά σε άλλους. Κατά συνέπεια, η δασκάλα έπρεπε να τροποποιήσει τις προθέσεις της και να επαναδιαπραγματευτεί τους κοινωνικούς κανόνες με τα παιδιά. Σε περιπτώσεις όπου ο παιδαγωγός βρίσκεται αναγκασμένος να ρυθμίσει τη διαγωγή ή να επιβάλλει κυρώσεις, οι παρακάτω αρχές τον βοηθούν.

(α) Να αποφεύγει να επιβάλλει, όσο του είναι δυνατό, κυρώσεις για τη διαγωγή του παιδιού.

(β) Όταν οι αρνητικές κυρώσεις είναι αναπόφευκτες να χρησιμοποιεί κυρώσεις αμοιβαιότητας.

Ακόμη, ο παιδαγωγός πρέπει να ενθαρρύνει το παιδί να είναι ανεξάρτητο και περίεργο. Να έχει πρωτοβουλία στην επιδίωξη των ενδιαφερόντων του. Να έχει εμπιστοσύνη στην ικανότητά του να πετύχει ότι επιθυμεί, να εκφράσει τις ιδέες του με πεποίθηση, να κατανικήσει τους φόβους του και τις αγωνίες του με εποικοδομητικό τρόπο και να μην αποθαρρύνεται εύκολα (Kamii & Rheta, 1979). Με αυτόν τον στόχο, εισήγαγε μια δεύτερη μετατροπή κατά την οποία εκείνη και τα παιδιά μίλησαν με θέμα το να μιλούν για τα μαθηματικά.

Δασκάλα : [Ήπια] Α, εντάξει. Είναι εντάξει να κάνουμε ένα λάθος ;

Ανδρέας : Ναι.

Δασκάλα : Είναι εντάξει να κάνουμε ένα λάθος, Πέτρο;

Πέτρος : [Εξακολουθώντας να κοιτάει τον τοίχο] Ναι.

Δασκάλα : Βεβαίως και είναι. Όσο είστε στην τάξη μου, είναι εντάξει το να κάνουμε λάθος. Γιατί κάνω και εγώ συνέχεια, και επειδή μαθαίνουμε από τα λάθη μας πολλά. Ο Πέτρος ήδη το κατάλαβε, “Ω, δεν είχα τη σωστή απάντηση την πρώτη φορά,” [Ο Πέτρος γυρνάει προς τη δασκάλα και χαμογελάει] αλλά συνέχισε να προσπαθεί και τα κατάφερε.

Καθώς η δασκάλα έδωσε έμφαση στο γεγονός ότι η προσπάθεια του Πέτρου να λύσει το πρόβλημα ήταν κατάλληλη σ’ αυτήν την τάξη, ταυτόχρονα εξέφρασε στα άλλα παιδιά την προσδοκία της ότι η σκέψη για τα μαθηματικά ήταν πιο σημαντική, όχι οι σωστές απαντήσεις. Ο Πέτρος διαπίστωσε ότι η αντίδρασή της ήταν υποστηρικτική και ενθαρρυντική μάλλον, παρά επικριτική και έτσι γύρισε και μπόρεσε να αντικρίσει την τάξη χαμογελώντας.

Η δασκάλα και οι μαθητές διαπραγματεύτηκαν τις υποχρεώσεις και τις προσδοκίες που κάνουν δυνατό το σχήμα της αλληλεπίδρασης που επέτρεψε στα παιδιά να εκφράσουν το σκεπτικό τους κατά τη διάρκεια συζητήσεων στην τάξη μέσα στο σχολικό έτος. Οι κοινωνικοί κανόνες ήταν για : (α) να προσπαθούν να εξηγήσουν και να δικαιολογήσουν μια λύση, (β) να ακούν και να προσπαθούν να καταλάβουν τις εξηγήσεις που δίνονται από άλλους, και (γ) να υποδηλώνουν συμφωνία, διαφωνία, ή αδυναμία στο να καταλάβουν την εξήγηση των άλλων. Αυτοί οι κανόνες που καθιερώθηκαν βάση συζητήσεων όλης της τάξης ήταν επίσης κρίσιμοι για την ανάπτυξη των κανόνων για συνεργασία που καθοδηγούσαν την αλληλεπίδραση των παιδιών καθώς δούλευαν σε ζευγάρια.

Στο προηγούμενο επεισόδιο, η δασκάλα ήταν σαφής όταν μίλησε με τους μαθητές για τη συζήτηση σχετικά με τα μαθηματικά. Αυτό δημιούργησε μια ατμόσφαιρα στην οποία τα παιδιά ένιωσαν ότι μπορούσαν να τολμήσουν να μιλήσουν για τις δικές τους μαθηματικές ερμηνείες και λύσεις, στις οποίες αναφερθήκαμε μιλώντας μαθηματικά (Cobb et al., 1993). Το επόμενο παράδειγμα χαρακτηρίζει την ποιότητα της μαθηματικής δραστηριότητας των παιδιών καθώς συζήτησαν τη σημασία των κλασματικών συμβόλων όπως 1/4, 1/6, και 7/8. Στον επόμενο διάλογο, η δασκάλα ζωγράφισε κυκλικές περιοχές πάνω στη διαφάνεια του προτζέκτορα και τα παιδιά την κατεύθυναν στο να τις χωρίζει σε ίσα μέρη.

Δασκάλα : Ο Γιάννης έχει κάτι που ήθελε να πει. Είπε ότι έχει ένα πρόβλημα το οποίο σκέπτεται.

Γιάννης : [Πηγαίνει στην οθόνη] Αλλά, ε…τι θα γινόταν αν ήταν 1 και 1; Τι θα ήταν αυτό;

Δασκάλα : Έτσι ; [Γράφει 1/1] Καλή ερώτηση. Ή τι θα ήταν αν είχατε αυτό προς αυτό ; [Γράφει 4/4 και 6/6] Τι σημαίνει αυτό ;

Όπως τα περισσότερα παιδιά, ο Γιάννης ερμήνευσε τη διαδικασία της δασκάλας σαν μια αλληλουχία πράξεων-χάραξη ενός κύκλου και μετά μερισμός του. Έθεσε αυτό που θεώρησε σαν αντίστροφο παράδειγμα σ’ αυτή τη διαδοχή πράξεων. Στην περίπτωση του 1/1, κάποιος δεν κάνει μερισμό. Η δασκάλα παρεκκλίνει ξεκάθαρα από την παραδοσιακή πρακτική` δεν του λεει την απάντηση ή δεν παρέχει μια εξήγηση. Αντί αυτού, γράφει το πρόβλημα χρησιμοποιώντας επίσημες σημειώσεις, αλλά μετά το ελέγχει με το Γιάννη. Μερικοί μαθητές σηκώνουν τα χέρια τους, και ο Γιάννης συνεχίζει.

Γιάννης : Γράψτε ένα κύκλο.

Δασκάλα : Εντάξει, γράφω ένα κύκλο. [Ζωγραφίζει ένα κύκλο πάνω στη διαφάνεια του προτζέκτορα και μετά κοιτάζει το Γιάννη]

Γιάννης : Ε, έτσι… Αυτό που σκέφτομαι είναι ένα και ένα. [Δείχνει το 1/1] Πώς θα το κάνατε να μοιάζει…[κοιτάζει τη δασκάλα]

Δασκάλα : Πώς θα δείχναμε ένα και ένα, ένα προς ένα ;

Γιάννης : [Κοιτάζει τη δασκάλα και δεν λεει τίποτα]

Άννα : [Εθελοντές] Απλά γέμισέ το όλο.

Μάρκος : Ναι ; Αυτό είναι απλώς ένα κομμάτι.

Δασκάλα : Εντάξει, εάν θυμηθούμε τι σημαίνει ένα κλάσμα, Γιάννη…

Γιάννης : [Διακόπτει τη δασκάλα με ενθουσιασμό] Αλλά είναι ολόκληρος ο κύκλος, [παριστάνει με τα χέρια του, υποδεικνύοντας ένα μεγάλο αντικείμενο] όχι μόνο ένα κομμάτι. [ σηκώνει το δάχτυλο]

Δασκάλα : Λοιπόν, πόσα μπορούμε να γεμίσουμε ;

Γιάννης : Όλο τον κύκλο.

Σε αυτό το παράδειγμα, οι παρατηρήσεις της Άννας και του Μάρκου παρέχουν μια ευκαιρία στη δασκάλα να προσδιορίσει την ερώτηση σε ένα περιεχόμενο που μπορεί να είναι περισσότερο οικείο γι’ αυτόν. Ο Γιάννης μετά είναι ικανός να κατανοήσει το πρόβλημα και να παρέχει μια λύση. Ο δάσκαλος μεθοδεύοντας τη συζήτηση, θα φέρει τα παιδιά μπροστά σε προβληματικές καταστάσεις, που και τη λογική και κριτική σκέψη να ενεργοποιούν αλλά και τη μετάδοση λογικών και τεχνικών μεθόδων αντιμετωπίσεώς τους να επιτρέπουν. Θα κάνει ακόμη ερωτήσεις που, πέρα από οποιαδήποτε κριτική αντιμετώπιση ή λογική επεξεργασία των εμπειρικά αποκτημένων γνώσεων, θα δίνουν στα παιδιά τη δυνατότητα να εμβαθύνουν περισσότερο, να συμπληρώσουν και να γενικεύσουν τις γνώσεις τους, ενώ παράλληλα μερικές από τις ερωτήσεις αυτές θα μπορούν να επιδέχονται περισσότερες από μια απαντήσεις.

Έτσι θα δίνεται η ευκαιρία στα παιδιά που, ας πούμε, “μαθαίνουν αργά”, να παίρνουν ενεργό μέρος στην όλη δουλειά που γίνεται μέσα στην τάξη και έτσι να οικοδομούν αρμονικά και χωρίς συμπλέγματα την “αναπτυσσόμενη” προσωπικότητά τους (Βιτζηλαίος, 1979).

Αυτή η διαδικασία ανάπτυξης μαθηματικής γνώσης μέσω εικασίας και αναίρεσης είναι έντονα συμβατή με την ιστορική ανακατασκευή της ανάπτυξης του θεωρήματος του Euler από τον Lakatos (1976). Το επεισόδιο απεικονίζει τη μαθηματική διανόηση της δραστηριότητας των παιδιών όταν συγκριθεί με την παραδοσιακή διδασκαλία, στην οποία οι μαθητές μερικώς διαμελίζουν και επισκιάζουν σε σελίδες κύκλους και τετράγωνα.

Συνεργασία Μικρών Ομάδων σαν Δυνατότητες Εκμάθησης

Η επίλυση προβλημάτων από μικρές ομάδες χρησιμοποιήθηκε σαν κύρια εκπαιδευτική στρατηγική για να δημιουργήσει καταστάσεις που τα παιδιά βρίσκουν προβληματικές, και έτσι να αποτελέσει ευκαιρία εκμάθησης για αυτά. Οι καταστάσεις που βρίσκουν τα παιδιά προβληματικές έχουν μια ποικιλία μορφών : (α) να ξεπεραστούν τα εμπόδια και οι αντιλογίες που εγείρονται όταν προσπαθούν να βγάλουν νόημα από μια κατάσταση σε όρους των τωρινών τους αντιλήψεων και διαδικασιών, (β) να εξηγήσουν ένα αναπάντεχο αποτέλεσμα, (γ) να εκφράσουν με λόγια τη μαθηματική τους σκέψη, (δ) να εξηγήσουν ή να δικαιολογήσουν μία λύση, (ε) να επιλύσουν αντικρουόμενα σημεία, ή (στ) να αναπτύξουν ένα πλαίσιο εργασίας που συμβιβάζει εναλλακτικές μεθόδους λύσεων και να μορφοποιούν μια εξήγηση για να διαλευκάνουν την προσπάθεια λύσης ενός άλλου παιδιού.

Όπως φαίνεται από αυτά τα παραδείγματα, γνήσια μαθηματικά προβλήματα μπορούν να ανατείλουν στην πορεία κοινωνικής αλληλεπίδρασης καθώς και από τις ατομικές προσπάθειες ενός παιδιού να ολοκληρώσει την εκπαιδευτική δραστηριότητα. Όπως οι Barnes και Todd (1977) κάνουν ξεκάθαρο, η αντιληπτική αξία της συνεργασίας απέχει από το να επιλύσουμε αντιλογίες αντίληψης, που μπορούν να υπάρχουν όταν συνάδελφοι δουλεύουν για να επιτύχουν ομοφωνία που να περικλείει την ανάπτυξη του κοινώς αποδεκτού νοήματος. Αυτές οι ευκαιρίες εκμάθησης ανατέλλουν φυσικά στην πορεία του διαλόγου που χαρακτηρίζεται από μία γνήσια δέσμευση για επικοινωνία ( Rommetvit,1985 ).Κατά συνέπεια, η χρήση μικρών ομάδων επίλυσης προβλημάτων σαν κύρια στρατηγική καθοδήγησης ήταν μια εσκεμμένη προσπάθεια να διευκολυνθεί η εμφάνιση καταστάσεων που τα παιδιά θα μπορούσαν να βρούνε προβληματικές, και έτσι να αποτελέσουν ευκαιρίες εκμάθησης γι’ αυτά. “Η συνεργασία των παιδιών ανάμεσά τους παρουσιάζει τόση μεγάλη σπουδαιότητα όση και η επέμβαση των ενήλικων. Από τη νοητική άποψη η συνεργασία είναι η πιο αρμόδια να ευνοήσει την πραγματική ανταλλαγή της σκέψης και της συζήτησης. Είναι ακόμη επιδεκτική να διαπαιδαγωγήσει το κριτικό πνεύμα, την αντικειμενικότητα και τη συμπερασματική σκέψη, (σελ. 263)”.

Όσο τα παιδιά ανταλλάζουν προσωπικές γνώμες αναπτύσσονται η λογική τους και η ικανότητά τους για συνεργασία. Όταν είναι μόνα δε χρειάζεται να συμμορφωθούν με τις απαιτήσεις των άλλων. Μπορούν απλώς να ακολουθήσουν τη φαντασία τους μένοντας συγκεντρωμένα σ’ αυτό που θέλουν να πραγματοποιήσουν. Αντίθετα, όταν είναι μ’ άλλα παιδιά, αισθάνονται την ανάγκη να επικοινωνήσουν. Έτσι έχουν την ευκαιρία “να αναγγείλουν” ότι θα κάνουν ή ότι θέλουν οι άλλοι να κάνουν (πρόβλεψη) και να εξηγήσουν με τρόπο κατανοητό αυτό που έκαναν (ανακεφαλαίωση). Οι σχέσεις ανάμεσα σε όμοιους παίζουν μεγάλο ρόλο στη θεωρία του Piaget γιατί διευκολύνουν την ανάπτυξη του παιδιού (Kamii & Rheta, 1979).

Όπως αναφέραμε προηγουμένως, δασκάλα και μαθητές αμοιβαία δημιούργησαν υποχρεώσεις και προσδοκίες που διαμόρφωσαν το εσωτερικό δεσμευτικό δίκτυο κοινωνικών κανόνων, κρίσιμων για την επιτυχία των συζητήσεων της τάξης. Στην πορεία αυτών των συζητήσεων, η δασκάλα επίσης εισήγαγε και καθοδήγησε τους απαραίτητους κανόνες για την ομαλή λειτουργία των ζευγαριών. Αυτοί περιελάμβαναν : οι μαθητές συνεργάζονται για να λύσουν προβλήματα, η λογική δραστηριότητα βαθμολογείται περισσότερο από τις σωστές απαντήσεις, η επιμονή σε ένα προσωπικά διεγερτικό πρόβλημα είναι πιο σημαντική από την ολοκλήρωση ενός μεγάλου αριθμού δραστηριοτήτων, και οι συνεργάτες πρέπει να φτάνουν σε ομοφωνία καθώς δουλεύουν στις δραστηριότητες. Ο παιδαγωγός επωφελείται για να βοηθήσει το παιδί να συνδυάσει αντίθετες απόψεις. Όταν ένα παιδί είναι σε σύγκρουση με ένα άλλο, ο παιδαγωγός οφείλει να δοκιμάσει να διευκολύνει μια ανταλλαγή απόψεων, έτσι ώστε τα παιδιά να μπορέσουν να φτάσουν σε μια διευθέτηση της σύγκρουσής τους. Ακόμη πρέπει συνειδητά να περιορίσει την εξουσία του, προσπαθώντας να κάνει τα παιδιά να ηρεμήσουν, να αποκεντρωθούν και να βρουν μια λύση από μόνα τους (Kamii & Rheta, 1979). Επιπρόσθετα στους κανόνες για κοινωνική συνεργασία, υπάρχουν επίσης υποχρεώσεις και προσδοκίες για την ατομική δραστηριότητα των παιδιών : να βρίσκουνε λύσεις που να έχουν νόημα γι’αυτά, να εξηγούν τις μεθόδους λύσης στον συνεργάτη τους, και να προσπαθούν να βγάλουν νόημα από τις προσπάθειες επίλυσης του προβλήματος του συνεργάτη τους.

Η δασκάλα του προγράμματος χρησιμοποίησε δύο γενικές στρατηγικές καθώς εισήγαγε και διηύθυνε την αμοιβαία δημιουργία υποχρεώσεων και προσδοκιών. Πρώτα, πλαισίωσε καταστάσεις που εμφανίστηκαν τυχαία σαν πρωτότυπες ή παραδειγματικές περιπτώσεις. Σαν παράδειγμα, στο επόμενο επεισόδιο, στο οποίο, τρία παιδιά δούλεψαν μαζί για πρώτη φορά, η δασκάλα παρατήρησε ότι ένα παιδί συμπλήρωνε όλες τις δραστηριότητες και τα άλλα δύο δεν καταλάβαιναν τις λύσεις του και απέτυχαν να αναπτύξουν δικές τους λύσεις. Τους υπενθύμισε ότι περίμενε να δουλέψουν μαζί για να συμπληρώσουν τις εργασίες.

Γιάννης : Ο Aδάμ συνέχιζε να γράφει τις απαντήσεις.

Δασκάλα : Είναι δικό σας θέμα να τον σταματήσετε και να πείτε, δεν καταλαβαίνω αυτό. Ο Αδάμ θα έχει πρόβλημα αν εσείς οι δύο δεν μπορείτε να μου δώσετε την απάντηση γιατί θα ξέρω ότι εκείνος έκανε όλη τη δουλειά και δεν σας άφησε να απολαύσετε την προσπάθεια. Εντάξει. Ελέγξτέ τα ξανά τώρα και σιγουρευτείτε ότι όλοι μπορείτε να απαντήσετε.

Καθώς ο χρόνος για την μικρή ομάδα συνεχίστηκε, τα παιδιά ξαναδούλεψαν τις δραστηριότητες σαν ομάδα. Στην αρχή της επόμενης συζήτησης, των λύσεων των παιδιών του συνόλου της τάξης η δασκάλα ζήτησε:

Δασκάλα : Θα ήθελα ο Γιάννης, η Τζένη και ο Αδάμ να εξηγήσουν τι συνέβη στην ομάδα σας σήμερα.

Αδάμ : Λοιπόν, προχώρησα μπροστά και έκανα σχεδόν όλα τα προβλήματα και ξέχασα να τους πω, πώς πήρα τις απαντήσεις. Είχα κάνει μιάμιση σελίδα και τότε η κυρία Μ. [η δασκάλα] ήρθε και μας ρώτησε αν τους έλεγα πώς κατέληγα στις απαντήσεις και εγώ απάντησα όχι .

Εδώ η δασκάλα πλαισίωσε αυτή την ειδική κατάσταση που δημιουργήθηκε στην δραστηριότητα της μικρής ομάδας σαν περιεχόμενο για συζήτηση σχετικά με τις υποχρεώσεις. Κάνοντας έτσι, προσπάθησε να μεταφέρει στην τάξη με συγκεκριμένους όρους το τι περίμενε από αυτούς καθώς δούλευαν μαζί σε ομάδες. Καθώς αυτό το παράδειγμα παρουσιάζει μια περίπτωση όπου τα παιδιά καταπάτησαν τις υποχρεώσεις που η δασκάλα τους ήθελε να δεχτούν, θα πούμε ότι επίσης πλαισίωσε περιπτώσεις όπου τα παιδιά ενήργησαν σύμφωνα με τους κανόνες της τάξης σαν παραδειγματικές περιπτώσεις (Cobb et al., 1989).

Δεύτερον, η δασκάλα ξεκίνησε μια συζήτηση στην τάξη για τις υποχρεώσεις των παιδιών πριν αυτά να δουλέψουν μαζί. Από την αρχή του έτους, η δασκάλα έδινε έμφαση στο ότι όταν ήταν απαραίτητο, έπρεπε να βοηθούν ο ένας τον άλλο να καταλάβουν πώς ολοκλήρωσαν μια εργασία και να προσπαθήσουν να καταλήξουν σε ομοφωνία μέσα στην ομάδα.

Οι προσπάθειες της δασκάλας να θέσει τα παιδιά κάτω από την υποχρέωση να σκεφτούν πράγματα για τον εαυτό τους και να εξηγήσουν τις δικές τους μεθόδους επίλυσης στους συνεργάτες τους δημιούργησε ένταση κατά καιρούς όταν ένας από τους συνεργάτες προσπάθησε να ενεργήσει σύμφωνα με μια υποχρέωση αλλά όχι ο άλλος. Για παράδειγμα, αν ένα παιδί προσπάθησε να σκεφτεί κάτι για τον εαυτό του ενώ ο συνεργάτης του ταυτόχρονα εξήγησε τη δική του μέθοδο λύσης, ήταν αδύνατο για τον πρώτο να ανταποκριθεί στην υποχρέωση του. Ως εκ τούτου, η δασκάλα έπρεπε να ξεκινήσει την επαναδιαπραγμάτευση για τα παιδιά. Για παράδειγμα, η δασκάλα θα μπορούσε να πει “Ένα λεπτό. Αφήστε τον να σκεφτεί για τον εαυτό του πρώτα. Μετά μπορείτε να εξηγήσετε τη μέθοδό σας.”

Ένα από τα πλεονεκτήματα της εγκαθίδρυσης κοινωνικών κανόνων στην προσέγγισή μας στην εκμάθηση συνεργασίας είναι ότι καλλιεργείται η ανάπτυξη των παιδιών αυτό που η Kamiι (1985), και ακολούθως οι Kant και Piaget ονόμασαν αυτονομία. Τα παιδιά στην τάξη του πειράματος ανέπτυξαν και κοινωνική αυτονομία, έχοντας την υπευθυνότητα ως οδηγό τους και διανοητική αυτονομία, αναλαμβάνοντας την ευθύνη για την προσωπική τους εκμάθηση (Cobb et al., 1989). Η πίεση των ενήλικων είναι, για ένα διάστημα αναγκαία για την ηθική εξέλιξη του παιδιού (Piaget 1932, σελ. 255), εμποδίζει όμως την ανάπτυξη της αυτονομίας του. Αυτό δε σημαίνει πως πρέπει να αφήσουμε στο παιδί πλήρη ελευθερία. Είναι πολλές οι καταστάσεις, που οι ενήλικοι ενδείκνυται να είναι πιεστικοί απλώς γιατί είναι υπεύθυνοι για την ευημερία των παιδιών και γιατί γνωρίζουν περισσότερα σχετικά με την υγεία και την ασφάλειά τους.

Ακόμη – και εδώ ξεφεύγουμε από τη θεωρία του Piaget - τα μικρά παιδιά αισθάνονται ανασφαλή, όταν πρέπει να αποφασίσουν για όλα μόνα τους. Το παιδί πρέπει να έχει ένα σταθερό φυσικό και ψυχολογικό περιβάλλον, για να αντιμετωπίσει την πραγματικότητα. Να αισθάνεται τον ενήλικο πρόθυμο να το βοηθήσει, να το προστατέψει (Kamii & Rheta, 1979). Κατά συνέπεια, η δασκάλα ελευθερώθηκε από το χώρο της συνεχούς ώθησης και επίβλεψης της δραστηριότητας των παιδιών, και μπορούσε να δώσει όλη της την προσοχή στο να παρατηρεί και να αλληλεπιδρά με τα παιδιά καθώς έλυναν τα μαθηματικά τους σε μικρά γκρουπ.

Επιπλέον των γενικών κανόνων που συζητήθηκαν μέχρι εδώ, τα παιδιά διαπραγματεύτηκαν τις υποχρεώσεις και τα αναμενόμενα αποτελέσματα μέσα στις ομάδες τους καθώς προσπάθησαν να αναπτύξουν μια συνεργατική σχέση εργασίας. Με άλλα λόγια, έπρεπε αμοιβαία να σκεφτούν έναν τρόπο να ανταποκριθούν στις γενικές τους υποχρεώσεις μέσα στο πλαίσιο των συνεχών τους αλληλεπιδράσεων. Η δασκάλα μερικές φορές βρήκε απαραίτητο να βοηθήσει τα παιδιά να διευκρινίσουν τις υποχρεώσεις τους το ένα προς το άλλο και τις προσδοκίες τους, του ενός από τον άλλο μέσα στη μοναδική συνάφεια της αλληλεπίδρασης τους (Wood, &Yackel,1990). Η εγκαθίδρυση αυτών των κανόνων κοινωνικής συνεργασίας επέτρεψε την ανάπτυξη μαθηματικών κανόνων για ατομική εργασία. Αυτά τα παιδιά βρήκαν λύσεις που είχαν νόημα γι’ αυτά, εξήγησαν τις δικές τους μεθόδους λύσης στο συνεργάτη τους, και έβγαλαν νόημα από τις προσπάθειες επίλυσης του προβλήματος του συνεργάτη τους.

Ο κεντρικός ρόλος που παίχτηκε από τη συζήτηση στην ομάδα εργασίας επεξεργάστηκε από τους Barnes και Todd (1977). Όταν τα παιδιά δεσμεύονται στο να συνεργάζονται, τότε προσπαθούν να βγάλει νόημα ο ένας από τις ερμηνείες της κατάστασης του άλλου και αναγκάζονται σε αμοιβαία υποστηρικτή εργασία. Το λεξιλόγιο μπορεί να βοηθήσει τα παιδιά να ξεκαθαρίσουν αυτό που κατανοούν μιλώντας (Levina,1988), και επαναντιλαμβάνοντας τις ίδιες τις κατασκευές της αντίληψης τους καθώς προσπαθούν να καταλάβουν τις εξηγήσεις του συνεργάτη τους. Ο διάλογος, ο οποίος είναι συνεργατικός στη φύση του, λαμβάνει χώρα όταν τα παιδιά υποχρεώνονται όχι μόνο να εξηγούν και να δικαιολογούν τις μεθόδους τους στον συνεργάτη τους, αλλά επίσης να ακούν την εξήγηση του και να προσπαθούν να αναπτύξουν ένα πλαίσιο εργασίας στο οποίο και οι δικές τους δημιουργίες και οι εξηγήσεις του συνεργάτη τους βγάζουν νόημα. Η συνεργατική φύση παρέχει ευκαιρίες για τα παιδιά να δεσμευτούν στη διαπραγμάτευση του νοήματος για το σκοπό της ανάπτυξης μιας κοινώς αποδεκτής κατανόησης που είναι πιο φιλοσοφημένη από αυτή των αρχικών τους ατομικών λύσεων (Voigt,1985).

ΕΠΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

Ευκαιρίες για τους Δασκάλους να Μάθουν

Όπως έγινε αντιληπτό αρχικά, η έρευνά μας ήταν να αναλύσουμε την εκμάθηση των μαθηματικών στα μικρά παιδιά μιας τάξης. Η αρχική μας πρόθεση ήταν να επεκτείνουμε τη μεθοδολογία ενός εποικοδομητικού πειράματος διδασκαλίας (Cobb & Steffe, 1983, Steffe, 1983) στο δημοτικό σχολείο διεξάγοντας ένα πείραμα διδασκαλίας στην τάξη. Είχαμε σχεδιάσει να αναλύσουμε την ατομική κατασκευή μαθηματικής γνώσης λίγων παιδιών μέσα στην κοινωνική ρύθμιση της τάξης για το σχολικό έτος. Στη διαδικασία πραγματοποίησης αυτών των αναλύσεων, διαπιστώσαμε ότι η ρύθμιση της τάξης είχε γίνει ταυτόχρονα και όχι σκόπιμα ένα μέρος όπου μάθαινε και ο δάσκαλος (Cobb et al., 1990, Wood et al., 1991).

Πριν από το πείραμα της τάξης η δασκάλα δίδασκε μαθηματικά ακολουθώντας πιστά το εγχειρίδιο διδασκαλίας. Ένα τυπικό μάθημα αποτελείτο είτε από επανάληψη είτε από παράδοση μιας νέας μεθοδολογίας που οι μαθητές έπρεπε να χρησιμοποιήσουν. Θα βοηθούσε τότε στα προβλήματα του βιβλίου και θα κατηύθυνε τα παιδιά μέχρι να δουλεύουν ήσυχα. Καθώς η δασκάλα χρησιμοποίησε το σχέδιο εκπαιδευτικών εργασιών στη τάξη της και αλληλεπιδρούσε με τους μαθητές της, τα πιστεύω της σχετικά με το ρόλο της, τους ρόλους των μαθητών και την φύση της μαθηματικής εργασίας άλλαξαν σημαντικά (Wood, Cobb, & Yackel,1990).

Οι αλλαγές που έγιναν στις απόψεις της δασκάλας σχετικά με τη διδασκαλία των μαθηματικών, έλαβαν χώρα καθώς έλυνε διαφορές που δημιουργήθηκε ανάμεσα στους καθιερωμένους της τρόπους πρακτικής και στην έμφαση του σχεδίου στην κατασκευή από τα παιδιά μαθηματικών νοημάτων. Η διαδικασία με την οποία επαναοργάνωσε την πρακτική της αντικατοπτρίστηκε στις αυξανόμενα διανοητικά μορφές αλληλεπίδρασης που αναπτύχθηκαν κατά τις συζητήσεις της τάξης στην πορεία του σχολικού έτους. Το αποτέλεσμα αυτό, όπως φαίνεται και στη σχηματική παράσταση του φαινομένου της διδασκαλίας, θα εξαρτηθεί πάνω απ’ όλα από τον τρόπο που ο συγκεκριμένος δάσκαλος θα παρουσιάσει το διδασκόμενο αντικείμενο. Ο τρόπος, όμως, αυτός ούτε από την αρχή μπορεί να καθοριστεί ούτε και μεταδόσιμος είναι, μια και κάθε φορά είναι συνάρτηση, από το ένα μέρος μεν των ιδιαίτερων χαρακτηριστικών της προσωπικότητας του συγκεκριμένου παιδιού – όπως είναι π.χ. ο ιδιαίτερος τρόπος με τον οποίο μπορεί να αντιλαμβάνεται, να προσέχει, να διορθώνεται, ο ρυθμός που εργάζεται, το πνευματικό του υπόβαθρο, η διανοητική του στάθμη κτλ – από το άλλο δε, της πείρας του δασκάλου, των γνώσεων, του ενδιαφέροντος για το παιδί και γενικά της ιδιαίτερης προσωπικότητάς του (Βιτζηλαίος, 1979).

κινητοποίηση

ιδιότυπη σκέψη

Μέθοδος

γνώσεις διδασκαλίας

ιδιαίτερη διανοητική και

συναισθηματική δομή

πείρα

ενδιαφέροντα

Καθώς εισήγαγε τις στρατηγικές εργασίας σε μικρές ομάδες και συζήτησης όλης της τάξης, άρχισε να διαπιστώνει ασυνέχειες και αντιπαραθέσεις με τους προηγούμενους τρόπους διδασκαλίας της. Οι άμεσες ανησυχίες της ήταν να βρει τρόπους να κάνει δυνατό για τα παιδιά να δουλέψουν παραγωγικά και να εκφράσουν τις σκέψεις τους στις συζητήσεις της τάξης. Με τις μικρές ομάδες ήρθε αντιμέτωπη με το πρόβλημα του να σιγουρευτεί ότι τα παιδιά θα δούλευαν συνεργατικά στην επίλυση των προβλημάτων χωρίς την στενή της επιτήρηση (Elstgeest, Harlen, & Symington,1987). Αντίστροφα, κατά τις συζητήσεις της τάξης, ήθελε τα παιδιά να εκφράσουν τις ιδέες τους στην λύση των εκπαιδευτικών εργασιών που είχαν ολοκληρώσει κατά την εργασία σε ομάδες. Συνειδητοποίησε ότι οι παιδαγωγικές δραστηριότητες ήταν αναπτυγμένες με τέτοιο τρόπο που τα παιδιά θα μπορούσαν να τις λύσουν χρησιμοποιώντας μια ποικιλία στρατηγικών λύσης. Καθώς αυτό συνέβαινε, αναγνώρισε ότι θα ήταν αδύνατο να προβλέψει τη φύση των αντιδράσεων των μαθητών της. Αυτό δημιούργησε αρκετή αβεβαιότητα και μη προβλεψιμότητα σε μια κατάσταση όπου παραδοσιακά εκείνη είχε την εξουσία και ήταν η μόνη πηγή πληροφόρησης (Gunstone & Northfield, 1988).

Κατά συνέπεια, η μεγαλύτερή της ανησυχία ήταν να προωθήσει και να καθοδηγήσει την αμοιβαία δημιουργία των κανόνων της τάξης που συζητήσαμε νωρίτερα σε αυτό το κεφάλαιο. Σε αυτή την τάξη, έγινε κατανοητό ότι αν η δασκάλα είχε προσδοκίες από τα παιδιά, τότε έπρεπε να δεχτεί υποχρεώσεις και για τον εαυτό της. Αν οι μαθητές επρόκειτο να δεχτούν την υποχρέωση να εκφράσουν τις λύσεις τους, περίμεναν από τη δασκάλα να σεβαστεί την σκέψη τους και να δεχτεί τις ιδέες τους. Αυτό υποχρέωσε τη δασκάλα να μην αξιολογεί τις λύσεις τους ή να τους επιβάλει τους τρόπους της να λύσουν τα μαθηματικά.

Καθώς συνέχισε να ακούει τις εξηγήσεις τους και ζητούσε τις ιδέες τους, συνέχισε να εκπλήσσεται από την κατανόηση που τα παιδιά της δευτέρας τάξης είχαν για τα μαθηματικά. Ανακάλυψε ότι η σκέψη τους ήταν πολύ περισσότερο φιλοσοφημένη από ότι είχε υποθέσει πρωτύτερα, και ότι πολλά από τα πράγματα που γνώριζαν δεν είχαν ακόμα διδαχτεί στο σχολείο. Σχολίασε, “ Διδάσκω όλα αυτά τα χρόνια [15 χρόνια], και δεν ήξερα ότι τα παιδιά της δευτέρας τάξης γνώριζαν τόσα για τα μαθηματικά !”. Το να ακούει τις ιδέες τους παρείχε δυνατότητες σε αυτήν να μάθει για την κατανόηση των μαθηματικών από τους μαθητές της, που δεν ήταν διαθέσιμα στην προηγούμενη παιδαγωγική της πρακτική. Οι απρόβλεπτες απαντήσεις των παιδιών ήταν προκλητικές για τη δασκάλα και τόνισαν περαιτέρω την αξία της προσεκτικής ακρόασης των παιδιών καθώς μιλούσαν για τα μαθηματικά και τη διαπίστωση ότι έχουν δικό τους τρόπο για να γνωρίζουν τα πράγματα. Αυτό, με την σειρά του, διευκόλυνε την ανάπτυξη συζητήσεων στις οποίες τα παιδιά πραγματικά μίλησαν για τα μαθηματικά τους.

Στο πλαίσιο της πρακτικής της, η δασκάλα είχε μάθει να διαθέτει τη δική της ενήλικη γνώση για τα μαθηματικά και να διαπιστώνει ότι τα παιδιά έχουν δικούς τους τρόπους σκέψης για τα μαθηματικά. Το ανακάλυψε αυτό ολοκληρώνοντας την υποχρέωσή της να ακούει τις ιδέες των μαθητών της και να σέβεται τη μαθηματική τους σκέψη. Σε αντάλλαγμα, τα παιδιά συζήτησαν τους δικούς τους τρόπους κατανόησης που ήταν πιο πολύπλοκοι από ότι η δασκάλα είχε προβλέψει. Η πρώτη της επαναθεώρηση ήταν να αναγνωρίσει ότι ο ρόλος της δεν ήταν πια η μόνη πηγή της γνώσης, αλλά το να διευκολύνει τη δημιουργία του μαθηματικού νοήματος από τους μαθητές της. Κάτι ανάλογο παρουσιάστηκε στη διεθνή συνδιάσκεψη για τη δημόσια εκπαίδευση, στη σύνοδό της του 1956, η οποία περιέλαβε στην υπ’ αριθμό 43 εγκύκλιό της τα ακόλουθα :

(α) Έχει σημασία να πείθουμε το μαθητή να διαμορφώνει τις έννοιες και να ανακαλύπτει ο ίδιος τις μαθηματικές σχέσεις και ιδιότητες, παρά να του επιβάλλουμε μια έτοιμη ενήλικη σκέψη.

(β) Είναι απαραίτητο : i) να βοηθήσουμε το μαθητή να αποκτήσει πρώτα την εμπειρία των μαθηματικών στοιχείων και σχέσεων και μετά να τον εισάγουμε στον επαγωγικό συλλογισμό, ii) να διευρύνουμε προοδευτικά την επαγωγική συγκρότηση των μαθηματικών και iii) να μάθουμε στο παιδί να θέτει τα προβλήματα, να διερευνά τα δεδομένα, να τα χρησιμοποιεί και να σταθμίζει τα αποτελέσματα (Piaget, 1979).

Διδάσκοντας με Διαπραγμάτευση σαν μια Δυνατότητα Εκμάθησης

Καθώς οι κοινωνικοί κανόνες για τη συζήτηση στην τάξη καθιερώθηκαν, η δασκάλα πήρε σοβαρά υπόψη τις ανταποκρίσεις των παιδιών στις εργασίες. Η πρόθεσή της ήταν να ενθαρρύνει την έκφραση των ιδεών των παιδιών, και από εκεί συνειδητοποίησε ότι ο στόχος διδασκαλίας της αναγκαστικά θα άλλαζε. Επειδή η πρόθεσή της ήταν να ενθαρρύνει τα παιδιά να χρησιμοποιήσουν δικές τους διαδικασίες για να λύσουν προβλήματα, κατάλαβε πως δεν ήταν από εδώ και στο εξής υπεύθυνη στο να παρέχει μια επίσημη λύση. Παρόλα αυτά, ακούγοντας τους μαθητές της, οι τρόποι τους να λύνουν προβλήματα δε γίνονταν πάντα αντιληπτοί από αυτήν και συχνά έδιναν λανθασμένες απαντήσεις. Επειδή είχε μάθει πως οι μέθοδοι των παιδιών είχαν νόημα για αυτά, απαντούσε με έναν τρόπο που δεν έδινε αξία. Θα προσπαθούσε να καταλάβει τις εξηγήσεις τους παραφράζοντας λύσεις μαθητών ζητώντας διευκρινιστικές ερωτήσεις. Κάνοντας αυτό, έδειχνε στα παιδιά ότι οι τρόποι που λύνουν τα προβλήματα ήταν πιο σημαντικοί, παρά οι απαντήσεις τους. Παρόλα αυτά, αποδεχόμενη τις λάθος απαντήσεις των μαθητών της ανεπιφύλακτα δημιούργησε μια αντιλογία με τις πεποιθήσεις της γύρω από τη φύση των μαθηματικών και το ρόλο της σαν δασκάλα. Πίστευε πως ήταν ευθύνη της να διορθώνει και να εξαλείφει τα λάθη των μαθητών παρεμβάλλοντας και παρέχοντας στους μαθητές τη σωστή απάντηση (Labinowitcz, 1987). Σε ένα εβδομαδιαίο πρόγραμμα συναντήσεων, εξέφρασε τις ανησυχίες της γύρω από το να γράφεις στον μαθητή “λάθος απαντήσεις” και “αφήνοντάς τους”.

Οι αρχικές προσπάθειες να επιλύσει αυτή τη διένεξη χαρακτηρίζονται από το ακόλουθο επεισόδιο που έγινε νωρίς στη χρονιά. Η διδακτική δραστηριότητα που συζητιόταν περιλαμβάνει μια σειρά αριθμητικών προτάσεων που δημιουργήθηκαν ώστε να παρέχουν την ευκαιρία στους μαθητές να αναπτύξουν στρατηγικές σκέψης καθώς μαθαίνουν τα βασικά δεδομένα της πρόσθεσης. Η δασκάλα είχε καλέσει το Δημήτρη για τη λύση του στο πρόβλημα 9+7=_ .

Δημήτρης : 14.

Δασκάλα : 7 συν 7 ίσον 14. 8 συν 7 είναι μόνο προσθέτοντας 1 ακόμα στο 14 το

οποίο κάνει _;

Δημήτρης : 15.

Δασκάλα : Και το 9 είναι ένα παραπάνω από το 8. Άρα 15 συν ένα ακόμα είναι _;

Δημήτρης 16.

Δασκάλα : Άρα 9 συν 7 είναι _ ; 16.

Η δασκάλα προσπάθησε να επιλύσει την αντίθεσή της με το να αποδεχτεί και να χρησιμοποιήσει τη λάθος απάντηση του Δημήτρη σαν σημείο εκκίνησης για να τον οδηγήσει μέσω μιας σειράς σαφών απαντήσεων στη σωστή απάντηση. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, ήταν ικανοποιημένη που είχε βοηθήσει το Δημήτρη να “δει την απάντηση”. Ο Δημήτρης είχε απλά ερμηνεύσει το ζητούμενο ακολουθώντας τη διαδικασία που η δασκάλα ζήτησε, η οποία ήταν να προσθέσει ένα στον αριθμό που είχε προδιαγράψει. Το υπόδειγμα αυτό αλληλεπίδρασης ανάμεσα στη δασκάλα και το μαθητή αναφέρεται σαν το υπόδειγμα funnel (Bauersfeld, 1980), στο οποίο ο στόχος του δασκάλου είναι να βοηθήσει το μαθητή να “ανακαλύψει” τη σωστή απάντηση.

Συλλογιζόμενη τη διαδικασία αυτή αργότερα, η δασκάλα κατάλαβε ότι οι προσπάθειές της να οδηγήσει την ομιλία με αυτόν τον τρόπο ήταν ακόμα ένας τρόπος να εξασφαλίσει το ότι οι μαθητές πήραν τη σωστή απάντηση, ανεξάρτητα με το αν κατάλαβαν το πώς. Αναφερόταν σε αυτό σαν ομιλία όχι διδαχή. Αλλά αν το να κατευθύνει μαθητές στην απάντηση δεν ήταν κατάλληλο, δεν ήταν αναμφίβολα ούτε το να αποδέχεται όλες τις απαντήσεις. Ο ρόλος της σαν δασκάλα δεν ήταν να επιτρέπει στα παιδιά να αναζητούν τα ενδιαφέροντά τους ακαθοδήγητα. Σαν δασκάλα, ήταν πάντα η αρχή στη τάξη, και ο ρόλος της ήταν να οδηγεί τις μαθηματικές εμπειρίες των παιδιών. Η δασκάλα σε μια συζήτηση με τα παιδιά θα προβάλει και θα τονίσει τις νέες μαθηματικές έννοιες, ενώ παράλληλα θα τα βοηθήσει να κατανοήσουν την ουσία των διαφόρων μαθηματικών σχέσεων, τις οποίες εμπειρικά μόνο μέσα από συγκεκριμένες δραστηριότητες διαπίστωσαν ή ανακάλυψαν.

Με τον τρόπο αυτό θα δημιουργήσει τις βάσεις και τις προϋποθέσεις για μια πραγματική οικειοποίηση, αφού για την εδραίωση και κατάκτηση της μαθηματικής γνώσεως δεν αρκούν, βέβαια, εμπειρικές μόνο διαπιστώσεις, αλλά είναι απαραίτητη η διαμόρφωση ορθών εννοιών, η πραγματοποίηση κρίσεων, συλλογισμών και γενικεύσεων, καθώς και η συμπερασματική διαπίστωση και διατύπωση νόμων και κανόνων, που διέπουν μια εμπειρικά και λογικά διαπιστωμένη πραγματικότητα.

Η συζήτηση δηλαδή αυτή από το ένα μέρος αποσκοπεί στη σταθεροποίηση και επέκταση της μαθηματικής γνώσεως με την εδραίωση της νέας πάνω στην παλιά, από το άλλο δε συντελεί στην προβολή της καθαρότητας και συνέπειας της μαθηματικής σκέψεως με τη διασάφηση των νέων μαθηματικών εννοιών και το συσχετισμό τους με αυτές που ήδη είναι γνωστές στα παιδιά (Βιτζηλαίος, 1979).

Καθώς ο δάσκαλος του προγράμματος ξεκινά να αναλύει την αντίθεσή της στο να αποδέχεται τις λάθος απαντήσεις των παιδιών, αυτή ανακάλυψε πως επιτρέποντας στα παιδιά να εκφράσουν λάθος απαντήσεις οδήγησε σε πιο εποικοδομητικές συζητήσεις καθώς οι μαθητές εξηγούσαν και δικαιολογούσαν τις απαντήσεις τους. Ακούγοντας τις εξηγήσεις τους, άρχισε να καταλαβαίνει τον εποικοδομητικό ρόλο που τα λάθη των μαθητών έπαιζαν σαν βασικά βήματα στην αναδιοργάνωση των υπαρχόντων μαθηματικών ιδεών σε πιο σύνθετα επίπεδα συνειδητοποίησης (Labinowicz, 1987, Steffe et al., 1988).

Στο γενικό πλαίσιο της εμπειρίας της, η δασκάλα έμαθε να αφήνει τους μαθητές να παλεύουν να διαλύσουν τις αντιδικίες ή τα μπερδέματα της σκέψης τους. Ανακάλυψε ότι το να επιβάλει τη δική της ενήλικη άποψη κατέληγε σε μαθητές που συμμετείχαν σε μια ανταλλαγή στην οποία ο στόχος τους ήταν να προσδιορίσουν τη μέθοδο που εκείνη ήθελε να δουν, παρά το να σκέφτονται σχετικά με τα μαθηματικά (Bauersfeld, 1988, Voigt, 1985). Όταν κατεύθυνε τις απαντήσεις τους οδηγώντας τους μέσα στη λύση βήμα-βήμα διαπίστωσε ότι είχε πάρει το συλλογισμό για την εργασία μακριά από τα παιδιά. Σε ανταπόκριση, σταμάτησαν να ακούν και να δίνουν προσοχή (Jackson, 1968). Άρχισε να καταλαβαίνει ότι τα παιδιά χρειάζονταν να βγάλουν νόημα από μια κατάσταση σε όρους της δικής τους υπάρχουσας γνώσης και σε ένα διακανονισμό στον οποίο ενθαρρύνονταν να δεσμευτούν στην αξιολόγηση των δικών τους λαθών, καθώς και των άλλων, με σκοπό να τροποποιήσουν την υπάρχουσα γνώση τους. Η δεύτερη της επαναθεώρηση ήταν να καταλάβει ότι ο ρόλος της σαν δασκάλα ήταν να δημιουργεί συνθήκες στις οποίες η επίλυση αντιλογιών, η διαπραγμάτευση του νοήματος και η λήψη αμοιβαίας προοπτικής ήταν οι μορφές συμπεριφοράς.

Η Διαπραγμάτευση των Μαθηματικών Νοημάτων σαν Ευκαιρία Εκμάθησης

Αφού έγινε κύρια πρόθεση της να διευκολύνει την κατασκευή από τους μαθητές μαθηματικού νοήματος, μια διαμάχη υψώθηκε για αυτήν στην πορεία των αλληλεπιδράσεων του συνόλου της τάξης. Είχε μάθει στις συζητήσεις της τάξης ότι το να επιβάλει τις μεθόδους της και να διευθύνει τα παιδιά μέσα από τις διαδικασίες δεν απέδιδε. Παρόλα αυτά, οι εξηγήσεις τους ήταν συχνά μη αποδεκτές στις εκπαιδευτικές μαθηματικές πρακτικές της ευρύτερης κοινότητας. Ένα δίλημμα φάνηκε στην δασκάλα ανάμεσα στο να επιτρέψει στα παιδιά να ακολουθήσουν τις προσωπικές τους μαθηματικές κατασκευές και στο να διευκολύνει την κατασκευή νοημάτων και διαδικασιών συμβατών με αυτές της ευρύτερης κοινωνίας. Ο ερευνητής δεν μπορεί παρά να χρησιμοποιήσει τη φαντασία του και να προσπαθήσει να συλλάβει ένα λογικό μονοπάτι που ίσως συνδέσει τέτοιες εκδηλώσεις της παιδικής λειτουργίας με βήματα που πιθανόν μπορούν να οδηγήσουν σε μια απάντηση στη δοσμένη ερώτηση. Δηλαδή, ανεξάρτητα από το πώς οι ερευνητές προσπαθούν σκληρά να προσαρμόσουν τις αναλύσεις τους στους ξενόφερτους τρόπους ενός παιδιού το μοντέλο που χτίζουν θα είναι πάντα ένα μοντέλο κατασκευασμένο από ιδέες, οι οποίες είναι απαραίτητες στους ερευνητές. Επειδή ο παιδικός τρόπος σκέψης δεν είναι ποτέ ευθέως αποδεκτός, το μοντέλο των ερευνητών δεν μπορεί να συγκριθεί με αυτόν με σκοπό να αποφασίσει αν υπάρχει ή όχι ένα τέλειο ταίριασμα (Von Glasersfeld, 1983). Με σκοπό η δασκάλα να ολοκληρώσει τις υποχρεώσεις της μέσα στο σχολείο σαν ένα κοινωνικό ίδρυμα, έπρεπε να οδηγήσει την ανάπτυξη ομοφώνων ερμηνειών που ταιριάζουν με αυτές των μελών της ευρείας κοινωνίας (Balacheff, 1990, Bauersfeld, 1988). Είναι αυτό το ταίριασμα ανάμεσα στην προσωπική δημιουργία που κάνει δυνατή τη μαθηματική επικοινωνία και την υποκειμενική εμπειρία της κοινής, αντικειμενικής μαθηματικής πραγματικότητας (Peirce, 1935). Μέσα στο σχολικό έτος, η δασκάλα ανέπτυξε βαθμιαία μια μορφή πρακτικής στην οποία διαπραγματευόταν μαθηματικά νοήματα με παιδιά που ταιριάζουν με τις εκπαιδευτικές προσδοκίες της κοινωνίας. Στο τέλος του χρόνου είχε γίνει ικανή να διευκολύνει τη μαθηματική επικοινωνία ενώ απέφευγε την αβεβαιότητα της υπερκαθοδήγησης κάνοντας μια μεσολάβηση. Το έκανε αυτό ακούγοντας προσεκτικά τις εξηγήσεις των παιδιών, κάνοντας ερωτήσεις και κάνοντας προτάσεις που συνέχιζαν το διάλογο ή ζητούσαν από τα παιδιά να δώσουν πιο λεπτομερείς απαντήσεις. Η πρόκληση για το δάσκαλο του προγράμματος ήταν να βρει τρόπους να διευκολύνει και να κτίσει τις διαδικασίες των παιδιών, προωθώντας έτσι την δημιουργία αυξανόμενα ισχυρών διεργασιών αντίληψης. Παρόλα αυτά, ο ρόλος της σαν δασκάλα δεν ήταν “τα πάντα ρει” του ρομαντισμού, στον οποίο τα παιδιά αφήνονται να ακολουθήσουν τα δικά τους ενδιαφέροντα χωρίς καθοδήγηση. Άρχισε να καταλαβαίνει αυτές τις καταστάσεις όταν οι κατασκευές ενός παιδιού ήταν αναπτυσσόμενα παραγωγικές και όταν οδηγούσαν σε ένα “αδιέξοδο”, το οποίο εάν ακολουθείτο, θα περιόριζε την εκμάθηση από το μαθητή (Streefland, 1988).

Η ακόλουθη συζήτηση στην τάξη απεικονίζει τον τρόπο με τον οποίο η δασκάλα διαχειρίστηκε μη παραγωγικές κατασκευές. Η τάξη συζητούσε το ακόλουθο πρόβλημα.

Το λεωφορείο στο αεροδρόμιο έχει 8 σειρές καθισμάτων.

Υπάρχουν 4 θέσεις σε κάθε σειρά.

Αυτό το πρωί 23 άνθρωποι κάθισαν στο λεωφορείο.

Πόσες θέσεις έμειναν άδειες ;

Δασκάλα : Εντάξει. Το κάνατε με διαφορετικό τρόπο; [Κοιτάζοντας τη Σάλλη και

τον Τζάστιν που ήταν συνεργάτες]

Σάλλη : Ω-ω. Έχουμε 11.

Πέτρος : Διαφωνώ !

Δασκάλα : Κατέληξαν σε 11 θέσεις. [Γράφει 11 κάτω από μία προηγούμενα δοσμένη απάντηση 9]

Τζάστιν : Ξέραμε ότι υπήρχαν 8 σειρές καθισμάτων.

Σάλλη : [διακόπτει] Λοιπόν το πολλαπλασιάσαμε.

Τζάστιν : Έτσι σκεφτήκαμε 4 φορές το 8 και πήραμε 32.

Σάλλη : Επειδή 2 φορές το 8 είναι 16 και 4 φορές, άρα 16 και 16 ίσον 32.

Ακούγοντας την εξήγηση τους, η δασκάλα διαπιστώνει ότι, παρόλο που έφτασαν σε λάθος τελική απάντηση, η λύση τους είναι πολύ πιο σωστή από άλλη που έδωσαν προηγούμενα παιδιά.

Δασκάλα : Εντάξει.

Τζάστιν : Νομίζουμε ακόμα ότι είναι 11, επειδή από 32 αφαιρούμε 23. Λοιπόν, 3 αφαιρώ 2 ίσον 1 και 2 αφαιρώ 3 ίσον 1.

Η δασκάλα καταλαβαίνει τώρα πώς ο Τζάστιν και η Σάλλη έφτασαν στην απάντηση του 11. Καταλαβαίνει επίσης ότι αυτό είναι μια δυναμικά μη παραγωγική μέθοδος γιατί περιορίζει τις δυνατότητες των παιδιών να χτίσουν πιο ισχυρές κατασκευές. Επιπλέον, ενθαρρύνει τη μαθηματική δραστηριότητα σαν χειρισμό συμβόλων, όπως αντιτίθεται στην εκτέλεση των αριθμών σαν μαθηματικά αντικείμενα. Σε αυτή την κατάσταση συνεχίζει να οδηγεί τον διάλογο με ένα πιο κατευθυντήριο τρόπο.

Δασκάλα : Ωραία, σηκώστε δύο δάκτυλα. Δεν μπορείτε να το κάνετε αυτό, μπορείτε; Έτσι ο τρόπος που το κάνετε δε λειτουργεί. [Διστάζει στιγμιαία] Τι κάνει 23 και 10;

Τζάστιν : 33.

Δασκάλα : 33 και έχουμε μόνο 32 θέσεις. 32 θέσεις και 23 άνθρωποι να κάθονται σ’ αυτές. Συμφωνείται ακόμα με το 11 ;

Τζάστιν : Παίρνουμε το 9 από αυτό .

Με το να είναι πολύ κατευθυντήρια, η δασκάλα παρέχει στον Τζάστιν μια ευκαιρία να διαπιστώσει γιατί η μέθοδος του είναι μη αποδεκτή. Προσφέρει τότε μια εναλλακτική μέθοδο χρησιμοποιώντας 10 σαν μια μονάδα και προσθέτοντας το στο 23. Ξέρει ότι ο Τζάστιν καταλαβαίνει την ερώτησή της γιατί σε αυτήν την τάξη η λύση προβλημάτων με αυτόν τον τρόπο είναι μία μέθοδος που χρησιμοποιείται συχνά και θεωρείται δεδομένη. Ακολουθώντας την απάντηση του Τζάστιν για 33, συνεχίζει να αναπτύσσει τον αντίλογο υπενθυμίζοντας στο ζευγάρι τον αρχικό τους περιορισμό ότι το λεωφορείο είχε όλο μαζί 32 θέσεις. Αφού δημιούργησε την ασυμφωνία, ρωτάει τον Τζάστιν, “Συμφωνείς ακόμα με το 11 ;”. Αυτό του δίνει τη δυνατότητα να ξανασκεφτεί τη μέθοδό του και, αν είναι δυνατό, να λύσει τη διαφορά. Σε αυτό το επεισόδιο, η δασκάλα επιδέξια χρησιμοποίησε την αρχική μη-παραγωγική κατασκευή του Τζάστιν και μια μέθοδο λύσης δεκτή σαν μια κοινή πρακτική για να παρέχει στον Τζάστιν την δυνατότητα να αναθεωρήσει την εγκυρότητα της επεξεργασίας του. Η τρίτη της επαναθεώρηση ήταν να διαπιστώσει ότι ο ρόλος της σαν δασκάλα ήταν αυξανόμενα πολύπλοκος καθώς προσπάθησε να διατηρήσει μια ισορροπία ανάμεσα στις παρεμβάσεις που κάνουν τα παιδιά και τις δικές της, τις οποίες αναφέραμε σαν “περπατώντας στο παιδαγωγικό ακροβατικό σχοινί”. Σύμφωνα με τον Von Glasersfeld (1990, σελ.37), όλοι οι καλοί δάσκαλοι γνωρίζουν ότι η καθοδήγηση που δίνουν στους μαθητές τους “αναγκαία παραμένει αβέβαιη και δεν μπορεί ποτέ να προσεγγίσει απόλυτα τον σκοπό της”, γιατί στον κονστρουκτιβισμό υπάρχουν παντού περισσότερες από μία λύσεις σε ένα πρόβλημα και διαφορετικές λύσεις μπορούν να προσεγγιστούν από διαφορετικές προοπτικές.

Όλα αυτά δείχνουν ότι η γνώση δεν μπορεί απλά να μεταφερθεί από λέξεις. Ο Von Glasersfeld λεει : “Το να εξηγείς ένα πρόβλημα με λόγια δεν οδηγεί στην κατανόηση, εκτός και αν οι σκέψεις που ο ακροατής έχει συνδέσει με τις γλωσσολογικές συνιστώσες της εξήγησης είναι συμβατές με αυτές που αυτός που εξηγεί έχει στο μυαλό του. Γι’ αυτό το λόγο, είναι απαραίτητο να έχει ο δάσκαλος ένα κατάλληλο μοντέλο του σκεπτικού πλαισίου μέσα στο οποίο ο μαθητής αφομοιώνει αυτό που του έχει πει ο δάσκαλος. Χωρίς ένα τέτοιο μοντέλο σαν βάση, η διδασκαλία πιθανόν να παραμείνει μια τυχαία υπόθεση” (1989, σελ.136) (Von Glasersfeld, 1989, 1990). Κάπως έτσι, αναγνώρισε τη σημασία όχι μόνο του να γνωρίζει τις δυνατές δημιουργίες των παιδιών, αλλά και τη δική της ανάγκη να καταλάβει τα μαθηματικά που δίδασκε - αυτό που ο Lampert (1988) ανάφερε σαν “ο χάρτης της επικράτειας”.

ΝΥΞΕΙΣ ΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΔΑΣΚΑΛΩΝ

Οι ενοράσεις που αποκτήσαμε ενώ διεξαγάγαμε τις έρευνές μας στις τάξεις υπήρξαν εργαλεία στη διαμόρφωση των απόψεών μας για τη φύση της διδασκαλίας και της εκμάθησης. Η δουλειά μας, μας έκανε να αναγνωρίσουμε τη σπουδαιότητα της τάξης σαν ένα περιβάλλον όπου και οι δύο δάσκαλοι και μαθητές έχουν ευκαιρίες να μάθουν. Είναι μέσα σ’ ένα τέτοιο περιβάλλον που δάσκαλοι και μαθητές μπορούν αμοιβαία να αναπτύξουν τρόπους αλληλεπίδρασης με τους οποίους επηρεάζουν και οι δύο τις ερμηνείες και τις πράξεις ο ένας του άλλου. Κάνοντας έτσι, μια ρύθμιση στην οποία δημιουργείται μία αληθινή δέσμευση να μεταδώσουμε ένα μαθηματικό νόημα σαν κοινώς αποδεκτό.

Προσπαθούμε τώρα να αναπτύξουμε ένα θεωρητικό πλαίσιο εργασίας μέσα στο οποίο να καταλάβουμε τις αντιληπτικές διαδικασίες της διδασκαλίας από μία κατασκευαστική προοπτική. Ειδικότερα, εξετάζουμε τις διαδικασίες με τις οποίες οι δάσκαλοι μαθαίνουν για τις μεθόδους των μαθητών, πώς αυτή η κατανόηση πληροφορεί την πρακτική τους, και τους τρόπους με τους οποίους αυτή η εκμάθηση σχετίζεται και ενισχύει τη δική τους κατανόηση για τα μαθηματικά του δημοτικού σχολείου. Η προσπάθειά μας δεν είναι να εξετάσουμε μόνο αυτές τις διαδικασίες με λεπτομέρεια, αλλά να συνδυάσουμε αναλύσεις της εκμάθησης των δασκάλων με αναλύσεις της εκμάθησης των παιδιών καθώς προκύπτουν μέσα στην τάξη. Από αυτό, ελπίζουμε να ερευνήσουμε τους τρόπους με τους οποίους οι ερμηνείες των δασκάλων για την κατανόηση της αντίληψης των παιδιών για τα μαθηματικά μπορούν να τους πληροφορήσουν για την επόμενη πρακτική διδασκαλίας τους και να δυναμώσουν τη δική τους εκμάθηση. Αυτές οι νέες κατανοήσεις δρουν για να επηρεάσουν τον τρόπο με τον οποίο οι δάσκαλοι ωθούν και οδηγούν την ανάπτυξη των μαθηματικών νοημάτων από τους μαθητές τους. Αυτό, με τη σειρά του, επηρεάζει τις δυνατότητες εκμάθησης των μαθητών. Έτσι, προσπαθούμε να αναπτύξουμε ένα εμπειρικά εδραιωμένο θεωρητικό πλαίσιο εργασίας μέσα στο οποίο να καταλάβουμε τη διαδικασία με την οποία οι ψυχολογικές και κοινωνικές διεργασίες εκμάθησης και διδασκαλίας μπορούν να συντονιστούν.

ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ

Αυτό το κεφάλαιο, το οποίο γράφτηκε ειδικά για τη σειρά σεμιναρίων “Κονστρουκτιβισμός στην Εκπαίδευση” στο Πανεπιστήμιο της Γεωργίας, περιέχει μερικό προγενέστερα γραμμένο υλικό. Το πρόγραμμα που συζητήθηκε σε αυτό το κεφάλαιο υποστηρίζεται από το Εθνικό Επιστημονικό Ίδρυμα (MDR 847-0400 και MDR 855-0560), και από την Επιτροπή της Ιντιάνα για την Ανώτερη Εκπαίδευση. Όλες οι γνώμες που εκφράζονται είναι των συγγραφέων.

*Τα μαθηματικά αναζήτησης δε θα έπρεπε να συγχέονται με ερευνητικές προσεγγίσεις που αντανακλούν μια προσέγγιση ανακάλυψης. Όπως παρατήρησε ο Richards (1991), η διάκριση ανάμεσα στα μαθηματικά αναζήτησης και στα παραδοσιακά μαθηματικά του σχολείου είναι ανάλογη με εκείνη ανάμεσα σε αυτή που ονομάζουμε “λογική της ανακάλυψης” της έρευνας των μαθηματικών και της “ανακατασκευασμένης λογικής” του αρχείου καταγραφής των μαθηματικών. Σε συζήτηση για αυτό το θέμα, ο Schoenfeld (1987β) μίλησε για “δημιουργία ενός μικρόκοσμου της μαθηματικής φιλοσοφίας” (σελ. 213) μέσα στην τάξη. Οι Brown, Collins, και Duguid (1989α,1989β) χρησιμοποίησαν σε κάποιο βαθμό την προπαγανδιστική έκφραση αυθεντική μαθηματική δραστηριότητα. Θα έπρεπε να σημειωθεί ότι η πληροφορία-διαδικασία των θεωρητικών απαιτεί τύπους μαθηματικής διδασκαλίας συμβατής με μαθηματικά αναζήτησης, τα οποία με κανένα τρόπο δεν απορρέουν από τις δικές τους κατανοήσεις του ανθρώπινου μυαλού. Στην πραγματικότητα, μπορεί να αποδειχθεί ότι οι γνωστικές τους θεωρίες και η εκπαιδευτική θέση που προτείνουν είναι σε άμεση αντίφαση και αντανακλούν δύο ασύμβατες ενδείξεις του τι είναι να είσαι ανθρώπινη ύπαρξη (βλ. Cobb, 1990).

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Balacheff, N. (1986). Cognitive versus situational analysis of problem solving behavior. For the Learning of Mathematics, 6(3), 10-12.

Balacheff, N. (1990). Towards a problematic for research on mathematics teaching. Journal for Research in Mathematics Education, 21(4), 258-272.

Barnes, D. , & Todd, F. (1977). Communication and learning in small groups. London: Routledge & Kegan Paul.

Bauersfeld, H. (1980). Hidden dimensions in the so – called reality of a mathematics classroom. Educational Studies in Mathematics, 11(1), 23-41.

Bauersfeld, H. (1988). Interaction, construction, and knowledge: Alternative perspectives for mathematics education. In D. A. Grouws, T. J. Cooney & D. Jones (Eds.), Effective mathematics teaching (Vol. 1, pp. 27-46). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Βιτζηλαίος Στέφανος (1979). Μαθηματικά του καιρού μας. Πρώτος κύκλος μαθημάτων για παιδιά 5-7 ετών. Αθήνα.

Blumer, H. (1969). Symbolic interactionism. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall.

Briars, D. J., & Larkin, J. H. (1984). An integrated model of skill in solving elementary word problems. Cognition and Instruction, 1,245-297.

Brousseau, G. (1984). The crucial role of the didactical contract in the analysis and construction of situations in teaching and learning mathematics. In H. G. Steiner (Ed.), Theory of mathematics education (pp. 110-119). Bielefeld, Germany: IDM.

Brownell, W. A. (1928). The development of children’s number ideas in the primary grades. Chicago, IL: University of Chicago Press.

Carpenter T. P., Hiebert, J., & Moser, J. M. (1983). The effect of instruction on children’s solutions of addition and subtraction word problems. Educational Studies in Mathematics, 14, 55-72.

Carraher, T. N., Carraher, D. W. (Eds.), (1987). Mathematics as personal and social activity. Paper presented at the International Conference on Success or Failure? The Child’s Development at School, Pointers, France.

Carraher, T. N., Carraher, D. W., & Schliemann, A. D. (1985). Mathematics in the streets and in schools. British Journal of Developmental Psychology, 3, 21-29.

Carraher, T. N., Carraher, D. W., & Schliemann, A. D. (1987). Written and oral mathematics. Journal for Research in Mathematics Education, 18, 83-97.

Cobb, P., & Steffe, L.P. (1983). The constructivist researcher as teacher and model builder. Journal for Research in Mathematics Education, 14(2), 83-94.

Cobb, P., & Wheatley, G. (1988). Children’s initial understanding of ten. Focus on Learning Problems in Mathematics, 10(3), 1-28.

Cobb, P., Yackel, E., & Wood, T. (1989). Young children’s emotional acts while doing mathematical problem solving. In D.B. McLeod & V.M. Adams (Eds.), Affect and mathematical problem solving A new perspective (pp. 117-148). New York: Springer-Verlag.

Cobb, P., Wood, T., & Yackel, E. (1990). Classroom as learning environments for teachers and researchers. In R.B. Davis, C.A. Maher, & N. Noddings (Eds.), Constructivist views on teaching and learning mathematics (Monograph 4, pp. 125-146). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Cobb, P., Wood, T., & Yackel, E. (1991). A constructivist approach to second grade mathematics. In E. von Glasersfeld (Ed.), Radical constructivism in mathematics education, (pp. 157-176). Dordrecht, The Netherlands: kluwer.

Cobb, P., Wood, T., & Yackel, E. (1993). Discourse, mathematical thinking, and classroom practice. In Minick, E. Forman, & A. Stone (Eds.), Contents for learning: Social cultural dynamics in children’s development (pp. 91-119). Oxford, England: Oxford University Press.

D’Ambrosio, U. (1985). Ethnomathematics and its place in the history and pedagogy of mathematics. For the Learning of Mathematics, 5(1), 44-48.

Dearden, R. F. (1967). Instruction and learning by discovery. In R. S. Peters (Ed.), The concept of education (pp. 135-155). London: Routledge & Kegan Paul.

Dubinsky, E., & Lewin, P. (1986). Reflective abstraction and mathematics education: The genetic decomposition of induction and compactness. Journal of Mathematics Behavior, 5, 55-92.

Elstgeest, J., Harlen, W., & Symington, D. (1987). Children communicate. In W. Harlen (Ed.), Primary science… taking the plunge (pp. 92-111). London: Heineman.

Fischbein, E. (1987). Intuition in science and mathematics. Dordrecht, The Netherlands: Reidel.

Greeno, J. G. (1983). Forms of understanding in mathematical problem solving. In S. G. Paris, G. M. Olson, & W. H. Stevenson (Eds.), Learning and motivation in the classroom (pp. 83-111). Hillsdale, NJ: Lawrence Eribaum Associates.

Gunstone, R. F., & Northfield, J. (1988). Inservice education: Some constructivist perspectives and examples. Paper presented at the annual meeting of the American Educational Research Association, New Orleans, LA.

Hiebert, J., & Wearne, D. (1985). A model of students’ decimal computation procedures. Cognition and Instruction, 2, 175-205.

Jackson, P. (1968). Life in classrooms. New York: Holt, Rinehart & Winston.

Kamii, C. (1985). Young children reinvent arithmetic: Implications of Piaget’ s theory. Columbia, NY: Teacher College Press.

Kamii, C., & Devries, R. (1979). Η θεωρία του J. Piaget και η προσχολική αγωγή, (μτφρ, Βασιλειάδου Έλλη), Αθήνα, Εκδόσεις Δίπτυχο.

Labinowicz, E. (1985). Learning from children: New beginnings for teaching numerical thinking. Menlo Park, CA: Addison-Wesley.

Labinowicz, E. (1987). Children’s right to be wrong. Arithmetic Teacher, 35(2), 9.

Lakatos, I. (1976). Proofs and refutations. Cambridge, England: Cambridge University Press.

Lave, J. (1988a). Cognition in practice. Cambridge, England: Cambridge University Press.

Leont’ev, A. N. (1978). Activity, consciousness, and personality. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall.

Levina, R. E. (1981). L. S. Vygotsky’s ideas about the planning function of speech in children. In J. V. Wertsch (Ed.), The concept of activity in Soviet psychology (pp. 279-299). Armonk, NY: Sharpe.

Mead, G. H. (1934). Mind, self and society from the standpoint of a social behaviorist. Chicago: University of Chicago Press.

Peirce, C. S. (Ed.) (1935). Collected papers of Charles Sanders Peirce. Cambridge, MA: Harvard University Press.

Piaget, J. (1970a). Genetic epistemology (3rd ed.). New York: Columbia University Press.

Piaget, J. (1979). Ψυχολογία και Παιδαγωγική, (μτφρ, Βερβερίδης Απόστολος), Αθήνα, Εκδόσεις Νέα Σύνορα.

Piaget, J. (1979). Προβλήματα Ψυχολογίας, (μτφρ, Βερβερίδης Απόστολος), Αθήνα, Εκδόσεις Νέα Σύνορα.

Piaget, J. (1980). Adaptation and intelligence: Organic selection and phenocopy (3rd ed.). Chicago: University of Chicago Press.

Resnick, L. B. (1983). Towards a cognitive theory of instruction. In S. G. Paris, G. M. Olson, & W. H. Stevenson (Eds.), Learning and motivation in the classroom (pp. 5-38). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Richards, J. (1991). Mathematical discussions. In E. von Glasersfeld (Ed.), Radical constructivism in mathematics education (pp. 21-47). Dordrecht, The Netherlands: Kluwer.

Riley, M. S., Greeno, J. G., & Heller, J. I. (1983). Development of children’s problem solving ability in arithmetic. In H. P. Ginsburg (Ed.), The development of mathematical thinking (pp. 153-196). New York: Academic Press.

Rommetveit, R. (1985). Language acquisition as increasing in linguistic structuring of experience and symbolic behavior control. In J. V. Wertsch (Ed.), Culture, communication, and cognition (pp. 183-205). Cambridge, England: Cambridge University Press.

Saxe, G. B., Guberman, S., & Gearhart, M. (1988). Social processes in early number development. Monographs of the Society for Research in Child Development, 52(2).

Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical problem solving. New York: Academic Press.

Schutz, A. (1962). The problem of social reality. The Hague: Martinus Nijhoff.

Solomon, Y. (1989). The practice of mathematics. London: Routledge & Kegan Paul.

Steffe, L. P. (1983). The teaching experiment methodology in a constructivist research program. In M. Zweng, T. Green, J. Kilpatrick, H. Pollak, & M. Suydam (Eds.), Proceedings of the Fourth International Congress on Mathematical Education (pp. 469-471). Boston: Birkhauser.

Steffe, L. P. (1988). Children’s construction of number sequences and multiplying schemes. In J. Hiebert & M. Behr (Eds.), Number concepts and operations in the middle grades (pp. 119-140). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Steffe, L. P., Cobb, P., & von Glasersfeld, E. (1988). Construction of arithmetical meanings and strategies. New York: Springer-Verlag.

Streefland, L. (1988). Reconstructive learning. In A. Borbas (Ed.), Proceedings of the Twelfth Annual Meeting of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp. 75-92). Veszprem, Hungary: PME.

Van Engen, H. (1949). An analysis of meaning in arithmetic. Elementary School Journal, 49, 321-329, 395-400.

Voigt, J. (1985). Patterns and routines in classroom interaction. Recherches en Didactique des Mathematiques, 6(1), 69-118.

Voigt, J. (1989). The social constitution of the mathematical province: A microethnographical study in the classroom. The Quarterly Newsletter of the Laboratory of Comparative Human Cognition, 11(1/2), 27-34.

Von Glasersfeld, E., (1983). Knowing without Metaphysics: Aspects of the Radical Constructivist Position. (pp. 10-11).

Von Glasersfeld, E., (1984). An introduction to radical constructivism. In P. Watzlawick (Ed.), The invented reality (pp. 17-40). New York: Norton.

Von Glasersfeld, E., (1987a). Learning as a constructive activity. In C. Janvier (Ed.), Problems of representation in teaching and learning of mathematics (pp. 3-17). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Von Glasersfeld, E., (1989 - 1990). Von Glasersfeld’s Radical Constructivism: An excerpt from the book of M. Boudourides: Constructivism and Education: A shopper’s guide.

Wagner, S. (1981). Conservation of equation and function under transformations of variable. Journal for Research In Mathematics Education, 12, 107-118.

Walkerdine, V. (1988). The mastery of reason: Cognitive development and the production of rationality. London: Routledge & Kegan Paul.

Wood, T., Cobb, P., & Yackel, E. (1990). The contextual nature of teaching: Mathematics and reading instruction in one second grade classroom. The Elementary School Journal, 90(5), 497-513.

Wood, T., Cobb, P., & Yackel, E. (1991). Change in teaching mathematics: A case study. American Educational Research Journal, 28(3), 587-616.

Wood, T., & Yackel, E. (1990). The development of collaborative dialogue within small group interactions. In L. P. Steffe & T. Wood (Eds.), Transforming children’s mathematics education: International perspectives (pp. 244-252). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.